辽宁省朝阳市双塔区朝阳市第一中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间120分钟，满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列为正数的是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正数的识别，大于0的数即为正数，据此进行判断即可．
【详解】解：，是负数；0既不是正数也不是负数；是正数；
故选：D．
2. 如果，那么下列不等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：A、由可以得到，故此选项不符合题意；
B、当，由不可以得到，故此选项符合题意；
C、由可以得到，故此选项不符合题意；
D、由可以得到，故此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个整式，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或除以一个正数不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等式改变方向．
3. 下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
4. 已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是( )
A. 正五边形B. 正六边形C. 正七边形D. 正八边形
【答案】A
【解析】
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
【详解】这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．
故选A．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
5. 下列运算正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了幂的相关运算、二次根式的运算以及合并同类项，掌握相关运算法则即可．
【详解】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：C
6. 如图， ，点，在直线上，点在直线上，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，平角的定义．根据“两直线平行，内错角相等”与平角为进行解题即可．
【详解】解：，
，
又
∴，
，
故选D．
7. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A. B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可．本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：A、若，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、若，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项符合题意；
D、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C
8. 若函数和的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数图象的交点坐标，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：观察函数图象得直线与直线的交点坐标为，
∴时，，
所以关于x的不等式的解集为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
9. 中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键．根据“若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘”列方程组即可．
【详解】解：由题意，得
．
故选A．
10. 随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小聪同学想乘公交车，他走到A、B两站之间的C处，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为700m（如图），此时他有两种选择：
（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；
（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．
假设公交车的速度是小聪速度的6倍，小聪无论选择哪站乘坐都不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（ ）
A. 240mB. 260mC. 280mD. 300m
【答案】A
【解析】
【分析】可设小聪的速度是x m/分，则公交车速度是6x m/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为y m，计算得到小明的路程，公交车的路程，再根据小聪无论选择哪站乘坐都不会错过这辆公交车得到关于y的不等式，故可求解．
【详解】解：设小聪的速度是x m/分，则公交车速度是6x m/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为y m，
到A公交站：xt＋6xt＝700，
解得xt＝100，
则6xt＝6×100＝600，
到B公交站，由小聪不会错过这辆公交车可得
解得y≤240．符合题意
故A，B两公交站之间的距离最大为240m．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是找到不等关系列出一元一次不等式．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 当x=_________时，分式值为0．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据分式的值为0，分子等于0分母，不为0即可解答．
【详解】∵分式值为0,
∴且，
∴x=-1．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．
12. 已知点 先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点B，则点的坐标为________．
【答案】0,1
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
按照平移规律进行横纵坐标加减计算即可求解．
【详解】解：∵点向左平移3个单位长度后再向上平移2个单位长度，
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴B的坐标为0,1．
故答案为：0,1．
13. 如图，在中，，，交于点O．以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G；作射线交于点P．若的中点为点M，则的长为 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，角平分线的尺规作图和定义，由作图知，平分，得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】解：由作图知，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的中点为点M，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：2．
14. 若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围为______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键．先将分式方程化为整式方程，再解出方程的解，然后根据“解为正数”列出不等式求解即可．
【详解】解：，
两边都乘以，得
，
解得，∵
∵解为正数，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴且．
故答案为：且．
15. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E．若，，则的长是______．
【答案】##2厘米
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，连接，角平分线的性质，得到，证明，得到，证明，得到，再利用线段的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵平分，于D，于E，
∴，，
∵，
∴，
∴，
连接，
∵垂直，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即：，
∴；
故答案为：
三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
16. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）（2），3
【解析】
【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，分式的化简求值：
（1）先进行乘方，去绝对值，进行零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可；
（2）通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简后，代值计算即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
；
当时，原式．
17. （1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解方程：．
【答案】（1），数轴见解析；（2）无解
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组以及分式方程的求解，注意计算的准确性即可；（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．（2）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程即可求解；
【详解】解：（1），
由①得：；
由②得：；
∴不等式组的解集为：
（2）方程两边同时乘以得：
，
解得：
检验：当时，，
∴原方程无解
18. 如图所示，三个顶点坐标分别为、、请在所给的正方形网格中按要求画图和解答下列问题：
（1）以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出．
（2）画出关于坐标原点O成中心对称的．
（3）若可看作是由旋转得来，则旋转中心坐标为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称：
（1）分别作出点B、C绕点A顺时针旋转得到的对应点，再与点A首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）作线段的垂直平分线，与线段垂直平分线的交点即为旋转中心，从而得出答案．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示，、的线段垂直平分线交于，
∴旋转中心的坐标即为。
19. 某校开展了一次消防知识竞赛（百分制）．七、八年级各有50名学生参赛，对他们的成绩进行整理、描述和分析．将成绩（单位：分）分为五组：一组；二组；三组；四组；五组．
部分信息如下：
①七年级二组的学生人数占七年级参赛人数的．
八年级三组中最低的10个成绩分别为：70，71，71，72，72，73，74，74，75，75．
②七、八年级成绩统计图如下：

③七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ．
（2）请补全条形统计图；
（3）这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为73分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前，可知甲是 （填“七”或“八”）年级的学生；
（4）综合上表中的统计量，在此次竞赛中，哪个年级的学生对消防知识掌握得更好？请说明理由．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）七
（4）八年级的学生掌握的更好．因为，七、八年级的学生成绩平均数一样，而八年级的学生成绩的中位数和众数更高，所以，八年级的学生掌握的更好
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图中信息求解即可；将八年级50人成绩从小到大排列，根据中位数的定义求解即可；
（2）分别求得七年级二组、五组的学生人数，即可补画条形统计图；
（3）根据八年级和七年级成绩的中位数分析判断即可；
（4）根据两个年级学生成绩的平均数、众数和中位数进行分析即可．
【小问1详解】
解：，
八年级一组人，二组人，三组人，四组人，五组人，
将八年级50人成绩从小到大排列，第25、26个数据分别为74、74，
∴八年级成绩的中位数．
故答案为：，；
【小问2详解】
七年级二组学生人数为人，
五组的学生人数为人，
所以，可补画条形统计图如下：
【小问3详解】
这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为73分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前，
根据八年级成绩的中位数为74，故73分在年级中排名在第26名之后，
而七年级成绩的中位数为71，故73分在年级中排名在第25名之前，
可知甲是七年级的学生．
故答案为：七；
【小问4详解】
八年级的学生掌握的更好．因为，七、八年级的学生成绩平均数一样，而八年级的学生成绩的中位数和众数更高，所以，八年级的学生掌握的更好．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图、中位数、数据统计应用等知识，通过扇形统计图和条形统计图获得所需信息是解题关键．
20. 某家具生产车间有名工人生产家用餐桌和椅子，张桌子和把椅子配成一套．已知一名工人一天可以生产张桌子或把椅子．
（1）分别安排多少名工人生产桌子和椅子可使一天生产的桌椅正好配套？
（2）今年一套餐桌的成本比去年提高了，去年总投入了万元，今年投入的比去年多10万元，结果生产的餐桌比去年少套，则今年的成本是每套多少万元？
【答案】（1）安排名工人生产桌子，名工人生产椅子可使一天生产的桌椅正好配套；
（2）今年的成本定每套万元．
【解析】
【分析】（）设安排名工人生产椅子，则安排名工人生产椅子，根据题意列出一元一次方程，然后求解即可；
（）设去年的成本是每套万元，则今年的成本是每套万元，根据题意列分式方程，解方程并检验即可；
本题主要考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键是理解清楚题意，找到其中的等量关系列出方程．
【小问1详解】
设安排名工人生产椅子，则安排名工人生产椅子，
由题意得，
解得：，
∴，
答：安排名工人生产桌子，名工人生产椅子可使一天生产的桌椅正好配套；
【小问2详解】
设去年的成本是每套万元，则今年的成本是每套万元 ，
根据题意得，
解得： ，
经检验，是原分式方程的解 ，
∴，
答： 今年的成本定每套万元．
21. 在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CB，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，求得AD＝DF，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△DAE和△BCF中
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴AB-AE＝CD-CF，
即DF＝BE，
∵DE＝BF，BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理及逆定理，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．
22. 为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉.经市场调查，甲种花卉的种植费用（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元.
（1）直接写出当和时，与的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共，若甲种花卉的种植面积不少于，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少总费用为多少元？
【答案】（1）；（2）应分配甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元.
【解析】
【详解】分析：（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
（2）设甲种花卉种植为 a m2，则乙种花卉种植（12000-a）m2，根据实际意义可以确定a的范围，结合种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．
详解：（1）
（2）设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为.
.
当时，.
当时，元.
当时，.
当时，元.
，当时，总费用最低，最低为119000元.
此时乙种花卉种植面积为.
答：应分配甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元.
点睛：本题是看图写函数解析式并利用解析式解决问题的题目，考查分段函数的表达和分类讨论的数学思想．
23. 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．
【答案】（1）见解析；（2）图②：，图③：；（3）10或18
【解析】
【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
（2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可；
（3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可．
【详解】（1）证明：在边上截取，连接．
在中，．
，
．
又，
．
又，，
．
又，
．
．
．
．
，
．
是等边三角形．
，
，
；
（2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下：
如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，
∵，
∴等边三角形，
∴，
∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
图③：当点D在线段延长线上时，，证明如下∶
如图所示，在上取点H使，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，与矛盾，
∴不符合题意；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，，
∴，
由（2）可知，，
∵，
∴．
综上所述，或18．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
年级
平均数
中位数
众数
七
70
71
76
八
70
79