陕西省西安市碑林区工业大学附属中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版）

这是一份陕西省西安市碑林区工业大学附属中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．本题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【详解】解：A、，含有两个未知数，不属于一元二次方程；
B、不是整式方程，不属于一元二次方程；
C、次数为3，不属于一元二次方程；
D、属于一元二次方程；
故选： D
2. 下列式子正确的是（ ）
A. 若，则x＜yB. 若bx＞by，则x＞y
C. 若，则x=yD. 若mx=my，则x=y
【答案】C
【解析】
【详解】A选项错误，，若a＞0，则x＜y；若a＜0，则x＞y；
B选项错误，bx＞by，若b＞0，则x＞y；若b＜0，则x＜y；
C选项正确；
D选项错误，当m=0时，x可能不等于y.
故选C.
点睛：遇到等式或者不等式判断正误，可以采用取特殊值代入的方法.
3. 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行投影的定义判断即可．本题考查平行投影，解题的关键是掌握平行投影的定义．
【详解】解：这里属于平行投影，两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是：
故选：A．
4. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若且于点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解．本题考查了旋转的性质和直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到
，，
，
，
．
故选：B．
5. 如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（ ）
A. 且B. 且
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用三角形中位线性质以及正方形的判定方法分析得出答案．
【详解】解：使四边形为正方形，应添加的条件分别是且．
理由：∵顺次连接四边形各边中点得到四边形，
∴，，，，
，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴菱形是正方形．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质，解题的关键是连接，构造平行线．
6. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为64，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质得到，再根据菱形面积公式求出，进而求出，由此即可利用勾股定理求出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∵菱形的面积为64，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等等，正确根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长是解题的关键．
7. 三个边长为的正方形按图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解．
【详解】解：连接，，
由题意知：四边形，四边形都是正方形，
，，，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明构造全等三角形是解题的关键．
8. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由元降到了元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据原售价降低率）得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．
【详解】解：设平均每月降低的百分率为x，
依题意得：，
故选：D
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于理解题意列出方程.
9. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】B
【解析】
【分析】把分式方程化为整式方程，根据解为正数，得出的取值范围．此题主要考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解题的关键，注意要排除产生增根时的值．
【详解】解：去分母得：，
整理得：，
解得：，
关于的方程的解为正数，
，
解得，
当时，，
解得：，
的取值范围是：且．
故选：B．
10. 如图，在四边形中，，射线平分，于点，连接，延长至，若，，则线段的长度为（ ）

A. B. C. D. .4
【答案】A
【解析】
【分析】如图③中，延长交于，延长交的延长线于．先证明，得出是的中点，然后得，结合勾股定理得，运用等腰三角形的三线合一得是的中点，证明是的中位线，即求解即可．本题考查四边形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用三角形中位线定理解决问题．
【详解】如图，延长交于，延长交的延长线于．

∵射线平分，于点
∴
∵
∴
∴
即是的中点
由题意，
，，
，，
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴是的中点（等腰三角形的三线合一）
∵是的中点
∴是的中位线
∴
故选：A
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11. 因式分解：_________________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式再运用平方差公式来进行因式分解，据此即可作答．
详解】解：
故答案为：
12. 如图所示为一几何体的三种视图（单位：）通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，得这个几何体的侧面积是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求几何体的侧面积以及几何体的三视图，先由三视图得出这个几何体是正三棱柱，结合侧面积等于三个长方形的面积之和，即，据此作答．
【详解】解：依题意，这个几何体是正三棱柱
∴
∴这个几何体的侧面积是
故答案为：
13. 在一个不透明的中装材料、大小完全相同颜色不同的若干个红球和3个白球．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，估计袋中红球有__________个．
【答案】９
【解析】
【分析】由题意，大量重复实验后，摸到白球的频率来估计概率为，结合实际白球数量计算得到总数量，然后计算红球数量即可．
【详解】解：由题意知，摸到白球的概率为：
所以总数量为：（个）
红球数量为：（个）
故答案为：9
【点睛】本题考查用频率来估计概率的求法，根据题意找见对应量是解题关键．
14. 如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，设道路的宽为x米，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积，结合草坪的面积为243平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：依题意，道路的宽为米，
铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积．
草坪的面积为243平方米，
．
∴．
∴（舍去）
故答案为：1
15. 如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是________．
【答案】m≤3
【解析】
【分析】分类讨论：当m-2=0时，-2x+l=0有实数根；当m-2≠0时，根据根的判别式得出b2-4ac≥0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的方程（m-2）x2-2x+l=0有实数根，
∴当m-2=0时，m=2时，-2x+l=0有实数根；
当m-2≠0时，
b2-4ac=（-2）2-4（m-2）=-4m+12≥0，
解得m≤3．
由以上可知m≤3．
故答案为m≤3．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；注意分类讨论思想探讨．
16. 如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点D到点O的最大距离是 __________________．
【答案】
【解析】
【分析】取线段的中点E，连接，根据直角三角形的特征量，三角形不等式解答即可．
本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，矩形的性质，三角形不等式，熟练掌握三角形不等式，勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图：取线段的中点E，连接，
∵，矩形，，，
∴，
∴，
∵，
∴当点D，点E，点O共线时，的长度最大．
∴点D到点O的最大距离，
故答案为：．
三、解答题（共7小题，共52分．解答应写出过程）
17. 计算：
（1）解不等式组：并写出该不等式组的整数解；
（2）解方程①（用公式法）：；
②解方程：．
【答案】（1）
（2）①②
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）分别解出每个不等式，再取共同解集，即可作答．
（2）①先求出，再运用求根公式代入数值，进行计算，即可作答．
②先把等号右边整理，得，再移项，然后提公因式，令每个因式为0，进行计算，即可作答．
【小问1详解】
解：
由得
由得
∴
【小问2详解】
解：①
∴
∴
②
∴
∴
18. 先化简，再求值：其中m是方程的根．
【答案】，
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将方程变形得到，整体代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，已知式子的值，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解：
，
是方程的根，
；
，
原式．
19. 如图，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A，B的转盘分别被分成四、三个面积相等的扇形，装置A上的数字分别是1，2，3，4，装置B上的数字分别是3，4，5，这两个装置除了表面数字不同外，其它构造完全相同．现在分别同时用力转动A，B两个转盘．
（1）A转盘指向偶数的概率是 ．
（2）请用列表法或画树状图的方法，求A、B转盘指向的数字之和不小于6的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【小问1详解】
解： A转盘指向偶数概率是．
故答案：；
【小问2详解】
列表如下：
由上图可得出所有等可能的结果有12种，其中A、B转盘指向的数字之和不小于6的情况有9种，
则A、B转盘指向的数字之和不小于6的概率是．
【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，还用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，熟练掌握树状图或列表法是解题的关键．

20. 如图，已知E、F分别为平行四边形的对边、上的点，且，于M，于N，交于点O．求证：
（1）；
（2）与互相平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，得出，，由证明，得出对应边相等即可；
（2）连接、，求出，，得出平行四边形，根据平行四边形的性质得出即可．
小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵于M，于N，
∴，
在和中，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：连接、，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
又∵由（1）得，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，平行线的判定，解此题的关键是推出四边形是平行四边形．构造出平行四边形对一部分学生是难点．
21. 已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值．
【答案】（1）详见解析；（2）p=±1．
【解析】
【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，
x2﹣5x+6﹣p2=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2，
∵无论p取何值时，总有4p2≥0，
∴1+4p2＞0，
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，
∵，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，
∴52=5（6﹣p2），
∴p=±1．
22. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】（1）50元；（2）八折
【解析】
【分析】（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）设每件的售价定为x元，
则有：，
解得：(舍)，
答：每件售价为50元；
（2）设该商品至少打m折，
根据题意得：，
解得：，
答：至少打八折销售价格不超过50元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．
23. 问题研究：如图，在矩形中，点为边的中点，点为上的一个动点，连接并延长，交的延长线于点，以为底边在下方作等腰，且．
（1）如图①，若点 H恰好落在上，连接
①则线段 与的数量关系是 ．
②当 时，，求的面积：
综合运用：
（2） 如图②，点H落在矩形内， 连接， 若 ，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）①；②10（2）
【解析】
【分析】（1）①过点作于点．证明，推出，再证明，推出，可得结论；
②如图①中，时交于点．设，构建方程求解即可；
（2）图②中，过点作于点，过点作于点，连接．同法可证，，推出，，由四边形是正方形，推出，推出，可得，设，构建二次函数，求出的面积的最大值，可得结论．
【详解】（1）①证明：如图①中，过点作于点．
四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
；
②解：如图①中，记交于点．
，，
，
，
，
设，则，
，
，，
在中，，
；
（2）解：如图②中，过点作于点，过点作于点，连接．
同法可证，，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
设，
，
，
时，的面积最大，最大值为，
四边形的面积的最大值．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
1
2
3
4
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
5
6
7
8
9