2024年山西省实验中学中考适应性考试数学试题

这是一份2024年山西省实验中学中考适应性考试数学试题，共14页。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里，居世界第一，将数据135000用科学计数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）
①；②； ③；（4）．
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
3．已知在四边形中，，对角线、交于点O，且，下列四个命题中真命题是（ ）
A．若，则四边形一定是等腰梯形；
B．若，则四边形一定是等腰梯形；
C．若，则四边形一定是矩形；
D．若且，则四边形一定是正方形．
4．已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点为矩形边的中点，在矩形的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员从点出发，沿着的路线匀速行进，到达点D．设运动员的运动时间为，到监测点的距离为．现有与的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（ ）

图1 图2
A．监测点 B．监测点 C．监测点 D．监测点
6．已知关于的方程有一个根为，则另一个根为（ ）
A．5 B． C．2 D．
7．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
8．如图，中，DE垂直平分AC交AB于，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．小明解方程的过程如下，他的解答过程中从第（ ）步开始出现错误．
解：去分母，得①
去括号，得②
合并同类项，得③
移项，得④
系数化为1，得⑤
A．① B．② C．③ D．④
10．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
11．如图，将矩形ABCD沿EM折叠，使顶点B恰好落在CD边的中点N上．若，，则五边形ABMND的周长为（ ）
A．28 B．26 C．25 D．22
12．若二次函数的图象与轴有两个交点，坐标分别是，，且．图象上有一点在轴下方，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．已知关于的不等式组只有四个整数解，则实数的取值范是_______．
14．若，，则_______．
15．已知点，，在同一条直线上，则的值为_______．
16．如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为_______．
17．如图，直线，被直线所截，，，若，则等于______．
18．如图，AB为的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是_______．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．第一批饮料进货单价多少元？若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
20．（6分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拨后有名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
请结合图表完成下列各题：
（1）①表中的值为_______，中位数在第_______组；
②频数分布直方图补充完整；
（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．
21．（6分）如图，在中，，是角平分线，平分交于点，经过、两点的交BC于点，交AB于点F，FB恰为的直径．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，时，求的半径．
22．（8分）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，连接AP，交于点，若，求的度数_______．
23．（8分）如图，是直径，于点，点是射线上任意一点，过点作切于点，连接AD．求证：；若，，求AD的长．
24．（10分）八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
根据图表提供的信息，解答下列问题：八年级一班有多少名学生？请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
25．（10分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是_____；先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．
26．（12分）阅读下列材料：
数学课上老师布置一道作图题：
已知：直线和外一点．
求作：过点的直线，使得．
小东的作法如下：
作法：如图2，
（1）在直线上任取点A，连接PA；
（2）以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段于点，直线于点；
（3）以点为圆心，长为半径作弧DQ，交线段PA于点D；
（4）以点D为圆心，BC长为半径作弧，交弧DQ于点，作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线m．
老师说：“小东的作法是正确的．”
请回答：小东的作图依据是________．

27．（12分）未成年人思想道德建设越来越受到社会的关注，辽阳青少年研究所随机调查了本市一中学100名学生寒假中花零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．根据调查数据制成了频率分布表和频率分布直方图（如图）．
（1）补全频率分布表；
（2）在频率分布直方图中，长方形的面积是______；这次调查的样本容量是______；
（3）研究所认为，应对消费150元以上的学生提出勤俭节约的建议．试估计应对该校1000名学生中约多少名学生提出这项建议．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、B【解题分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【题目详解】解：故选B．
【题目点拨】此题考查科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
2、B【解题分析】分析：本题是考察数轴上的点的大小的关系．
解析：由图知，，故①正确，因为点到原点的距离远，所以，故②错误，因为，所以，故③错误，由①知，所以④正确．故选B．
3、C【解题分析】
A、因为满足本选项条件的四边形有可能是矩形，因此中命题不一定成立；
B、因为满足本选项条件的四边形有可能是矩形，因此B中命题不一定成立；
C、因为由结合可证得，，由此即可证得此时四边形是矩形，因此中命题一定成立；
D、因为满足本选项条件的四边形有可能是等腰梯形，由此D中命题不一定成立．
故选C．
4、C【解题分析】试题分析：已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是，故选C．
考点：多边形的内角和外角．
5、C【解题分析】
试题解析：A、由监测点监测时，函数值随的增大先减少再增大．故选项A错误；
B、由监测点监测时，函数值随的增大而增大，故选项B错误；
C、由监测点监测时，函数值随的增大先减小再增大，然后再减小，选项C正确；
D、由监测点监测时，函数值随的增大而减小，选项D错误．
故选C．
6、B【解题分析】根据关于的方程有一个根为，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【题目详解】∵关于的方程有一个根为，设另一个根为，
∴，解得，，故选B．
7、D 根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角，再根据等腰三角形的性质分情况解答．
【题目详解】∵等腰三角形的一个外角是，∴与这个外角相邻的内角为，
当为底角时，顶角为，∴该等腰三角形的顶角是或。故答案选：D．
【题目点拨】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质．
8、D【解题分析】根据线段垂直平分线性质得出，推出，代入求出即可．
【题目详解】∵DE垂直平分交于，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，故选D．
【题目点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
9、A【解题分析】根据解分式方程的方法可以判断哪一步是错误的，从而可以解答本题．
【题目详解】，去分母，得，故①错误，故选A．
【题目点拨】本题考查解分式方程，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．
10、C【解题分析】试题分析：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、4，∵，∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、4、4，能组成三角形，周长，
综上所述，它的周长是4．故选C．
考点：4．等腰三角形的性质；4．三角形三边关系；4．分类讨论．
11、A【解题分析】如图，运用矩形的性质首先证明，；运用翻折变换的性质证明（设为），运用勾股定理列出关于的方程，求出，即可解决问题．
【题目详解】如图，
由题意得：（设为），；
∵四边形为矩形，∴，，；
由勾股定理得：，解得：，
∴五边形ABMND的周长，故选A．
【题目点拨】该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
12、D【解题分析】根据抛物线与轴有两个不同的交点，根的判别式，再分和两种情况对C、D选项讨论即可得解．
【题目详解】A、二次函数的图象与轴有两个交点无法确定的正负情况，故本选项错误；
B、∵，∴，故本选项错误；
C、若，则，若，则或，故本选项错误；
D、若，则，，所以，，∴，
若，则（与（）同号，∴，
综上所述，正确，故本选项正确．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、
【解题分析】分析：求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式取解集的方法：同大取大；同小取小；大大小小无解；大小小大取中间的法则表示出不等式组的解集，由不等式组只有四个整数解，根据解集取出四个整数解，即可得出的范围．
详解：
由不等式①解得：；由不等式②移项合并得：，解得：，
∴原不等式组的解集为，
由不等式组只有四个整数解，即为，0，，，
可得出实数的范围为．故答案为．
点睛：考查一元一次不等式组的整数解，求不等式的解集，根据不等式组有4个整数解解得实数的取值范围．
14、1【解题分析】根据，代入计算即可．
【题目详解】∵，，∴．故答案为：1．
【题目点拨】本题考查对完全平方公式的变形应用能力，要熟记有关完全平方的几个变形公式．
15、3【解题分析】设过点和点的直线的解析式为：，
则，解得：，∴直线的解析式为：，
∵点在直线AB上，∴，即．故答案为3．
点睛：在平面直角坐标系中，已知三点共线和其中两点的坐标，求第3点坐标中待定字母的值时，通常先由己知两点的坐标求出过这两点的直线的解析式，在将第3点的坐标代入所求解析式中，即可求得待定字母的值．
16．【解题分析】分析：不等式的解集就是在下方，直线在直线上方时的取值范围．由图象可知，此时．
17、【解题分析】试题分析：由平角的定义可知，，又，，所以，因为，所以．故答案为。
考点：角的计算；平行线的性质．
18、【解题分析】根据中位线定理得到的最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【题目详解】解：因为点M、分别是AB、BC的中点，由三角形的中位线可知：，
所以当AC最大为直径时，MN最大．这时
又因为，解得
长的最大值是．故答案为：．
【题目点拨】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候的值最大，难度不大．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19、（1）第一批饮料进货单价为8元．（2）销售单价至少为元．
【解题分析】【分析】（1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可；
（2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得．
【题目详解】（1）设第一批饮料进货单价为元，则：解得：
经检验：是分式方程的解
答：第一批饮料进货单价为8元．
（2）设销售单价为元，则：，
化简得：，解得：，
答：销售单价至少为11元．
【题目点拨】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键．
20、（1）①12，3．②详见解析．（2）．
【解题分析】分析：（1）①根据题意和表中的数据可以求得的值；②由表格中的数据可以将频数分布表补充完整；
（2）根据表格中的数据和测试成绩不低于80分为优秀，可以求得优秀率；
（3）根据题意可以求得所有的可能性，从而可以得到小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．
详解：（1）①，
中位数为第25、26个数的平均数，而第25、26个数均落在第3组内，所以中位数落在第3组，
故答案为12，3；
②如图，
（2），
答：本次测试的优秀率是；
（3）设小明和小强分别为、，另外两名学生为：C、D，
则所有的可能性为：、、．
所以小明和小强分在一起的概率为：．
点睛：本题考查列举法求概率、频数分布表、频数分布直方图、中位数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，可以将所有的可能性都写出来，求出相应的概率．
21、（1）与相切．理由见解析．（2）2．1
【解题分析】（1）连接OM，则，利用平行的判定和性质得到，，再利用等腰三角形的性质和切线的判定即可得证；
（2）设的半径为，则，利用等腰三角形的性质和解直角三角形的有关知识得到，易证，根据相似三角形的性质即可求解．
【题目详解】解：（1）AE与相切．理由如下：
连接OM，则，∴，
∵BM平分，∴，∴，
∴，∴，
在中，，是角平分线，∴，∴，∴，
∴，∴与相切；
（2）在中，，是角平分线，∴，，
∵，，∴，，
在中，，∴，
设的半径为，则，
∵，∴，∴，∴解得：，
∴的半径为2.1．
22、．
【解题分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据AM是的平分线，即可得出的度数，再由两直线平行，内错角相等即可得出结论．
【题目详解】∵，∴．
又∵，∴，由作法知，AM是的平分线，∴．
又∵，∴．
【题目点拨】本题考查了角平分线的作法和意义，平行线的性质等知识解决问题．解题时注意：两直线平行，内错角相等．
23、（1）证明见解析；（2）．
【解题分析】
（1）根据切线的判定定理得到是的切线，再利用切线长定理证明即可；
（2）根据含的直角三角形的性质、正切的定义计算即可．
【题目详解】（1）∵AB是直径，，∴BC是的切线，
∵CD切于点，∴；
（2）连接BD，∵，，∴是等边三角形，∴，，
∴，
∵AB是直径，∴，∴．
【题目点拨】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
24、（1）41（2）（3）
【解题分析】
（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数；
（2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可；
（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率．
【题目详解】（1）∵喜欢散文的有11人，频率为1.25，∴；
（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为，故答案为；
（3）画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种，∴P（丙和乙）．
25、（1）（2）
【解题分析】试题分析：（1）因为总共有4个球，红球有2个，因此可直接求得红球的概率；
（2）根据题意，列表表示小球摸出的情况，然后找到共12种可能，而两次都是红球的情况有2种，因此可求概率．试题解析：解：（1）．
（2）用表格列出所有可能的结果：
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸到红球”有2种可能．
∴（两次都摸到红球）．
考点：概率统计
26、内错角相等，两直线平行
【解题分析】根据内错角相等，两直线平行即可判断．
【题目详解】∵，∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【题目点拨】本题考查了作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
27、（1）表格中依次填10，100.5，25，0.25，150.5，1；
（2）0.25，100；
（3）（名）．
【解题分析】（1）由频数直方图知组距是50，分组数列中依次填写100.5，150.5；的频数，由各组的频率之和等于1可知：的频率，则频数，由此填表即可；（2）在频率分布直方图中，长方形ABCD的面积为，这次调查的样本容量是100；（3）先求得消费在元以上的学生的频率，继而可求得应对该校1000学生中约多少名学生提出该项建议．
【题目详解】
解：（1）填表如下：
（2）长方形ABCD的面积为0.25，样本容量是100；
（3）提出这项建议的人数人．
【题目点拨】本题考查了频数分布表，样本估计总体、样本容量等知识．注意频数分布表中总的频率之和是1．
组别
成绩分
频数（人数）
第1组
6
第2组
8
第3组
14
第4组
a
第5组
10
类别
频数（人数）
频率
小说
0.5
戏剧
4
散文
10
0.25
其他
6
合计
1
分组
频数
频率
0.5~50.5
__
0.1
50.5~__
20
0.2
100.5~150.5
__
__
__~200.5
30
0.3
200.5~250.5
10
0.1
250.5~300.5
5
0.05
合计
1
__
第二次
第一次
红球1
红球2
白球
黑球
红球1
（红球1，红球2）
（红球1，白球）
（红球1，黑球）
红球2
（红球2，红球1）
（红球2，白球）
（红球2，黑球）
白球
（白球，红球1）
（白球，红球2）
（白球，黑球）
黑球
（黑球，红球1）
（黑球，红球2）
（黑球，白球）
分组
频数
频率
0.5~50.5
10
0.1
50.5~ 100.5
20
0.2
100.5~150.5
25
0.25
150.5 ~200.5
30
0.3
200.5~250.5
10
0.1
250.5~300.5
5
0.05
合计
100
1