人教版九年级上册数学开学测试卷10（试卷+答案+解析）

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（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：八下全册和九上第一章
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形性质是解题的关键．
根据题意得出，再由平行线的性质求解即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
∴，
，
∴
故选：A．
2．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A、，当时是一元二次方程，故A不正确；
B、是分式方程，不是一元二次方程，故B不正确；
C、是一元三次方程，故C不正确；
D、是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、除法法则依次判断即可．
本题主要考查了二次根式的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A.. 与不是同类二次根式，无法进行相加减，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，故D选项正确．
故选：D
4．在中，所对的边分别为由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能灵活运用定理进行计算和推理是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理即可判断A、B、D；根据三角形的内角和定理即可判断C．
【详解】解：A、，
，
即是直角三角形，
故本选项不符合题意；
B、，
，
，
即是直角三角形，
故本选项不符合题意；
C、，，
，
，
即是直角三角形，
故本选项不符合题意；
D、，，，
，
不是直角三角形，
故本选项符合题意；
故选：D
5．把方程 化成 的形式，则 m、n的值是：（ ）
A．4， B．4，15C．，D．，15
【答案】D
【分析】把方程的常数项1移项后，左边配成完全平方式，右边化为常数．本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【详解】解：，
，
故选：D．
6．某班级在学校图书节义卖活动中，售书情况如下表：
则在该班级的这一组售书价格数据中，下列说法错误的是（ ）
A．众数是4元B．总收入是226元C．平均数是4.52元D．中位数是4元
【答案】D
【分析】本题考查众数，平均数，中位数，根据众数的定义，平均数，中位数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、这组数据中，4元出现的次数最多，故众数是4元，本选项说法正确；
B、总收入为：（元），本选项说法正确；
C、平均数（元），本选项说法正确；
D、这组数据共有（个），则处于第25，26个数据是4元，5元，
故中位数为，本选项说法错误．
故选：D
7．将根号外的因式移到根号内，得（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的化简．根据题意先判断，再利用二次根式性质进行化简即可．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴，
故选：B．
8．某校八年级学生乘车前往某实践基地参加劳动实践，而后乘车返回学校，学生与学校的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．从学校前往基地的平均速度为
B．学生劳动了3.5小时
C．从实践基地返回学校的平均速度为
D．从学校出发小时后，距离学校100千米
【答案】C
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，从学校前往基地花费1.5小时，路程为，回家时花费2小时，路程为，根据速度=路程÷时间可判断A、C；在出发1.5小时后到达实践基地，在出发6小时后离开实践基地，据此可判断B；根据选项A的速度乘以时间，据此可判断D．
【详解】A． 从学校前往基地的平均速度为，原说法错误，不符合题意；
B． 学生劳动了小时，原说法错误，不符合题意；
C． 从实践基地返回学校的平均速度为，原说法正确，符合题意；
D． 从学校出发小时后，距离学校，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
9．函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．当时，
B．
C．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则
D．若点和点在直线上，则
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、由图象可知：当时，，正确；
B、由图象可知，，原选项错误；
C、若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则，，原选项错误；
D、由图象可知，随的增大而增大，
∵，
∴，原选项错误；
故选A．
10．如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个点，且，M，N分别是边，边上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形：
②存在无数个正方形；
③当时，存在唯一的矩形；
④当时，存在唯一的矩形．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的判定，平行四边形的判定，连接，且令，相交于点O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得只要满足，那么四边形就是平行四边形，据此可判断①；只要，则四边形是正方形，据此可判断②；根据只要，则四边形是矩形，且，即可判断③④．
【详解】解：连接，且令，相交于点O，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴只要满足，那么四边形就是平行四边形，
∵点E，F是上的动点，
∴存在无数个平行四边形，故①正确；
只要，则四边形是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故②错误；
只要，则四边形是矩形，
∵，
∴当时，不存在矩形，故③错误；
当时，此时，即此时，故存在唯一的矩形，故④正确，
故选：B．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．若有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．直接根据二次根式有意义的条件“二次根式中的被开方数是非负数”解答即可．
【详解】解：由题意得，，
．
故答案为：．
12．一元二次方程的两个根分别为，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时， ，是解题的关键．
直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵一元二次方程中，，
．
故答案为：．
13．已知点，是一次函数的图象上的两点，则a b（填“>”“<”或“=”）．
【答案】<
【分析】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．根据，得出y随x的增大而减小，根据，得出．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，是一次函数的图象上的两个点，，
∴，
故答案为：．
14．关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的解一元二次方程的定义，将代入方程，结合一元二次方程的定义求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：1．
15．如图，菱形的边长为4，，点，在对角线上，且点在点左侧，，连接，，若是等腰三角形，则的长为 ．

【答案】或或
【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的特征、等腰三角形的性质，勾股定理等知识，过点C作，垂足为H，根据是等腰三角形，分三种情况讨论即可．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，

则，
菱形的边长为4，，
，
，
是等腰三角形，，
，
如图，当时，
，
点F与点H重合，
；
如图，当时，
，
点E与点H重合，
；
如图，当时，
，
，
；
综上，的长为或或，
故答案为：或或．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16．（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程；
（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：（1）原式
．
（2），
，
或，
．
17．如图，在中，．
(1)直接写出的形状是_________；
(2)若点P为线段上一点，连接，且，求的长．
【答案】(1)直角三角形
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理：
（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解；
（2）设，则，在中，根据勾股定理可得关于x的方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴是直角三角形；
故答案为：直角三角形.
（2）解：由（1）得：，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即．
18．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．直线与轴交于点，与轴交于点，四边形是平行四边形．
(1)求、两点的坐标；
(2)求直线所对应的函数表达式．
【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为
(2)
【分析】本题考查了一次函数的性质以及平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据一次函数与坐标轴的交点性质分别求出、两点的坐标
（2）先根据四边形是平行四边形，得出，，即，再运运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答．
【详解】（1）解：直线，
当时，，，
点的坐标为．
当时，，
点的坐标为．
（2）四边形是平行四边形，
，，
．
设直线所对应的函数表达式为．
将，代入上式，
得
．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，……
(1)按照以上规律，写出第4个等式：______________；
(2)按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：____________．（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了数字的变化规律，二次根式的混合运算，解题的关键是发现等式的规律：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1．
（1）根据题意得到规律：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1，依此规律可得出答案；
（2）根据（1）发现规律用字母表示即可，再分别计算等式两边判断是否相等即可．
【详解】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
由以上式子可得：第1个等式为：；
第2个等式为：；
第3个等式为：；
即得出规律为：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1．
故第4个等式为：；
故答案为：．
（2）解：由（1）的规律可得第个等式为：，
证明：等式左边，
为正整数，
等式左边，
又右边，
等式左边=等式右边，
．
20．为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，某村村民利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
(1)求y与x之间的函数关系式
(2)销售期间，网络平台要求该商品每件商品售价不得高于100元，要使该商品每天的销售利润为700元，求此时商品售价；
【答案】(1)
(2)售价为60元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解∶ 设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，
将点、代入一次函数关系式得：，
解得，
∴，
（2）解：根据题意，得，
解得，
∵售价不得高于100元，
∴，
∴售价为60元；
21．百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：
抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：
84，86，86，87，88，89；
抽取的对B款聊天机器人的评分数据：
66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100；
抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？
【答案】(1)15，，98
(2)款，理由见解析
(3)69人
【分析】本题考查了平均数、众数、中位数、统计图、样本与总体等，解题的关键是熟知以上概念并能灵活进行分析和计算．
（1）先根据A款“满意”的人数求出“满意”所占百分比，用1减去其它三个所占百分比可得a值，根据各等级所占百分比判断中位数中“满意”组中，根据中位数的定义即可求出b值，根据众数的定义即可得出c值；
（2）根据平均数相同，中位数大的更受用户喜爱解答即可；．
（3）先求出B款中“不满意”所占百分比，再用各款总人数乘以各款“不满意”所占百分比，求和即可得答案．
【详解】（1）A款机器人的评分数据中“满意”的有6人，
“满意”所占百分比为，
“非常满意”所占百分比为，“不满意”所占百分比为，
“比较满意”所占百分比为，
，
“不满意”所占百分比为，“比较满意”所占百分比为，
“不满意”“比较满意”共有（人），
“满意”的有6人，
中位数在“满意”这组数据中，
第10和第11个数据为88，89，
中位数为，故，
B款数据中，98出现4次，次数最多，
B款众数为98，故，
故答案为：15，，98；
（2）A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱．
（3）B款中“不满意”的有3人，所占百分比为，
估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人），
答：估计此次测验中，对聊天机器人不满意的人有69人．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标；
(3)若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)点的坐标为或；
(3)点的坐标为
【分析】本题综合考查一次函数的应用．
（1）把点的坐标代入直线可得的值，进而把点的坐标和点的坐标代入直线可得和的值，即可求得所求的函数解析式；
（2）设点的横坐标为，则的面积可用为底边，点的横坐标的绝对值为高表示，求得的值后进而求得点的纵坐标；
（3）易得点和点的横坐标相同，根据点在直线上，点在直线上可得点和点的纵坐标，进而根据列出方程，求解后即可判断出点的横坐标，进而可得点的纵坐标．
【详解】（1）解：点在直线上，
．
即．
将点，代入中，
得：．
解得：．
直线的函数解析式为：；
（2）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为．
点的坐标为，
．
则，
解得：或．
当时，；
当时，．
点的坐标为或；
（3）解：如图，连接交于点，
四边形是正方形，
，，．
点在直线上，
设．
点在直线上，
设点的坐标为：．
，．
，
，
点的坐标为．
23．数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，将矩形沿着过点的直线翻折，交于点，点的对应点为点．
(1)如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，的度数是 ；
如图2，若点是的中点，点落在矩形的内部时，延长交边于点．若，请探究之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知，，直线与射线交于点，当是直角三角形时，请直接写出的长．
【答案】(1)①；②，理由见解析
(2)2或18
【分析】（1）①根据矩形的性质和折叠的性质证明是等边三角形，即可得解；②连接，证明得到，求出，设，则，求出，即可得解；
（2）分两种情况：当直线与边交于点，点落在矩形内部，是直角三角形时；当直线与边交于点，点落在矩形外部，是直角三角形时；分别求解即可得出答案．
【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
②如图，连接，
，
∵点是的中点，
∴，
由折叠的性质可得：，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴；
（2）解：当直线与边交于点，点落在矩形内部，是直角三角形时，如图，
，
∵四边形是矩形，
∴，，，
设，由折叠可得：，，，
∴，，
∴，，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
当直线与边交于点，点落在矩形外部，是直角三角形时，如图，
，
由折叠可得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
售价
3元
4元
5元
6元
数目
10本
15本
14本
11本
销售单价x（元／件）
55
60
70
销售数量y（件）
75
70
60
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
b
96
B
88
87
c