北师大版九年级上册数学开学测试卷1（试卷+答案+解析）

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A卷（共100分）
第I卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．B
2．C
3．C
4．C
5．B
6．D
7．D
8．B
第II卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．．
10．
11．24．
12．9．
13．1
三、解答题 （本大题共5小题，共48分.第14题12分，第15、16题每题8分，17、18题每题10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．
【答案】(1)
(2)，当时，原式
【分析】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）先计算小括号内的减法，再将除法转化为乘法进行化简，然后结合（1）的的取值范围，选取使分式有意义的的值代入计算即可；
解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及确定不等式组解集的方法．
【详解】（1）解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为；
（2）
，
∵，，
当时，原式．
15．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形：
（1）根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答；
（2）利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，再利用（1）的结论可得，从而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线；
（2）解：∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴的长为4．
16．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）根据平移法则“上加下减、左加右减”确定对应点，，的坐标，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质确定对应点、、，然后顺次连接即可；
（3）如图：连接与y轴的交点P，根据两点之间线段最短即可解答
本题主要考查了平移作图、旋转作图、轴对称的性质等知识点，正确理解旋转的性质、平移规律是解题的关键．
【详解】（1）解：将向下平移5个单位后得到的，
∴，
故画图如下：
则即为所求．
（2）解：根据旋转的性质作图如下：
即为所求．
（3）解：如图：
则点P即为所求．
∵，
∴的最小值为．
17．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了算术平方根，规律问题，根据题意得出等式的规律是解题的关键．
（1）根据题中给出的等式的规律即可写出第4个等式；
（2）根据（1）中等式的规律即可写出第n个等式，然后根据算术平方根的意义化简计算即可．
【详解】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
故第4个等式为：．
（2）第n个等式：．
证明：左边，
右边．
左边=右边，
等式成立．
18．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）仿照题意分解因式即可；
（2）①仿照题意分解因式即可；②先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可；
（3）先利用完全平方公式把原式变形为，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：①∵，
∴；
②
，
∵，
∴
，
∴；
（3）解：
．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．．
20．．
21． ．
22．．
23．或．
二、解答题 （本大题共3小题，共30分.其中：24题题8分，25题题10分，26题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
24．
【答案】(1)18万元；15万元
(2)购买5台型设备，5台型设备可使每月处理污水量的吨数最多，最多为20000吨
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
（1）设每台型设备需要万元，则每台型设备需要万元，利用数量总价单价，结合用90万元购买型设备的台数与用75万元购买型设备的台数刚好相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值(即每台型设备的价格），再将其代入中，即可求出每台型设备的价格；
（2）设购买台型设备，则购买台型设备，利用总价单价数量，结合总价不超过165万元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购买的10台设备每月处理污水量为吨，利用每月处理污水的总量每台型设备的月处理污水量购买型设备的数量十每台型设备的月处理污水量购买型设备的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每台型设备需要万元，则每台型设备需要万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：每台型设备需要18万元，每台型设备需要15万元；
（2）解：设购买台型设备，则购买台型设备，
根据题意得：，
解得：．
设购买的10台设备每月处理污水量为吨，则，
，
，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时．
答：购买5台型设备，5台型设备可使每月处理污水量的吨数最多，最多为20000吨．
25．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)不变；4
【分析】（1）可证得，进而证得，从而；
（2）由（1）得，从而，因为，从而，从而得出；
（3）连接，作，交于，作于，可证得，从而，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图1，
设直线交于，
由（1）得，，
，
，
，
；
（3）解：如图2．四边形的面积不变，理由如下，
连接，作，交于，作于，
∴，
∴，
由（2）可知，，
，
，
在四边形中，，
，
，
，
，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
由得：
，
，
，
∴四边形的面积为：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
26．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质.
（1）平行四边形的性质可得, 再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再由条件四边形是平行四边形，即可得四边形为菱形即可解题；
（2）先判断出, 根据等腰三角形的性质得出, 进而得出, 即可得出, 得出, 由, 得出是等边三角形, , 进而得出是等边三角形；
（3）首先证明四边形为正方形，再证明 可得,, 再根据可得到是等腰直角三角形，由 等腰直角三角形的性质注即可求出的值.
【详解】（1）∵AF平分
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，

又∵四边形是平行四边形，
∴四边形为菱形，
∴；
（2）是等边三角形，理由为：
∵四边形是平行四边形,
，
∵,
∴,
∵,
∴,
由（1）知, 四边形是菱形,
，
∴,
∴为等边三角形, ,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵是的平分线,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
在和中
，
，
∴,
∴,
∵,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
∵,
∴是等边三角形；
（3）如图所示:
连接,，
∵, 四边形是平行四边形,
∴四边形是矩形,
∴,
又由（1）可知四边形为菱形,
∴,
∴四边形为正方形.
∵,
∴,
∵为中点,
∴,
∴,
在和中,


∴.
∴，
∴是等腰直角三角形.
∵,
在中,
又∵,
．