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人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积练习
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积练习，共24页。试卷主要包含了多面体的体积与表面积，旋转体的体积与表面积，组合体的体积与表面积，外接球与内切球等内容，欢迎下载使用。
典例精讲
考点一 多面体的体积与表面积
【例1-1】（2022春·江西上饶·高一校联考期末）已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的体积为（ ）
A．8B．C．D．
【例1-2】（2022·高一课时练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（ ）
A．1∶1B．1∶
C．1∶D．1∶2
【例1-3】（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一中学校考阶段练习）正三棱台上下底面的边长为1，2，斜高为1，则其体积为______．
【
【例1-4】（2022春·广东东莞·高一校联考期中）一个正四棱锥的底面边长为，高为，则该正四棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【例1-5】（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为，若侧棱长为，则该棱台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【例1-6】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为______.
【一隅三反】
1（2022·天津东丽·高一天津市第一百中学校考期末）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6cm，顶点P到底面ABC的距离是cm，则这个正三棱锥的侧面积为（ ）
A．27B．C．9D．
2．（2022·高一单元测试）已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·课时练习）如果正四棱柱的对角线长为3.5，侧面的一条对角线长为2.5，则该棱柱的体积为____.
4．（2022春·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）若正三棱台的上､下底面的面积分别是和，体积为，则其侧棱长为___________.
5．（2022·甘肃兰州）在正四棱锥中，，，则该四棱锥的体积是______．
考点二 旋转体的体积与表面积
【例2-1】（2022春·海南海口·高一海口一中校考期中）在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为____.
【例2-2】（2022春·重庆·高一统考期末）已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9，侧面积为，母线长为2，则该圆台的高为（ ）
A．2B．C．D．1
【例2-3】．（2023秋·浙江衢州）（多选）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的高是B．圆锥的母线长是4
C．圆锥的表面积是D．圆锥的体积是
【一隅三反】
1．（2022·湖南郴州）已知某圆锥的侧面积为底面积的倍，体积为 ，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C．D．
2．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·福建莆田·高一统考期末）已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为___．
考点三 组合体的体积与表面积
【例3-1】（2022·全国·高一假期作业）（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
【例3-2】（2022秋·福建南平）毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合，圆锥的高为3米，圆柱的高为2.5米，底面直径为8米，则建造该毡帐需要毛毡（ ）平方米.
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023福建宁德）在世界文化史上，陀螺的起源甚早，除了南极洲外，在其他大陆都有发现．<<世界图书百科全书>>这样写道：“没有人准确知道人们最初玩陀螺的时间．但古希腊儿童玩过陀螺，而在中国和日本，陀螺成为公众娱乐已有几百年的时间．”已知一陀螺圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，底面圆的直径，这个陀螺的表面积（ ）
A． B．C．D．
2．（2022四川眉山）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（ ）
A．m2B．3.6m2C．7.2m2D．11.34m2
3．（2023浙江）早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（ ）
A．B．C．D．
考点四 外接球与内切球
【例4-1】（2022春·广西贵港·高一校考期中）已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】（2022春·安徽池州·高一统考期中）已知正三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球O的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）已知正方体的所有顶点都在同一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球体的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·陕西咸阳·高一统考期末）在直三棱柱中，，，则该直三棱柱的外接球的体积是______.
3．（2022新疆）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，，，求球的表面积___________.
4．（2022·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）四面体的每个顶点都在球的球面上，两两垂直，且，，，则球的表面积为________.
5．（2022春·北京昌平·高一校考期中）已知棱长为2的正四面体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为___________.
6．（2022春·辽宁抚顺·高一校联考期末）已知的顶点都在半径为的球的球面上，球心到平面的距离为，则球的表面积为___________.
8.3 简单几何体的表面积与体积（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 多面体的体积与表面积
【例1-1】（2022春·江西上饶·高一校联考期末）已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的体积为（ ）
A．8B．C．D．
【答案】C
【解析】由于直观图是正方形，所以ABCD是水平边长为2，
且水平边上的高为的平行四边形，则ABCD面积是，
所以直四棱柱的体积是.故选：C.
【例1-2】（2022·高一课时练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（ ）
A．1∶1B．1∶
C．1∶D．1∶2
【答案】C
【解析】设正方体的边长为，则表面积，
因为三棱锥的各面均是正三角形，其边长为正方体侧面对角线．
则面对角线长为，三棱锥D1AB1C的表面积，
所以.故选：C
【例1-3】（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一中学校考阶段练习）正三棱台上下底面的边长为1，2，斜高为1，则其体积为______．
【答案】
【解析】如图，设上下底面中心分别为，分别为的中点，则即为斜高，
过点作于点，则，
，所以，所以，
上底面面积，下底面面积，
所以棱台的体积.故答案为：.
【例1-4】（2022春·广东东莞·高一校联考期中）一个正四棱锥的底面边长为，高为，则该正四棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如下图所示，在正四棱锥中，底面的边长为，
设点在底面的射影点为点，则四棱锥的高，
则为的中点，且，，
取的中点，连接，则，且，
，故正四棱锥的表面积为.
故选：B.
【例1-5】（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为，若侧棱长为，则该棱台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设上底面边长为，则下底面边长为，高为，
上底面正方形对角线长为，下底面正方形对角线长为，
又侧棱长为，所以，解得，
所以侧面等腰梯形的高为，
所以该棱台的侧面积为.
故选：A.
【例1-6】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为______.
【答案】10
【解析】由题意可得，
因为是的中点，
所以，，
，，
所以，
故答案为：10.
【一隅三反】
1（2022·天津东丽·高一天津市第一百中学校考期末）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6cm，顶点P到底面ABC的距离是cm，则这个正三棱锥的侧面积为（ ）
A．27B．C．9D．
【答案】A
【解析】由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：，
所以正三棱锥的斜高为：，所以这个正三棱锥的侧面积为：．故选：．
2．（2022·高一单元测试）已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
结合题目边长关系，三棱锥如图所示，，由题意是等腰直角三角形,则,，则表面积为.
故选：C.
3．（2022·课时练习）如果正四棱柱的对角线长为3.5，侧面的一条对角线长为2.5，则该棱柱的体积为____.
【答案】
【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则且，
所以，，所以，所以该棱柱的体积为.故答案为：.
4．（2022春·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）若正三棱台的上､下底面的面积分别是和，体积为，则其侧棱长为___________.
【答案】
【解析】因为棱台体积公式V （SS′）h，所以，所以高，
又因为正三棱台上､下底面的面积分别是和，所以上下底面边长分别是2和4，如图所示，O′､O分别是上､下底面的中心，连接OO′､O′B′､OB，
在平面BOO′B′内作B′E⊥OB于E，
∵是边长为2的等边三角形，O′是中心，
∴O′B′，OB，∴
在中，，BE，∴B′B，
∴该三棱台的侧棱长为.
故答案为：
5．（2022·甘肃兰州）在正四棱锥中，，，则该四棱锥的体积是______．
【答案】
【解析】过点作平面，则为正方形的中心，连接，易知．
因为，所以，又，所以，
则四棱锥的体积.故答案为：.
考点二 旋转体的体积与表面积
【例2-1】（2022春·海南海口·高一海口一中校考期中）在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为____.
【答案】
【解析】挖去圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，
圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为，故几何体的表面积为.
故答案为：.
【例2-2】（2022春·重庆·高一统考期末）已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9，侧面积为，母线长为2，则该圆台的高为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【解析】设圆台的上底面半径为，母线长为，高为，
因为圆台的上底面面积是下底面面积的倍，所以下底面的半径为，
又母线长，圆台的侧面积为，则，解得，
则圆台的高．故选：B．
【例2-3】．（2023秋·浙江衢州）（多选）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的高是B．圆锥的母线长是4
C．圆锥的表面积是D．圆锥的体积是
【答案】BD
【解析】设圆锥母线为，高为，
侧面展开图的弧长与底面圆周长相等，由弧长公式得，即；
所以圆锥的母线长是4，即B正确；
高为，所以选项A错误；
圆锥的表面积是，故C错误；
圆锥的体积是，即D正确.
故选：BD
【一隅三反】
1．（2022·湖南郴州）已知某圆锥的侧面积为底面积的倍，体积为 ，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【解析】设该圆锥的底面半径为，母线长为 ，圆锥的侧面积为：，
圆锥的底面积为：，圆锥的体积为： ，
由题意得，解得： ，．所以母线长为：．故选：C．
2．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，设圆台的母线为，则圆锥的底面半径为，圆锥的母线为，圆锥的侧面积记为，
截去的小圆锥的侧面积即为，故圆台的侧面积为,故选：C
3．（2022春·福建莆田·高一统考期末）已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为___．
【答案】
【解析】如图所示，依题意，
设下底面圆半径为，上底面圆半径为，圆台的高为，
过点作交于点，
在中，，，，，
则圆台轴截面的面积，
则圆台的侧面积.故答案为：.
考点三 组合体的体积与表面积
【例3-1】（2022·全国·高一假期作业）（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
【答案】AC
【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得．圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；
圆台的体积，则选项错误；
圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为，则选项D错误．故选：AC．
【例3-2】（2022秋·福建南平）毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合，圆锥的高为3米，圆柱的高为2.5米，底面直径为8米，则建造该毡帐需要毛毡（ ）平方米.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆柱的侧面积为平方米；圆锥的母线长为，侧面积为平方米.所以建造该毡帐需要毛毡平方米.故选：B
【一隅三反】
1．（2023福建宁德）在世界文化史上，陀螺的起源甚早，除了南极洲外，在其他大陆都有发现．<<世界图书百科全书>>这样写道：“没有人准确知道人们最初玩陀螺的时间．但古希腊儿童玩过陀螺，而在中国和日本，陀螺成为公众娱乐已有几百年的时间．”已知一陀螺圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，底面圆的直径，这个陀螺的表面积（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得圆锥体的母线长为，所以圆锥体的侧面积为，
圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，所以此陀螺的表面积为，故选:C．
2．（2022四川眉山）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（ ）
A．m2B．3.6m2C．7.2m2D．11.34m2
【答案】A
【解析】由圆台的轴截面图，母线，所以该圆台侧面积.故选：A.
3．（2023浙江）早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得一个石磨底面积为：底=，侧=
所以一个石磨的表面积为：，所以两个石磨的表面积为：.
故选：D
考点四 外接球与内切球
【例4-1】（2022春·广西贵港·高一校考期中）已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】】由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为7，所以该圆柱的侧面积为．
故选：B．
【例4-2】（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
因为，，所以为等腰直角三角形，
将直三棱柱补全为如图长方体，
则长方体的外接球即直三棱柱的外接球，
因为，，所以外接球直径，
所以外接球半径，表面积.
故选：C.
【例4-3】（2022春·安徽池州·高一统考期中）已知正三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球O的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示：
设为正三角形的中心，连接，
则平面，球心在上，
设球的半径为，连接，
∵正三角形的边长为4，∴，
又∵，
∴在中，，
在中，，，，
∴，解得，∴球的表面积为．故选：D．
【一隅三反】
1（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）已知正方体的所有顶点都在同一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设正方体的棱长为，其外接球的半径为，因为正方体的表面积为18，
所以，所以，，所以，得，
所以正方体外接球的体积为，故选：A.
2．（2022秋·陕西咸阳·高一统考期末）在直三棱柱中，，，则该直三棱柱的外接球的体积是______.
【答案】
【解析】由于，所以，且直角三角形的外心在的中点处，
设外接球的半径为，则，所以外接球的体积为.故答案为：
3．（2022新疆）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，，，求球的表面积___________.
【答案】
【解析】根据余弦定理得，故，
根据正弦定理得，故，其中为三角形外接圆半径，
设为三棱锥外接球的半径，则，故，
则球的表面积.
故答案为：.
4．（2022·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）四面体的每个顶点都在球的球面上，两两垂直，且，，，则球的表面积为________.
【答案】.
【解析】根据题意将四面体补成如图所示的长方体，则长方体的体对角线的长等于四面体外接球的直径的长，
设外接球的半径为，
因为，，，
所以，
所以，
所以球的表面积为，
故答案为：
5．（2022春·北京昌平·高一校考期中）已知棱长为2的正四面体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为___________.
【答案】
【解析】如图，是正四面体的高，为其外接球的球心，设外接球的半径为，
因为正四面体的棱长为2，
所以
所以，
所以，
所以由，得，
解得，
所以外接球的体积为，
故答案为：
6．（2022春·辽宁抚顺·高一校联考期末）已知的顶点都在半径为的球的球面上，球心到平面的距离为，则球的表面积为___________.
【答案】
【解析】在底面中，由余弦定理得：
又，则，由正弦定理得：，
所在外接圆的半径，如图，即
球心到平面的距离为，
且，
可得，
则球的表面积是．
故答案为：.
典例精讲
考点一 多面体的体积与表面积
【例1-1】（2022春·江西上饶·高一校联考期末）已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的体积为（ ）
A．8B．C．D．
【例1-2】（2022·高一课时练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（ ）
A．1∶1B．1∶
C．1∶D．1∶2
【例1-3】（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一中学校考阶段练习）正三棱台上下底面的边长为1，2，斜高为1，则其体积为______．
【
【例1-4】（2022春·广东东莞·高一校联考期中）一个正四棱锥的底面边长为，高为，则该正四棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【例1-5】（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为，若侧棱长为，则该棱台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【例1-6】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为______.
【一隅三反】
1（2022·天津东丽·高一天津市第一百中学校考期末）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6cm，顶点P到底面ABC的距离是cm，则这个正三棱锥的侧面积为（ ）
A．27B．C．9D．
2．（2022·高一单元测试）已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·课时练习）如果正四棱柱的对角线长为3.5，侧面的一条对角线长为2.5，则该棱柱的体积为____.
4．（2022春·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）若正三棱台的上､下底面的面积分别是和，体积为，则其侧棱长为___________.
5．（2022·甘肃兰州）在正四棱锥中，，，则该四棱锥的体积是______．
考点二 旋转体的体积与表面积
【例2-1】（2022春·海南海口·高一海口一中校考期中）在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为____.
【例2-2】（2022春·重庆·高一统考期末）已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9，侧面积为，母线长为2，则该圆台的高为（ ）
A．2B．C．D．1
【例2-3】．（2023秋·浙江衢州）（多选）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的高是B．圆锥的母线长是4
C．圆锥的表面积是D．圆锥的体积是
【一隅三反】
1．（2022·湖南郴州）已知某圆锥的侧面积为底面积的倍，体积为 ，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C．D．
2．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·福建莆田·高一统考期末）已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为___．
考点三 组合体的体积与表面积
【例3-1】（2022·全国·高一假期作业）（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
【例3-2】（2022秋·福建南平）毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合，圆锥的高为3米，圆柱的高为2.5米，底面直径为8米，则建造该毡帐需要毛毡（ ）平方米.
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023福建宁德）在世界文化史上，陀螺的起源甚早，除了南极洲外，在其他大陆都有发现．<<世界图书百科全书>>这样写道：“没有人准确知道人们最初玩陀螺的时间．但古希腊儿童玩过陀螺，而在中国和日本，陀螺成为公众娱乐已有几百年的时间．”已知一陀螺圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，底面圆的直径，这个陀螺的表面积（ ）
A． B．C．D．
2．（2022四川眉山）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（ ）
A．m2B．3.6m2C．7.2m2D．11.34m2
3．（2023浙江）早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（ ）
A．B．C．D．
考点四 外接球与内切球
【例4-1】（2022春·广西贵港·高一校考期中）已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】（2022春·安徽池州·高一统考期中）已知正三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球O的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）已知正方体的所有顶点都在同一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球体的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·陕西咸阳·高一统考期末）在直三棱柱中，，，则该直三棱柱的外接球的体积是______.
3．（2022新疆）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，，，求球的表面积___________.
4．（2022·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）四面体的每个顶点都在球的球面上，两两垂直，且，，，则球的表面积为________.
5．（2022春·北京昌平·高一校考期中）已知棱长为2的正四面体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为___________.
6．（2022春·辽宁抚顺·高一校联考期末）已知的顶点都在半径为的球的球面上，球心到平面的距离为，则球的表面积为___________.
8.3 简单几何体的表面积与体积（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 多面体的体积与表面积
【例1-1】（2022春·江西上饶·高一校联考期末）已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的体积为（ ）
A．8B．C．D．
【答案】C
【解析】由于直观图是正方形，所以ABCD是水平边长为2，
且水平边上的高为的平行四边形，则ABCD面积是，
所以直四棱柱的体积是.故选：C.
【例1-2】（2022·高一课时练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（ ）
A．1∶1B．1∶
C．1∶D．1∶2
【答案】C
【解析】设正方体的边长为，则表面积，
因为三棱锥的各面均是正三角形，其边长为正方体侧面对角线．
则面对角线长为，三棱锥D1AB1C的表面积，
所以.故选：C
【例1-3】（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一中学校考阶段练习）正三棱台上下底面的边长为1，2，斜高为1，则其体积为______．
【答案】
【解析】如图，设上下底面中心分别为，分别为的中点，则即为斜高，
过点作于点，则，
，所以，所以，
上底面面积，下底面面积，
所以棱台的体积.故答案为：.
【例1-4】（2022春·广东东莞·高一校联考期中）一个正四棱锥的底面边长为，高为，则该正四棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如下图所示，在正四棱锥中，底面的边长为，
设点在底面的射影点为点，则四棱锥的高，
则为的中点，且，，
取的中点，连接，则，且，
，故正四棱锥的表面积为.
故选：B.
【例1-5】（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为，若侧棱长为，则该棱台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设上底面边长为，则下底面边长为，高为，
上底面正方形对角线长为，下底面正方形对角线长为，
又侧棱长为，所以，解得，
所以侧面等腰梯形的高为，
所以该棱台的侧面积为.
故选：A.
【例1-6】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为______.
【答案】10
【解析】由题意可得，
因为是的中点，
所以，，
，，
所以，
故答案为：10.
【一隅三反】
1（2022·天津东丽·高一天津市第一百中学校考期末）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6cm，顶点P到底面ABC的距离是cm，则这个正三棱锥的侧面积为（ ）
A．27B．C．9D．
【答案】A
【解析】由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：，
所以正三棱锥的斜高为：，所以这个正三棱锥的侧面积为：．故选：．
2．（2022·高一单元测试）已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
结合题目边长关系，三棱锥如图所示，，由题意是等腰直角三角形,则,，则表面积为.
故选：C.
3．（2022·课时练习）如果正四棱柱的对角线长为3.5，侧面的一条对角线长为2.5，则该棱柱的体积为____.
【答案】
【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则且，
所以，，所以，所以该棱柱的体积为.故答案为：.
4．（2022春·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）若正三棱台的上､下底面的面积分别是和，体积为，则其侧棱长为___________.
【答案】
【解析】因为棱台体积公式V （SS′）h，所以，所以高，
又因为正三棱台上､下底面的面积分别是和，所以上下底面边长分别是2和4，如图所示，O′､O分别是上､下底面的中心，连接OO′､O′B′､OB，
在平面BOO′B′内作B′E⊥OB于E，
∵是边长为2的等边三角形，O′是中心，
∴O′B′，OB，∴
在中，，BE，∴B′B，
∴该三棱台的侧棱长为.
故答案为：
5．（2022·甘肃兰州）在正四棱锥中，，，则该四棱锥的体积是______．
【答案】
【解析】过点作平面，则为正方形的中心，连接，易知．
因为，所以，又，所以，
则四棱锥的体积.故答案为：.
考点二 旋转体的体积与表面积
【例2-1】（2022春·海南海口·高一海口一中校考期中）在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为____.
【答案】
【解析】挖去圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，
圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为，故几何体的表面积为.
故答案为：.
【例2-2】（2022春·重庆·高一统考期末）已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9，侧面积为，母线长为2，则该圆台的高为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【解析】设圆台的上底面半径为，母线长为，高为，
因为圆台的上底面面积是下底面面积的倍，所以下底面的半径为，
又母线长，圆台的侧面积为，则，解得，
则圆台的高．故选：B．
【例2-3】．（2023秋·浙江衢州）（多选）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的高是B．圆锥的母线长是4
C．圆锥的表面积是D．圆锥的体积是
【答案】BD
【解析】设圆锥母线为，高为，
侧面展开图的弧长与底面圆周长相等，由弧长公式得，即；
所以圆锥的母线长是4，即B正确；
高为，所以选项A错误；
圆锥的表面积是，故C错误；
圆锥的体积是，即D正确.
故选：BD
【一隅三反】
1．（2022·湖南郴州）已知某圆锥的侧面积为底面积的倍，体积为 ，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【解析】设该圆锥的底面半径为，母线长为 ，圆锥的侧面积为：，
圆锥的底面积为：，圆锥的体积为： ，
由题意得，解得： ，．所以母线长为：．故选：C．
2．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，设圆台的母线为，则圆锥的底面半径为，圆锥的母线为，圆锥的侧面积记为，
截去的小圆锥的侧面积即为，故圆台的侧面积为,故选：C
3．（2022春·福建莆田·高一统考期末）已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为___．
【答案】
【解析】如图所示，依题意，
设下底面圆半径为，上底面圆半径为，圆台的高为，
过点作交于点，
在中，，，，，
则圆台轴截面的面积，
则圆台的侧面积.故答案为：.
考点三 组合体的体积与表面积
【例3-1】（2022·全国·高一假期作业）（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
【答案】AC
【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得．圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；
圆台的体积，则选项错误；
圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为，则选项D错误．故选：AC．
【例3-2】（2022秋·福建南平）毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合，圆锥的高为3米，圆柱的高为2.5米，底面直径为8米，则建造该毡帐需要毛毡（ ）平方米.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆柱的侧面积为平方米；圆锥的母线长为，侧面积为平方米.所以建造该毡帐需要毛毡平方米.故选：B
【一隅三反】
1．（2023福建宁德）在世界文化史上，陀螺的起源甚早，除了南极洲外，在其他大陆都有发现．<<世界图书百科全书>>这样写道：“没有人准确知道人们最初玩陀螺的时间．但古希腊儿童玩过陀螺，而在中国和日本，陀螺成为公众娱乐已有几百年的时间．”已知一陀螺圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，底面圆的直径，这个陀螺的表面积（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得圆锥体的母线长为，所以圆锥体的侧面积为，
圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，所以此陀螺的表面积为，故选:C．
2．（2022四川眉山）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（ ）
A．m2B．3.6m2C．7.2m2D．11.34m2
【答案】A
【解析】由圆台的轴截面图，母线，所以该圆台侧面积.故选：A.
3．（2023浙江）早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得一个石磨底面积为：底=，侧=
所以一个石磨的表面积为：，所以两个石磨的表面积为：.
故选：D
考点四 外接球与内切球
【例4-1】（2022春·广西贵港·高一校考期中）已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】】由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为7，所以该圆柱的侧面积为．
故选：B．
【例4-2】（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
因为，，所以为等腰直角三角形，
将直三棱柱补全为如图长方体，
则长方体的外接球即直三棱柱的外接球，
因为，，所以外接球直径，
所以外接球半径，表面积.
故选：C.
【例4-3】（2022春·安徽池州·高一统考期中）已知正三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球O的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示：
设为正三角形的中心，连接，
则平面，球心在上，
设球的半径为，连接，
∵正三角形的边长为4，∴，
又∵，
∴在中，，
在中，，，，
∴，解得，∴球的表面积为．故选：D．
【一隅三反】
1（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）已知正方体的所有顶点都在同一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设正方体的棱长为，其外接球的半径为，因为正方体的表面积为18，
所以，所以，，所以，得，
所以正方体外接球的体积为，故选：A.
2．（2022秋·陕西咸阳·高一统考期末）在直三棱柱中，，，则该直三棱柱的外接球的体积是______.
【答案】
【解析】由于，所以，且直角三角形的外心在的中点处，
设外接球的半径为，则，所以外接球的体积为.故答案为：
3．（2022新疆）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，，，求球的表面积___________.
【答案】
【解析】根据余弦定理得，故，
根据正弦定理得，故，其中为三角形外接圆半径，
设为三棱锥外接球的半径，则，故，
则球的表面积.
故答案为：.
4．（2022·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）四面体的每个顶点都在球的球面上，两两垂直，且，，，则球的表面积为________.
【答案】.
【解析】根据题意将四面体补成如图所示的长方体，则长方体的体对角线的长等于四面体外接球的直径的长，
设外接球的半径为，
因为，，，
所以，
所以，
所以球的表面积为，
故答案为：
5．（2022春·北京昌平·高一校考期中）已知棱长为2的正四面体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为___________.
【答案】
【解析】如图，是正四面体的高，为其外接球的球心，设外接球的半径为，
因为正四面体的棱长为2，
所以
所以，
所以，
所以由，得，
解得，
所以外接球的体积为，
故答案为：
6．（2022春·辽宁抚顺·高一校联考期末）已知的顶点都在半径为的球的球面上，球心到平面的距离为，则球的表面积为___________.
【答案】
【解析】在底面中，由余弦定理得：
又，则，由正弦定理得：，
所在外接圆的半径，如图，即
球心到平面的距离为，
且，
可得，
则球的表面积是．
故答案为：.
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