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高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第07讲利用导数研究双变量问题(高频精讲)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第07讲利用导数研究双变量问题(高频精讲)(原卷版+解析)，共50页。试卷主要包含了导数中求解双变量问题的一般步骤，破解双参数不等式的方法等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc30300" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc30300 \h 2
\l "_Tc14596" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc14596 \h 2
\l "_Tc10503" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc10503 \h 5
\l "_Tc13817" 高频考点一：分离双参，构造函数 PAGEREF _Tc13817 \h 5
\l "_Tc10596" 高频考点二：糅合双参（比值糅合） PAGEREF _Tc10596 \h 11
\l "_Tc11472" 高频考点三：糅合双参（差值糅合） PAGEREF _Tc11472 \h 18
\l "_Tc17457" 高频考点四：变更主元法 PAGEREF _Tc17457 \h 20
\l "_Tc10515" 高频考点五：利用根与系数的关系转单变量 PAGEREF _Tc10515 \h 23
\l "_Tc2443" 高频考点六：利用对数平均不等式解决双变量问题 PAGEREF _Tc2443 \h 29
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第一部分：知识点必背
1、导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；
（3）构造关于或的新函数，同时根据已知条件确定出或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
2、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
第二部分：高考真题回归
1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离双参，构造函数
典型例题
例题1．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数
（1）若，求函数的单调区间；
（2）设，若对任意，恒有，求的取值范围.
例题2．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数，．
(1)求证：存在唯一零点；
(2)设，若存在，使得，求证：．
例题3．（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考期末）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，，．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中e为自然对数的底数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，有，求证：对，有；
(3)若，且，求实数a的取值范围．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
高频考点二：糅合双参（比值糅合）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处的切线与直线垂直，函数.
(1)求实数的值；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
(3)设是函数的两个极值点，证明：.
例题2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且（为自然对数底数，且），求的取值范围．
例题3．（2023·江苏淮安·高三江苏省郑梁梅高级中学校考）已知函数，．
（1）求函数的最小值；
（2）若是的切线，求实数的值；
（3）若与的图象有两个不同交点，，求证：．
练透核心考点
1．（2023·辽宁·校联考一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设函数，P，Q是曲线上的不同两点，直线的斜率为，曲线在点处P，Q切线的斜率分别为，，证明：.
2．（2023·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考）已知函数f(x)＝lnx－mx＋1在点(1，f（1）)处与x轴相切，其中m∈R．
(1)求实数m的值；
(2)对于任意的0＜a＜b，证明：－＋1＜0．
高频考点三：糅合双参（差值糅合）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．其中为自然对数的底数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个不同零点，求证：.
高频考点四：变更主元法
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）已知函数.
(1)证明：对任意，总存在，使得对恒成立.
(2)若不等式对恒成立，求的取值范围.
例题2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数，函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·江苏·高一专题练习）已知定义域为R的函数满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，都有恒成立，求实数x的取值范围；
2．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知函数，函数．
(1)求函数的值域；
(2)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．
高频考点五：利用根与系数的关系转单变量
典型例题
例题1．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个极值点，证明：
例题2．（2023·山东泰安·高三统考期末）已知函数，.
(1)当时，求函数的曲线上点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)若有两个极值点其中，求的最小值.
练透核心考点
1．（2023·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习）已知函数（）.
（1）若是定义域上的增函数，求a的取值范围；
（2）若，若函数有两个极值点，（），求的取值范围.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设存在两个极值点，且，若，求证：.
3．（2023·浙江金华·高二浙江省浦江中学校联考阶段练习）设，是函数的两个极值点，其中，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若，求的最大值（注：e是自然对数的底数）
高频考点六：利用对数平均不等式解决双变量问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数．
(1)求函数的极值；
(2)若方程有两个不相等的实数根，．
①证明：；
②证明：．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设,当时，满足，求证：．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知指数函数经过点.求：
(1)若函数的图象与的图象关于直线对称，且与直线相切，求的值；
(2)对于实数，，且，①；②.
在两个结论中任选一个，并证明.（注：如果选择多个结论分别证明，按第一个计分）
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若的两个零点分别为，证明：.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数分别是函数的两个零点，求证：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数）有两个不同的零点，（为自然对数的底数）请证明：.
第07讲 利用导数研究双变量问题(精讲）
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc30300" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc30300 \h 2
\l "_Tc14596" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc14596 \h 2
\l "_Tc10503" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc10503 \h 5
\l "_Tc13817" 高频考点一：分离双参，构造函数 PAGEREF _Tc13817 \h 5
\l "_Tc10596" 高频考点二：糅合双参（比值糅合） PAGEREF _Tc10596 \h 11
\l "_Tc11472" 高频考点三：糅合双参（差值糅合） PAGEREF _Tc11472 \h 18
\l "_Tc17457" 高频考点四：变更主元法 PAGEREF _Tc17457 \h 20
\l "_Tc10515" 高频考点五：利用根与系数的关系转单变量 PAGEREF _Tc10515 \h 23
\l "_Tc2443" 高频考点六：利用对数平均不等式解决双变量问题 PAGEREF _Tc2443 \h 29
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Hme可回到开头
第一部分：知识点必背
1、导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；
（3）构造关于或的新函数，同时根据已知条件确定出或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
2、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
第二部分：高考真题回归
1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.
【详解】（1），
当，；当，，
故的减区间为，的增区间为.
（2）（ⅰ）因为过有三条不同的切线，设切点为，
故，
故方程有3个不同的根，
该方程可整理为，
设，
则
，
当或时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
因为有3个不同的零点，故且，
故且，
整理得到：且，
此时，
设，则，
故为上的减函数，故，
故.
（ⅱ）当时，同（ⅰ）中讨论可得：
故在上为减函数，在上为增函数，
不妨设，则，
因为有3个不同的零点，故且，
故且，
整理得到：，
因为，故，
又，
设，，则方程即为：
即为，
记
则为有三个不同的根，
设，，
要证：，即证，
即证：，
即证：，
即证：，
而且，
故，
故，
故即证：，
即证：
即证：，
记，则，
设，则，所以，
，
故在上为增函数，故，
所以，
记，
则，
所以在为增函数，故，
故即，
故原不等式得证：
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离双参，构造函数
典型例题
例题1．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数
（1）若，求函数的单调区间；
（2）设，若对任意，恒有，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.
【详解】解：（1）当时，由已知得，
所以，令得，
即时，；时，；
故单调递增区间为，单调递减区间为；
（2），
由得，所以在单调递减，
设从而对任意，
恒有，
即，
令，则等价于在单调递减，
即恒成立，从而恒成立，
故设，
则
，
当时，为减函数，
时，，为增函数.
∴,
∴a的取值范围为.
例题2．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数，．
(1)求证：存在唯一零点；
(2)设，若存在，使得，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：由题意，得．
记，则．
因为时，恒成立，所以在上单调递增．
因为，所以在上恒小于0，在上恒大于0，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以有唯一零点x=1．
（2）由，得．
记，故，
因为在上单调递增，所以，
则，
设
则，令，
则．
因为在上恒成立，
所以在上单调递增，注意到，
所以的解集为，的解集为，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
又因为，所以．
例题3．（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考期末）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1），
若，则恒成立，当且仅当时等号成立，
故的增区间为，无减区间.
若，则当或时，；当时，，
故的增区间为，减区间为，
若，同理可得的增区间为，减区间为.
（2）若，则，
由（1）可得的增区间为，
故即为，
故，
设，故为上的减函数，
而，
所以在上恒成立，
故在上恒成立，
设，故，
当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故，故即
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，，切点为
求导，切线斜率
曲线在处的切线方程为．
（2），的定义域为，求导，
在上单调递减．
不妨假设，∴等价于 ．
即．
令，则．
，，．
从而在单调减少，故，即，
故对任意 ．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中e为自然对数的底数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，有，求证：对，有；
(3)若，且，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）因为，所以点即为点
，，
故切线方程为，即；
（2）因为当时，，，
故在上单调递增，所以，
当时，，此时；
当时，在上单调递减，此时，
故，所以成立；
（3）由题意得：，又因为，所以，
又，即，
即，
所以①
设，则①式变形为
，所以单调递增，所以，
因为，所以，
令，，
则，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
有，
故．即实数的取值范围为.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）解：依题意，令，，
则，
令，解得或.
当时，即时，恒成立且不恒为零，
所以，函数的增区间为；
当时，即时，由可得或，由可得，
所以，函数的增区间为、，减区间为；
当时，即时，由可得或，由可得.
所以，函数的增区间为、，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（2）解：当时，恒成立，
所以在上单调递增，且.
因为，所以，
则不等式可化为，
即.
令，则问题等价于函数在上单调递增，
即在上恒成立，
即，.
令，，
则.
令，解得，
所以当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
所以当时，函数取得最小值，且，
所以当时，，所以.
高频考点二：糅合双参（比值糅合）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处的切线与直线垂直，函数.
(1)求实数的值；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
(3)设是函数的两个极值点，证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见详解
【详解】（1）函数的定义域为，
，
由已知得在处的切线的斜率为，
则，即，解得；
（2）由（1）得，则，
∵函数存在单调递减区间，∴在上有解，
∵，设，则，
∴只需或，解得或，
故实数的取值范围为；
（3）证明：由题意可知，，
∵有两个极值点，，
∴，是的两个根，则，
∴
，
∴要证，即证，
即证，即证，即证，
令，则证明，
令，则，
∴在上单调递增，
则，即，
所以原不等式成立．
例题2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且（为自然对数底数，且），求的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间.
(2)
【详解】（1）解：当时定义域为，
又，
所以在上单调递增，
即的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）解：由题知，，函数的定义域为，，
当时，对任意的，恒成立，故在上单调递增，没有极值点；
当时，，且不恒为零，故在上单调递增，没有极值点；
当时，令，解得，，则，
当时，；当时，；当时，，
此时函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
综上，当时，有两极值点、，且，，
所以
，
设，，其中，
所以，
又因为，可知，所以在上单调递减．
∴，即，所以的取值范围为.
例题3．（2023·江苏淮安·高三江苏省郑梁梅高级中学校考）已知函数，．
（1）求函数的最小值；
（2）若是的切线，求实数的值；
（3）若与的图象有两个不同交点，，求证：．
【答案】（1）；（2）1；（3）证明见解析.
【详解】解：（1）∵，∴
当时，，∴在上单调递减；
当时，，∴在上单调递增．
故函数的最小值为
（2）若是的切线，设切点为
则过点的切线方程为
即，即
由题意知
令，则时，
∴在上单调递增，又
∴有唯一的实根，则．
（3）由题意知
两式相加得
两式相减得，即
∴，即
不妨令，记，则
令，则
∴在上单调递增，则
∴，因而
令，则时，，∴在上单调递增
∵，∴．
练透核心考点
1．（2023·辽宁·校联考一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设函数，P，Q是曲线上的不同两点，直线的斜率为，曲线在点处P，Q切线的斜率分别为，，证明：.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为，定义域为，
所以，当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：设，，，
因为，所以，
则，，，
于是，即，
由，所以上述不等式等价于，
故
，
因为，所以，
设，，则
，
由（1）可知，当时，单调递增，所以，
所以，故，
即成立，得证.
2．（2023·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考）已知函数f(x)＝lnx－mx＋1在点(1，f（1）)处与x轴相切，其中m∈R．
(1)求实数m的值；
(2)对于任意的0＜a＜b，证明：－＋1＜0．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(1)
对函数f(x)＝lnx－mx＋1，x＞0，有f'(x)＝－m；
因为f(x)在点(1，f（1）)处与x轴相切，
所以f'（1）＝1－m＝0，
得m＝1；
(2)
由（1）得，f(x)＝lnx－x＋1，x＞0；
对于任意的0＜a＜b时，要证－＋1＜0，
即证－＋1＜0，
即证－＋1＜0，
即证＜，
即证ln＜，
即证ln－＋1＜0；
设＝t，t＞1，则即证lnt－t＋1＜0；
设g(t)＝lnt－t＋1，t＞1，
则g'(t)＝－1，在t∈(1，＋∞)时，g'(t)＜0，
所以g(t)在(1，＋∞)上单调递减，
所以g(t)＜g（1）＝0，
即lnt－t＋1＜0
故得证．
高频考点三：糅合双参（差值糅合）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．其中为自然对数的底数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：．
【答案】（1）当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．
【详解】解：（1），
，
（i）当时，，函数在上递减；
（ii）当时，令，解得；令，解得，
函数在递减，在递增；
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在单调递增；
（2）证明：，依题意，不妨设，则，
两式相减得，，
因为，要证，即证，即证，
两边同除以，即证.
令，即证，
令，则，
令，则，
当时，，所以在上递减，
，在上递减，
，即，
故．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个不同零点，求证：.
【答案】(1)详见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题可得函数的导数，然后分，讨论即得；
（2）由题可得，可得只需证，然后通过换元可得，再构造函数，利用导数研究函数的性质即得.
【详解】（1）由题可得，
当时，，当时，；
所以当时，在上是增函数，在上是减函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数；
（2）因为有两个不同零点，，则，，
因此，即，
要证，只要证明，即证，
不妨设，记，则，，
因此只要证明，即，
记，则，
令，则，
所以函数在上递增，
则，即，
∴在上单调递增，
∴，
即成立，
∴.
高频考点四：变更主元法
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）已知函数.
(1)证明：对任意，总存在，使得对恒成立.
(2)若不等式对恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）的定义域为，
在上为增函数，又在上为增函数，
所以在为增函数，
因为，，所以在内存在唯一的零点，
所以当时，．
故对任意，总存在，使得对恒成立．
（2）由，得．
设函数，为关于t的二次函数．
因为对恒成立，
由图可知，即
设函数，
在上为增函数，
又在上为增函数，则在上为增函数，
因为，所以不等式的解集为，
而当时，显然成立，
所以x的取值范围为．
例题2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数，函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）
，
∴显然当即时, ，
∴的最小值为.
（2）因为存在实数，使不等式成立，
所以， 又，
所以，
又，显然当时，，
所以有，即，可得，
所以或，解得 或.
故实数x的取值范围为或.
练透核心考点
1．（2023·江苏·高一专题练习）已知定义域为R的函数满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，都有恒成立，求实数x的取值范围；
【答案】(1)；
(2)；
【详解】（1），
令，则，
故，
所以；
（2）可看作关于的一次函数，
要想对任意的，都有恒成立，
只需要，
解①得：，
解②得：，
则与求交集得，
实数x的取值范围是；
2．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知函数，函数．
(1)求函数的值域；
(2)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得
即的值域为．
（2）由不等式对任意实数恒成立，
故．
又
设，则，
所以，
当时，．
故，即，
整理得，即，
解得．
所以实数的取值范围为．
高频考点五：利用根与系数的关系转单变量
典型例题
例题1．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个极值点，证明：
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1），令，
注意到，对称轴，故，
（i）当时，即，此时在上单调递增，即，
从而，即在上单调递增；
（ii）当时，，
若，即时 ，恒成立，
从而，即在上单调递增；
若，即时，
存在有，
其中，，
从而在上单调递增，上单调递减，上单调递增；
综上可知，当时，函数在上单调递增，当时，函数在和单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由（1）可知，要使有两个极值点，则，
此时满足，，
不妨设，此时有，
从而原不等式转化为：
将及代入有：
，
化简即得：，即证，
由，可得，令，
设，则，
故在上单调递增，，
故原不等式成立
例题2．（2023·山东泰安·高三统考期末）已知函数，.
(1)当时，求函数的曲线上点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)若有两个极值点其中，求的最小值.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）当时，所以，
，又，
过切点的切线方程为，
即：.
（2）由题意得：，,
令,
①当,即，则恒成立，
即恒成立，在上单调递增.
②当时，即，令,即，
解得：或
令，解得：
综上，当时，的单调增区间为，
当时，单调增区间为，
单调减区间为.
（3）由（2）知，，，
由题意知，是方程的两根,
，，
，
令
当时，,
所以，
在上单调递减，
即的最小值为.
练透核心考点
1．（2023·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习）已知函数（）.
（1）若是定义域上的增函数，求a的取值范围；
（2）若，若函数有两个极值点，（），求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）的定义域为，，
∵在定义域内单调递增，
∴，即对恒成立.
则恒成立. ∴，
∵，∴.
所以，a的取值范围是.
（2）设方程，即得两根为，，且.
由且，得，
∵，， ∴， ∴.
，
∵，
∴代入得，
令，则，得，，，
∴而且上递减，从而，
即， ∴.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设存在两个极值点，且，若，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
（1）由题意可知，，
当时，，则在是单调递增；
当时，若，即时，
若，即时，和时，时，，
综上，时，在是单调递增；时，在和递增，在递减
（2）由题意可设，是的两个根，
则
（用分别表示出和）
，整理，得
，此时
设，求导得
恒成立，
在上单调递减，
3．（2023·浙江金华·高二浙江省浦江中学校联考阶段练习）设，是函数的两个极值点，其中，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若，求的最大值（注：e是自然对数的底数）
【答案】(1)；
(2).
（1）
∵且，
∴，令，则，
∴，可得．
（2）
，
由（1）可得：，
所以，
∵，即，
∴，由对勾函数性质有，
令，则
令，则，
∴在上单调递减，则，
∴.
高频考点六：利用对数平均不等式解决双变量问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数．
(1)求函数的极值；
(2)若方程有两个不相等的实数根，．
①证明：；
②证明：．
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)①证明见解析；②证明见解析
(1)函数的定义域为，
，
则当时，；时，．
即在上递增，上递减，
故的极大值为，无极小值．
(2)
结合（1）由，；，，可得，
①由题意可得，从而，
即，
结合参考的公式可得：，
故，
且，即，从而有．
②由①可得，令，则，
所以，
则，
则，∴递减，
又∵，∴，
故递增，∴，
即，
即．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设,当时，满足，求证：．
【答案】（1），上减；，上减，上增；（2）证明见解析．
【详解】（1）函数，定义域为，，
当时，，所以在上为减函数，
当时，即，所以，
当时，；当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数.
综上，当时，，所以在上为减函数，
当时，在上为减函数，在上为增函数.
（2）由题意，由，得
所以，将代入得：
得，又，
所以，
设，，则
所以在上是减函数，
所以，即 ，又，
所以
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知指数函数经过点.求：
(1)若函数的图象与的图象关于直线对称，且与直线相切，求的值；
(2)对于实数，，且，①；②.
在两个结论中任选一个，并证明.（注：如果选择多个结论分别证明，按第一个计分）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）设函数（且），
因为指数函数经过点，所以，解得：，
则函数，又函数的图象与的图象关于直线对称，
即函数与互为反函数，则，
设直线相切与函数的切点坐标为，由于，
则，解得，
故．
（2）若选择①：不妨设，则，要证不等式，
即，即，
令，则，不等式等价于，即在上成立．
令（），则，
当且仅当时取等号，故函数在为增函数，
所以，故不等式成立．
综上：结论①得证 .
若选择②：不妨设，则，
要证不等式，即，
即要证不等式，
令，则，不等式等价于，
即在上恒成立，
令（），
则，即在为增函数，
所以，
故不等式成立，
综上：结论②得证.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若的两个零点分别为，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)令，则在上恒成立，
所以在，上单调递增，所以，即在上恒成立.
当时，要证，即证，
又，所以只需证，即.
令，则.
令，解得，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，故.
所以.
(2)由题意知，
两式相加得，
两式相减得，即.
所以，
即.
显然，记，
令，则.
所以在上单调递增，则，
所以，则，即.
所以，
所以，
所以，即.
令，则时，，
所以在上单调递增，又，故.
所以，
所以，则，即
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数分别是函数的两个零点，求证：.
【答案】证明见解析
【详解】因为， 分别是函数的两个零点，
所以
两式相减，得，
所以.
因为， 所以.
要证，即证.
因，故又只要证.
令，则即证明.
令，，则.
这说明函数在区间上单调递减，所以，
即成立.
由上述分析可知成立.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数）有两个不同的零点，（为自然对数的底数）请证明：.
【答案】证明见解析
【详解】因为，是函数的两个零点，
所以，
欲证，
只需证；
又；
所以只需证，即只需证：，
不妨设，则，
则要证，
只需证，即，
令，则只需证，
令，则，
所以在上递增，
所以，所以，
所以成立，
故成立.
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc30300" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc30300 \h 2
\l "_Tc14596" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc14596 \h 2
\l "_Tc10503" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc10503 \h 5
\l "_Tc13817" 高频考点一：分离双参，构造函数 PAGEREF _Tc13817 \h 5
\l "_Tc10596" 高频考点二：糅合双参（比值糅合） PAGEREF _Tc10596 \h 11
\l "_Tc11472" 高频考点三：糅合双参（差值糅合） PAGEREF _Tc11472 \h 18
\l "_Tc17457" 高频考点四：变更主元法 PAGEREF _Tc17457 \h 20
\l "_Tc10515" 高频考点五：利用根与系数的关系转单变量 PAGEREF _Tc10515 \h 23
\l "_Tc2443" 高频考点六：利用对数平均不等式解决双变量问题 PAGEREF _Tc2443 \h 29
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第一部分：知识点必背
1、导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；
（3）构造关于或的新函数，同时根据已知条件确定出或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
2、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
第二部分：高考真题回归
1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离双参，构造函数
典型例题
例题1．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数
（1）若，求函数的单调区间；
（2）设，若对任意，恒有，求的取值范围.
例题2．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数，．
(1)求证：存在唯一零点；
(2)设，若存在，使得，求证：．
例题3．（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考期末）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，，．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中e为自然对数的底数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，有，求证：对，有；
(3)若，且，求实数a的取值范围．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
高频考点二：糅合双参（比值糅合）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处的切线与直线垂直，函数.
(1)求实数的值；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
(3)设是函数的两个极值点，证明：.
例题2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且（为自然对数底数，且），求的取值范围．
例题3．（2023·江苏淮安·高三江苏省郑梁梅高级中学校考）已知函数，．
（1）求函数的最小值；
（2）若是的切线，求实数的值；
（3）若与的图象有两个不同交点，，求证：．
练透核心考点
1．（2023·辽宁·校联考一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设函数，P，Q是曲线上的不同两点，直线的斜率为，曲线在点处P，Q切线的斜率分别为，，证明：.
2．（2023·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考）已知函数f(x)＝lnx－mx＋1在点(1，f（1）)处与x轴相切，其中m∈R．
(1)求实数m的值；
(2)对于任意的0＜a＜b，证明：－＋1＜0．
高频考点三：糅合双参（差值糅合）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．其中为自然对数的底数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个不同零点，求证：.
高频考点四：变更主元法
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）已知函数.
(1)证明：对任意，总存在，使得对恒成立.
(2)若不等式对恒成立，求的取值范围.
例题2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数，函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·江苏·高一专题练习）已知定义域为R的函数满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，都有恒成立，求实数x的取值范围；
2．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知函数，函数．
(1)求函数的值域；
(2)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．
高频考点五：利用根与系数的关系转单变量
典型例题
例题1．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个极值点，证明：
例题2．（2023·山东泰安·高三统考期末）已知函数，.
(1)当时，求函数的曲线上点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)若有两个极值点其中，求的最小值.
练透核心考点
1．（2023·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习）已知函数（）.
（1）若是定义域上的增函数，求a的取值范围；
（2）若，若函数有两个极值点，（），求的取值范围.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设存在两个极值点，且，若，求证：.
3．（2023·浙江金华·高二浙江省浦江中学校联考阶段练习）设，是函数的两个极值点，其中，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若，求的最大值（注：e是自然对数的底数）
高频考点六：利用对数平均不等式解决双变量问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数．
(1)求函数的极值；
(2)若方程有两个不相等的实数根，．
①证明：；
②证明：．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设,当时，满足，求证：．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知指数函数经过点.求：
(1)若函数的图象与的图象关于直线对称，且与直线相切，求的值；
(2)对于实数，，且，①；②.
在两个结论中任选一个，并证明.（注：如果选择多个结论分别证明，按第一个计分）
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若的两个零点分别为，证明：.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数分别是函数的两个零点，求证：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数）有两个不同的零点，（为自然对数的底数）请证明：.
第07讲 利用导数研究双变量问题(精讲）
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc30300" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc30300 \h 2
\l "_Tc14596" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc14596 \h 2
\l "_Tc10503" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc10503 \h 5
\l "_Tc13817" 高频考点一：分离双参，构造函数 PAGEREF _Tc13817 \h 5
\l "_Tc10596" 高频考点二：糅合双参（比值糅合） PAGEREF _Tc10596 \h 11
\l "_Tc11472" 高频考点三：糅合双参（差值糅合） PAGEREF _Tc11472 \h 18
\l "_Tc17457" 高频考点四：变更主元法 PAGEREF _Tc17457 \h 20
\l "_Tc10515" 高频考点五：利用根与系数的关系转单变量 PAGEREF _Tc10515 \h 23
\l "_Tc2443" 高频考点六：利用对数平均不等式解决双变量问题 PAGEREF _Tc2443 \h 29
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Hme可回到开头
第一部分：知识点必背
1、导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；
（3）构造关于或的新函数，同时根据已知条件确定出或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
2、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
第二部分：高考真题回归
1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.
【详解】（1），
当，；当，，
故的减区间为，的增区间为.
（2）（ⅰ）因为过有三条不同的切线，设切点为，
故，
故方程有3个不同的根，
该方程可整理为，
设，
则
，
当或时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
因为有3个不同的零点，故且，
故且，
整理得到：且，
此时，
设，则，
故为上的减函数，故，
故.
（ⅱ）当时，同（ⅰ）中讨论可得：
故在上为减函数，在上为增函数，
不妨设，则，
因为有3个不同的零点，故且，
故且，
整理得到：，
因为，故，
又，
设，，则方程即为：
即为，
记
则为有三个不同的根，
设，，
要证：，即证，
即证：，
即证：，
即证：，
而且，
故，
故，
故即证：，
即证：
即证：，
记，则，
设，则，所以，
，
故在上为增函数，故，
所以，
记，
则，
所以在为增函数，故，
故即，
故原不等式得证：
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离双参，构造函数
典型例题
例题1．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数
（1）若，求函数的单调区间；
（2）设，若对任意，恒有，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.
【详解】解：（1）当时，由已知得，
所以，令得，
即时，；时，；
故单调递增区间为，单调递减区间为；
（2），
由得，所以在单调递减，
设从而对任意，
恒有，
即，
令，则等价于在单调递减，
即恒成立，从而恒成立，
故设，
则
，
当时，为减函数，
时，，为增函数.
∴,
∴a的取值范围为.
例题2．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数，．
(1)求证：存在唯一零点；
(2)设，若存在，使得，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：由题意，得．
记，则．
因为时，恒成立，所以在上单调递增．
因为，所以在上恒小于0，在上恒大于0，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以有唯一零点x=1．
（2）由，得．
记，故，
因为在上单调递增，所以，
则，
设
则，令，
则．
因为在上恒成立，
所以在上单调递增，注意到，
所以的解集为，的解集为，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
又因为，所以．
例题3．（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考期末）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1），
若，则恒成立，当且仅当时等号成立，
故的增区间为，无减区间.
若，则当或时，；当时，，
故的增区间为，减区间为，
若，同理可得的增区间为，减区间为.
（2）若，则，
由（1）可得的增区间为，
故即为，
故，
设，故为上的减函数，
而，
所以在上恒成立，
故在上恒成立，
设，故，
当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故，故即
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，，切点为
求导，切线斜率
曲线在处的切线方程为．
（2），的定义域为，求导，
在上单调递减．
不妨假设，∴等价于 ．
即．
令，则．
，，．
从而在单调减少，故，即，
故对任意 ．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中e为自然对数的底数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，有，求证：对，有；
(3)若，且，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）因为，所以点即为点
，，
故切线方程为，即；
（2）因为当时，，，
故在上单调递增，所以，
当时，，此时；
当时，在上单调递减，此时，
故，所以成立；
（3）由题意得：，又因为，所以，
又，即，
即，
所以①
设，则①式变形为
，所以单调递增，所以，
因为，所以，
令，，
则，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
有，
故．即实数的取值范围为.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）解：依题意，令，，
则，
令，解得或.
当时，即时，恒成立且不恒为零，
所以，函数的增区间为；
当时，即时，由可得或，由可得，
所以，函数的增区间为、，减区间为；
当时，即时，由可得或，由可得.
所以，函数的增区间为、，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（2）解：当时，恒成立，
所以在上单调递增，且.
因为，所以，
则不等式可化为，
即.
令，则问题等价于函数在上单调递增，
即在上恒成立，
即，.
令，，
则.
令，解得，
所以当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
所以当时，函数取得最小值，且，
所以当时，，所以.
高频考点二：糅合双参（比值糅合）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处的切线与直线垂直，函数.
(1)求实数的值；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
(3)设是函数的两个极值点，证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见详解
【详解】（1）函数的定义域为，
，
由已知得在处的切线的斜率为，
则，即，解得；
（2）由（1）得，则，
∵函数存在单调递减区间，∴在上有解，
∵，设，则，
∴只需或，解得或，
故实数的取值范围为；
（3）证明：由题意可知，，
∵有两个极值点，，
∴，是的两个根，则，
∴
，
∴要证，即证，
即证，即证，即证，
令，则证明，
令，则，
∴在上单调递增，
则，即，
所以原不等式成立．
例题2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且（为自然对数底数，且），求的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间.
(2)
【详解】（1）解：当时定义域为，
又，
所以在上单调递增，
即的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）解：由题知，，函数的定义域为，，
当时，对任意的，恒成立，故在上单调递增，没有极值点；
当时，，且不恒为零，故在上单调递增，没有极值点；
当时，令，解得，，则，
当时，；当时，；当时，，
此时函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
综上，当时，有两极值点、，且，，
所以
，
设，，其中，
所以，
又因为，可知，所以在上单调递减．
∴，即，所以的取值范围为.
例题3．（2023·江苏淮安·高三江苏省郑梁梅高级中学校考）已知函数，．
（1）求函数的最小值；
（2）若是的切线，求实数的值；
（3）若与的图象有两个不同交点，，求证：．
【答案】（1）；（2）1；（3）证明见解析.
【详解】解：（1）∵，∴
当时，，∴在上单调递减；
当时，，∴在上单调递增．
故函数的最小值为
（2）若是的切线，设切点为
则过点的切线方程为
即，即
由题意知
令，则时，
∴在上单调递增，又
∴有唯一的实根，则．
（3）由题意知
两式相加得
两式相减得，即
∴，即
不妨令，记，则
令，则
∴在上单调递增，则
∴，因而
令，则时，，∴在上单调递增
∵，∴．
练透核心考点
1．（2023·辽宁·校联考一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设函数，P，Q是曲线上的不同两点，直线的斜率为，曲线在点处P，Q切线的斜率分别为，，证明：.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为，定义域为，
所以，当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：设，，，
因为，所以，
则，，，
于是，即，
由，所以上述不等式等价于，
故
，
因为，所以，
设，，则
，
由（1）可知，当时，单调递增，所以，
所以，故，
即成立，得证.
2．（2023·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考）已知函数f(x)＝lnx－mx＋1在点(1，f（1）)处与x轴相切，其中m∈R．
(1)求实数m的值；
(2)对于任意的0＜a＜b，证明：－＋1＜0．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(1)
对函数f(x)＝lnx－mx＋1，x＞0，有f'(x)＝－m；
因为f(x)在点(1，f（1）)处与x轴相切，
所以f'（1）＝1－m＝0，
得m＝1；
(2)
由（1）得，f(x)＝lnx－x＋1，x＞0；
对于任意的0＜a＜b时，要证－＋1＜0，
即证－＋1＜0，
即证－＋1＜0，
即证＜，
即证ln＜，
即证ln－＋1＜0；
设＝t，t＞1，则即证lnt－t＋1＜0；
设g(t)＝lnt－t＋1，t＞1，
则g'(t)＝－1，在t∈(1，＋∞)时，g'(t)＜0，
所以g(t)在(1，＋∞)上单调递减，
所以g(t)＜g（1）＝0，
即lnt－t＋1＜0
故得证．
高频考点三：糅合双参（差值糅合）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．其中为自然对数的底数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：．
【答案】（1）当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．
【详解】解：（1），
，
（i）当时，，函数在上递减；
（ii）当时，令，解得；令，解得，
函数在递减，在递增；
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在单调递增；
（2）证明：，依题意，不妨设，则，
两式相减得，，
因为，要证，即证，即证，
两边同除以，即证.
令，即证，
令，则，
令，则，
当时，，所以在上递减，
，在上递减，
，即，
故．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个不同零点，求证：.
【答案】(1)详见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题可得函数的导数，然后分，讨论即得；
（2）由题可得，可得只需证，然后通过换元可得，再构造函数，利用导数研究函数的性质即得.
【详解】（1）由题可得，
当时，，当时，；
所以当时，在上是增函数，在上是减函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数；
（2）因为有两个不同零点，，则，，
因此，即，
要证，只要证明，即证，
不妨设，记，则，，
因此只要证明，即，
记，则，
令，则，
所以函数在上递增，
则，即，
∴在上单调递增，
∴，
即成立，
∴.
高频考点四：变更主元法
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）已知函数.
(1)证明：对任意，总存在，使得对恒成立.
(2)若不等式对恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）的定义域为，
在上为增函数，又在上为增函数，
所以在为增函数，
因为，，所以在内存在唯一的零点，
所以当时，．
故对任意，总存在，使得对恒成立．
（2）由，得．
设函数，为关于t的二次函数．
因为对恒成立，
由图可知，即
设函数，
在上为增函数，
又在上为增函数，则在上为增函数，
因为，所以不等式的解集为，
而当时，显然成立，
所以x的取值范围为．
例题2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数，函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）
，
∴显然当即时, ，
∴的最小值为.
（2）因为存在实数，使不等式成立，
所以， 又，
所以，
又，显然当时，，
所以有，即，可得，
所以或，解得 或.
故实数x的取值范围为或.
练透核心考点
1．（2023·江苏·高一专题练习）已知定义域为R的函数满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，都有恒成立，求实数x的取值范围；
【答案】(1)；
(2)；
【详解】（1），
令，则，
故，
所以；
（2）可看作关于的一次函数，
要想对任意的，都有恒成立，
只需要，
解①得：，
解②得：，
则与求交集得，
实数x的取值范围是；
2．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知函数，函数．
(1)求函数的值域；
(2)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得
即的值域为．
（2）由不等式对任意实数恒成立，
故．
又
设，则，
所以，
当时，．
故，即，
整理得，即，
解得．
所以实数的取值范围为．
高频考点五：利用根与系数的关系转单变量
典型例题
例题1．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个极值点，证明：
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1），令，
注意到，对称轴，故，
（i）当时，即，此时在上单调递增，即，
从而，即在上单调递增；
（ii）当时，，
若，即时 ，恒成立，
从而，即在上单调递增；
若，即时，
存在有，
其中，，
从而在上单调递增，上单调递减，上单调递增；
综上可知，当时，函数在上单调递增，当时，函数在和单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由（1）可知，要使有两个极值点，则，
此时满足，，
不妨设，此时有，
从而原不等式转化为：
将及代入有：
，
化简即得：，即证，
由，可得，令，
设，则，
故在上单调递增，，
故原不等式成立
例题2．（2023·山东泰安·高三统考期末）已知函数，.
(1)当时，求函数的曲线上点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)若有两个极值点其中，求的最小值.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）当时，所以，
，又，
过切点的切线方程为，
即：.
（2）由题意得：，,
令,
①当,即，则恒成立，
即恒成立，在上单调递增.
②当时，即，令,即，
解得：或
令，解得：
综上，当时，的单调增区间为，
当时，单调增区间为，
单调减区间为.
（3）由（2）知，，，
由题意知，是方程的两根,
，，
，
令
当时，,
所以，
在上单调递减，
即的最小值为.
练透核心考点
1．（2023·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习）已知函数（）.
（1）若是定义域上的增函数，求a的取值范围；
（2）若，若函数有两个极值点，（），求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）的定义域为，，
∵在定义域内单调递增，
∴，即对恒成立.
则恒成立. ∴，
∵，∴.
所以，a的取值范围是.
（2）设方程，即得两根为，，且.
由且，得，
∵，， ∴， ∴.
，
∵，
∴代入得，
令，则，得，，，
∴而且上递减，从而，
即， ∴.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设存在两个极值点，且，若，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
（1）由题意可知，，
当时，，则在是单调递增；
当时，若，即时，
若，即时，和时，时，，
综上，时，在是单调递增；时，在和递增，在递减
（2）由题意可设，是的两个根，
则
（用分别表示出和）
，整理，得
，此时
设，求导得
恒成立，
在上单调递减，
3．（2023·浙江金华·高二浙江省浦江中学校联考阶段练习）设，是函数的两个极值点，其中，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若，求的最大值（注：e是自然对数的底数）
【答案】(1)；
(2).
（1）
∵且，
∴，令，则，
∴，可得．
（2）
，
由（1）可得：，
所以，
∵，即，
∴，由对勾函数性质有，
令，则
令，则，
∴在上单调递减，则，
∴.
高频考点六：利用对数平均不等式解决双变量问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数．
(1)求函数的极值；
(2)若方程有两个不相等的实数根，．
①证明：；
②证明：．
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)①证明见解析；②证明见解析
(1)函数的定义域为，
，
则当时，；时，．
即在上递增，上递减，
故的极大值为，无极小值．
(2)
结合（1）由，；，，可得，
①由题意可得，从而，
即，
结合参考的公式可得：，
故，
且，即，从而有．
②由①可得，令，则，
所以，
则，
则，∴递减，
又∵，∴，
故递增，∴，
即，
即．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设,当时，满足，求证：．
【答案】（1），上减；，上减，上增；（2）证明见解析．
【详解】（1）函数，定义域为，，
当时，，所以在上为减函数，
当时，即，所以，
当时，；当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数.
综上，当时，，所以在上为减函数，
当时，在上为减函数，在上为增函数.
（2）由题意，由，得
所以，将代入得：
得，又，
所以，
设，，则
所以在上是减函数，
所以，即 ，又，
所以
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知指数函数经过点.求：
(1)若函数的图象与的图象关于直线对称，且与直线相切，求的值；
(2)对于实数，，且，①；②.
在两个结论中任选一个，并证明.（注：如果选择多个结论分别证明，按第一个计分）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）设函数（且），
因为指数函数经过点，所以，解得：，
则函数，又函数的图象与的图象关于直线对称，
即函数与互为反函数，则，
设直线相切与函数的切点坐标为，由于，
则，解得，
故．
（2）若选择①：不妨设，则，要证不等式，
即，即，
令，则，不等式等价于，即在上成立．
令（），则，
当且仅当时取等号，故函数在为增函数，
所以，故不等式成立．
综上：结论①得证 .
若选择②：不妨设，则，
要证不等式，即，
即要证不等式，
令，则，不等式等价于，
即在上恒成立，
令（），
则，即在为增函数，
所以，
故不等式成立，
综上：结论②得证.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若的两个零点分别为，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)令，则在上恒成立，
所以在，上单调递增，所以，即在上恒成立.
当时，要证，即证，
又，所以只需证，即.
令，则.
令，解得，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，故.
所以.
(2)由题意知，
两式相加得，
两式相减得，即.
所以，
即.
显然，记，
令，则.
所以在上单调递增，则，
所以，则，即.
所以，
所以，
所以，即.
令，则时，，
所以在上单调递增，又，故.
所以，
所以，则，即
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数分别是函数的两个零点，求证：.
【答案】证明见解析
【详解】因为， 分别是函数的两个零点，
所以
两式相减，得，
所以.
因为， 所以.
要证，即证.
因，故又只要证.
令，则即证明.
令，，则.
这说明函数在区间上单调递减，所以，
即成立.
由上述分析可知成立.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数）有两个不同的零点，（为自然对数的底数）请证明：.
【答案】证明见解析
【详解】因为，是函数的两个零点，
所以，
欲证，
只需证；
又；
所以只需证，即只需证：，
不妨设，则，
则要证，
只需证，即，
令，则只需证，
令，则，
所以在上递增，
所以，所以，
所以成立，
故成立.
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