高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第20练三角恒等变换(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第20练三角恒等变换(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。

1.（人A必修一P20练习T2（2）变式）若,则=（ ）
A．B．
C．D．
2.（人A必修一P223练习T5（4）变式）（ ）
A．B．C．D．
3. （人A必修一P228习题5.5T6（2）变式）___________.
4. （人A必修一P228练习T1变式）函数的最大值为______．
二、考点分类练
(一)两角和与差的三角函数公式
5．（2022届河南省汝州市高三4月质量检测）（ ）
A．B．C．D．
6. （2022届黑龙江省大庆市高三上学期第二次教学质量检测）若,则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
7. （2022届陕西省宝鸡中学高三下学期一模）__________.
(二)二倍角公式
8．（2022届北京市朝阳区高三二模）已知角的终边经过点,则（ ）
A．B．C．D．
9. （2022届河北省邯郸市十校联考高三上学期期末）下列式子等于的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022届江苏省泰州市兴化市高三下学期5月模拟）若时,取得最大值,则______．
(三)三角变换在研究三角函数性质中的应用
11．（2022届湖北省荆州中学等四校高三下学期四模）已知函数在单调递减,则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12. （2022届山东省泰安市高三下学期5月三模）已知函数,则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为π
B．函数的对称轴方程为（）
C．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D．方程在[0,10]内有7个根
13. 已知函数为奇函数,且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)已知在时,求方程的所有根的和.
三、最新模拟练
14．（2022届河南省焦作市高三月考）若,则（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022届河南省洛阳高三月考）当函数取得最大值时,的值是（ ）
A．B．C．D．
16．（2022届河南省顶级名校高三5月全真模拟）已知，，，且计算可知．有下述四个结论：
①， ②，
③， ④．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③B．①④C．②④D．①②③
17．（多选）（2022届河北省邯郸市高三二模）下列各式的值为的是（ ）.
A．sinB．sincs
C．D．
18．（多选）（2022届江苏省扬州中学高三下学期4月阶段性检测）已知函数,则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是图象的一条对称轴
C．的最小正周期为
D．将的图象向左平移个单位后,得到的图象关于原点对称
19．（多选）（2022届江苏省常州市高三下学期5月模拟）已知函数,则（ ）
A．函数的值域为
B．函数是一个偶函数,也是一个周期函数
C．直线是函数的一条对称轴
D．方程有且仅有一个实数根
20．（2022届河南省新未来联盟高三下学期5月联考）已知,,则______．
21．（2022届重庆市第八中学校高考全真模拟）已知锐角三角形的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且,若,则的取值范围为_______．
22．（2022届浙江省杭州高级中学高三下学期5月仿真模拟）设.
(1)若,求使函数为偶函数；
(2)在（1）成立的条件下,当,求的取值范围.
四、高考真题练
23．(2021全国卷Ⅱ)若,则( )
A．B．C．D．
24．(2020年全国卷Ⅰ)已知,且,则( )
A．B．C．D．
25.(2020全国卷Ⅲ)已知2tanθ–tan(θ+)=7,则tanθ=( )
A．–2B．–1C．1D．2
26．(2019全国卷Ⅱ)已知,,则( )
A．B．C．D．
五、综合提升练
27．（2022届豫西名校高三4月教学质量检测）已知锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
28. 在三角函数部分,我们研究过二倍角公式,实际上类似的还有三倍角公式,则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．存在时,使得
C．给定正整数,若,,且,则
D．设方程的三个实数根为,,,并且,则
29. 已知,,则_________
30. 已知,,且,,求的值．
第20练 三角恒等变换
一、课本变式练
1.（人A必修一P20练习T2（2）变式）若,则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为,,所以,所以＝.故选D．
2.（人A必修一P223练习T5（4）变式）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由余弦的倍角公式,可得,故选D.
3. （人A必修一P228习题5.5T6（2）变式）___________.
【答案】
【解析】原式=.
4. （人A必修一P228练习T1变式）函数的最大值为______．
【答案】2
【解析】
故函数的最大值为2
二、考点分类练
(一)两角和与差的三角函数公式
5．（2022届河南省汝州市高三4月质量检测）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】.
故选A.
6. （2022届黑龙江省大庆市高三上学期第二次教学质量检测）若,则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】由,可知,
当,即时,即时,
,
显然不成立,故；
所以,则,
所以,即,
当时,,当时,,当时,,
令,得,故的值不可能为.故选ABD.
7. （2022届陕西省宝鸡中学高三下学期一模）__________.
【答案】0
【解析】
.
(二)二倍角公式
8．（2022届北京市朝阳区高三二模）已知角的终边经过点,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设,而.故选A
9. （2022届河北省邯郸市十校联考高三上学期期末）下列式子等于的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】,故A不正确；
,故B不正确；
,故C正确；
,故D正确.故选CD.
10．（2022届江苏省泰州市兴化市高三下学期5月模拟）若时,取得最大值,则______．
【答案】
【解析】
（其中,）,
当取最大值时,,∴
,
∴．
(三)三角变换在研究三角函数性质中的应用
11．（2022届湖北省荆州中学等四校高三下学期四模）已知函数在单调递减,则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】,
令,解得,,
因为,所以,则,
故,解得 ,所以最大值为．故选B．
12. （2022届山东省泰安市高三下学期5月三模）已知函数,则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为π
B．函数的对称轴方程为（）
C．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D．方程在[0,10]内有7个根
【答案】ACD
【解析】
,
对于A,函数的最小正周期为,所以A正确,
对于B,由,得,所以函数的对称轴方程为,所以B错误,
对于C,的图象向右平移,得,所以函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到,所以C正确,
对于D,由,得或,得或,
由,得,
由,得,
所以方程在[0,10]内有7个根,所以D正确,故选ACD
13. 已知函数为奇函数,且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)已知在时,求方程的所有根的和.
【解析】 (1)
图象的相邻两对称轴间的距离为,
的最小正周期为,即可得,
又为奇函数,则,,又,,
故的解析式为,
令,得
函数的递减区间为,.
(2),,,
方程可化为,
解得或,即或
当时,或或
解得或或
当时,,所以
综上知,在时,方程的所有根的和为
三、最新模拟练
14．（2022届河南省焦作市高三月考）若,则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】,因为,所以,,因为,,所以,,则．故选C
15．（2022届河南省洛阳高三月考）当函数取得最大值时,的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】,其中,,
当时,函数取得最大值,此时,
∴,,
∴,故选C.
16．（2022届河南省顶级名校高三5月全真模拟）已知，，，且计算可知．有下述四个结论：
①， ②，
③， ④．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③B．①④C．②④D．①②③
【答案】D
【解析】，所以；
，，
所以，；
；
，，
所以，
所以①②③正确，故选D．
17．（多选）（2022届河北省邯郸市高三二模）下列各式的值为的是（ ）.
A．sinB．sincs
C．D．
【答案】AD
【解析】A：,符合题意；
B：,不符合题意；
C：,不符合题意；
D：,符合题意,
故选AD
18．（多选）（2022届江苏省扬州中学高三下学期4月阶段性检测）已知函数,则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是图象的一条对称轴
C．的最小正周期为
D．将的图象向左平移个单位后,得到的图象关于原点对称
【答案】AC
【解析】,A正确；
,由于在对称轴处函数值要取到最值,故B错误；
,C正确；
将的图象向左平移个单位后得
,其为偶函数,不关于原点对称,D错误.故选AC.
19．（多选）（2022届江苏省常州市高三下学期5月模拟）已知函数,则（ ）
A．函数的值域为
B．函数是一个偶函数,也是一个周期函数
C．直线是函数的一条对称轴
D．方程有且仅有一个实数根
【答案】ABD
【解析】显然,,即函数是偶函数,
又,函数是周期函数,是它的一个周期,B正确；
当时,,的最小值为,最大值为,
即当时,的取值集合是,因是偶函数,则当时,的取值集合是,
因此,当时,的取值集合是,而是的周期,所以,的值域为,A正确；
因,,即函数图象上的点关于直线的对称点不在此函数图象上,C不正确；
因当时,恒有成立,而的值域为,方程在上无零点,
又当或时,的值与的值异号,即方程在、上都无零点,
令,,显然在单调递减,
而,,于是得存在唯一,使得,
因此,方程在上有唯一实根,则方程在上有唯一实根,又定义域为,
所以方程有且仅有一个实数根,D正确.
故选ABD
20．（2022届河南省新未来联盟高三下学期5月联考）已知,,则______．
【答案】
【解析】,
因为,
所以
21．（2022届重庆市第八中学校高考全真模拟）已知锐角三角形的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且,若,则的取值范围为_______．
【答案】
【解析】∵,
∴,即,
∵又,且都为锐角,故,,
又,
所以
又,所以,
得,,
所以,
故.
22．（2022届浙江省杭州高级中学高三下学期5月仿真模拟）设.
(1)若,求使函数为偶函数；
(2)在（1）成立的条件下,当,求的取值范围.
【解析】 (1)
因为函数为偶函数,
所以,即,
因为,所以
(2)在（1）成立的条件下,,
因为,所以,
所以
所以
四、高考真题练
23．(2021全国卷Ⅱ)若,则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：,,
,,,解得,
,．故选A．
24．(2020年全国卷Ⅰ)已知,且,则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】,得,
即,解得或（舍去）,
又．故选A．
25.(2020全国卷Ⅲ)已知2tanθ–tan(θ+)=7,则tanθ=( )
A．–2B．–1C．1D．2
【答案】D
【解析】,,令,则,整理得,解得,即．故选D．
26．(2019全国卷Ⅱ)已知,,则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵,∴.,∴,,
∴,又,∴,,又,∴,故选B．
五、综合提升练
27．（2022届豫西名校高三4月教学质量检测）已知锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由
,所以,解得,所以,又,解得．综上,,所以．
所以
．
令,,则,令,解得,令,解得,故在上单调递增,在上单调递减,
所以,又,,故,
即．故选D．
28. 在三角函数部分,我们研究过二倍角公式,实际上类似的还有三倍角公式,则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．存在时,使得
C．给定正整数,若,,且,则
D．设方程的三个实数根为,,,并且,则
【答案】ACD
【解析】
,A对
令,则,,则,B错；
令,其中,
,即
∴
由可得
,即,∴
∴,C对；
令,,
,即
即
∵,∴或或
令,,,,
∴的根都在,∴,,
,D对
故选ACD.
29. 已知,,则_________
【答案】
【解析】因为,两边同时平方得
,即
等式左边上下同时除以 得
,解方程可得
当时,由二倍角公式得
当时,由二倍角公式得
所以
30. 已知,,且,,求的值．
【答案】
【解析】,,
,,
,,
,,
所以
即.