高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第25练复数(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第25练复数(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。

一、课本变式练
1.（人A必修二P73习题7.1T2变式）已知复数是纯虚数（i为虚数单位），则（ ）
A．2或B．2C．D．0
2.（人A必修二P80习题7.2T4变式）（ ）
A．B．C．D．
3. （人A必修二P80习题7.2T5变式）在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（ ）
A．－1＋2iB．－1＋3iC．3iD．
4. （人A必修二P80习题7.2T5变式）如果复数满足 ， 那么 的最大值是_____.
二、考点分类练
(一)复数的分类与复数相等
5. （2022届海南省海口市高三学生学科能力诊断）复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
6. （2023届广东省梅州市大埔县虎山中学高三上学期摸底）已知，其中x，y是实数，是虚数单位，则=（ ）
A．1B．2C．3D．4
7. （多选）（2022届山东省德州市高三三模）已知复数，则下列各项正确的为（ ）
A．复数的虚部为B．复数为纯虚数
C．复数的共轭复数对应点在第四象限D．复数的模为5
(二)复数的模与共轭复数
8．（2022届四川省成都市温江区高考适应性考试）复数z满足（其中i是虚数单位），则（ ）
A．B．
C．D．
9.（多选）（2022届辽宁省辽阳市高考二模） 已知复数，，则（ ）
A．
B．
C．
D．在复平面内对应的点位于第四象限
10. （2023届广东省惠州市高三上学期第一次调研）已知是虚数单位，复数z满足，则___________.
(三)复数的几何意义
11. （2022届四川省成都市温江区高考适应性考试）复数z满足（其中i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
12. （多选）（2022届福建省厦门第一中学高三高考考前最后一卷）已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与在复平面上对应的点关于实轴对称，则
D．若，则
(四)复数的运算
13. （2023届河南省洛阳市强基联盟新高三摸底大联考）（i是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
14. （2023届广西柳州市新高三摸底考试）设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（ ）
A．B．C．D．
15. （2023届河南省洛阳市创新发展联盟高三摸底）若，则（ ）
A．B．C．D．
三、最新模拟练
16. （2023届三省三校高三第一次联考）已知复数Z满足i3z=1+i（i是虚数单位），则z的共轭复数是（ ）
A．-1-iB．-1+iC．1-iD．1+i
17. （2022届青海省玉树州州直高中高三下学期联考）已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
18. （2022届江西省丰城市高三上学期月考）已知复数与在复平面内对应的点关于原点对称，且，则虚部为（ ）
A．B．C．1D．
19. （2022届上海市嘉定区第二中学高三下学期模拟）已知复数 （为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
20.（2022届江苏省泰州市兴化市高三下学期5月模拟） 已知，均为复数，则下列结论中正确的有（ ）
A．若，则B．若，则是实数
C．D．若，则是实数
21.（多选）（2022届海南华侨中学高三下学期全真模拟）已知复数满足，且复数对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．
C．
D．复数的共轭复数为
22. （2022届上海市光明中学高三模拟）已知复数满足（其中为虚数单位），则=___________．
四、高考真题练
23. （2022新高考全国卷1）若,则
A. B. C. 1D. 2
24. （2022新高考全国卷2）2.
A. B. C. D.
25.（2022高考全国卷甲）若,则
A. B. C. D.
26.（2022高考全国卷乙）已知,且,其中a,b为实数,则（）
A. B. C. D.
五、综合提升练
27．（2022浙江省宁波市镇海中学高三上学期摸底）已知数列满足，，若，则正整数k的值是（ ）
A．8B．12C．16D．20
28.（多选）意大利数学家卡尔达诺（Cardan.Girlam，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：
第一步，把方程中的用来替换，得到方程；
第二步，利用公式将因式分解；
第三步，求得，的一组值，得到方程的三个根：，，（其中，为虚数单位）；
第四步，写出方程的根：，，.
某同学利用上述方法解方程时，得到的一个值：，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
29.已知，且z是复数，当的最大值为3，则_______.
30.（2022届上海市上海交通大学附属中学高三下学期期中）已知虚数，其中，，为虚数单位．
(1)若对任意，均有，求实数的取值范围．
(2)若，恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求，的值．
第25练 复数
一、课本变式练
1.（人A必修二P73习题7.1T2变式）已知复数是纯虚数（i为虚数单位），则（ ）
A．2或B．2C．D．0
【答案】C
【解析】因为复数是纯虚数，所以且，所以．故选C.
2.（人A必修二P80习题7.2T4变式）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，.故选B
3. （人A必修二P80习题7.2T5变式）在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（ ）
A．－1＋2iB．－1＋3iC．3iD．
【答案】B
【解析】复数1＋2i，－2＋i，0所对应的点分别是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），
由题意可知，正方形以为邻边，设另一点为D（x，y），
所以
则，解得，∴.故选B．
4. （人A必修二P80习题7.2T5变式）如果复数满足 ， 那么 的最大值是_____.
【答案】5
【解析】设，，则，
变形为，两边平方后得到，
两边平方后得到，将代入，
即，故，
则，
当时，取得最大值，最大值为5
二、考点分类练
(一)复数的分类与复数相等
5. （2022届海南省海口市高三学生学科能力诊断）复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知得，则复数的虚部为，
故选D.
6. （2023届广东省梅州市大埔县虎山中学高三上学期摸底）已知，其中x，y是实数，是虚数单位，则=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】由，得，得，得，得，
所以.故选C
7. （多选）（2022届山东省德州市高三三模）已知复数，则下列各项正确的为（ ）
A．复数的虚部为B．复数为纯虚数
C．复数的共轭复数对应点在第四象限D．复数的模为5
【答案】BC
【解析】∵，则可得：复数的虚部为1，A错误；为纯虚数，B正确；复数的共轭复数为，其对应点为，在第四象限，C正确；复数的模为，D错误；故选BC．
(二)复数的模与共轭复数
8．（2022届四川省成都市温江区高考适应性考试）复数z满足（其中i是虚数单位），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，故选D．
9.（多选）（2022届辽宁省辽阳市高考二模） 已知复数，，则（ ）
A．
B．
C．
D．在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】BCD
【解析】对于A选项，，所以，，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，C对；
对于D选项，在复平面内对应的点位于第四象限，D对.故选BCD.
10. （2023届广东省惠州市高三上学期第一次调研）已知是虚数单位，复数z满足，则___________.
【答案】
【解析】由题意得，
所以
(三)复数的几何意义
11. （2022届四川省成都市温江区高考适应性考试）复数z满足（其中i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】，故对应的点为 在第三象限，故选C.
12. （多选）（2022届福建省厦门第一中学高三高考考前最后一卷）已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与在复平面上对应的点关于实轴对称，则
D．若，则
【答案】ABC
【解析】因为 ，所以，
则，即，则，故选项正确；
因为，所以，
即，则，故选项正确；
设，因为与在复平面上对应的点关于实轴对称，
则，所以，，则，
故选项正确；
若，满足，而，故选项错误；故选ABC.
(四)复数的运算
13. （2023届河南省洛阳市强基联盟新高三摸底大联考）（i是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，故选B
14. （2023届广西柳州市新高三摸底考试）设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为复数的虚部与复数的虚部相等，则，则，
因此，.故选D.
15. （2023届河南省洛阳市创新发展联盟高三摸底）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
故选A
三、最新模拟练
16. （2023届三省三校高三第一次联考）已知复数Z满足i3z=1+i（i是虚数单位），则z的共轭复数是（ ）
A．-1-iB．-1+iC．1-iD．1+i
【答案】A
【解析】，z的共轭复数为，故B，C，D错误.
故选A.
17. （2022届青海省玉树州州直高中高三下学期联考）已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，则，
所以，则，故选A
18. （2022届江西省丰城市高三上学期月考）已知复数与在复平面内对应的点关于原点对称，且，则虚部为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】因为，故，
所以在复平面对应的点为，则在复平面对应的点为，故，
的虚部为-1.故选A.
19. （2022届上海市嘉定区第二中学高三下学期模拟）已知复数 （为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】当时，，所以为纯虚数；
若为纯虚数，，所以，所以或，所以“为纯虚数”是“”的必要非充分条件.故选B.
20.（2022届江苏省泰州市兴化市高三下学期5月模拟） 已知，均为复数，则下列结论中正确的有（ ）
A．若，则B．若，则是实数
C．D．若，则是实数
【答案】BD
【解析】，，而，A错．令，则，为实数，B对．
，，，，则，C错．令，则，，为实数，D对，故选BD
21.（多选）（2022届海南华侨中学高三下学期全真模拟）已知复数满足，且复数对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．
C．
D．复数的共轭复数为
【答案】BCD
【解析】设复数.因为，且复数z对应的点在第一象限，
所以，解得：，即.对于A：复数z的虚部为.故A错误；
对于B：.故B正确；
对于C：因为，所以.故C正确；
对于D：复数z的共轭复数为.故D正确.故选BCD
22. （2022届上海市光明中学高三模拟）已知复数满足（其中为虚数单位），则=___________．
【答案】
【解析】由，得，所以.
四、高考真题练
23. （2022新高考全国卷1）若,则
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】由得,所以,故,故选D
24. （2022新高考全国卷2）2.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,故选D.
25.（2022高考全国卷甲）若,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，故选C.
26.（2022高考全国卷乙）已知,且,其中a,b为实数,则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,所以,代入得
由,得,即,故选.
五、综合提升练
27．（2022浙江省宁波市镇海中学高三上学期摸底）已知数列满足，，若，则正整数k的值是（ ）
A．8B．12C．16D．20
【答案】B
【解析】由题意结合递推关系式可得：
，
，
，
，
.
故选B.
28.（多选）意大利数学家卡尔达诺（Cardan.Girlam，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：
第一步，把方程中的用来替换，得到方程；
第二步，利用公式将因式分解；
第三步，求得，的一组值，得到方程的三个根：，，（其中，为虚数单位）；
第四步，写出方程的根：，，.
某同学利用上述方法解方程时，得到的一个值：，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】
依题意可知是次项系数，所以，A选项正确.
第一步，把方程中的，用来替换，
得，
第二步，对比与，
可得，解得，B选项正确.
所以，C选项正确.
，D选项错误.
故选ABC
29.已知，且z是复数，当的最大值为3，则_______.
【答案】
【解析】设，因为，所以，，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
解得，
30.（2022届上海市上海交通大学附属中学高三下学期期中）已知虚数，其中，，为虚数单位．
(1)若对任意，均有，求实数的取值范围．
(2)若，恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求，的值．
【解析】 (1)解：，
，
故对任意恒成立，
故对任意恒成立，
所以；
(2)解：，
因为，恰好是某实系数一元二次方程的两个解，
所以复数与互为共轭复数，
所以，
因为为虚数，
解方程组得，
所以.