高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第47练总体分布的估计(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第47练总体分布的估计(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。

1.（人A必修二P213练习T3变式）最早发现于2019年7月的某种流行疾病给世界各国人民的生命财产带来了巨大的损失.近期某市由于人员流动出现了这种疾病，市政府积极应对，通过3天的全民核酸检测，有效控制了疫情的发展，决定后面7天只针对41类重点人群进行核酸检测，下面是某部门统计的甲､乙两个检测点7天的检测人数统计图，则下列结论不正确的是（ ）
A．甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数
B．甲检测点的数据极差大于乙检测点的数据极差
C．甲检测点数据的中位数大于乙检测点数据的中位数
D．甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差
2.（人A必修二P203练习T2变式）10名工人某天生产工艺零件，生产的件数分别是19，19，20，20，13，14，17，18，22，22，那么数据的80%分位数是______.
3.（人A必修二P197练习T1变式）为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取名客户的评分，评分均在区间上，分组为、、、、、，其频率分布直方图如图所示.规定评分在分以下表示对该公司的服务质量不满意，则这名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为________.
4.（人A必修二P214习题9.2T10变式）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：
(1)从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；
(2)从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望；
(3)记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
二、考点分类练
(一)频率分布直方图
5. （2023届北京市海淀实验中学高三上学期期末）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲､乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为方差分别为，则下面正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6. （多选）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．估计众数为B．估计第百分位数是
C．估计平均数为D．支出在的频率为
7. 为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地10000名居民进行了调查，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图）.为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从10000人中再用分层抽样的方法抽出100人做进行调查，则在时间段内应抽出的人数是___.
8.（2022届重庆市第八中学校高考模拟） 为了保障学生们的合法权益，并保证高考的公平性，重庆市施行的新高考方案中再选科目的高考成绩采用赋分制.赋分制在一定程度上缩小了试题难度不同带来的分数差，也在一定程度上减少了学科难度不一造成的分数差.2022年高考成绩公布后，重庆市某中学收集了部分学生的高考成绩，其中地理成绩均在（单位：分），将收集到的地理成绩按分组，得到频率分布直方图如下.
(1)求，并估计该校2022年高考地理科的平均成绩；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)已知该校2022年所有参加高考的学生中历史类考生占20%，物理类考生占80%，历史类考生中选考地理的占90%，物理类考生中选考地理的占5%，历史类考生中高考地理成绩不低于90分的占8%，若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，求选到历史类考生的概率（以样本中各区间的频率作为相应事件的概率）.
(二)统计图表的应用
9．（2023届北京市丰台区高三上学期数学期末）市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重．一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”．有A，B，C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，30%，30%．经调查，2022年第二季度A，B，C三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：
若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为（ ）
A．45%B．48%C．50%D．52%
10. （2023届四川省资阳市高三第二次诊断）采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用．制造业PMI高于时，反映制造业较上月扩张；低于，则反映制造业较上月收缩．下图为我国2021年1月—2022年6月制造业采购经理指数（PMI）统计图．
根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为（ ）
A．2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩
B．2021年第四季度各月制造业在逐月扩张
C．2022年1月至4月制造业逐月收缩
D．2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张
11. （2023届山东省新高考联合质量测评高三上学期12月联考）党的二十大报告从16个方面概括了我国十年来的伟大变革，报告指出，“我们提出并贯彻新发展理念，着力推进高质量发展，推动构建新发展格局，实施供给侧结构性改革，制定一系列具有全局性意义的区域重大战略，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位；人均国内生产总值从三万九千八百元增加到八万一千元．谷物总产量稳居世界首位，制造业规模、外汇储备稳居世界第一．”下图是某地区2012年一2021年人均国内生产总值（人均GDP）及同比增长率变化情况，则下列说法正确的是（ ）．
A．2020年受到疫情影响，该地区人均GDP增长减缓
B．2012年至2021年该地区人均GDP的80％分位数为69901
C．2012年至2021年该地区人均GDP同比增长率的平均值在以上
D．根据图表和二十大报告可推测该地区十年的人均GDP的极差低于全国
12. 新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．下图为2021年我国消费者购买新式茶饮频次扇形图及月均消费新式茶饮金额条形图：
根据所给统计图，下结论中正确的是（ ）
A．每周消费新式茶饮的消费者占比不到
B．每天消费新式茶饮的消费者占比超过
C．月均消费元的消费者占比超过
D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过
(三)样本的数字特征
13．（2023届广东省广州市高三一模）为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ）
A．B．C．D．
14. （多选）（2023届河北省唐山市部分学校高三上学期12月月考）已知在某校运动会上，参加男子跳高比赛的8名运动员的成绩如图所示，设这8名运动员成绩的平均数是米，第分位数为米，则（ ）
A．B．C．D．
15. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，下列说法中不一定符合该标志的是___________（把你认为正确的答案题号填在横线上）
①甲地：总体均值为3，中位数为4；
②乙地：总体均值为1，总体方差大于0；
③丙地：中位数为2，众数为3；
④丁地：总体均值为2，总体方差为3．
16. （2023届河南省（菁师联盟）高三上学期12月质量监测）2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会顺利召开，全民关注冬奥赛事.为了更好的普及冬奥知识，某中学举办了冬奥知识竞赛，并随机抽取了100名学生的成绩，且这100名学生的成绩（单位：分）都在，其频数分布表如下图所示.
由分布表得知该中学冬奥知识竞赛成绩的中位数的估计值为82分.
(1)求a，b的值；
(2)该中学冬奥知识竞赛成绩的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（参考数据：）
三、最新模拟练
17．（2023届陕西省部分学校高三12月大联考）下图是2010年—2021年（记2010年为第1年）中国创新产业指数统计图，由图可知下列结论不正确的是（ ）
A．从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势
B．2021年的创新产业指数超过了2010年—2012年这3年的创新产业指数总和
C．2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大
D．2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢
18. （2023届河南省TOP二十名校高三上学期调研）为了评估某种工艺制作零件的效果，随机选出件产品，这件产品的尺寸（单位：）分别为，求得方差为，如果再生产件产品，尺寸都相应扩大为原来的两倍，则这批新产品的方差为（ ）
A．B．C．D．
19. （多选）（2023届江苏省常州市高三上学期质检）某小区通过开设公益讲座以提高居民的环境保护意识，为了解讲座的效果，随机抽取10位小区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份环境保护的知识问卷，这10位小区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则以下结论正确的是（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数大于
B．讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前问卷答题的正确率的极差
C．讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后问卷答题的正确率的方差
D．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
20. （2023届上海市普陀区高考一模）某地“小康果”大丰收，现抽取个样本，其质量分别为、、、、（单位：克）．若该样本的中位数和平均数均为，则此样本的标准差为______（用数字作答）．
21. （2023届重庆市缙云教育联盟高三上学期质量检测）从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照，，，，分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生上学期参加志愿服务时间的平均数.并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值；
(2)若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为，求的分布列并求数学期望；
(3)用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，把时间段在的数据组成新样本组A，其方差记为，把时间段在的数据组成新样本组B，其方差记为，原来600个样本数据的方差记为，试比较，，的大小（结论不要求证明）.
22. （2023届贵州省高三3 3 3高考备考诊断性联考）随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图），解决下列问题．
(1)求m，n，x，y的值；
(2)求中位数；
(3)用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加某项美食体验活动，求抽到的2人均来自第四组的概率．
23. （2023届云南省昆明市高三第五次检测）为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.
(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数
(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列与数学期望.
四、高考真题练
24．(2022新高考全国Ⅱ卷) 在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为,该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间,求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.0001）.
25．(2021年高考全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭
年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A．该地农户家庭年收入低于4．5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10．5万元农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6．5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4．5万元至8．5万元之间
26.(2021年高考全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提
高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
(1)求，，，；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
五、综合提升练
27. 依照某发展中国家2018年的官方资料，将该国所有家庭按年收入从低到高的顺序平均分为五组，依次为第一组至第五组，各组家庭的年收入总和占该国全部家庭的年收入总和的百分比如图所示.
以下关于该国2018年家庭收入的判断，一定正确的是
A．至少有的家庭的年收入都低于全部家庭的平均年收入
B．收入最低的那的家庭平均年收入为全部家庭平均年收入的
C．收入最高的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的
D．收入最低的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的
28. （多选）（2022届江苏省泰州市兴化市高三4月模拟）设一组样本的统计数据为：，其中n∈N*，．已知该样本的统计数据的平均数为，方差为，设函数，x∈R．则下列说法正确的是（ ）
A．设b∈R，则的平均数为
B．设a∈R，则的方差为
C．当x＝时，函数有最小值
D．
29.（2022届河北省武安市高三调研） 水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高一年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最大值是_____．
30. （2022届云南省昆明市师大附中学高三月考）《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表(单位：件)．
(1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；
(2)设表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？
【
12月
1月
2月
3月
4月
5月
轿车
28.4
21.3
15.4
26.0
16.7
21.0
MPV
0.8
0.2
0.2
0.3
0.4
0.4
SUV
18.1
13.7
11.7
18.1
11.3
14.5
成绩（单位：分）
人数
6
4
a
b
18
组别
分组
频数
频率
第1组
14
0.14
第2组
m
第3组
36
0.36
第4组
0.16
第5组
4
n
合计
旧设备
9．8
10．3
100
102
9．9
9．8
10．0
10．1
10．2
9．7
新设备
101
10．4
10．1
10．0
10．1
10．3
10．6
10．5
10．4
10．5
质量指标值
产品
60
100
160
300
200
100
80
第47练 总体分布的估计
一、课本变式练
1.（人A必修二P213练习T3变式）最早发现于2019年7月的某种流行疾病给世界各国人民的生命财产带来了巨大的损失.近期某市由于人员流动出现了这种疾病，市政府积极应对，通过3天的全民核酸检测，有效控制了疫情的发展，决定后面7天只针对41类重点人群进行核酸检测，下面是某部门统计的甲､乙两个检测点7天的检测人数统计图，则下列结论不正确的是（ ）
A．甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数
B．甲检测点的数据极差大于乙检测点的数据极差
C．甲检测点数据的中位数大于乙检测点数据的中位数
D．甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差
【答案】C
【解析】对于:甲检测点的平均检测人数为
乙检测点的平均检测人数为
故甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数，故正确;
对于:甲检测点的数据极差
乙检测点的数据极差，故正确;
对于:甲检测点数据为,中位数为,
乙检测点数据为,中位数为，故错误;
对于:通过观察平均数附近数据个数,极差等或计算甲乙数据的方差,
都可以判断乙检测点数据比甲检测点数据稳定性强,
故甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差,故正确.故选.
2.（人A必修二P203练习T2变式）10名工人某天生产工艺零件，生产的件数分别是19，19，20，20，13，14，17，18，22，22，那么数据的80%分位数是______.
【答案】21
【解析】从小到大排列，得13，14，17，18，19，19，20，20，22，22，又因为
，第8位20，第9位22，故数据的80%分位数是.
3.（人A必修二P197练习T1变式）为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取名客户的评分，评分均在区间上，分组为、、、、、，其频率分布直方图如图所示.规定评分在分以下表示对该公司的服务质量不满意，则这名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为________.
【答案】
【解析】由频率分布直方图可知，评分在区间上的频率为：，
∴评分在区间上的客户有（人），即对该公司的服务质量不满意的客户有人.
4.（人A必修二P214习题9.2T10变式）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：
(1)从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；
(2)从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望；
(3)记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
【解析】（1）这6个月MPV车型月度零售销量平均值为
故MPV月度零售销量超过的月份为12月，4月，5月，
所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，
该月MPV零售销量超过的概率为.
（2）从2022年1月至2022年5月，SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月，
所以的所有可能取值为，
则，
所以的分布列为
故的数学期望.
（3）依题意，2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量分别为，
其平均值为，
所以轿车各月度零售销量与平均值的差约为，
所以，
同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据为，
其平均值为，
所以轿车与对应的各月度零售销量与平均值的差为，
所以，
故.
二、考点分类练
(一)频率分布直方图
5. （2023届北京市海淀实验中学高三上学期期末）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲､乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为方差分别为，则下面正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解：由题意由频率分布直方图得：
甲地区：
的频率为，
的频率为
∴甲地区用户满意度评分的中位数
乙地区：
的频率为，
的频率为
∴甲地区用户满意度评分的中位数
∴
由直方图可以看出，乙地区用户满意度评分的集中程度比甲地区的高，
∴，故选D.
6. （多选）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．估计众数为B．估计第百分位数是
C．估计平均数为D．支出在的频率为
【答案】CD
【解析】对于A，最高的矩形为第三个矩形，其中点的横坐标为，因此估计众数为，故A正确；
对于B，前三个矩形的面积和为，所有矩形面积之和为，故第四个矩形的面积为，第百分数位于第四组，由
，
可以估计第百分数为，故B正确；
对于C，平均数为，故C错误；
对于D，由B项解析中的计算可知，第四个矩形面积为，因此支出在的频率为，故D错误；
题目要求选出说法错误的选项，故选CD．
7. 为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地10000名居民进行了调查，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图）.为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从10000人中再用分层抽样的方法抽出100人做进行调查，则在时间段内应抽出的人数是___.
【答案】25
【解析】抽出的100人中平均每天看电视的时间在时间段内的频率是，
所以这10000人中平均每天看电视时间在时间段内的人数为.
又因为抽样比为，故在时间段内应抽出人数为.
8.（2022届重庆市第八中学校高考模拟） 为了保障学生们的合法权益，并保证高考的公平性，重庆市施行的新高考方案中再选科目的高考成绩采用赋分制.赋分制在一定程度上缩小了试题难度不同带来的分数差，也在一定程度上减少了学科难度不一造成的分数差.2022年高考成绩公布后，重庆市某中学收集了部分学生的高考成绩，其中地理成绩均在（单位：分），将收集到的地理成绩按分组，得到频率分布直方图如下.
(1)求，并估计该校2022年高考地理科的平均成绩；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)已知该校2022年所有参加高考的学生中历史类考生占20%，物理类考生占80%，历史类考生中选考地理的占90%，物理类考生中选考地理的占5%，历史类考生中高考地理成绩不低于90分的占8%，若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，求选到历史类考生的概率（以样本中各区间的频率作为相应事件的概率）.
【解析】（1）由题意可得：，
解得，
估计该校2022年高考地理科的平均成绩为.
（2）该校2022年所有参加高考的学生中任选1名，记“选到历史类考生”为事件A，“选到物理类考生”为事件B，“选到选考地理的考生”为事件C，则有，
∴，
记“选到高考地理成绩不低于90分”为事件D，则，
∴，
故，
若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，选到历史类考生的概率.
(二)统计图表的应用
9．（2023届北京市丰台区高三上学期数学期末）市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重．一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”．有A，B，C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，30%，30%．经调查，2022年第二季度A，B，C三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：
若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为（ ）
A．45%B．48%C．50%D．52%
【答案】D
【解析】最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为：
.故选D
10. （2023届四川省资阳市高三第二次诊断）采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用．制造业PMI高于时，反映制造业较上月扩张；低于，则反映制造业较上月收缩．下图为我国2021年1月—2022年6月制造业采购经理指数（PMI）统计图．
根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为（ ）
A．2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩
B．2021年第四季度各月制造业在逐月扩张
C．2022年1月至4月制造业逐月收缩
D．2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张
【答案】D
【解析】对于A项，由统计图可以得到，只有9月份的制造业指数低于，故A项错误；
对于B项，由统计图可以得到，10月份的制造业指数低于，故B项错误；
对于C项，由统计图可以得到，1、2月份的制造业指数高于，故C项错误；
对于D项，由统计图可以得到，从4月份的制造业指数呈现上升趋势，且在2022年6月PMI超过，故D项正确.故选D.
11. （2023届山东省新高考联合质量测评高三上学期12月联考）党的二十大报告从16个方面概括了我国十年来的伟大变革，报告指出，“我们提出并贯彻新发展理念，着力推进高质量发展，推动构建新发展格局，实施供给侧结构性改革，制定一系列具有全局性意义的区域重大战略，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位；人均国内生产总值从三万九千八百元增加到八万一千元．谷物总产量稳居世界首位，制造业规模、外汇储备稳居世界第一．”下图是某地区2012年一2021年人均国内生产总值（人均GDP）及同比增长率变化情况，则下列说法正确的是（ ）．
A．2020年受到疫情影响，该地区人均GDP增长减缓
B．2012年至2021年该地区人均GDP的80％分位数为69901
C．2012年至2021年该地区人均GDP同比增长率的平均值在以上
D．根据图表和二十大报告可推测该地区十年的人均GDP的极差低于全国
【答案】ACD
【解析】由图可知2020年该地区人均CDP同比增长率有所下降，但GDP依然增加，所以A正确．
2012年至2021年该地区人均GDP的80％分位数为，所以B不正确．
2012年至2021年该地区人均GDP同比增长率的平均值为：
，所以C正确（也可以直接观察判断）．2012年至2021年该地区人均GDP极差，所以D正确．故选ACD．
12. 新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．下图为2021年我国消费者购买新式茶饮频次扇形图及月均消费新式茶饮金额条形图：
根据所给统计图，下结论中正确的是（ ）
A．每周消费新式茶饮的消费者占比不到
B．每天消费新式茶饮的消费者占比超过
C．月均消费元的消费者占比超过
D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过
【答案】BC
【解析】每周消费新式茶饮的消费者占比，A错误，每天消费新式茶饮的消费者占比，B正确；月均消费50—200元的消费者占比，C正确；
月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比．D错误．故选BC
(三)样本的数字特征
13．（2023届广东省广州市高三一模）为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），
该地区中学生每天睡眠时间的方差为：
14. （多选）（2023届河北省唐山市部分学校高三上学期12月月考）已知在某校运动会上，参加男子跳高比赛的8名运动员的成绩如图所示，设这8名运动员成绩的平均数是米，第分位数为米，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】.由，得.故选BC
15. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，下列说法中不一定符合该标志的是___________（把你认为正确的答案题号填在横线上）
①甲地：总体均值为3，中位数为4；
②乙地：总体均值为1，总体方差大于0；
③丙地：中位数为2，众数为3；
④丁地：总体均值为2，总体方差为3．
【答案】①②③
【解析】对于①，若甲地连续10天新增疑似病例数据从小到大依次为：
0，0，0，0，4，4，4，4，4，10，
则总体均值为3，中位数为4，
但不符合“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，故①满足题意；
对于②，若乙地连续10天新增疑似病例数据从小到大依次为：
0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，
则总体均值为1，总体方差大于0，
但不符合“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，故②满足题意；
对于③，若丙地连续10天新增疑似病例数据从小到大依次为：
0，0，0，1，1，3，3，3，3，10，
则中位数为2，众数为3，
但不符合“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，故③满足题意；
对于④，总体方差
若丁地某一天新增疑似病例超过7人，即不少于8人，则总体方差
，
∴丁地每天新增疑似病例不超过7人，符合“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，故④不满足题意.
故答案为①②③.
16. （2023届河南省（菁师联盟）高三上学期12月质量监测）2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会顺利召开，全民关注冬奥赛事.为了更好的普及冬奥知识，某中学举办了冬奥知识竞赛，并随机抽取了100名学生的成绩，且这100名学生的成绩（单位：分）都在，其频数分布表如下图所示.
由分布表得知该中学冬奥知识竞赛成绩的中位数的估计值为82分.
(1)求a，b的值；
(2)该中学冬奥知识竞赛成绩的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（参考数据：）
【解析】（1）因为该中学冬奥知识竞赛成绩的中位数的估计值为82分，
所以，解得：，
则a，b的值分别为32和40；
（2）该中学冬奥知识竞赛成绩的平均数为：
；
该中学冬奥知识竞赛成绩的标准差为：
.
所以.
该中学冬奥知识竞赛成绩的平均数与标准差的估计值分别为81和10.2.
三、最新模拟练
17．（2023届陕西省部分学校高三12月大联考）下图是2010年—2021年（记2010年为第1年）中国创新产业指数统计图，由图可知下列结论不正确的是（ ）
A．从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势
B．2021年的创新产业指数超过了2010年—2012年这3年的创新产业指数总和
C．2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大
D．2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢
【答案】B
【解析】从统计图可看出从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势，A正确；
从统计图估计得到2021年的创新产业指数大约为350，
而2010年—2012年这3年的创新产业指数总和大约为，
故2021年的创新产业指数没有超过2010年—2012年这3年的创新产业指数总和，B错误；
因为2021年的创新产业指数大约为350，2010年的创业指数小于150，
，故2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大，C正确；
2010年到2014年的创新产业指数的折线倾斜程度小，而2017年到2021年的创业指数的折线倾斜程度大，
故2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢，D正确.
故选B
18. （2023届河南省TOP二十名校高三上学期调研）为了评估某种工艺制作零件的效果，随机选出件产品，这件产品的尺寸（单位：）分别为，求得方差为，如果再生产件产品，尺寸都相应扩大为原来的两倍，则这批新产品的方差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为原产品尺寸为：，新产品尺寸为：，原方差为，故新方差为.故选B
19. （多选）（2023届江苏省常州市高三上学期质检）某小区通过开设公益讲座以提高居民的环境保护意识，为了解讲座的效果，随机抽取10位小区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份环境保护的知识问卷，这10位小区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则以下结论正确的是（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数大于
B．讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前问卷答题的正确率的极差
C．讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后问卷答题的正确率的方差
D．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
【答案】ABC
【解析】讲座前问卷答题的正确率排序为，
，中位数，A正确.
讲座前极差，讲座后极差，B正确.
讲座后，
所以D错误.
讲座前后比较：讲座前极差较大，并且讲座前数据较分散，所以讲座前方差较大，所以C正确.
故选ABC
20. （2023届上海市普陀区高考一模）某地“小康果”大丰收，现抽取个样本，其质量分别为、、、、（单位：克）．若该样本的中位数和平均数均为，则此样本的标准差为______（用数字作答）．
【答案】
【解析】不妨设，因为该样本的中位数为，则，
由平均数公式可得，解得，
所以，该样本的标准差为.
21. （2023届重庆市缙云教育联盟高三上学期质量检测）从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照，，，，分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生上学期参加志愿服务时间的平均数.并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值；
(2)若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为，求的分布列并求数学期望；
(3)用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，把时间段在的数据组成新样本组A，其方差记为，把时间段在的数据组成新样本组B，其方差记为，原来600个样本数据的方差记为，试比较，，的大小（结论不要求证明）.
【解析】（1）平均数等于，
前3组频率和，加上第4组得，
所以75百分位数：；
（2）由题可知“预期合格”的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为，则服从二项分布，
的分布列为：
.
（3）由频率分布直方图可以看出，前3组数据比后3组数据更集中一些，所以，而这两组数据相比整体数据都要集中一些，所以.
22. （2023届贵州省高三3 3 3高考备考诊断性联考）随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图），解决下列问题．
(1)求m，n，x，y的值；
(2)求中位数；
(3)用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加某项美食体验活动，求抽到的2人均来自第四组的概率．
【解析】（1）由题意可知,第四组的人数为，
故，；
又内的频率为 ，∴；
∵内的频率为 ，∴.
（2）由频率分布直方图可知第一、二组频率之和为，
前三组频率之和为，
故中位数为：.
（3）由题意可知，第4组共有16人，第5组共有4人，
用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人,则第四、第五组抽取人数为4人和1人，
设第4组的4人分别为 ，第5组的1人分别为A,
则从中任取2人，所有基本事件为：
共10个，
又抽到的2人均来自第四组的基本事件有∶共6个，
故抽到的2人均来自第四组的的概率为.
23. （2023届云南省昆明市高三第五次检测）为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.
(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数
(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列与数学期望.
【解析】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为,
所以数学成绩落在区间内的频率为，
因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，
所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为，
数学成绩落在区间[70，100）的频率为，
所以中位数落在区间内，
设中位数为，则，解得，
所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为.
（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，
由题意可知，，的所有可能取值为，
，，
，，
所以的分布列为：
所以数学期望.
四、高考真题练
24．(2022新高考全国Ⅱ卷) 在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为,该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间,求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.0001）.
【解析】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间},所以
．
（3）设任选一人年龄位于区间,任选一人患这种疾病,
则由条件概率公式可得
．
25．(2021年高考全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭
年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A．该地农户家庭年收入低于4．5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10．5万元农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6．5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4．5万元至8．5万元之间
【答案】C
【解析】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率．样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值．
该地农户家庭年收入低于4．5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10．5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4．5万元至8．5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6．5万元，故C错误．
综上，给出结论中不正确的是C．故选C．
26.(2021年高考全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提
高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
(1)求，，，；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
【解析】（1），
，
，
．
（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
五、综合提升练
27. 依照某发展中国家2018年的官方资料，将该国所有家庭按年收入从低到高的顺序平均分为五组，依次为第一组至第五组，各组家庭的年收入总和占该国全部家庭的年收入总和的百分比如图所示.
以下关于该国2018年家庭收入的判断，一定正确的是
A．至少有的家庭的年收入都低于全部家庭的平均年收入
B．收入最低的那的家庭平均年收入为全部家庭平均年收入的
C．收入最高的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的
D．收入最低的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的
【答案】C
【解析】设所有家庭年收入总和为100，共有5n个家庭，则所有家庭的平均收入为，
选项A，第四组、第五组家庭的平均收入均超过，故极有可能第四组、第五组全部的家庭的收入均超过全部家庭的年平均收入，虽第三组家庭平均年收入为，由于按年收入从低到高的顺序排列，故仍有可能存在部分家庭年收入超过，这样家庭年收入超过的比率有可能超过，故A选项不正确；
选项B，收入最低的那的家庭平均年收入，为全部家庭平均收入的，故选项B不正确；
选项C，收入最高的那的家庭数应为第四组一半家庭数与第五组家庭数的和，由于按年收入从低到高的顺序排列，故总收入大于，收入最高的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的，选项C正确；
选项D，收入最低的那的家庭数应为第三组家庭数的一半与第一、二组家庭数的和，由于按年收入从低到高的顺序排列，故总收入小于，收入最低的那的家庭年收入总和不会超过全部家庭年收入总和的，选项D不正确.故本题选C.
28. （多选）（2022届江苏省泰州市兴化市高三4月模拟）设一组样本的统计数据为：，其中n∈N*，．已知该样本的统计数据的平均数为，方差为，设函数，x∈R．则下列说法正确的是（ ）
A．设b∈R，则的平均数为
B．设a∈R，则的方差为
C．当x＝时，函数有最小值
D．
【答案】AC
【解析】对于A，的平均数，的平均数为，正确；
对于B，的方差，的平均数为，方差为，错误；
对于C，，又，，故，故当x＝时，函数有最小值，正确；对于D，由上知，，错误.故选AC.
29.（2022届河北省武安市高三调研） 水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高一年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最大值是_____．
【答案】10
【解析】设五个班级的数据分别为，根据平均数和方差得，，显然各个括号为整数.设分别为，则，设，由已知，则判别式，即，解得，即，且,
所以，即样本数据中的最大值是.
30. （2022届云南省昆明市师大附中学高三月考）《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表(单位：件)．
(1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；
(2)设表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？
【解析】（1）由题，可知
．
．
（2）
由知，，
则，，
该抽样数据落在内的频率约为；
又，，
该抽样数据落在内的频率约为，
∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
12月
1月
2月
3月
4月
5月
轿车
28.4
21.3
15.4
26.0
16.7
21.0
MPV
0.8
0.2
0.2
0.3
0.4
0.4
SUV
18.1
13.7
11.7
18.1
11.3
14.5
0
1
2
成绩（单位：分）
人数
6
4
a
b
18
X
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512
组别
分组
频数
频率
第1组
14
0.14
第2组
m
第3组
36
0.36
第4组
0.16
第5组
4
n
合计
0
1
2
3
旧设备
9．8
10．3
100
102
9．9
9．8
10．0
10．1
10．2
9．7
新设备
101
10．4
10．1
10．0
10．1
10．3
10．6
10．5
10．4
10．5
质量指标值
产品
60
100
160
300
200
100
80