高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题40《三角函数的图象和性质》单元测试卷(B)(原卷版+解析)

这是一份高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题40《三角函数的图象和性质》单元测试卷(B)(原卷版+解析)，共21页。

第一章，第二章，第三章，第四章，第五章.
高考真题：
1．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·山东东营·高一期中）下列关于函数说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为RB．函数为奇函数
C．函数的最小值为0D．函数的最小正周期为
2．（2022·浙江·杭州四中高一期末）在区间上为减函数，且为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A．B．1C．1或-1D．
4．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知函数（，）的图象的相邻两个最高点的距离为，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2020·浙江·高一期末）函数为增函数的区间是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高一课时练习）函数，的值域为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·陕西·安康市教学研究室高一期末）已知函数在单调递增，在单调递减，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·高一单元测试）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一课时练习）若直线与函数的图象无公共点，则的取值可以为
A．0B．C．1D．
10．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．函数是奇函数
B．函数的一个周期为
C．函数图象的一个对称中心为
D．函数图象的对称轴方程为
11．（2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，下列结论正确的有（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·山东东营·高一期中）若函数在区间上单调递增，则（ ）
A．存在，使得函数为奇函数
B．函数的最大值为
C．的取值范围为
D．存在4个不同的，使得函数的图象关于直线对称
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知函数单调递增区间为________.
14．（2022·全国·高一单元测试）若函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则______．
15．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为_____________．
16．（2022·全国·高一课时练习）函数，的部分图象如图所示，则______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知定义域为，值域为，求实数的值.
18．（2022·全国·高一课时练习）设函数．
(1)求函数的定义域和单调区间;
(2)求不等式的解集．
19．（2022·陕西·渭南高级中学高一阶段练习）已知函数．
(1)求函数取得最大、最小值时自变量的集合；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
20．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函数，.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
21．（2019·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）已知函数 其中，.
(1)求函数的值域；
(2)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间.
22．（2022·山东东营·高一期中）函数的最小值为，
(1)当时，求；
(2)若，求实数
0
0
3
0
-3
0
第五章 专题40 《三角函数的图象和性质》单元测试卷(B）
命题范围：
第一章，第二章，第三章，第四章，第五章.
高考真题：
1．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
2．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
3．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1），，；（2）最大值是3，最小值是.
【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解，，的值即可.
（2）首先根据（1）知：，根据题意得到，从而得到函数的最值.
【详解】（1）由表可知，则，
因为，，所以，解得，即，
因为函数图象过点，则，即，
所以，，解得，，
又因为，所以.
（2）由（1）可知.
因为，所以，
因此，当时，即时，，
当时，即时，.
所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是.
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·山东东营·高一期中）下列关于函数说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为RB．函数为奇函数
C．函数的最小值为0D．函数的最小正周期为
【答案】D
【分析】由解析式有意义列不等式求函数的定义域，判断A；根据偶函数的定义判断B；根据正切函数的性质作函数的图象，利用图象判断C，D.
【详解】对于选项A，函数的定义域为，故选项A错误;
对于选项B，函数的定义域为关于原点对称，
又，则函数为偶函数，故选项B错误;
对于选项C，根据函数的奇偶性结合正切函数的相关性质，
根据图象变换作出函数草图如下：
由图可知，函数没有最小值，最大值为0，故选项C错误;
对于选项D，同样由图可知函数的最小正周期为，故选项D正确.
故选：D.
2．（2022·浙江·杭州四中高一期末）在区间上为减函数，且为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意，根据三角函数奇偶性与单调性，可得答案.
【详解】由函数为奇函数，可得C，D错误；因为函数在上单调递增，
且，，易知函数在上单调递减，
故A错误，B正确.
故选：B.
3．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A．B．1C．1或-1D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数得到，求出的值，代入后用诱导公式即可得到结果.
【详解】由函数得，，，其中，
.
故选：B.
4．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知函数（，）的图象的相邻两个最高点的距离为，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据相邻两个最高点的距离等于最小正周期以及特殊函数值即可求解.
【详解】因为函数（）的图象的相邻两个最高点的距离为，所以的图象的最小正周期为，所以.因为，所以，因为，所以，所以.
故选:D.
5．（2020·浙江·高一期末）函数为增函数的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数单调性的求法求得正确答案.
【详解】，
，，，
令可的的递增区间为.
故选：C
6．（2022·全国·高一课时练习）函数，的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，求得，然后根据正切函数在上递增，可求出函数的值域.
【详解】设，因为，所以．
因为正切函数在上单调递增，且，，
所以．
故选：A．
7．（2021·陕西·安康市教学研究室高一期末）已知函数在单调递增，在单调递减，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由三角函数的单调性分析可得在处取得最大值，可求得的值，再算出最小正周期．
【详解】根据题意，函数在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得最大值，则有，变形可得，
由题意最小正周期，，
当时，，最小正周期．
故选：D
8．（2022·全国·高一单元测试）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于的二次函数，利用换元法可得值域.
【详解】函数，
因为，
所以当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
故函数的值域为，
故选：A．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一课时练习）若直线与函数的图象无公共点，则的取值可以为
A．0B．C．1D．
【答案】CD
【分析】根据正切函数的性质可知的取值范围，从而确定的取值.
【详解】解：直线与函数的图象无公共点，
，所以，
故选：CD．
【点睛】本题考查正切函数的性质和正弦函数的性质，属于基础题.
10．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．函数是奇函数
B．函数的一个周期为
C．函数图象的一个对称中心为
D．函数图象的对称轴方程为
【答案】ABC
【分析】对于A，根据函数奇偶性的定义判断，对于B，利用周期定义判断，对于C，根据函数析式求出函数的对称中心判断，对于D，根据解析式求出函数的对称轴判断.
【详解】因为的定义域是，关于原点对称，且，所以函数是奇函数，故A正确；
因为，所以的一个周期为，故B正确；
函数图象的对称中心为，所以是图象的一个对称中心，故C正确；
函数图象的对称轴方程为，故D错误．
故选：ABC
11．（2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，下列结论正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再逐项判断作答.
【详解】函数的定义域为，由函数的图象关于点对称，得的图象关于点对称，
则有，取得，B正确；
由函数的图象关于直线对称，得，则有，函数的图象关于直线对称，
因此，有，C正确；
于是得，即，有，取得，D正确；
函数的图象关于点对称，且关于直线对称，而，A不正确.
故选：BCD
12．（2022·山东东营·高一期中）若函数在区间上单调递增，则（ ）
A．存在，使得函数为奇函数
B．函数的最大值为
C．的取值范围为
D．存在4个不同的，使得函数的图象关于直线对称
【答案】BCD
【分析】对A选项，计算，得到其与的关系即可判断，对B选项，根据正弦函数的值域即可求出的最大值，对C选项，根据在区间上单调递增，得到不等式组，解出即可，对D选项，令，解出，再结合C选项范围则可得到的值.
【详解】解：，定义域为，
，
则不存在，使得函数为奇函数，故A错误;
由，得，则的最大值为，故B正确;
由于在区间上单调递增，故,
解第一个不等式得，,故，解二式得，故，
又，所以，故C正确;
令，，解得，，
由知的取值为，，，，共4个值，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题的难点在于C,D选项的判断，根据的某个单调增区间，则其整体应该在，即应该是后者的子集，再结合，从而得到关键的不等式组，解出范围，而D选项我们采取代入法，将代入则内部整体应等于对称轴通项即，再结合范围，则得到所有取值.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知函数单调递增区间为________.
【答案】
【分析】令，求得的范围，即可求得的单调递增区间．
【详解】令，
解得，
故的单调递增区间为．
故答案为：．
14．（2022·全国·高一单元测试）若函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则______．
【答案】
【分析】根据题意可得出函数的最小正周期，求出的值，然后代值计算可得的值.
【详解】因为，
且函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，
所以，函数的最小正周期，所以，则，
因此，.
故答案为：.
15．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为_____________．
【答案】
【分析】利用通过换元将原函数转化为含未知量的函数，再解出函数的值域即为函数的值域.
【详解】令，，
则，即，
所以，
又因为，所以，
即函数的值域为．
故答案为：.
16．（2022·全国·高一课时练习）函数，的部分图象如图所示，则______．
【答案】0
【分析】由题可得，函数的周期T＝8，求出，得出，即得.
【详解】由图象可知，函数的周期T＝8，
所以，故，
因为，，
所以．
故答案为：0.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知定义域为，值域为，求实数的值.
【答案】
【分析】根据函数定义区间以及正弦函数性质求得函数的值域，再根据最值对应关系列方程组，解得的值.
【详解】∵，
∴，
∴，
又
所以，
所以，
又函数的值域为，
所以，解得，
因此.
18．（2022·全国·高一课时练习）设函数．
(1)求函数的定义域和单调区间;
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)定义域为；无单调递减区间；单调递增区间为
(2)
【分析】（1）由可求得定义域；令可解得的单调递增区间；
（2）将看作一个整体，可得，解不等式即可求得不等式的解集.
【详解】（1）由题意得：，解得：，
的定义域为；
令，解得：，
的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由得：，解得：，
则的解集为.
19．（2022·陕西·渭南高级中学高一阶段练习）已知函数．
(1)求函数取得最大、最小值时自变量的集合；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
【答案】(1)函数取最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是；
(2)函数为奇函数，证明见解析.
【分析】（1）先用诱导公式化简，再用整体法可得函数取最值时自变量的取值范围；
（2）利用函数奇偶性定义进行判断.
【详解】（1）因为，
令，，即，时，函数取得最大值；
令，，即，时，函数取得最小值，
所以函数取得最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是；
（2）函数为奇函数；
因为函数定义域为R，且，
故函数为奇函数.
20．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函数，.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为 ，最小值为
【分析】（1）根据整体法解不等式即可求解，
（2）由得，进而可得最值.
（1）
令，解得,
所以的单调递增区间为
（2）
当时，则，
故当 时，取最大值，为，
当 时，取最小值，为.
21．（2019·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）已知函数 其中，.
(1)求函数的值域；
(2)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据正弦型函数的有界性，即可得到函数的值域；
（2）根据相邻交点间的距离确定的值，进而利用整体代换法求单调区间即可.
（1）
由，得，
可知函数的值域为，；
（2）
函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，
即的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，
所以的最小正周期为，
又由，得，即得．
于是有，
再由，
解得
所以的单调增区间为
22．（2022·山东东营·高一期中）函数的最小值为，
(1)当时，求；
(2)若，求实数
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）结合三角函数、二次函数的性质求得.
（2）对进行分类讨论，求得的解析式，由求得.
【详解】（1）当时，
.
所以，当时，取得最小值，即.
（2）
，
若，即时，则当时，有最小值，.
若，即时，则当时，有最小值，.
所以，
若，得或
由解得或（舍去），
由解得（舍去）.
所以
0
0
3
0
-3
0