高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)专题2.7函数模型及其应用(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)专题2.7函数模型及其应用(原卷版+解析)，共45页。试卷主要包含了一般式，顶点式，两点式，函数的零点个数为，设是函数的零点，若，则的值满足等内容，欢迎下载使用。

知识点总结
知识点一 一次函数模型
形如 的函数为一次函数模型，其中 .
知识点二 二次函数模型
1．一般式： ．
2．顶点式： ．
3．两点式： ．
知识点三 幂函数模型
1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．
2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．
知识点四 几类已知函数模型
知识点五 应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3．求模——求解数学模型，得出数学模型；
4．还原——将数学结论还原为实际问题．
典型例题分析
考向一 一次函数模型的应用实例
例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．
反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
考向二 二次函数模型的应用实例
例2 牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
反思感悟 利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．
考向三 幂函数与分段函数模型
例3 (1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
(2)手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．
①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？
②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？
③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？
反思感悟 (1)处理幂函数模型的步骤
①阅读理解、认真审题．
②用数学符号表示相关量，列出函数解析式．
③根据幂函数的性质推导运算，求得结果．
④转化成具体问题，给出解答．
(2)应用分段函数时的三个注意点
①分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏．
②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
考向四 指数型函数模型
例4 目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
反思感悟 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
考向五 对数型函数模型
例5 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(O,10)，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．
(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
反思感悟 有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义．
考向六 建立拟合函数模型解决实际问题
例3 某纪念章从2019年1月6日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝algbx；
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
反思感悟 建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
基础题型训练
一、单选题
1．函数的零点是（ ）
A．2B．C．D．
2．函数的一个零点为，则它的另一个零点是（ ）
A．B．1C．D．2
3．函数在下列区间内一定有零点的是
A．B．C．D．
4．方程的实数解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如果关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．用二分法找函数在区间上的零点近似值，取区间中点，则下一个存在零点的区间为（ ）．
A．B．C．D．
8．在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定
9．设是函数的零点，若，则的值满足（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
10．据统计，第x年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）近似满足.观测发现第1年有越冬白鹤3000只，估计第7年有越冬白鹤（ ）
A．4000只B．5000只 C．6000只 D．7000只
11．某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ）
A．200本B．400本C．600本D．800本
12．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为( )
A．2元B．2.5元
C．1元D．1.5元
二、解答题
13．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．
(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)若围成的矩形的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
14．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.
(1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数；
(2)当水深为1.2m时，求横断面中水的面积.
15．某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x万件产品，还需另外投入原料费及其他费用万元，产量不同其费用也不同，且已知每件产品的售价为8元且生产的该产品可以全部卖出.
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
(2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？
16．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
17．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）表示为养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当时，v的值为2；当时，v是关于x的一次函数.当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
18．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
19．为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（），公司甲的整体报价为y元．
(1)试求y关于x的函数解析式；
(2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．
20．2016年4月16日00时25分日本九州发生7.3级地震．地震发生后，停水断电，交通受阻．已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
21．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．
22．已知函数在区间上有个零点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）若，用二分法求方程在区间上的根.
23．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似表示为，已知此生产线年产量最大为210吨，若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
24．某厂推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据统计数据，总收益P（单位：元）与月产量x（单位：件）满足（注：总收益=总成本+利润）
（1）请将利润y（单位：元）表示成关于月产量x（单位：件）的函数；
（2）当月产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
25．牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量,已知羊群的年增长量y（只）和实际畜养量x（只）与空闲率的乘积成正比，比例系数为.
（1）写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
（2）求羊群年增长量的最大值.
26．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
27．下表表示的是某款车的车速与刹车距离的关系，试分别就，，三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120km/h时的刹车距离．
提升题型训练
一、单选题
1．某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2 000套B．3 000套
C．4 000套D．5 000套
2．函数的单调递减区间是
A．B．
C．D．
3．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的售价（元）满足一次函数：．若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为
A．30元B．42元C．54元D．越高越好
4．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的关系式为，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是
A．B．C．D．
5．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量与大气压强成正比例函数关系．当时，，则与的函数关系式为
A．B．
C．D．
6．某地固定电话市话收费规定：前三分钟元（不满三分钟按三分钟计算），以后每加一分钟增收元（不满一分钟按一分钟计算），那么某人打市话用时550秒，应支付电话费
A．元B．元C．元D．元
7．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（ ）
①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；
④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1B．2
C．3D．4
8．若函数经过点，则函数的零点是（ ）
A．0，2B．0，C．0，D．2，
9．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（ ）
A．B．C．D．
10．在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
A．y=2xB．y=lg2x
C．y=(x2-1)D．y=2.61x
11．函数在下列区间内一定有零点的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（ ）
A．B．0C．1D．2
二、填空题
13．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量_______m3．
14．若成立，则的取值范围是___________．
15．图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费（元）与通话时间之间的函数关系的图像，根据图像判断：通话，需付电话费______元；通话，需付电话费______元；如果，电话费（元）与通话时间之间的函数关系式是_______．
16．把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是________．
17．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为_______．
18．函数在区间和内各有一个零点，则实数的取值范围是___________.
19．函数零点的个数为___________.
20．已知函数f(x)＝有3个零点，则实数a的取值范围是_________．
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
车速/（km/h）
10
15
30
40
50
刹车距离/m
4
7
12
18
25
车速/（（km/h）
60
70
80
90
100
刹车距离/m
34
43
54
66
80
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3
2.7 函数模型及其应用
思维导图
知识点总结
知识点一 一次函数模型
形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.
知识点二 二次函数模型
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．
知识点三 幂函数模型
1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．
2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．
知识点四 几类已知函数模型
知识点五 应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3．求模——求解数学模型，得出数学模型；
4．还原——将数学结论还原为实际问题．
典型例题分析
考向一 一次函数模型的应用实例
例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．
解 设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸；
每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；
每月退回报社报纸共10×(x－250)份．
依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，
因为此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6>0，
所以y是一个单调增函数，再由250≤x≤400知，
当x＝400时，y取得最大值，
此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．
所以买进400份所获利润最大，获利1 440元．
反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
考向二 二次函数模型的应用实例
例2 牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
解 (1)根据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，
则蓄养率为eq \f(x,m)，故空闲率为1－eq \f(x,m)，
由此可得y＝kxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,m)))(0c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在区间[0,1]内选取二等分点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a0，f(1)>0，
∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
22．已知函数在区间上有个零点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）若，用二分法求方程在区间上的根.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）分别讨论与的情况,利用零点存在性定理求解即可；
（2）当时,,由可得函数的零点在区间上,进而求得,即可求得方程的根
【详解】（1）若,则,与题意不符,∴,
若,则由题意可知,,则在上是单调函数,故,
解得,
故的取值范围为
（2）若,
则,
,,,
∴函数的零点在区间上,又,
∴方程在区间上的根为
【点睛】考查已知零点所在区间求参数范围,考查利用二分法求方程的根,考查运算能力
23．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似表示为，已知此生产线年产量最大为210吨，若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.
【分析】利用收入减去总成本表示出年利润，通过配方求出二次函数的对称轴，因开口向下，对称轴处取得最大值.
【详解】解:设可获得的总利润为万元，则
∵在上是增函数，
∴当时，.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.
【点睛】本题考查二次函数的最值，可配方求最值，注意自变量的取值范围.
24．某厂推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据统计数据，总收益P（单位：元）与月产量x（单位：件）满足（注：总收益=总成本+利润）
（1）请将利润y（单位：元）表示成关于月产量x（单位：件）的函数；
（2）当月产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）月产量为300件时，最大利润为25000元
【解析】（1）由题意可知总成本是，根据利润=总收益-总成本，列分段函数；
（2）由（1）的分段函数，分别求每段函数的最大值，比较最大值就是最大利润.
【详解】（1）依题意，总成本是元，
所以，即
（2）由（1）知，当时，，
所以当时，；当时，.
故当月产量为300件时，利润最大，最大利润为25000元.
综上可知当月产量为300件时，利润最大，最大利润为25000元.
【点睛】本题考查分段函数的应用问题，意在考查抽象和概括能力，属于基础题型.
25．牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量,已知羊群的年增长量y（只）和实际畜养量x（只）与空闲率的乘积成正比，比例系数为.
（1）写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
（2）求羊群年增长量的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值
【解析】（1）由题意可知空闲率是，由题意列式；
（2）由（1）可知，求二次函数的最大值.
【详解】（1）根据题意，最大备养量为m只实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为，
由此可得.
（2）由（1）得.
所以当时，y取得最大值.故羊群年增长量的最大值为
【点睛】本题考查函数的实际应用，意在考查分析问题，抽象和概括的能力，属于基础题型.
26．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
【答案】(1)
(2)当旅行团人数为60人时，旅行社获得最大利润21000元.
【分析】（1）根据题意直接可得；
（2）根据分段函数分别求各段的最值，然后可得.
【详解】（1）记旅行团人数为x，飞机票价格为y，
则由题意可知，，
即
（2）记旅行社所获利润为M，
则
当时，（元），
当时，，
故当时，（元）
综上，当旅行团人数为60人时，旅行社获得最大利润21000元.
27．下表表示的是某款车的车速与刹车距离的关系，试分别就，，三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120km/h时的刹车距离．
【答案】以为模拟函数，当车速为120km/h时，停车距离为114m．
【分析】先求出，，解析式，再分别计算车速为90km/h，100km/h时的停车距离，确定函数模型，即可求得结论．
【详解】解：若以为模拟函数，将，代入函数关系式，得，解得，，以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为220.8m，364.5m，与实际数据相比，误差较大．
若以为模拟函数，将，代入函数关系式，得，解得，，以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为43.39m，48.65m，与实际情况误差也较大．
若以为模拟函数，将，，代入函数关系式，得，解得，，
以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为68m，82m，与前两个函数相比，此函数更符合实际情况．
当时，，即当车速为120km/h时，停车距离为114m．
【点睛】本题考查函数模型的选择，考查学生的计算能力，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．
提升题型训练
一、单选题
1．某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2 000套B．3 000套
C．4 000套D．5 000套
【答案】D
【解析】列出利润的表达式再求解的解即可.
【详解】因利润z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.
故选：D
【点睛】本题主要考查了实际应用中的利润问题,属于基础题.
2．函数的单调递减区间是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先求出函数的定义域，根据复合函数的单调性写出单调区间即可．
【详解】由，得或，
定义域为，
的单调递减区间为．
故选A
【点睛】本题考查函数的单调区间，函数的单调区间是函数定义域的子集，所以求解函数的单调区间时，必须先求出函数的定义域．
3．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的售价（元）满足一次函数：．若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为
A．30元B．42元C．54元D．越高越好
【答案】B
【分析】先建立二次函数，再利用配方法求出取得最大值时的销售定价．
【详解】设每天的销售利润为元，则，，将上式配方后得，当时，取得最大值.故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得最大的销售利润.
【点睛】本题考查二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=（销售价—进价）每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值方法，属于基础题．
4．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的关系式为，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数关系式，令，解出，即可得到答案．
【详解】由于小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的关系式为所以令，得（舍）或.
故小球从抛出至回落到地面所需要的时间是
故答案选A
【点睛】本题考查运动函数方程，是二次函数的实际应用，属于基础题．
5．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量与大气压强成正比例函数关系．当时，，则与的函数关系式为
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，将代人解析式中，计算出值，即可得到答案．
【详解】由题意设，将代人解析式可得，故，考虑到含氧量不可能为负，可知.
【点睛】本题考查正比例函数的解析式 ，属于基础题．
6．某地固定电话市话收费规定：前三分钟元（不满三分钟按三分钟计算），以后每加一分钟增收元（不满一分钟按一分钟计算），那么某人打市话用时550秒，应支付电话费
A．元B．元C．元D．元
【答案】B
【分析】设所用时间为分钟，应支付电话费为元，根据题意求出当时，与的函数关系式，代值计算即可得答案．
【详解】设所用时间为分钟，应支付电话费为元，
则（是不小于的最小整数，），令，故，则.
故答案选B
【点睛】本题考查实际问题中求函数的解析式以及函数值，属于基础题．
7．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（ ）
①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；
④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1B．2
C．3D．4
【答案】C
【分析】认真观察图形就可以判断.
【详解】由图知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；
“生活费收入指数”在2014～2015年最陡；故②正确；
“生活价格指数”在2015～2016年最平缓，故③不正确；
“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确．
故选：C.
8．若函数经过点，则函数的零点是（ ）
A．0，2B．0，C．0，D．2，
【答案】C
【分析】转化条件为，解方程即可得解.
【详解】函数经过点，，∴，
∴，
令，则
所以函数的零点是0和．
故选：C.
9．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的特点即可判断出增长速度.
【详解】因为指数函数是几何级数增长，当x越来越大时，增长速度最快.
故选：B．
10．在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
A．y=2xB．y=lg2x
C．y=(x2-1)D．y=2.61x
【答案】B
【分析】结合表中数据，根据函数的性质判断.
【详解】对于A，函数是指数函数，增长速度很快，且在时，时，代入值偏差较大，不符合要求；
对于B，函数，是对数函数，增长速度缓慢，且在时，时，基本符合要求；
对于C，函数是二次函数，且当时，时，代入值偏差较大，不符合要求；
对于D，函数，当时，不符合要求，
故选：B.
11．函数在下列区间内一定有零点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】直接利用零点存在定理判断.
【详解】因为函数连续，
且，
所以在区间内一定有零点，
故选：C
12．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【解析】依题意画出函数图象，函数的零点，转化为函数与函数的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；
【详解】解：因为，画出函数图象如下所示，
函数的有两个零点，即方程有两个实数根，即，即函数与函数有两个交点，由函数图象可得或，
故选：D
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二、填空题
13．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量_______m3．
【答案】16
【解析】由表格列出分段函数，再将水费代入求解对应用水量即可
【详解】设用数量为，交纳水费为，由题可知，当时，解得，
故答案为：16
【点睛】本题考查实际问题中函数模型的应用，属于基础题
14．若成立，则的取值范围是___________．
【答案】
【详解】如图所示，分别画出函数与的图象，由于两函数的图象都过点（1，1），
由图象可知不等式的解集为.
15．图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费（元）与通话时间之间的函数关系的图像，根据图像判断：通话，需付电话费______元；通话，需付电话费______元；如果，电话费（元）与通话时间之间的函数关系式是_______．
【答案】 6
【分析】（1）根据图像可知通话3分钟以内收费为3.6元，（2）根据时的函数值解答，（3）设与的关系式为，利用待定系数法求出一次函数解析式．
【详解】由题图知，通话3分钟以内收费为3.6元，所以通话，需付电话费元，
根据图像可知，分钟，元，所以通话，需付电话费6元.
当时，设与的关系式为设，
由于图像过点，，则有
解得.
故答案为3.6，6，
【点睛】本题考查一次函数的应用，主要利用待定系数法求一次函数的解析式，准确识图确定函数图像经过的点的坐标，并理解射线的意义是解题的关键．
16．把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是________．
【答案】2 cm2．
【详解】试题分析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，则可得到这两个正三角形面积之和，利用二次函数的性质求出其最小值．
解：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，两个三角形的面积和为
S=x2+（4﹣x）2=x2﹣2x+4．
令S′=x﹣2=0，则x=2，所以Smin=2．
故答案为2 cm2．
点评：本题考查等边三角形的面积的求法，二次函数的性质及最小值的求法．
17．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为_______．
【答案】或
【分析】根据函数两个不同的零点，由方程有两个不同的实数根求解.
【详解】因为函数有两个不同的零点，
所以方程有两个不同的实数根.
所以，
解得或.
故答案为：或.
18．函数在区间和内各有一个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由二次函数的特点和零点存在定理可构造不等式组求得结果.
【详解】为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
，即，解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
19．函数零点的个数为___________.
【答案】2
【解析】根据函数的解析式，令，结合一元二次方程和对数的运算性质，即可求解.
【详解】当时，令，即，解得或（舍去）；
当时，令，即，解得，
所以函数有两个零点.
故答案为：2.
20．已知函数f(x)＝有3个零点，则实数a的取值范围是_________．
【答案】（，1）
【解析】通过函数图像可以判断出a＞0且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，从而解出答案.
【详解】∵函数f(x)＝有3个零点，
当a=0时，函数只有1个零点，当a0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
车速/（km/h）
10
15
30
40
50
刹车距离/m
4
7
12
18
25
车速/（（km/h）
60
70
80
90
100
刹车距离/m
34
43
54
66
80
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3