湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（B卷）（B卷+B卷）

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命题人：李昊､欧阳东凌､陈诗如 审题人：张志军 时量：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷（选择题）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合为|x|≤3的集合．
【详解】由题意，满足|x|≤3的集合，可得：，
故选：B
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂指运算的性质，可得答案.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
3. 桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其三视图如图所示．则组成此几何体需要正方体的个数是（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查由三视图判断几何体，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【详解】根据俯视图可知该组合体共2行､4列，
结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：
则组成此几何体需要正方体的个数是8，
故选：B．
4. 下列方程中两根之和为6的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断每个方程的是否大于等于0，确定方程是否有解，进而利用根与系数的关系求解即可得结论.
【详解】对于A：，，所以方程无实数根，故A不满足题意，
对于B：，，
所以方程有两个不等实数根且两根之和为，故B不符合题意；
对于C：，，
所以方程有两个不等实数根且两根之和为，故C不符合题意；
对于D：，，
所以方程有两个不等实数根且两根之和为，故D符合题意.
故选：D.
5. 设集合，若，则（ ）
A. 或或2B. 或C. 或2D. 或2
【答案】C
【解析】
【分析】
分和讨论，即得解.
【详解】当时，，符合题意；
当时，或. 当时，符合题意；当时，，与集合元素的互异性矛盾.所以舍去.
故或.
故选：C
【点睛】本题主要考查元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．
【详解】分两种情况讨论：
①当时，反比例函数，在一､三象限，
而二次函数开口向上，与y轴交点为，都不符；
②当时，反比例函数，在二､四象限，
而二次函数开口向下，与y轴交点为，C符合．
故选：C．
7. 关于的不等式组恰好有5个整数解，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别解一元一次不等式，进而确定不等式组的解，再利用整数解的个数求出范围.
【详解】解不等式，得；解不等式，得，
而不等式组有解，则，其解为，
由不等式组恰好有5个整数解，得，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
8. 定义：若抛物线的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，（为正整数）．若，当为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A. 或B. 或C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的对称性可知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1，据此解答即可．
【详解】因为直线经过点，则，解得，
直线，
由抛物线的对称性知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，
所以该等腰三角形的高等于斜边的一半，
因为，结合题意可知该等腰直角三角形的斜边长小于2，
斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1），
因为当时，，
当时，，
当时，，
所以美丽抛物线的顶点只有，
①若为顶点，由，则；
②若为顶点，由，则，
综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线．
故选：B
【点睛】关键点睛：此题主要考查新定义问题，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项.
【详解】当均为负数时，；
当两负一正时，；
当两正一负时，；
当均为正数时，；
∴，A、B错误，C、D正确.
故选：CD
10. 如图，下列是国家统计局公布的数据，下列关于这组数据的说法正确的是（ ）
A. 众数是2.1B. 中位数是1.6
C. 平均数是2.08D. 方差大于1
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平均数，众数，中位数以及方差的计算公式，分别对每一项进行分析计算即可得解．
【详解】对A：因为2.1出现了2次，出现的次数最多，所以众数数是2.1，故A正确；
对B：把这些数从小到大排列为：，中位数是2.1，故B错误；
对C：平均数是：，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：AC．
11. 已知二次函数的图象与轴有两个交点，则下面说法正确的是（ ）
A. 该二次函数的图象一定过定点；
B. 若该函数图象开口向下，则的取值范围为：；
C. 当，且时，的最大值为；
D. 当，且该函数图象与x轴两交点的横坐标满足时，m的取值范围为：
【答案】ABD
【解析】
【分析】代入，解得，即可求解A，根据判别式即可求解B，利用二次函数的单调性即可求解C，利用二次函数的图象性质即可列不等式求解.
【详解】由可得，
当时，，故二次函数的图象一定过定点，A正确，
若该函数图象开口向下，且与轴有两个不同交点，则，
解得：，故B正确，
当，函数开口向上，对称轴为，故函数在时，单调递增，
当时，，故的最大值为；C错误，
当，则开口向上，又时，
则，且，且，
且，解得，m的取值范围为：，D正确，
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则式子的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可化简，从而可求解
【详解】由题意得.
故答案为：.
13. 如图，一段抛物线记为，它与轴交于点、；将绕点旋转得到，交轴于点；将绕点旋转得到，交轴于点如此进行下去，直至得到．若在第13段抛物线上，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】结合图象根据图象的变换规律，可得出图象与轴的交点坐标，从而得出的表达式，代入求解即可.
【详解】由题知图象与轴的交点坐标分别为，，图象在x轴上方，
图象与轴的交点坐标分别为，，图象在x轴下方，
图象与轴的交点坐标分别为，，图象在x轴上方，
以此类推，图象与轴的交点坐标分别为，，且图象在x轴上方，
的表达式为，
当时，，即.
故答案为：.
14. 给定实数集合，，定义运算.设，，则中的所有元素之和为______.
【答案】29970
【解析】
【分析】
【详解】由，
则可知所有元素之和为.
故答案为：29970.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若满足，求的值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据判别式列不等式来求得的取值范围.
（2）利用根与系数关系以及对的符号进行分类讨论，由此求得的值.
小问1详解】
关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，取值范围为．
【小问2详解】
关于的一元二次方程有两个实数根，
①，②．
，
当时，有③，
联立①③解得：，
当时，有④，
联立①④解得：（不合题意，舍去）．
符合条件的的值为4．
16. 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出1个小球．
（1）取出的3个小球上恰好有1个､2个和3个元音字母的概率分别是多少？
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，是元音字母；是辅音字母）
【答案】（1）（1个元音），（2个元音），（3个元音）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据古典概型求得所有的结果；
（2）首先求得取出的3个小球上全是辅音字母的情况，然后利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
如图所示，所有可能出现的情况有种，
记三个小球上恰好有一个、两个和三个的元音字母为事件,
事件发生的情况有种，事件发生的情况有种，事件C发生的情况有种，
所以.
【小问2详解】
由树状图知共有12种等可能结果，
取出的3个小球上全是辅音字母的有2种情况，
所以取出的3个小球上全是辅音字母的概率为.

17. 对､定义一种新运算“”，规定：（其中､均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．
（1）已知．
①求的值；
②若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母的取值范围．
（2）若运算“”满足加法的交换律，即对于我们所学过的任意数，结论“”都成立，试探索a､b所应满足的关系式．
【答案】（1）①；②；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组､一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据已知算式得出方程组或不等式组是解此题的关键．
（1）①根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可；
②先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于t的不等式组，求出解集即可；
（2）根据新运算得出等式，整理后即可得出答案．
【小问1详解】
①，
∴
解得：；
②∵
∴
即，
解得：
关于x的不等式组有且只有一个整数解，
，
解得：，
即字母t的取值范围是；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
为任意数，
不一定等于0，
，
即所应满足的关系式是．
18. 定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；
（1）求集合的生成集B；
（2）若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
（3）若集合，A的生成集为B，求证.
【答案】（1）
（2）或
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出；
（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；
（3）求出的范围即可证明出结论
【小问1详解】
由题可知，
(1)当时， ，
(2) 当时，，
（3）当或时，
所以
【小问2详解】
（1）当时，，
（2）当时，
（3）当或时，
B的子集个数为4个，则中有2个元素，
所以或 或 ，
解得或（舍去）,
所以或.
【小问3详解】
证明：，
，
，
，
，
设任意，取，则，所以，
则，
所以；
所以
19. 已知抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
（1）求值；
（2）点Ax1,y1在抛物线上，点在抛物线上．
（i）若，且，求的值；
（ii）若，求的最大值．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）求出抛物线和的顶点横坐标，根据题意列方程，即可求解；
（2）先求出，（i）列出方程，即可求出h的值；
（ii）求出关于的方程，结合二次函数的性质，即可求得最大值．
【小问1详解】
由抛物线 的顶点的横坐标为，
又由抛物线的顶点的横坐标为，
因为抛物线 的顶点的横坐标比的顶点的横坐标大，
可得，解得.
【小问2详解】
由点Ax1,y1在抛物线上，可得，
又由点在抛物线上，可得，
则，所以，
（i）因为，所以，可得，
因为，可得，则.
（ii）将代入，可得，
即，当，即时，取最大值．