河北省保定市2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学试题

这是一份河北省保定市2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学试题，共12页。试卷主要包含了考试过程中考生答题必须使用0，AB 10等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷由选择题和非选择题两部分构成，其中选择题60分，非选择题90分，总分150分，考试时间120分钟。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.考试过程中考生答题必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域，在其他区域作答无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．若数列为等差数列，且，则等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．直线与圆交于，两点，则的面积为（ ）
A．B．2C．D．
4．从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ）
A．4B．3C．2D．6
7．从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从乙袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从两袋中有放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则是（ ）
A．4个球不都是红球的概率B．4个球都是红球的概率
C．4个球中恰有3个红球的概率D．4个球中恰有1个红球的概率
8．如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的有（ ）
A．若，为对立事件，则
B．若，为互斥事件，则
C．若，则，相互独立
D．对于任意事件，，有
10．已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与向量的夹角为
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量与向量，共面
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．的面积为
D．直线与圆相切
12．已知数列中，，，数列中，，则（ ）
A．数列为等差数列B．数列的前5项和为
C．数列为等比数列D．数列为等差数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为____________.
14．如图，在平行六面体中，是的中点，设，，.则____________.（用，，表示）
15．已知数列的前项和满足：，数列的前项和满足：，记，则数列的前10项和为____________.
16．已知抛物线的焦点为，圆，圆心是抛物线上一点，直线，圆与线段相交于点，与直线交于，两点，且，若，则抛物线方程为____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在直角坐标系中，，，且圆是以为直径的圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，求实数的值.
18．（12分）
如图，三棱柱中，，，，点为的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）若为正三角形，求与平面所成角的正弦值.
19．（12分）
某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为，，，…….
（1）写出和，并求出与之间的递推关系式；
（2）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式.
20．（12分）
算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具，下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位，十位，百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被3整除”，“表示的三位数能被5整除”.
（1）判断事件，是否相互独立；
（2）求事件，至少一个发生的概率.
21．（12分）
如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内.
（1）若中点为，求的面积；
（2）若平面，求线段长度的最小值.
22．（12分）
已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、.
（1）求椭圆的方程；
（2）记直线，的斜率分别为、，求的值；
（3）证明直线过定点，并求该定点坐标.
高二期末考试参考答案
1-8：ADBA BCCC
9.AB 10.ABD 11.ACD 12.ABD
13. 8
14.
15.1033
16.
17.（1）由已知得，------------2分
------------4分
圆的方程为------------5分
（2）法一：
圆心
到直线的距离------------8分
得
实数的值为1------------10分
法二:
直线过点，恰为点，即点为切点，
，------------8分
，------------10分
18.
（1）证明：取中点，连接，
------------2分
------------4分
又
------------6分
（2）过点作的延长线为轴，以为轴，
过点作的平行线为轴，如图建立空间直角坐标系，------------7分
则,,,,
------------8分
设平面的法向量为则
令，得------------10分
设B1C与平面A1DC所成角为
B1C与平面A1DC所成角的正弦值为------------12分
19.（1），，
， 2分
，即 4分
（2）证明：
------------8分
是以50为首项，为公比的等比数列。------------10分
，------------12分
20.（1）通过树状图列举，基本事件总数为8个，相应组成的三位数字分别为111、115、151、155、511、515、551、555。其中A事件发生的总数为2，B事件发生的总数为4，AB同时发生的事件总数为1.------------2分
------------4分
------------6分
事件A与事件B相互独立
（2）法一：
法二：------------12分
21.（1）连接、、
同理
是正方形对角线AC中点
------------2分
即
------------4分
（2）
取中点，连接，，
易得
又
------------6分
同理
------------8分
------------9分
，且当时取得的最小长度------------11分
由等面积法得的最小长度为------------12分
法二：取，
则,------------6分
------------7分
代入整理得
------------9分
动点在平面内
,-----------10分
当且仅当时，有最小值为------------12分
法三：
由第一问知,如图建立
空间直角坐标系，------------5分
则，
,,
,------------6分
同理
,------------7分
,
设平面D1AE的法向量为则
令，得------------9分
设点，
，则------------10分
当且仅当时，有最小值为------------12分
22.（1）由已知得，可得椭圆的标准方程为------------2分
（2）法一：设则圆：
圆过（0,0），代入圆的方程得------------4分
------------6分
法二：设，圆半径为r，则圆：，
圆过（0,0），设------------4分
------------6分
（3）设直线，
，------------8分
由第一问知，
，
韦达定理代入化简得------------10分
解得，------------12分