湖南省长沙市岳麓区周南梅溪湖中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题（原卷版）

这是一份湖南省长沙市岳麓区周南梅溪湖中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题（原卷版），共4页。试卷主要包含了 若是方程的一个根，则的值为等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A. 1，4，5B. 0，， C. 1，，5D. 1，，
3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象开口向下B. 当时，随的增大而减小
C. 当时，随的增大而减小D. 图象的对称轴是直线
5. 如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 若是方程的一个根，则的值为（ ）
A. 2020B. C. 2019D.
8. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
9. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
10. 为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（ ）

A B. C. D.
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 将一元二次方程化成的形式为______．
12. 把二次函数图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是__________．
13. 当______时，关于方程是一元二次方程．
14. 已知方程的两根分别为和，则__________．
15. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．
16. 二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②时，y随x的增大而增大；③；④不等式的解集是；其中正确的是________．（填序号）
三．解答题（共6小题，满分72分）
17 解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
19. 已知二次函数
（1）把函数表达式配方成形式为 ．
（2）函数图象的开口方向向 ，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，函数图象与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ．
（3）函数的图象可由抛物线向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度得到；
（4）根据图象，写出时，x的取值范围是 ．
（5）当y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ．
20. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
（2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
22. 已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“和谐点”．
（1）求出直线y=3x﹣2的“和谐点”坐标；
（2）若抛物线y=﹣x2+（a+1）x﹣a+1上有“和谐点”，且“和谐点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求W=x12+x22的最小值；
（3）若函数y=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2的图象上存在唯一的一个“和谐点”且当2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值．