湖南省长沙麓山国际实验学校2024-2025学年高三上学期第一次学情检测数学试卷（Word版附解析）

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总分：150分 时量：120分钟
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数，则z的虚部为（ ）．
A. 3B. C. iD.
3. 已知向量，则在上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
5. 已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A B. C. D.
6. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D.
8. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每小题6分，共18分，每题全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）
9. 下列说法中，正确的命题有（ ）
A. 已知随机变量服从正态分布，则
B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3
C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
D. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为16
10. 已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数
C. 的图象关于点对称
D. 在上单调递增
11. 如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 平面
C. 的最小值为
D. 当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 记为等差数列的前n项和，若，，则________.
13. 数列的前项和为，若，则_____________．
14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是______．
四、解答题（共77分）
15. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
（1）求；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
16. 某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；
（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为，求随机变量的分布列和期望．
附：.
17. 如图所示，在三棱锥中，与AC不垂直，平面平面，．
（1）证明：；
（2）若，点M满足，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知直线与抛物线交于两点，且．
（1）求；
（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
19. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列an.
（1）求数列an的通项公式；
（2）求最小值；
（3）若数列bn满足，对于，证明：.
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
25
女生
35
合计
0.100
0.050
0.010
0001
2.706
3.841
6.635
10.828