2024-2025学年安徽省淮南市高新区九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省淮南市高新区九年级（上）开学数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 27B. m3n2C. 12D. 6
2.已知直线y=kx+b满足k>0，b<0，则直线y=kx+b不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.下列关于▱ABCD的叙述，正确的是( )
A. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形B. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形
C. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形D. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
4.如图，正方形ABCD由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF=( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 35°
5.如图，直线y=2x和y=kx+b相交于点P(2,4)，则不等式(2−k)x≤b的解集为( )
A. x≥4
B. x≤4
C. x≥2
D. x≤2
6.如图，向高为H的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面圆半径为1，那么注水量与水深的函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
7.满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是( )
A. AB= 41，BC=4，AC=5B. AB：BC：AC=3：4：5
C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5D. ∠A=40°，∠B=50°
8.如图直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为( )
A. 16B. 6C. 4D. 5
9.如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若A(3,0)，B(0,4)，则C的坐标为( )
A. (−5,4)
B. (−5,−4)
C. (−4,−4)
D. (−4,3)
10.如图，矩形ABCD中，AD=BC=3，AB=CD=5，点E为射线DC上的一个动点，将▵ADE沿AE折叠得到▵AD′E，连接D′B，当▵AD′B为直角三角形时，DE的长为( )
A. 1或4B. 43或9C. 1或9D. 43或1
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.某校规定学生的学期体育成绩由三部分组成：体育课外活动成绩占学期成绩的20%，理论测试占30%，体育技能测试占50%，一名同学上述的三项成绩依次为90、70、80，则该同学这学期的体育成绩为______．
12.一次函数y=4x−2与x轴的交点坐标是______．
13.“赏金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子的价格打8折，若购买种子数量为xkg，付款金额为y元，当0≤x≤2时，y与x的函数解析式为 ；当x>2时，y与x的函数解析式为 ．
14.已知菱形的一条对角线长为6cm，面积为24cm2，则菱形的周长是 cm．
15.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是______．
16.如图在△ABC中，M是BC边上的中点，AP是∠BAC的平分线，BP⊥AP于点P，已知AB=8，AC=13，那么PM的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)( 6−2 15)× 3−6 12；
(2) 12− 9÷ 3．
18.(本小题8分)
图①，图②是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点(又称为“格点”)上．
(1)请在图①中画一个以A，B为顶点，面积为6的平行四边形，另外两顶点C，D在格点上．
(2)请在图②中画一个以A，B为顶点的菱形，另外两顶点C，D在格点上，并求出此菱形的边长．
19.(本小题12分)
如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，旗杆折断之前有多高？
20.(本小题12分)
【问题情境】德化为世界瓷都，德化陶瓷以精湛的工艺、独特的风格和卓越的品质，成为了世界陶瓷产业中的一颗璀璨明珠.同学们到某陶瓷厂开展“利用瓷器烧制前与烧制后的高度之比探究瓷坯收缩比例”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集用白瓷瓷土和紫沙瓷土制作的瓷坯各8件，通过测量这些瓷坯烧制前后的高度，然后计算烧制前与烧制后的高度比，最后整理数据如下：(记白瓷瓷坯烧制前的高度白瓷瓷坯烧制后的高度=t1，紫沙瓷坯烧制前的高度紫沙瓷坯烧制后的高度=t2)
【实践探究】分析数据如下：
【问题解决】
(1)上述表格中，m= ______，n= ______．
(2)现有1个瓷器烧制前的高度为0.94米，烧制后的高度为0.8米，则这种瓷器更可能由上述中的哪种瓷土烧制而成？请说明你的理由．
(3)小明同学说：“从瓷坯烧制前与烧制后的高度比的平均数、中位数和众数来看，我发现白瓷瓷坯烧制后与烧制前的高度比约为82%至83%.”这位同学的说法是否合理？请说明理由．
21.(本小题12分)
习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进A，B两类图书，已知A类图书每本的进价36元，B类图书每本的进价45元．
(1)该书店计划用4500元全部购进两类图书，设购进A类x本，B类y本，求y关于x的关系式；
(2)进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元，若书店全部售完可获利W元，求W关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？
22.(本小题14分)
氯化钾的溶解度随温度的升高而增大，在0℃～100℃条件下，氯化钾的溶解度y(g)与温度x(℃)之间近似满足一次函数关系.王倩根据实验数据，画函数图象如下：
注：氯化钾的溶解度表示在一定温度下，氯化钾在100g水里达到饱和状态时所溶解的氯化钾质量．
(1)40℃时，氯化钾的溶解度是______g；
(2)求y关于x的函数解析式；
(3)当温度是34℃时，在100g水中加入37g氯化钾，充分搅拌，是否能完全溶解？请说明理由．
23.(本小题14分)
已知：四边形ABCD是正方形，AB=20，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．
(1)如图1，若∠EDF=45°，AE=CF，求∠DFC的度数；
(2)如图2，若∠EDF=45°，点E，F分别是AB，BC上的动点，求证：△EBF的周长是定值；
(3)如图3，若GD=BF=5，GF和EH交于点O，且∠EOF=45°，求EH的长度．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 27=3 3，不是最简二次根式，则A选项不符合题意；
B、 m3n2=|mn| m，不是最简二次根式，则B选项不符合题意；
C、 12= 22，不是最简二次根式，则C选项不符合题意；
D、 6是最简二次根式，则D选项符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的条件分别进行判断．
本题考查了最简二次根式：掌握最简二次根式的条件(被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式)是解决此类问题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：k>0，直线y=kx+b经过一、三象限；
b<0，y=kx+b图象与y轴的负半轴相交．
故此直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
根据k，b的取值范围确定图象在坐标平面内的位置关系．
此题考查了一次函数图象与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵▱ABCD中，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，选项A符合题意；
∵▱ABCD中，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；
∵▱ABCD中，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；
∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；
故选：A．
由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误，C正确；即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：连接EF．
∴AE= 22+12= 5，EF= 22+12= 5，AF= 32+12= 10．
∵AE2+EF2=AF2，AE=EF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°．
故选：B．
连接EF，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AE，EF，AF的长度，继而可得出∠EAF的度数．
本题考查了勾股定理及其逆定理，判断△AEF是等腰直角三角形是解决本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵直线y=2x和y=kx+b相交于点P(2,4)，
∴不等式2x≤kx+b的解集为x≤2，即不等式(2−k)x≤b的解集为x≤2．
故选：D．
根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，主要考查学生观察图形的能力和理解能力，利用数形结合是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由于圆柱形水杯中是均匀的物体，随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高的．
可知，只有选项A适合均匀升高这个条件．
故选：A．
根据圆柱形水杯中是均匀的物体，随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高，判断函数为正比例函数关系式．
本题需注意容器是均匀的，注水量也将随着水深均匀增多．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形的判定和三角形的内角和定理，注意：①如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形，②三角形的内角和等于180°．
根据勾股定理的逆定理或三角形内有一个角是90°的三角形为直角三角形进行逐项判断即可．
【解答】
解：A.因为AB= 41，BC=4，AC=5，
所以BC2+AC2=16+25=41，而AB2=41，即BC2+AC2=AB2，
所以∠C=90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.因为AB：BC：AC=3：4：5，
所以设AB=3x，BC=4x，AC=5x，
因为AB2+BC2=(3x)2+(4x)2=25x2，AC2=(5x)2=25x2，
所以AB2+BC2=AC2，
所以∠B=90°，
所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.因为∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
所以最大角∠C=53+4+5×180°=75°，
所以△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
D.因为∠A=40°，∠B=50°，
所以∠C=180°−∠A−∠B=90°，
所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选C．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，得AC=CD，∠ABC=∠CED=∠ACD=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠ECD=90°，
∴∠BAC=∠ECD，
在△BAC和△ECD中，
∠ABC=∠CED∠BAC=∠ECDAC=CD，
∴△BAC≌△ECD(AAS)，
∴AB=CE，BC=DE，
∵a，c的面积分别为5和11，
∴AB2=5，DE2=11，
∴BC2=11，
根据勾股定理，AC2=5+11=16，
∴b的面积为16，
故选：A．
根据正方形的性质，易证△BAC≌△ECD(AAS)，可得AB=CE，BC=DE，根据a，c的面积以及勾股定理即可求出b的面积．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵A(3,0)，B(0,4)，
∴OB=4，OA=3，
∴AB= 32+42=5，
∵菱形ABCD，
∴BC=AB=5，
∴点C的坐标为(−5,4)，
故选：A．
根据勾股定理可得AB=5，进而利用菱形的性质解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据勾股定理可得AB=5．
10.【答案】C
【解析】解：①如图1，当点E在线段DC上时，
∵∠ED′A=∠D=∠AD′B=90°，
∴B，D′，E三点共线，
∵S△ABE=12×AB×AD=12×BE×AD′，
∴BE=AB=5，
∵BD′= AB2−AD′2= 52−32=4，
∴DE=D′E=BE−BD′=5−4=1；
②如图2，当点E在DC的延长线上时，
∵∠AD′B=∠BCE=90°，AD′=AD=BC=3，AB=CD=5，
∴BD′=4，
设CE=x，则：
D′E=DE=x+5，
∴BE=D′E−BD′=x+1，
∵CE2+BC2=BE2，
∴x2+32=(x+1)2，
解得：x=4，
∴DE=CD+DE=5+4=9，
综上，DE的值为1或9．
故选：C．
注意题目表述为射线DC，所以分为两种情况，一种是点E在线段DC上，另一种是点E在DC的延长线上，利用勾股定理分别求解即可．
本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是分两种情况讨论，特别时第二种比较容易遗漏．
11.【答案】79
【解析】解：该同学这学期的体育成绩为90×20%+70×30%+80×50%=79，
故答案为：79．
因为体育课外活动占学期成绩的20%，理论测试占30%，体育技能测试占50%，利用加权平均数的公式即可求出答案．
本题考查了加权平均数的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
12.【答案】(12,0)
【解析】解：令y=0，即4x−2=0，解得x=12，
∴交点坐标为(12,0)．
故填(12,0)．
令y=0，解得x即为函数与x轴交点坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，是基础题型．
13.【答案】y=5x
y=4x+2

【解析】解：当0≤x≤2时，y与x的函数解析式为：y=5x；
当x>2时，y与x的函数解析式为：y=2×5+5×0.8(x−2)=10+4x−8=4x+2．
故答案为：y=5x；y=4x+2．
根据单价乘以数量，可得价格，可得相应的函数解析式．
此题主要考查了函数关系式，注意超过部分打折计算是解题关键．
14.【答案】20
【解析】解：∵菱形的一条对角线长为6cm，面积为24cm2，
∴另一对角线长为24×2÷6=8(cm)，
∴菱形的两条对角线长度的一半为3cm，4cm，
∴菱形的边长为： 32+42=5(cm)，
则菱形的周长为：5×4=20(cm)，
故答案为：20．
根据菱形的面积可求得另一条对角线的长，再根据勾股定理求得其边长，从而就不难求得周长．
本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的面积公式，综合利用了菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
15.【答案】25
【解析】解：如图：(1)AB= BD2+AD2= 202+152=25；
(2)AB= AE2+BE2= 102+252=5 29；
(3)AB= AC2+BC2= 302+52=5 37．
所以需要爬行的最短距离是25．
要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
解答此题要注意以下几点：
(1)将立体图形展开的能力；
(2)分类讨论思想的应用；
(3)正确运用勾股定理．
16.【答案】2.5
【解析】解：延长BP交AC于H，
在△APB和△APH中，
∠PAB=∠PAH∠APB=∠APH=90°AP=AP，
∴△APB≌△APH(AAS)，
∴BP=PH，AH=AB=8，
∴CH=AC−AH=13−8=5，
∵BP=PH，BM=MC，
∴PM是△BCH的中位线，
∴PM=12CH=2.5，
故答案为：2.5．
延长BP交AC于H，证明△APB≌△APH，根据全等三角形的性质得到BP=PH，AH=AB，根据题意求出CH，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式= 6× 3−2 15× 3−6 12
=3 2−6 5−3 2
=−6 5；
(2)原式=2 3− 3
= 3．
【解析】(1)先根据乘法分配律进行运算，在进行二次根式乘法运算以及将6 12化成最简二次根式，然后进行加减运算即可；
(2)首先将 12化成最简二次根式，并进行二次根式除法运算，然后进行减法运算即可．
本题主要考查了二次根式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
18.【答案】解：(1)∵四边形ACBD面积为6，
∴平行四边形的底可为3，高可为2，
如图所示(答案不唯一)；

(2)∵四边形ACBD为菱形，
∴四边形ACBD对角线垂直平分，
∴作出AB的垂直平分线，
即垂直平分线与方格相交的顶点即为所求的点，
如图所示，

在直角△ABD中，
BD= 32+12= 10，
∴菱形的边长为 10．
【解析】(1)作一个底为3，高为2的平行四边形即可；
(2)作出AB的垂直平分线，即垂直平分线与方格相交的顶点即为所求的点．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
19.【答案】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为4m，旗杆离地面3m折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断的旗杆为 32+42=5(m)，
所以旗杆折断之前高度为3m+5m=8m．
【解析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．
本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．
20.【答案】1.213 1.167
【解析】解：(1)在t2中这8个数据中，1.167出现了2次，出现的次数最多，即这组数据的众数是n=1.167；
t1中将这8个数据按从小到大的顺序排列，其中第4个数是1.212，第5个数是1.214，
∴这组数据的中位数是m=1.212+1.2142=1.213．
故答案为：1.213，1.167；
(2)这种瓷器由紫沙瓷土烧制而成．
理由：因为0.94÷0.8=1.175.而1.175更接近紫沙瓷土烧制前与紫沙瓷土烧制后的高度比，所以这种瓷器更可能由紫沙瓷土烧制而成．
(3)小明同学说法合理．
理由：若瓷坯烧制后与烧制前的高度比约为82%至83%，则瓷坯烧制前与烧制后的高度比就约为183%至182%，而183%≈1.205,182%≈1.220，
所以此时瓷坏烧制前与烧制后的高度比约为1.205至1.220，
故从白瓷瓷土烧制前与白瓷瓷土烧制后的高度比的平均数，中位数，众数来看，刚好均与之相近，所以小明同学的说法合理．
(1)根据众数和中位数的定义求解；
(2)根据计算烧制前与烧制后的高度比解答即可；
(3)根据平均数，中位数，众数解答即可．
本题考查了平均数、中位数、众数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
21.【答案】解：(1)根据题意得：
36x+45y=4500，
∴y=−45x+100；
(2)根据题意得：
W=(38−36)x+(50−45)y=2x+5y=2x+5×(−45x+100)=−2x+500，
∵−2<0，
∴W随x的增大而减小．
∵x≥60，且x为整数，
∴当x=60时，W有最大值，最大值为−2×60+500=380，
∴y=−45x+100=52．
∴当购进A类图书60本，B类图书52本时，该书店所获利润最大，为380元．
【解析】(1)根据“用4500元全部购进两类图书，设购进A类x本，B类y本”即可得出y关于x的关系式；
(2)根据“A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元”可得出两类图书的利润，再根据W=A类图书所获利润+B类图书所获利润，可得W关于x的关系式，利用一次函数的性质可得最大利润．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是找到等量关系得出W与x的函数关系式．
22.【答案】40
【解析】解：(1)从函数图象上可以得出当40℃时，氯化钾的溶解度是40g，
故答案为：40．
(2)设y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0)．
因为y=kx+b的图象过点(10,30)与(40,40)，
所以10k+b=3040k+b=40，
解得k=13b=803．
所以y关于x的函数解析式为y=13x+803．
(3)能完全溶解．
当x=34时，y=13×34+803=38．
因为38>37，
所以能完全溶解．
(1)从函数图象上可得出答案．
(2)用待定系数法求一次函数解析式即可．
(3)求出当x=34时，对应的y的值，然后和37g比较即可得出答案．
本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图象上获取信息是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠CDF=90−45°=45°，
∴∠CDF+∠CDF=45°，
∴∠CDF=22.5°，
∴∠DFC=90°−22.5°=67.5°．
(2)如图2，延长BC到点K，使CK=AE，连接DK，
∵∠DCK=180°−90°=90°，
∴∠DCK=∠A，
∴△DCK≌△DAE(SAS)，
∴DK=DE，∠CDK=∠ADE，
∴∠KDF=∠CDK+∠CDF=∠ADE+∠CDF=45°，
∴∠KDF=∠EDF，
∵DF=DF，
∴△KDF≌△EDF(SAS)，
∴KF=EF，
∵KF=CK+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF，
∴BE+EF+BF=BE+AE+CF+BF=AB+BC，
∵AB=BC=20，
∴BE+EF+BF=40，
∴△EBF的周长是定值．
(3)如图3，作DL/​/EH，交AB于点L，交FG于点P，作DM/​/FG，交BC于点M，交EH于点Q，连接LM，
∵DH/​/LE，DG//FM，
∴四边形DLEH、四边形DGFM、四边形OPDQ都是平行四边形，
∴GD=BF=FM=5，EH=DL，∠LDM=∠POQ=∠EOF=45°，
∴BM=5+5=10；
由(2)得，BL+LM+BM=40，
∴BL+LM=30，
∴LM=30−BL，
∵∠B=90°，
∴BL2+BM2=LM2，
∴BL2+102=(30−BL)2，
解得BL=403，
∴AL=20−403=203，
∵AD=AB=20，
∴DL= 202+(203)2=20 103，
∴EH=20 103．
【解析】【分析】
(1)证明△ADE≌△CDF，得∠ADE=∠CDF=12×45°=22.5°，在Rt△DCF中可求出∠DFC的度数；
(2)延长BC到点K，使CK=AE，连接DK，通过证明三角形全等，证明EF=AE+CF，即可证明△EBF的周长是定值；
(3)过点D作DL/​/EH，交AB于点L，作DM/​/FG，交BC于点M，连接LM，运用(2)中的结论和勾股定理求出BL的长，再用勾股定理求出DL的长即可．
此时考查正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线构造全等三角形．种类
1
2
3
4
5
6
7
8
t1
1.218
1.217
1.208
1.212
1.214
1.212
1.211
1.215
t2
1.174
1.171
1.172
1.175
1.168
1.167
1.167
1.166
种类
平均数
中位数
众数
t1
1.213
m
1.212
t2
1.170
1.170
n