北京市门头沟区大峪中学2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（Word版附解析）

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（满分：150分；时间：120分钟；命题人：李妍玫；审核人：王锋）
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1. 函数的最小正周期为（）
A B. C. D.
2. 若，且，则是
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
3. 的值为（）
A B. C. D.
4. 已知向量，且，则m的值为（）
A. B. 2C. 4D. 或4
5. 比较、、的大小关系（）
A. B.
C. D.
6. 函数的定义域为（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
7. 已知函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
8. 已知，则（）
A. B. C. D.
9. 已知实数“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示.现已知，则该函数的最小值为（）
A. B. C. 1D. 2
二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）
11. 已知是第二象限角，且，则______．
12. 设向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量为______．
13. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________．
14. 当时，函数的最小值为______．
15. 已知函数（）在上的图象有且仅有3个最高点．下面四个结论：
①在上图象有且仅有3个最低点；
②在至多有7个零点；
③在单调递增；
④的取值范围是；
则正确结论是______．（填写序号）
三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 已知是锐角，且．
（1）化简；
（2）若，求的值，
17. 已知，求下列代数式的值：
（1）；
（2）
18. 已知函数．
（1）利用五点法画函数在内的图象；

（2）已知函数（），且的最小正周期为，求的单调递增区间；
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点在单位圆上，（）．
（1）求的值；
（2）若四边形OADB是平行四边形，求点D的坐标；
（3）若，求的值．
20. 已知函数（，），再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知．
条件①：函数两条对称轴之间最短距离为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为1．
（1）求的解析式及最小值点；
（2）已知，若函数在区间上恰好有两个零点，求a的取值范围．
（3）若函数在区间（）上有且仅有2条对称轴，求t的取值范围．
21. 对于集合和常数，定义：为集合相对“余弦方差”.
（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
（2）若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；
（3）若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值.