[数学]河南省濮阳市2024届高三下学期模拟试题(三)(解析版)

这是一份[数学]河南省濮阳市2024届高三下学期模拟试题(三)(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
复数的虚部为.
2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】由题意，抛物线，可得x2=14y，所以，解得，
则抛物线的焦点到准线的距离为.
故选：D.
3. 某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，
因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，
所以，解得，
因为，所以，得，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的轴截面的面积是.
4. 已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A. 12B. C. 6D.
【答案】B
【解析】因为在方向上的投影向量为，
所以，
而，，所以，
所以.
故选：B.
5. 某班派遣五位同学到甲、乙、丙三个街道打扫卫生．每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有（ ）
A. 18B. 24C. 36D. 48
【答案】A
【解析】由题意得，学生的分配人数分别为2，2，1，
由于两位同学去同一个街道，故先从3个街道中选择1个安排，有种，
再将剩余3人分别两组，和两个街道进行全排列，有
故不同的派遣方法有种.
故选：A.
6. 如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，因为的周期为，所以，
，
所以折成直二面角时，，
解得，所以，
所以，，
因为，所以或，
又因为函数在轴右侧附近单调递减，所以．
故选：D.
7. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，得，即，
记，则，对求导得，
因为当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
且当时，且，当时，，当时，，
则函数的大致图象如图，
记，由于有三个不同的零点，
所以必有两个不同的零点，记为，
当时，有，即，无解；
当时，有，即，无解；
当时，有，即，
解得，
所以的取值范围为.
故选：B.
8. 点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】圆与轴相切于焦点，轴，可设，
在椭圆上，，解得：，圆的半径为；
作轴，垂足为，
，，
为锐角三角形，，，
，即，解得：，
即椭圆离心率的取值范围为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ）
A. 数据的第75百分位数是6
B. 若事件的概率满足，则
C. 由两个分类变量成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断独立
D. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
【答案】BD
【解析】对于A，9个数据从小到大排列，由于，所以第75百分位数应该是第7个数8，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由，不可判断独立，故C错误；
对于D，样本点都在直线，说明是负相关且为线性函数关系，所以相关系数为，故D正确，
故选：BD.
10. 如图，正方体的棱长为4，点是其侧面上的一个动点（含边界），点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在点，使得二面角大小为
B. 存在点，使得平面与平面平行
C. 当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为
D. 当为的中点时，四棱锥外接球的表面积为
【答案】BC
【解析】对于A，在正方体中，可得平面，
因为平面，平面，所以，
所以二面角的平面角为，其中，所以A错误；
对于B，如图所示，当M为中点，为中点时，
在正方体中，可得，
因为平面，且平面，所以平面，
又因为，且平面，且平面，所以平面，
因为，且平面，所以平面平面，所以B正确；

对于C，如图所示，取中点，连接，，，
在正方体中，平面，且，
所以平面，因为平面，可得，
则，
则点在侧面内运动轨迹是以为圆心、半径为2的劣弧，
分别交，于，如图所示，则，
结合对称性可知，，
则，劣弧的长为，所以C正确；
对于D，当为中点时，可得为等腰直角三角形，且平面平面，
连接与交于点，可得，
所以四棱锥外接球的球心即为与的交点，
所以四棱锥外接球的半径为，其外接球的体积为，所以D错误.
故选：BC.
11. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为奇函数
C. 是周期函数D.
【答案】ACD
【解析】对于A，由对于任意都满足，
令，则，所以A正确；
对于B，令，可得，即，
所以函数关于点对称，所以B错误；
对于C，又由为偶函数知关于直线对称，即，
可得，则，所以，
所以函数的周期为，故C正确；
对于D，令，则，
可得，
所以，所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】若，则对于任意恒成立，
即对于任意恒成立，
根据二次函数性质可知，当时，，
所以实数的取值范围为.
13. 已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则______，的最小值为______．
【答案】
【解析】由题可知，
所以，
，
令，则，
当时，，即，
下面用数学归纳法证明：
当时，成立，假设时，成立，
当时，，
即时也成立，
所以当时，，即，
所以时，，时，，
所以当时，有最小值，最小值为.
14. 设，记为三个数中最大的数，则的最小值_________．
【答案】2
【解析】由，
①当时，，
而，可得至少有一个不小于2,
则的最小值为2；
②当时，，
而，可得至少有一个不小于2，
的最小值不小于2.
综上，的最小值为2.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角所对的边分别为，设满足条件和．
（1）求角和；
（2）求．
解：（1）由余弦定理得．因为，所以．
由已知条件，应用正弦定理
，
即，所以．
（2）因，所以．又，
所以，
所以．
因，
所以．
16. 如图，侧面水平放置的正三棱台，且侧棱长为．

（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值．
（1）证明：延长三条侧棱交于一点，如图所示．

由于，则为的中位线．
又侧棱长为，所以．所以，所以，
同理可得．
因为是平面内两条相交直线，所以平面，即平面．
（2）解：由（1）可知两两垂直，可以以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则．
设平面的一个法向量为，
由于，
所以，
即平面的一个法向量为，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
17. 黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（为常数）密切相关，请解决下列问题：
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）当时，证明有唯一极值点．
（1）解：当时，，
此时，又，
所以在点处的切线方程为，
即．
（2）证明：由题意得，
令，
，令，可得，依题意得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，所以，
又因为，
所以，存在唯一．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以存唯一极大值点，且．
18. 已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上．
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）设双曲线的半焦距为cc>0，
由题意可得，解得，
所以的方程为x24-y212=1．
（2）假设存在常数满足条件，由（1）知，
设直线，
联立方程得，消去，整理可得，
所以，，
．
因为直线过点且与左、右两支分别交于，两点，
所以两点在轴同侧，所以．
此时，即，所以．
设，
将代入抛物线方程，得，
则，
所以
．
所以．
故当时，为定值，
所以，当时，为定值．
19. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失．设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中．
（1）设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望；
（2）设结束后，细胞数量为的概率为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）证明：．
（1）解：结束后，的取值可能为，其中，
，
所以分布列为
．
（2）（ⅰ）解：表示分裂结束后共有2个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个细胞.
不妨设在第时分裂为2个细胞，之后一直有2个细胞，此事件概率
，
所以
．
（ⅱ）证明：代表分裂后有3个细胞的概率，设细胞在后分裂为2个新的细胞，
这2个细胞在剩下的中，其中一个分裂为2个细胞，一个保持一直分裂为1个细胞，
此事件的概率，
得，
，
其中．
令，
记，令，得．
当单调递增；当单调递减．
故，所以．1
2
3
4