[数学]黑龙江省龙东十校2025届高三上学期开学考试试题(解析版)

这是一份[数学]黑龙江省龙东十校2025届高三上学期开学考试试题(解析版)，共12页。试卷主要包含了 若集合，则， 若，则， 函数的极值点为， 已知，，则， “”是“”的， 已知函数满足等内容，欢迎下载使用。

1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以.
故选：D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. 12D.
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
3. 函数的极值点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
令，得，此时函数单调递减；令，得，此时函数单调递增.
所以的极小值点为.
故选：B.
4. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因由可得，
又，由可得，
故得，.
故选：D.
5. 已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为幂函数的图象过定点，即有，
所以，
即的图象经过定点.
故选：B.
6. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】必要性：由，可得，
则，即.
所以“”是“的必要条件；
充分性；由，可得，
即，
则，得或.
所以“”不是“的充分条件；
故选：B.
7. 如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，液面半径为，
如图可得，,则，即，
则由，解得.
由，当时，，
即时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.
故选：A.
8. 已知函数满足：对任意实数x，y，都有成立，且．给出下列四个结论：
①；
②的图象关于点对称；
③若，则；
④，．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③B. ③④C. ②③D. ②④
【答案】C
【解析】对于①，令，则，所以，故错误；
对于②，令，则，
所以的图象关于对称，所以的图象关于点对称，故正确；
对于③，因为，若，则，故正确；
对于④，令，则，可得，
令，则，故错误.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A.
B.
C. 至少存在两个质数的平方是偶数
D. 存在一个直角三角形的三个内角成等差数列
【答案】BD
【解析】 “”不是存在量词命题，A错误.
，故B正确
因为只有质数2的平方为偶数，所以不存在两个质数的平方是偶数，C错误.
内角为的直角三角形的三个内角成等差数列，D正确.
故选：BD.
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】因为，
所以，
所以，A，B均正确.
，
因为，所以，C正确，D错误.
故选：ABC.
11. 已知函数有4个不同的零点，则的取值可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】由题意可得方程有4个不同的根.
方程的2个根为，
所以方程有2个不同的根，且，
即函数与函数的图象有两个交点.
当直线与函数的图象相切时，设切点为，
因为，所以解得.
要使函数与函数的图象有两个交点，只需直线的斜率大于，
即.
设（），则，
由，所以在上单调递增，在单调递减，
所以的最大值为.
所以.
故的取值范围为.
故选：AD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则__________.
【答案】
【解析】因为是定义在上的奇函数，则.
所以.
13. 已知函数，则函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】由，得，由，得，
则，解得，即，
即函数的定义域为.
14. 已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】由题意可得.
由，得，
由，得.
因为，所以，
则解得，即的取值范围是.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求的解析式；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）求的值.
解：（1）（方法一）令，得，
则，
所以.
（方法二）因为，
所以.
（2）函数的定义域为关于原点对称，
且
故，即为偶函数.
（3）因，
则由（2）可得，，
故.
16. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性.
解：（1），
则因为，
所以曲线y=fx在点处的切线方程为，即.
（2），令，得.
当时，令f'x<0，得，令f'x>0，得或，
所以上单调递减，在上单调递增.
当时，令f'x<0，得或，令f'x>0，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.
17. 已知.
（1）求的取值范围；
（2）求的最小值；
（3）若恒成立，求的取值范围.
解：（1），
因为，所以，所以.
因为为减函数，
所以的取值范围是，
即的取值范围是.
（2）因，
所以，
当且仅当，即，即时，等号成立，
所以的最小值为.
（3）因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
即的取值范围为.
18. 在中，分别是内角的对边，且．
（1）若为的中点，求的长；
（2）若，求的值．
解：（1）因为，
所以，所以．
因为为的中点，所以，
则，
即）
，
则．
故长为.
（2）因为，
所以，
则，
则
即，得．
又，所以，且，
又因为，即，则，
所以，则为锐角，
所以，
所以，
整理得，解得或，
又，所以，故.
19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.
（1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
（2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点.
①求的取值范围；
②证明：.
（1）解：函数是上的“双中值函数”．
理由如下：
因为，所以.
因为，，所以
令，得，即，解得.
因为，所以是上的“双中值函数”.
（2）①解：因为，所以.
因为是上的“双中值函数”，所以.
由题意可得.
设，则.
当时，，则为减函数，即为减函数；
当时，，则为增函数，即为增函数.
故.
因为，所以，所以，即取值范围为；
②证明：不妨设，
则，，即，．
要证，即证．
设，
则．
设，则，
所以φx在0,1上单调递增，所以，所以，
则在上单调递减．
因为，所以，即．
因为，所以．
因为，所以．
因为，所以．
由①可知在上单调递增，所以，即得证．