初中数学人教版（2024）八年级上册12.2 三角形全等的判定精练

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册12.2 三角形全等的判定精练，共45页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16661" 【题型1 利用SSS证明三角形全等】 PAGEREF _Tc16661 \h 1
\l "_Tc3575" 【题型2 SSS与全等三角形的性质综合应用】 PAGEREF _Tc3575 \h 2
\l "_Tc18828" 【题型3 利用SAS证明三角形全等】 PAGEREF _Tc18828 \h 4
\l "_Tc14863" 【题型4 SAS与全等三角形的性质综合应用】 PAGEREF _Tc14863 \h 5
\l "_Tc8431" 【题型5 利用ASA证明三角形全等】 PAGEREF _Tc8431 \h 6
\l "_Tc7303" 【题型6 ASA与全等三角形的性质综合应用】 PAGEREF _Tc7303 \h 7
\l "_Tc19653" 【题型7 利用AAS证明三角形全等】 PAGEREF _Tc19653 \h 9
\l "_Tc30702" 【题型8 AAS与全等三角形的性质综合应用】 PAGEREF _Tc30702 \h 10
\l "_Tc5114" 【题型9 利用HL证明三角形全等】 PAGEREF _Tc5114 \h 11
\l "_Tc13230" 【题型10 HL与全等三角形的性质综合应用】 PAGEREF _Tc13230 \h 12
知识点1：由边边边（SSS）证明两个三角形全等
三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．
当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．
【题型1 利用SSS证明三角形全等】
【例1】（23-24八年级·山西晋中·期末）如图1是某款雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．测得AB=AC，点E，F分别是AB，AC的三等分点，ED=FD，那么△AED≌△AFD的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【变式1-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，AD=BC，AC=BD，用三角形全等的判定“SSS”可证明△ACD≌ 或△ABD≌ ．

【变式1-2】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，已知点B，C，D，E在同一条直线上，AB=FC，AD=FE，BC=DE．求证：△ABD≌△FCE．
【变式1-3】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图，点D在△ABC内部，AB=AC，∠CBD=∠BCD．求证：△ABD≌△ACD．

【题型2 SSS与全等三角形的性质综合应用】
【例2】（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由：
已知：AE=DE，EB=EC，AB=CD，∠ACB=30°．求：∠DBC的度数．
解：因为AE=DE，EC=EB（已知）
所以AE+EC=______＋______（等式的性质）
即CA=BD
在△ABC和△DCB中：&&AB=______已知______=BD已证BC=______
所以△______≌△______（ ）
所以∠ACB=∠ ______（全等三角形的______相等）
因为∠ACB=30°
所以∠DBC= ______°．
【变式2-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，已知AE=DB，BC=EF，AC=DF，求证：（1）AC∥DF；（2）CB∥EF．
【变式2-2】（23-24八年级·广东肇庆·阶段练习）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，试猜想：
(1)∠BAD与∠CAD的大小关系；
(2)AD与BC的位置关系．并证明你的结论．
【变式2-3】（23-24八年级·吉林·期末）如图，已知点A、D、B、E在同一条直线上，AC=EF，BC=DF，AB=ED．

(1)求证：△ABC≌△EDF；
(2)判断△HDB的形状，并说明理由．
知识点2：由边角边（SAS）证明两个三角形全等
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．
【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．
（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．
【题型3 利用SAS证明三角形全等】
【例3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，小明要测量水池的宽AB，但没有足够长的绳子，聪明的他想了如下办法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，则DE的长度就是AB的长，理由是根据 （用简写形式即可），可以得到△ABC≌△DEC，从而由全等三角形的对应边相等得出结论．

【变式3-1】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，点E、F在AC上，AD=BC，DF=BE，要用SAS证△ADF≌△CBE，则需添加的条件为 ．
【变式3-2】（23-24·云南昆明·八年级·期末）如图，AD=AE，AC=AB．求证：△ACD≌△ABE．

【变式3-3】（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE，求证：△ACD≌△BCE．
【题型4 SAS与全等三角形的性质综合应用】
【例4】（23-24·陕西·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作DE∥BC，且AD=AE，求证：CD=BE．
【变式4-1】（23-24八年级·上海·专题练习）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD=ED，BF=CD，∠FDE=∠B，那么∠B和∠C的大小关系如何？为什么？
解：因为∠FDC=∠B+∠DFB ，
即∠FDE+∠EDC=∠B+∠DFB．
又因为∠FDE=∠B（已知），
所以∠ =∠ ．
已知 已知
在△DFB和△EDC中，
所以△DFB≌△EDC ．
因此∠B=∠C．
【变式4-2】（23-24八年级·内蒙古通辽·期中）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=25°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，延长DA至E．使得AE=AC．在边AC上截取AF=AB，连结EF．
(1)求∠EAF的度数．
(2)求证：EF=BC．
【变式4-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：

(1)AE=CG；
(2)AE⊥CG．
知识点3：由角边角（ASA）证明两个三角形全等
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．
用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．
【题型5 利用ASA证明三角形全等】
【例5】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，∠A=∠B,P为AB的中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N．试说明：△APM≌△BPN．
【变式5-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（ ）
A．①②B．②④C．③④D．①④
【变式5-2】（23-24八年级·山东枣庄·阶段练习）如图，A、E、F、B在同一条直线上，AE=BF，∠A=∠B，∠CEB=∠DFA，试说明：△AFD≌△BEC．

【变式5-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF．求证：△ABC≌△DEF．

【题型6 ASA与全等三角形的性质综合应用】
【例6】（23-24八年级·云南昭通·阶段练习）如图，AB∥CD，DF=EF，AB=12，CD=9，则AE等于 ．
【变式6-1】（23-24八年级·重庆·期末）如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行20m到达树C，继续前行20m到达点D处，再从点D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时，停止行走，此时DE的长度即为河岸AB的宽度．小开这样判断的依据是（ ）

A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【变式6-2】（23-24八年级·浙江·期末）如图，在△ABC和△ADE中，点C在边DE上，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．
(1)求证：△ABC≌△ADE．
(2)若∠ACB=65°，求∠BCD的度数．
【变式6-3】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知AB∥CD，∠ABC,∠BCD的平分线恰好交于AD上一点E，已知AB=2，CD=5，则BC= ．
知识点4：由角角边（AAS）证明两个三角形全等
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．
【题型7 利用AAS证明三角形全等】
【例7】（23-24·陕西西安·八年级·期末）如图，点F在AB上，BC∥AD，AD=AC，∠AED=∠B．求证：△ABC≌△DEA
【变式7-1】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）如图，太阳光线AC和A'C'是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子是一样长的，这利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△A'B'C'的依据是 ．
【变式7-2】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图， 点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F， ∠1=∠2=∠3，AB=AD．求证： △ABC≌△ADE．
【变式7-3】（23-24八年级·安徽合肥期末）如图，在四边形ABCD中，点E在边BC上，∠BAC=∠BCD=∠DAE=90°，AD=AE．求证：△ABE≌△ACD．
【题型8 AAS与全等三角形的性质综合应用】
【例8】（23-24八年级·河南周口·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE交于点F，若BF=AC,CD=4,BD=10，则线段AF的长为 ．
【变式8-1】（23-24八年级·重庆·期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点A作AD⊥CB于点D，延长DA至点E，使得DE=AC，过点E作EF∥AB，交CB的延长线于点F，连接CE．
(1)求证：△ACB≌△DEF；
(2)若∠FCE=50°，∠CEF=70°，求∠FCA的度数．
【变式8-2】（23-24八年级·上海普陀·期末）如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠1=∠2．试说明AD⊥BC的理由．

解：因为AB⊥BD（已知），
所以∠ABD=90°（垂直的意义）．
同理 ．
所以∠ABD=∠ACD（等量代换）．
在△ABD和△ACD中，
∠ABD=∠ACD，∠1=∠2已知，______，
所以△ABD≌△ACD（ ）．
得 （全等三角形的对应边相等）．
又因为∠1=∠2（已知），
所以AD⊥BC（ ）．
【变式8-3】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，其中AB⊥BE于点B，FE⊥BE于点E，点P在BE上，已知AP=PF，AB=PE．

(1)求证：△ABP≌△PEF；
(2)求BE的长．
知识点5：由斜边、直角边（HL）证明两个三角形全等
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．
“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．
【题型9 利用HL证明三角形全等】
【例9】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B=∠DEF=90°，AB=DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（ ）
A．BC=EFB．∠BCA=∠FC．BA∥EFD．AC=DF
【变式9-1】（23-24八年级·陕西榆林·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一点，且AD=BE，连接DE、CE，∠1=∠2．求证：△ADE≌△BEC．
【变式9-2】（23-24八年级·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即PM=PN，画射线OP，则OP平分∠AOB．作图过程用了△OMP≌△ONP，那么△OMP≌△ONP所用的判定定理是（ ）
A．SSSB．AASC．HLD．ASA
【变式9-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且CD=C'D'，求证：△ABC≌△A'B'C'．
【题型10 HL与全等三角形的性质综合应用】
【例10】（23-24八年级·广西贵港·期末）小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到C位置时，过点C作CE⊥OA于点E，测得OC=20cm,BD=OE=9cm（图中的点A,B,O,C在同一平面内）．

(1)猜想此时OB与OC的位置关系，并说明理由；
(2)求AE的长．
【变式10-1】（23-24八年级·辽宁大连·期末）一天数学课堂上，小明忘记了带圆规，于是他尝试用直角三角板来画角平分线．如图，在∠O的两边上，分别取OA=OB，将两个直角三角板的直角顶点放在点A，B处作OA，OB的垂线，交点为P，一个三角板的斜边与另一个三角板直角边交于点Q，画射线 就得到∠AOB的平分线．
【变式10-2】（23-24八年级·江苏盐城·期末）已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=DB．求证：AB=DC．
【变式10-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF=AC,FD=CD，求∠DBA的度数．
专题12.2 三角形全等的判定（基础篇）【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16661" 【题型1 利用SSS证明三角形全等】 PAGEREF _Tc16661 \h 1
\l "_Tc3575" 【题型2 SSS与全等三角形的性质综合应用】 PAGEREF _Tc3575 \h 4
\l "_Tc18828" 【题型3 利用SAS证明三角形全等】 PAGEREF _Tc18828 \h 8
\l "_Tc14863" 【题型4 SAS与全等三角形的性质综合应用】 PAGEREF _Tc14863 \h 10
\l "_Tc8431" 【题型5 利用ASA证明三角形全等】 PAGEREF _Tc8431 \h 14
\l "_Tc7303" 【题型6 ASA与全等三角形的性质综合应用】 PAGEREF _Tc7303 \h 17
\l "_Tc19653" 【题型7 利用AAS证明三角形全等】 PAGEREF _Tc19653 \h 20
\l "_Tc30702" 【题型8 AAS与全等三角形的性质综合应用】 PAGEREF _Tc30702 \h 23
\l "_Tc5114" 【题型9 利用HL证明三角形全等】 PAGEREF _Tc5114 \h 27
\l "_Tc13230" 【题型10 HL与全等三角形的性质综合应用】 PAGEREF _Tc13230 \h 29
知识点1：由边边边（SSS）证明两个三角形全等
三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．
当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．
【题型1 利用SSS证明三角形全等】
【例1】（23-24八年级·山西晋中·期末）如图1是某款雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．测得AB=AC，点E，F分别是AB，AC的三等分点，ED=FD，那么△AED≌△AFD的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的应用，由点E，F分别是AB，AC的三等分点，AB=AC，得出AE=AF，根据三边对应相等，证明△AED≌△AFD．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
【详解】解：∵点E，F分别是AB，AC的三等分点，
∴AE=13AB，AF=13AC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△AED与△AFD中，
AE=AFED=FDAD=AD，
∴△AED≌△AFDSSS．
故选：D．
【变式1-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，AD=BC，AC=BD，用三角形全等的判定“SSS”可证明△ACD≌ 或△ABD≌ ．

【答案】 △BDC △BAC
【分析】由AD=BC、AC=BD、DC=CD可证出△ACD≌△BDC(SSS)；由AD=BC、BD=AC、AB=BA可证出△ABD≌△BAC(SSS)．综上即可得出结论．
【详解】解：在△ACD和△BDC中，
AD=BCAC=BDDC=CD，
∴△ACD≌△BDC(SSS)；
在△ABD和△BAC中，
AD=BCBD=ACAB=BA，
∴△ABD≌△BAC(SSS)．
故答案为：△BDC；△BAC．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
【变式1-2】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，已知点B，C，D，E在同一条直线上，AB=FC，AD=FE，BC=DE．求证：△ABD≌△FCE．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了三角形全等的判定，由BC=DE，则BC+CD=DE+CD，即BD=CE，再根据SSS即可证明，掌握证明三角形全等的判定定理是解题得关键．
【详解】证明：∵BC=DE，
∴BC+CD=DE+CD，
即BD=CE，
在△ABD和△FCE中，
AB=FCAD=FEBD=CE，
∴△ABD≌△FCESSS．
【变式1-3】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图，点D在△ABC内部，AB=AC，∠CBD=∠BCD．求证：△ABD≌△ACD．

【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的判定，由∠CBD=∠BCD，可知BD=CD，再利用SSS即可证明结论，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键．
【详解】证明：∵∠CBD=∠BCD，
∴BD=CD，
在△ABD与△ACD中，
AB=ACBD=CDAD=AD，
∴△ABD≌△ACDSSS．
【题型2 SSS与全等三角形的性质综合应用】
【例2】（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由：
已知：AE=DE，EB=EC，AB=CD，∠ACB=30°．求：∠DBC的度数．
解：因为AE=DE，EC=EB（已知）
所以AE+EC=______＋______（等式的性质）
即CA=BD
在△ABC和△DCB中：&&AB=______已知______=BD已证BC=______
所以△______≌△______（ ）
所以∠ACB=∠ ______（全等三角形的______相等）
因为∠ACB=30°
所以∠DBC= ______°．
【答案】DE；EB；CD；CA；CB；ACB；DBC；DBC；对应角；30
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要考查了学生的逻辑推理能力，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；
根据AE=DE，EB=EC，得出CA=BD，再利用SSS证明△ABC≌ △DCB，即可得出结论．
【详解】解：因为AE=DE，EC=EB（已知）
所以AE+EC=DE+EB（等式的性质）
即CA=BD
在△ABC和△DCB中：AB=DC已知CA=BD已证BC=CB公共边
所以△ACB≌△DBCSSS
所以∠ACB=∠DBC（全等三角形的对应角相等）
因为∠ACB=30°所以∠DBC=30°．
故答案为：DE；EB；CD；CA；CB；ACB；DBC；DBC；对应角；30．
【变式2-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，已知AE=DB，BC=EF，AC=DF，求证：（1）AC∥DF；（2）CB∥EF．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【详解】试题分析：（1）由SSS证明△ABC≌△DEF，得出对应角相等∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，由内错角相等即可得出结论；
（2）由（1）得：∠ABC=∠DEF，得出∠CBE=∠FEB，由内错角相等即可得出结论．
试题解析：（1）∵AE=DB，
∴AE-BE=DB-BE，
即AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
AB＝DE&&AC＝DFBC＝EF ，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，
∴AC∥DF；
（2）由（1）得：∠ABC=∠DEF，
∴∠CBE=∠FEB，
∴CB∥EF.
【变式2-2】（23-24八年级·广东肇庆·阶段练习）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，试猜想：
(1)∠BAD与∠CAD的大小关系；
(2)AD与BC的位置关系．并证明你的结论．
【答案】(1)∠BAD=∠CAD
(2)AD⊥BC，证明见解析
【分析】（1）本题考查三角形中线的性质和三角形全等的判定与性质，灵活利用三角形全等判定，即可解题．
（2）本题考查利用三角形全等的性质，再结合邻补角互补即可证明该题．
【详解】（1）解：∠BAD=∠CAD，理由如下：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD与△ACD中，
AB=ACAD=ADBD=CD
∴△ABD≌△ACDSSS，
∴∠BAD=∠CAD．
（2）AD⊥BC，理由如下：
证明：∵△ABD≌△ACD（已证），
∴∠ADB=∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．
【变式2-3】（23-24八年级·吉林·期末）如图，已知点A、D、B、E在同一条直线上，AC=EF，BC=DF，AB=ED．

(1)求证：△ABC≌△EDF；
(2)判断△HDB的形状，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)△HDB是等腰三角形
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识．
（1）根据SSS即可证明△ABC≌△EDF；
（2）由（1）可知∠HDB=∠HBD，即可得到HD=HB，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在△ABC与△EDF中，
AC=EFBC=DFAB=ED，
∴△ABC≌△EDF；
（2）解：△HDB是等腰三角形．理由：
∵△ABC≌△EDF，
∴∠HDB=∠HBD，
∴HD=HB，
即△HDB是等腰三角形．
知识点2：由边角边（SAS）证明两个三角形全等
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．
【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．
（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．
【题型3 利用SAS证明三角形全等】
【例3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，小明要测量水池的宽AB，但没有足够长的绳子，聪明的他想了如下办法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，则DE的长度就是AB的长，理由是根据 （用简写形式即可），可以得到△ABC≌△DEC，从而由全等三角形的对应边相等得出结论．

【答案】SAS（或边角边）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知CD=CA，CE=CB，∠DCE=∠ACB，可用SAS证明两三角形全等．
【详解】由题意知CD=CA，CE=CB，
在△DCE和△ABC中，
CD=CA∠DCE=∠ACBCE=CB，
∴△DCE≌△ABCSAS．
故答案为：SAS．
【变式3-1】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，点E、F在AC上，AD=BC，DF=BE，要用SAS证△ADF≌△CBE，则需添加的条件为 ．
【答案】∠D=∠B/∠B=∠D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据AD=BC，DF=BE且SAS证△ADF≌△CBE，则添加条件为∠D=∠B，即可作答．
【详解】解：∵运用SAS证△ADF≌△CBE，且AD=BC，DF=BE
∴添加条件为∠D=∠B
即△ADF和△CBE中
AD=BC∠D=∠BDF=BE
∴△ADF≌△CBESAS
故答案为：∠D=∠B
【变式3-2】（23-24·云南昆明·八年级·期末）如图，AD=AE，AC=AB．求证：△ACD≌△ABE．

【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据SAS直接证明两三角形全等，即可得证．
【详解】证明：在△ACD和△ABE中，
∵AD=AE∠A=∠AAC=AB，
∴△ACD≌△ABESAS
【变式3-3】（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE，求证：△ACD≌△BCE．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定．先根据等边三角形的性质可得AB=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而可得∠ACD=∠BCE，，再利用SAS即可得证．
【详解】证明：∵△ABC，△CDE均为等边三角形，
∴AB=BC，CD=CE，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB−∠DCO=∠DCE−∠DCO，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)
【题型4 SAS与全等三角形的性质综合应用】
【例4】（23-24·陕西·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作DE∥BC，且AD=AE，求证：CD=BE．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出∠EAB=∠DAC，利用SAS证明△ABE≌△ACD，根据“全等三角形的对应边相等”即可得证．
【详解】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠EAB，∠ACB=∠DAC，
∴∠EAB=∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠EAB=∠DACAE=AD，
∴△ABE≌△ACDSAS，
∴BE=CD，
即CD=BE．
【变式4-1】（23-24八年级·上海·专题练习）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD=ED，BF=CD，∠FDE=∠B，那么∠B和∠C的大小关系如何？为什么？
解：因为∠FDC=∠B+∠DFB ，
即∠FDE+∠EDC=∠B+∠DFB．
又因为∠FDE=∠B（已知），
所以∠ =∠ ．
已知 已知
在△DFB和△EDC中，
所以△DFB≌△EDC ．
因此∠B=∠C．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键．
根据三角形外角的性质可得∠FDC=∠B+∠DFB，再根据∠FDE=∠B，证明∠DFB=∠EDC，然后证明△DFB≌△EDC(SAS)，得到∠B=∠C．
【详解】解：因为∠FDC=∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
即∠FDE+∠EDC=∠B+∠DFB．
又因为∠FDE=∠B（已知），
所以∠DFB=∠EDC．
FB=ED已知∠DFB=∠EDCBF=CD已知，
在△DFB和△EDC中，
所以△DFB≌△EDC(SAS)．
因此∠B=∠C．
【变式4-2】（23-24八年级·内蒙古通辽·期中）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=25°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，延长DA至E．使得AE=AC．在边AC上截取AF=AB，连结EF．
(1)求∠EAF的度数．
(2)求证：EF=BC．
【答案】(1)115°
(2)见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质；
（1）根据AD⊥BC得出∠ADC=90°，进而根据三角形外角的性质可得出答案；
（2）证明△EAF≌△CAB(SAS)，根据全等三角形的性质即可得出EF=CB．
【详解】（1）解：∵AD⊥BC．
∴∠ADC=90°．
∵∠C=25°，
∴∠EAF=∠ADC+∠C=115°；
（2）证明：在△ABC中，∠B=40°，∠C=25°，
∴∠CAB=180°−∠B−∠C=115°．
∴∠EAF=∠CAB．
在△EAF和△CAB中，
AE=AC∠EAF=∠CABAF=AB，
∴△EAF≌△CAB(SAS)，
∴EF=CB．
【变式4-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：

(1)AE=CG；
(2)AE⊥CG．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是根据三角形全等的判定方法，证明△ADE≌△CDG．
（1）利用正方形的性质得AD=CD， GD=ED，再利用SAS得△ADE≌△CDG，即可证明AE=CG；
（2）由（1）知∠CGD=∠AED，再结合条件证得∠GNM=90°，即AE⊥CG．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD=CD， GD=ED，
∵∠CDG=90°+∠ADG， ∠ADE=90°+∠ADG，
∴∠CDG=∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
AD=CD∠ADE=∠CDGDE=GD，
∴△ADE≌△CDGSAS，
∴AE=CG；
（2）解：设AE与DG相交于点M，AE与CG相交于点N，
∵△ADE≌△CDG，
∴∠CGD=∠AED，
又∵∠GMN=∠DME，
∴∠GNM=∠MDE=90°，
∴AE⊥CG．

知识点3：由角边角（ASA）证明两个三角形全等
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．
用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．
【题型5 利用ASA证明三角形全等】
【例5】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，∠A=∠B,P为AB的中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N．试说明：△APM≌△BPN．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了利用ASA证明三角形全等，由P为AB的中点，可得PA=PB，再由对顶角相等可得出∠MPA=∠NPB，结合已知条件∠A=∠B可得出△APM≌△BPN．
【详解】解∵P为AB的中点，
∴PA=PB．
又∵∠A=∠B, ∠MPA=∠NPB，
∴△APM≌△BPNASA
【变式5-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（ ）
A．①②B．②④C．③④D．①④
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的应用，学会把实际问题转化为数学问题是解答的关键．
①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用ASA证明全等来说理．
【详解】解：A、①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用ASA证明全等，故本选项符合题意；
B、②④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意；
C、③④两块玻璃是已知一角，无法证明全等，故本选项不符合题意；
D、①④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式5-2】（23-24八年级·山东枣庄·阶段练习）如图，A、E、F、B在同一条直线上，AE=BF，∠A=∠B，∠CEB=∠DFA，试说明：△AFD≌△BEC．

【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明AF=BE，再利用ASA证明△AFD≌△BEC即可证明结论．
【详解】解：∵AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF，即AF=BE，
在△AFD和△BEC中，
∠DFA=∠CEBAF=BE∠A=∠B，
∴△AFD≌△BEC(ASA) ．
【变式5-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF．求证：△ABC≌△DEF．

【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，由平行线的性质得到∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，由线段之间的关系得到BC=EF，即可证明△ABC≌△DEFASA．
【详解】证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠F，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠DEFBC=EF∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEFASA．
【题型6 ASA与全等三角形的性质综合应用】
【例6】（23-24八年级·云南昭通·阶段练习）如图，AB∥CD，DF=EF，AB=12，CD=9，则AE等于 ．
【答案】3；
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据AB∥CD得到∠D=∠FEB，结合角边角判定即可得到答案；
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠D=∠FEB，
在△DFC与△EFB中，
∵∠D=∠FEBDF=EF∠DFC=∠EFB，
∴△DFC≌△EFB(ASA)，
∴CD=BE，
∵AB=12，CD=9，
∴AE=AB−BE=12−9=3，
故答案为：3．
【变式6-1】（23-24八年级·重庆·期末）如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行20m到达树C，继续前行20m到达点D处，再从点D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时，停止行走，此时DE的长度即为河岸AB的宽度．小开这样判断的依据是（ ）

A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，ASA，ASA，SSS，SAS，HL．根据∠ABC=∠EDC=90°，BC=DC=20m，再根据对顶角相等，利用ASA证明△ABC≌△EDC即可．
【详解】解：由题意，得∠ABC=∠EDC=90°，BC=DC=20m，
在△ABC与△EDC中，∠ABC=∠EDCBC=DC∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDCASA，
∴AB=DE，
∴小开这样判断的依据是ASA．
故选：D．
【变式6-2】（23-24八年级·浙江·期末）如图，在△ABC和△ADE中，点C在边DE上，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．
(1)求证：△ABC≌△ADE．
(2)若∠ACB=65°，求∠BCD的度数．
【答案】(1)见详解
(2)50°
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用“ASA”证明△ABC≌△ADE是解题关键．
（1）首先证明∠BAC=∠DAE，然后利用“ASA”证明△ABC≌△ADE即可；
（2）首先根据全等三角形的性质可得∠E=∠ACB=65°，AC=AE，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠ACE=∠E=65°，然后由∠BCD=180°−∠ACE−∠ACB求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠B=∠DAB=AD∠BAC=∠DAE，
∴△ABC≌△ADE(ASA)；
（2）∵△ABC≌△ADE，∠ACB=65°，
∴∠E=∠ACB=65°，AC=AE，
∴∠ACE=∠E=65°，
∴∠BCD=180°−∠ACE−∠ACB=180°−65°−65°=50°．
【变式6-3】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知AB∥CD，∠ABC,∠BCD的平分线恰好交于AD上一点E，已知AB=2，CD=5，则BC= ．
【答案】7
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．延长BE交CD的延长线于点H，根据等腰三角形的性质得到BE=HE，利用ASA定理证明ΔABE≌ΔDHE，根据全等三角形的性质得到DH=AB=2，进而求出BC．
【详解】解：延长BE交CD的延长线于点H，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CHB，
∴∠CHB=∠CBE，
∴BC=HC，
∵CE平分∠BCD，
∴BE=HE，
在ΔABE和ΔDHE中，
∠ABE=∠DHEBE=HE∠AEB=∠DEH，
∴ΔABE≌ΔDHE(ASA)，
∴DH=AB=2，
∴BC=CH=CD+DH=7，
故答案为：7．
知识点4：由角角边（AAS）证明两个三角形全等
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．
【题型7 利用AAS证明三角形全等】
【例7】（23-24·陕西西安·八年级·期末）如图，点F在AB上，BC∥AD，AD=AC，∠AED=∠B．求证：△ABC≌△DEA
【答案】见详解
【分析】先根据平行线的性质得到∠C=∠DAE，然后根据“AAS”可判断△ABC≌△DEA．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
【详解】解：∵BC∥AD，
∴∠C=∠DAE，
在△ABC和△DEA中，
∠B=∠AED∠C=∠DAEAC=AD，
∴△ABC≌△DEA(AAS)．
【变式7-1】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）如图，太阳光线AC和A'C'是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子是一样长的，这利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△A'B'C'的依据是 ．
【答案】AAS
【分析】此题考查全等三角形的应用，解题关键是掌握全等三角形的判定方法．
根据平行线的性质可得∠ACB=∠A'C'B'，根据题意可得AB=A'B'，∠ABC=∠A'B'C'=90°，然后利用AAS判定△ABC≌△A'B'C'．
【详解】解：∵ AC∥A'C'，
∴ ∠ACB=∠A'C'B'，
∵两根高度相同的木杆竖直插在地面上，
∴AB=A'B'，∠ABC=∠A'B'C'=90°，
在△ABC和△A'B'C'中，
∠ACB=∠A'C'B'∠ABC=∠A'B'C'AB=A'B'，
∴△ABC≌△A'B'C'AAS．
故答案为：AAS．
【变式7-2】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图， 点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F， ∠1=∠2=∠3，AB=AD．求证： △ABC≌△ADE．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和，熟知判定方法是解题的关键．通过∠2=∠3，∠AFE=∠DFC，可得∠E=∠C，即可通过AAS证明△ABC≌△ADE．
【详解】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAF=∠2+∠DAF，即∠BAC=∠DAE，
∵∠AFE=∠CFD，∠2=∠3
∴∠C=180°−∠3−∠DFC，∠E=180°−∠2−∠AFE，
即∠C=∠E，
在△ABC与△ADE中，
∠BAC=∠DAE∠C=∠EAB=AD
∴△ABC≌△ADEAAS．
【变式7-3】（23-24八年级·安徽合肥期末）如图，在四边形ABCD中，点E在边BC上，∠BAC=∠BCD=∠DAE=90°，AD=AE．求证：△ABE≌△ACD．
【答案】见解析
【分析】
本题考查了全等三角形的判定．利用等角的余角相等求得∠BAE=∠CAD和∠B=∠ACD，再利用AAS即可证明△ABE≌△ACD．
【详解】证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE=90°−∠CAE=∠CAD，
∵∠BAC=∠BCD=90°，
∴∠B=90°−∠BCA=∠ACD，
∵AD=AE，
∴△ABE≌△ACDAAS．
【题型8 AAS与全等三角形的性质综合应用】
【例8】（23-24八年级·河南周口·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE交于点F，若BF=AC,CD=4,BD=10，则线段AF的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△BDF≌△ADC，得DF=CD=4，AD=BD=10，即可得出答案．
【详解】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠DBF，
在△BDF和△ADC中，
∠BDF=∠ADC∠DBF=∠DACBF=AC，
∴△BDF≌△ADCAAS，
∴DF=CD=4,AD=BD=10，
∴AF=AD−DF=10−4=6．
故答案为：6．
【变式8-1】（23-24八年级·重庆·期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点A作AD⊥CB于点D，延长DA至点E，使得DE=AC，过点E作EF∥AB，交CB的延长线于点F，连接CE．
(1)求证：△ACB≌△DEF；
(2)若∠FCE=50°，∠CEF=70°，求∠FCA的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠FCA=30°
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）根据“AAS”证明△ACB≌△DEF即可；
（2）根据三角形内角和定理得出∠EFD=180°−70°−50°=60°，根据∠ABC=∠EFD=60°，求出∠FCA=90°−60°=30°即可．
【详解】（1）证明：∵EF∥AB，
∴∠CBA=∠EFD，
∵AD⊥CB，∠BAC=90°，
∴∠EDF=∠BAC=90°，
∵DE=AC，
∴△ACB≌△DEFAAS．
（2）解：∵∠FCE=50°，∠CEF=70°，
∴∠EFD=180°−70°−50°=60°，
∴∠ABC=∠EFD=60°，
∴∠FCA=90°−60°=30°．
【变式8-2】（23-24八年级·上海普陀·期末）如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠1=∠2．试说明AD⊥BC的理由．

解：因为AB⊥BD（已知），
所以∠ABD=90°（垂直的意义）．
同理 ．
所以∠ABD=∠ACD（等量代换）．
在△ABD和△ACD中，
∠ABD=∠ACD，∠1=∠2已知，______，
所以△ABD≌△ACD（ ）．
得 （全等三角形的对应边相等）．
又因为∠1=∠2（已知），
所以AD⊥BC（ ）．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，垂线的意义，根据垂线得意义可得出∠ABD=∠ACD=90°，再利用AAS证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质可得出AB=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明．
【详解】解：因为AB⊥BD（已知），
所以∠ABD=90°（垂直的意义）．
同理∠ACD=90°．
所以∠ABD=∠ACD（等量代换）．
在△ABD和△ACD中，
∠ABD=∠ACD，∠1=∠2已知，AD=AD，
所以△ABD≌△ACD（AAS）．
得AB=AC（全等三角形的对应边相等）．
又因为∠1=∠2（已知），
所以AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质）
【变式8-3】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，其中AB⊥BE于点B，FE⊥BE于点E，点P在BE上，已知AP=PF，AB=PE．

(1)求证：△ABP≌△PEF；
(2)求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)BE的长为15m
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据垂直及各角之间的等量代换得出∠BAP=∠EPF，再由全等三角形的判定即可证明；
（2）由题意得：AB=1.5×3=4.5(m)，EF=1.5×7=10.5(m)，再由全等三角形的性质结合图形求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得：AB⊥BE,EF⊥BE，
∴∠ABP=∠PEF=90°．
∴∠BAP+∠BPA=90°．
∵∠APF=90°，
∴∠EPF+∠BPA=90°．
∴∠BAP=∠EPF
在△ABP和△PEF中
∠ABP=∠PEF∠BAP=∠EPFAP=PF，
∴△ABP≌△PEF(AAS)；
（2）解：由题意得：AB=1.5×3=4.5(m)，EF=1.5×7=10.5(m)，
由（1）得△ABP≌△PEF，
∴PE=AB=4.5(m)，BP=EF=10.5(m)．
∴BE=BP+PE=10.5+4.5=15(m)．
答：BE的长为15m．
知识点5：由斜边、直角边（HL）证明两个三角形全等
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．
“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．
【题型9 利用HL证明三角形全等】
【例9】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B=∠DEF=90°，AB=DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（ ）
A．BC=EFB．∠BCA=∠FC．BA∥EFD．AC=DF
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据HL进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，添加的条件为AC=DF，
∵AC=DF，AB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEFHL，
故选：D．
【变式9-1】（23-24八年级·陕西榆林·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一点，且AD=BE，连接DE、CE，∠1=∠2．求证：△ADE≌△BEC．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，等角对等边，先由平行线的性质求出∠B=90°，再由等角对等边得到DE=EC，据此利用HL即可证明Rt△ADE≌Rt△BEC．
【详解】证明：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=90°，
∴∠B=90°，
∵∠1=∠2，
∴DE=EC，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
AD=BEDE=EC，
∴Rt△ADE≌Rt△BECHL．
【变式9-2】（23-24八年级·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即PM=PN，画射线OP，则OP平分∠AOB．作图过程用了△OMP≌△ONP，那么△OMP≌△ONP所用的判定定理是（ ）
A．SSSB．AASC．HLD．ASA
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判断和性质是解题的关键．根据已知条件得出△OMP≌△ONP得出答案．
【详解】解：∵OM⊥MP，ON⊥NP，
∴∠OMP=∠ONP=90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
OM=ONOP=OP，
∴△OMP≌△ONPHL．
故选：C．
【变式9-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且CD=C'D'，求证：△ABC≌△A'B'C'．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到CB=2CD，C'B'=2C'D'，由CD=C'D'，得到CB=C'B'，利用HL即可证明△ABC≌△A'B'C'．
【详解】证明：∵AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，
∴CB=2CD，C'B'=2C'D'，
∵CD=C'D'，
∴CB=C'B'，
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
AB=A'B'BC=B'C'，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'HL．
【题型10 HL与全等三角形的性质综合应用】
【例10】（23-24八年级·广西贵港·期末）小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到C位置时，过点C作CE⊥OA于点E，测得OC=20cm,BD=OE=9cm（图中的点A,B,O,C在同一平面内）．

(1)猜想此时OB与OC的位置关系，并说明理由；
(2)求AE的长．
【答案】(1)OB⊥OC；见解析
(2)11cm
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
（1）证明△OBD≌△COE，得出∠B=∠COE，根据∠B+∠BOD=90°，求出∠BOC=90°，即可证明结论；
（2）根据OC=20cm，得出OA=OB=OC=20cm，根据BD=OE=9cm，求出结果即可．
【详解】（1）解：OB⊥OC，理由如下：
∵BD⊥OA于D，CE⊥OA于E，
∴∠BDO=∠OEC=90°，
又∵根据题意得：OB=OC，BD=OE，
∴△OBD≌△COE，
∴∠B=∠COE，
又∵∠B+∠BOD=90°，
∴∠COE+∠BOD=90°，
即∠BOC=90°，
∴OB⊥OC；
（2）解：∵OC=20cm，
∴OA=OB=OC=20cm，
又∵BD=OE=9cm，
∴AE=OA−OE=20−9=11cm，
答：AE的长为11cm．
【变式10-1】（23-24八年级·辽宁大连·期末）一天数学课堂上，小明忘记了带圆规，于是他尝试用直角三角板来画角平分线．如图，在∠O的两边上，分别取OA=OB，将两个直角三角板的直角顶点放在点A，B处作OA，OB的垂线，交点为P，一个三角板的斜边与另一个三角板直角边交于点Q，画射线 就得到∠AOB的平分线．
【答案】OP
【分析】本题考查作图之应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，证明Rt△OAP≌Rt△OBP，推出∠AOP=∠BOP，即可求得．
【详解】解：如图，作射线OP，
在Rt△OAP和Rt△OBP中，
OA=OBOP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL)，
∴∠AOP=∠BOP，
∴射线OP平分∠AOB．
故答案为：OP．
【变式10-2】（23-24八年级·江苏盐城·期末）已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=DB．求证：AB=DC．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DCB即可得到结论．
【详解】证明：∵∠A=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
BC=CBAC=DB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCBHL．
∴AB=DC．
【变式10-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF=AC,FD=CD，求∠DBA的度数．
【答案】45°
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，能够灵活运用其性质是解题的关键．根据HL证明Rt△BDF≌Rt△ADC得BD=AD，推出△ABD是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
BF=ACDF=DC ，
∴Rt△BDF≌Rt△ADCHL，
∴BD=AD，
∵∠ADB=90°，
∴∠DBA=∠BAD=45°．