人教版（2024）八年级上册13.3.1 等腰三角形达标测试

这是一份人教版（2024）八年级上册13.3.1 等腰三角形达标测试，共58页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16359" 【题型1 利用等边对等角求解】 PAGEREF _Tc16359 \h 1
\l "_Tc19123" 【题型2 利用等边对等角进行证明】 PAGEREF _Tc19123 \h 2
\l "_Tc32277" 【题型3 利用三线合一求解】 PAGEREF _Tc32277 \h 4
\l "_Tc22865" 【题型4 利用三线合一证明】 PAGEREF _Tc22865 \h 5
\l "_Tc21860" 【题型5 格点中画等腰三角形】 PAGEREF _Tc21860 \h 7
\l "_Tc11780" 【题型6 找出图中的等腰三角形】 PAGEREF _Tc11780 \h 8
\l "_Tc6922" 【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】 PAGEREF _Tc6922 \h 9
\l "_Tc5879" 【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】 PAGEREF _Tc5879 \h 10
\l "_Tc8998" 【题型9 尺规作等腰三角形】 PAGEREF _Tc8998 \h 11
\l "_Tc25571" 【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】 PAGEREF _Tc25571 \h 12
知识点：等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【题型1 利用等边对等角求解】
【例1】（23-24八年级·浙江嘉兴·期末）如图，四边形ABCD中，AB=AD，将△ABC沿着AC折叠，点B恰好落在CD边上的点B'处．若∠ACB=α，则∠DAB可表示为（ ）
A．3αB．180°−αC．2αD．180°−2a
【变式1-1】（23-24八年级·福建三明·期末）某平板电脑支架如图所示，其中AB=CD，EA=ED，为了使用的舒适性，可调整∠AEC的大小．若∠AEC增大16°，则∠BDE的变化情况是（ ）
A．增大16°B．减小16°C．增大8°D．减小8°
【变式1-2】（23-24八年级·浙江台州·期末）如图，△ABC与△ABD关于AB对称，∠ACB=90°，在AC上取一点E，使得DE=DC．若∠BDE=72°，则∠CBD的度数是（）
A．132°B．135°C．150°D．162°
【变式1-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在△ABC中，AC=BC，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于12 CD长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线FG．若直线FG经过点E，则∠C的度数为 ．
【题型2 利用等边对等角进行证明】
【例2】（23-24八年级·河南安阳·期末）如图，已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α，点B，D，E在同一条直线上．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：2∠1+∠3=180°；
(3)当AD∥EC时，求α的度数．
【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，过D作∠EDF=∠B，分别与AB，AC相交于点E和点F．
(1)求证：∠BED=∠FDC；
(2)若DE=DF，求证：BE=CD．
【变式2-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）如图，已知∠BAD=∠CAE=90°，AD=AB，AC=AE，AF⊥CB，垂足为F．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)已知 ∠E=∠ACD，求证：CD=2BF+DE．
【变式2-3】（23-24八年级·广东肇庆·期中）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC，连接CE．

(1)如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°．
①证明：△ABD≌△ACE；
②证明：AC平分∠BCE．
(2)如图2，当点D在直线BC上，设∠BAC=α,∠BCE=β．则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【题型3 利用三线合一求解】
【例3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图所示，在△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，连接BF．
(1)若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
(2)若点F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由．
【变式3-1】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，在△ABC中，AC=BC，点D为边AB的中点，连接CD，∠BAC的平分线交CD于点E，已知∠AEC=115°．求∠DAC和∠ACB的度数．

【变式3-2】（23-24八年级·陕西榆林·开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，连接OB，OC．

(1)试说明：BO=AO；
(2)若∠CAD=25°，求∠BOF的度数．
【变式3-3】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，EF垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点F，M是直线EF上的动点．
(1)当MD⊥BC时，
①若ME=1，则点M到AB的距离为________；
②若∠CMD=30°，CD=3，求△BCM的周长；
(2)若BC=8，且△ABC的面积为40，求△CDM周长的最小值．
【题型4 利用三线合一证明】
【例4】（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是中线，且DG⊥CE于G，2CD=AB．
(1)求证：G是CE的中点；
(2)求证∠B=2∠BCE．
【变式4-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若∠BAC=72°，则∠CAD的度数为 ___________．
【变式4-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，C为线段 AB 上一点， AD∥EB，AC=BE，AD=BC， CF 平分 ∠DCE．
(1)求证：△ACD≌△BEC；
(2)问： CF与 DE的位置关系并证明．
【变式4-3】（23-24八年级·山东聊城·期中）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CH⊥AB于点H，将△ABC沿CE折叠，使点A落在直线CH上的点A'处，BM是∠ABC的平分线，交AC于点M，交CH于点N，连接EN．

(1)AE=CN吗？为什么？
(2)试说明BM垂直平分CE．
【题型5 格点中画等腰三角形】
【例5】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个．
A．6B．8C．10D．12
【变式5-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：
(1)在图1中，画一个以PQ为腰的等腰△APQ（A为格点）；
(2)在图2中，画一个以PQ为底的等腰△BPQ（B为格点）．
【变式5-2】（23-24八年级·北京通州·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB的端点都在格点上．要求以AB为边画一个等腰△ABC，且使得点C为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰△ABC．
【变式5-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．
(1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．
(2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．
(3)在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小．
【题型6 找出图中的等腰三角形】
【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，∠A=36°,∠B=72°，AC的垂直平分线交AC,AB于点D、E，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式6-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在△ABC中，已知边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线交于点P，连接PA、PB、PC，则图中有 个等腰三角形．
【变式6-2】（23-24八年级·吉林白山·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠BDC=∠BCD，点E是线段BD上一点，且BE=AD．

(1)求证：△ADB≌△EBC；
(2)直接写出图中所有的等腰三角形．
【变式6-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图，ΔABC中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，连结CE交AD于点H，则图中的等腰三角形有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】
【例7】（23-24八年级·山西吕梁·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=126°，∠B=42°，边AB的垂直平分线DE与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD．求证：△ACD是等腰三角形．
【变式7-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．求证：△CDM是等腰三角形．
【变式7-2】（23-24八年级·湖北恩施·期末）如图，∠MON=90°，点A,C分别在OM，ON上，以AO，AC为边在∠MON内作等边三角形AOB，ACD，连接DB并延长交ON于点E，求证：OE=BE．
【变式7-3】（23-24八年级·北京密云·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，∠BAC与∠ABC的角平分线AD、BE分别交BC、AC边于点D和点E．

(1)求证：△BEC是等腰三角形；
(2)用等式表示线段AB、AC、BD之间的数量关系，并证明．
【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】
【例8】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在△ABC中，BE，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，ED∥AC，交BC于点D，EF⊥AB于点F．若BC=35，EF=5，DE=13，则△EBD的面积为（ ）

A．50B．55C．60D．65
【变式8-1】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，∠B=∠ACB，∠1=∠2，AE⊥CD交CD于F，交BC于点E，求证：AB=CE．
【变式8-2】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若，EB=7，DC=9，ED=11，则FG= ．
【变式8-3】（23-24八年级·上海青浦·期末）已知：如图，点D是△ABC的边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，再过点D作DG∥AB，交BC于点G，且DE=DF．
求证：
(1)DG=BG；
(2)BE=GD+GF．
【题型9 尺规作等腰三角形】
【例9】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为12c，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法）
【变式9-1】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，已知∠MCN，点B是射线CM上一点，求作等腰三角形ABC，使得BC为等腰三角形的底边，点A在∠MCN内部，且点A到角∠MCN的两边距离相等．（尺规作图）
【变式9-2】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图．已知一个含有30°角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含45°角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹）
【变式9-3】（2024·江苏泰州·一模）证明：等腰三角形的两底角相等．要求：
（1）用无刻度的直尺和圆规作等腰△ABC，使底边BC=m，腰AB=AC=n；
（2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明；
（3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图．
【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】
【例10】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，点D在CA上，且DC=2，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使△APD为等腰三角形的点P有 个．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式10-2】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°.在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有 个.
【变式10-3】（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，线段AB的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
专题13.4 等腰三角形【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16359" 【题型1 利用等边对等角求解】 PAGEREF _Tc16359 \h 2
\l "_Tc19123" 【题型2 利用等边对等角进行证明】 PAGEREF _Tc19123 \h 6
\l "_Tc32277" 【题型3 利用三线合一求解】 PAGEREF _Tc32277 \h 13
\l "_Tc22865" 【题型4 利用三线合一证明】 PAGEREF _Tc22865 \h 18
\l "_Tc21860" 【题型5 格点中画等腰三角形】 PAGEREF _Tc21860 \h 23
\l "_Tc11780" 【题型6 找出图中的等腰三角形】 PAGEREF _Tc11780 \h 27
\l "_Tc6922" 【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】 PAGEREF _Tc6922 \h 31
\l "_Tc5879" 【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】 PAGEREF _Tc5879 \h 34
\l "_Tc8998" 【题型9 尺规作等腰三角形】 PAGEREF _Tc8998 \h 38
\l "_Tc25571" 【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】 PAGEREF _Tc25571 \h 42
知识点：等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【题型1 利用等边对等角求解】
【例1】（23-24八年级·浙江嘉兴·期末）如图，四边形ABCD中，AB=AD，将△ABC沿着AC折叠，点B恰好落在CD边上的点B'处．若∠ACB=α，则∠DAB可表示为（ ）
A．3αB．180°−αC．2αD．180°−2a
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；由折叠得AB'=AB，∠ACB'=∠ACB=α，由等腰三角形的性质得∠AB'D=∠ADB'，由三角形外角的性质得 ∠AB'D=∠ACB'+∠B'AC，即可求解；掌握折叠的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：由折叠得：
AB'=AB，
∠ACB'=∠ACB=α，
∵ AB=AD，
∴AB'=AD，
∴∠AB'D=∠ADB'，
∴∠B'AD=180°−2∠AB'D，
∵∠AB'D=∠ACB'+∠B'AC
=α+∠B'AC，
∴∠B'AD=180°−2α+∠B'AC，
=180°−2α−2∠B'AC，
∴∠DAB=∠BAC+∠B'AC+∠B'AD
=2∠B'AC+∠B'AD
=2∠B'AC+180°−2α−2∠B'AC
=180°−2α，
故选：B．
【变式1-1】（23-24八年级·福建三明·期末）某平板电脑支架如图所示，其中AB=CD，EA=ED，为了使用的舒适性，可调整∠AEC的大小．若∠AEC增大16°，则∠BDE的变化情况是（ ）
A．增大16°B．减小16°C．增大8°D．减小8°
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，设设原来∠AEC=x°，求出此时∠BDE=180−x2°，然后类似求出变化后∠B'D'E'=172−x2°，然后两角作差即可得出结论.
【详解】解：设原来∠AEC=x°，则∠AED=180−x°
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA=12180°−∠AED=x2°，
∴∠BDE=180°−∠EDA=180−x2°，
∠AEC增大16°后，∠A'E'C'=x+16°，
∴∠E'A'D'=∠E'D'A'=12180°−∠A'E'D'=x2+8°，
∴∠B'D'E'=180°−∠E'D'A'=172−x2°，
∴∠B'D'E'−∠BDE=172−x2°−180−x2°=−8°，
∴∠BDE的变化情况是减小8°，
故选：D.
【变式1-2】22-23八年级·浙江台州·期末）如图，△ABC与△ABD关于AB对称，∠ACB=90°，在AC上取一点E，使得DE=DC．若∠BDE=72°，则∠CBD的度数是（）
A．132°B．135°C．150°D．162°
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，由轴对称性质得∠BDC=∠BCD，
设∠BDC=∠BCD=x°，得出∠CDE=72°−x°，再由等腰三角形的性质得∠DCE=∠DEC=54°+x°2．再由直角三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】解：∵△ABC与△ABD关于AB对称，
∴∠BDC=∠BCD，
设∠BDC=∠BCD=x°．
∵∠BDE=72°,
∴∠CDE=72°−x°，
在△DEC中，∵DE=DC，
∴∠DCE=∠DEC=180°−7°−x°2=54°+x°2．
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°−∠BCD=90°−x°，
∴54°+x°2=90°−x°,
∴x=24,
∴∠CBD=180°−24°×2=132°，
故选：A
【变式1-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在△ABC中，AC=BC，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于12 CD长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线FG．若直线FG经过点E，则∠C的度数为 ．
【答案】36°/36度
【分析】本题考查了作图−复杂作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 连接AD、DE，如图，设∠C=α，利用基本作图得到ED=EC，则∠EDC=∠C=α，所以∠AED=2α，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B=90°−12α，接着利用AB=AD得到∠ADB=∠B=90°−12α，则根据∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°求出α=36°．
【详解】解：连接AD、DE，如图，设∠C=α，
由作法得EF垂直平分CD，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠C=α，
∴∠AED=∠EDC+∠C=2α，
∵CA=CB，AD=AE，
∴∠B=12(180°−∠C)=90°−12α，
∵AB=AD，AD=AE，
∴∠ADB=∠B=90°−12α，∠ADE=∠AED=2α，
∵∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°，
∴90°−12α+2α+α=180°，
解得α=36°，
∴∠C=36°．
故答案为：36°．
【题型2 利用等边对等角进行证明】
【例2】（23-24八年级·河南安阳·期末）如图，已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α，点B，D，E在同一条直线上．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：2∠1+∠3=180°；
(3)当AD∥EC时，求α的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)60°
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，平行线的性质等等：
（1）先证明∠BAD=∠CAE，再利用SAS即可证明△ABD≌△ACE；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ADB=∠AEC，根据等边对等角得到∠1=∠AED，再由平角的定义推出∠AED+∠3+∠1=180°，据此即可证明2∠1+∠3=180°；
（3）先由平行线的性质得到∠1=∠3，则根据（2）的结论可知∠1=∠3=60°，即可得到∠DAE=180°−2∠1=60°，即α=60°．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACESAS；
（2）证明：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵AD=AE，
∴∠1=∠AED，
∵∠AEC=∠AED+∠3，∠ADB+∠1=180°，
∴∠AED+∠3+∠1=180°，
∴2∠1+∠3=180°；
（3）解：∵AD∥EC，
∴∠1=∠3，
∵2∠1+∠3=180°，
∴∠1=∠3=60°，
∴∠DAE=180°−2∠1=60°，
∴α=60°．
【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，过D作∠EDF=∠B，分别与AB，AC相交于点E和点F．
(1)求证：∠BED=∠FDC；
(2)若DE=DF，求证：BE=CD．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由三角形内角和与平角定义即可求解；
（2）直接用AAS证明△ACE≌△DBF，再根据性质即可求解；
此题考查了等腰三角形的，三角形内角和，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠EDF=∠B，∠BED+∠BDE=180°−∠B，∠FDC+∠BDE=180°−∠EDF
∴∠BED=∠FDC；
（2）在△BED和△CDF中
∠B=∠C∠BED=∠CDFDE=DF，
∴△ACE≌△DBFAAS，
∴BE=CD．
【变式2-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）如图，已知∠BAD=∠CAE=90°，AD=AB，AC=AE，AF⊥CB，垂足为F．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)已知 ∠E=∠ACD，求证：CD=2BF+DE．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
(1)利用余角的性质，完善全等的条件，证明即可．
(2)延长BF到G，使FG=BF，连接AG，证明△CGA≌△CDAASA证明即可．
【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△ABC≌△ADESAS．
（2）如图，延长BF到G，使FG=BF，连接AG，
∵AF⊥CB，
∴AB=AG，
∴∠ABF=∠G，
∵AD=AB，
∴AD=AG，
由（1）得：△ABC≌△ADESAS，
∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
∵AC=AE，
∴∠DCA=∠DEA，
∴∠GCA=∠DCA，
在△CGA和△CDA中，
∠GCA=∠DCA∠G=∠CDAAG=AD，
∴△CGA≌△CDAAAS，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．
【变式2-3】（23-24八年级·广东肇庆·期中）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC，连接CE．

(1)如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°．
①证明：△ABD≌△ACE；
②证明：AC平分∠BCE．
(2)如图2，当点D在直线BC上，设∠BAC=α,∠BCE=β．则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)α+β=180°或α=β
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论．
（1）①先证∠BAD=∠CAE，根据SAS即可证明△ABD≌△ACE；②根据等边对等角可证∠B=∠ACB，根据△ABD≌△ACE可得∠B=∠ACE，进而可证∠ACB=∠ACE；
（2）分①点D在线段BC上，②点D在射线BC上，③点D在射线CB上，分别加以讨论即可．
【详解】（1）证明：①∵ ∠DAE=∠BAC=90°，
∴ ∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴ ∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴ △BAD≌△CAE SAS；
②∵ △ABC中，AB=AC，
∴ ∠B=∠ACB，
由①得△BAD≌△CAE，
∴ ∠B=∠ACE，
∴ ∠ACB=∠ACE，
∴ AC平分∠BCE．
（2）解：α+β=180°，
①点D在线段BC上，如图：

∵ ∠DAE=∠BAC，
∴ ∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴ ∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴ △BAD≌△CAE SAS；
∴ ∠B=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠BCE=180°，
∵∠BAC=α,∠BCE=β，
∴α+β=180°；
②当点D在射线BC上时，如图：

∵ ∠DAE=∠BAC，
∴ ∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴ ∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴ △BAD≌△CAE SAS，
∴ ∠B=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠BCE=180°，
∵∠BAC=α,∠BCE=β，
∴α+β=180°；
③当点D在射线CB上时，如图：

同理可得△BAD≌△CAE SAS，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC+180°−∠ABD+∠ACE−∠BCE=180°，
∴∠BAC=∠BCE．
∵∠BAC=α,∠BCE=β，
∴α=β；
综上所述α，β之间的数量关系为：α+β=180°或α=β．
【题型3 利用三线合一求解】
【例3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图所示，在△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，连接BF．
(1)若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
(2)若点F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)50°
(2)∠CFD=12∠ABC
【分析】
此题考查了等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）先求得∠CFD的度数，进而求得∠C=65°，根据等腰三角形的性质得出∠C=∠A=65°，理由三角形内角和定理求得∠ABC=50°，根据同角的余角相等即可求得∠EDF=∠ABC=50°；
（2）根据AB=BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=12∠ABC，证得∠CFD=∠CBF后即可证得∠CFD=12∠ABC．
【详解】（1）解：∵∠AFD=155°，
∴∠DFC=25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC=∠AED=90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C=90°−25°=65°，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A=65°，
∴∠ABC=180°−2×65°=50°，
∵∠ABC+∠BDE=∠EDF+∠BDE=90°，
∴∠EDF=∠ABC=50°；
（2）∠CFD=12∠ABC，理由如下：
∵AB=BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=12∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD=90°，∠CBF+∠BFD=90°，
∴∠CFD=∠CBF，
∴∠CFD=12∠ABC．
【变式3-1】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，在△ABC中，AC=BC，点D为边AB的中点，连接CD，∠BAC的平分线交CD于点E，已知∠AEC=115°．求∠DAC和∠ACB的度数．

【答案】∠DAC=50°，∠ACB=80°
【分析】先由等腰三角形的性质，得到∠CDA=90°，再由∠AEC=115°，可得到∠DAE的度数，进而求出∠DAC的度数，由三角形内角和定理可求出∠ACD的度数，由等腰三角形的性质可求出∠ACB的度数．
【详解】解：∵AC=BC，点D为边AB的中点，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD，
∴∠CDA=90°，
∵∠AEC=115°，∠AEC=∠DAE+∠CDA，
∴∠DAE=∠AEC−∠CDA=115°−90°=25°，
∵ED是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=2∠DAE=50°，
在Rt△ACD中，
∠ACD=90°−∠DAC=40°，
∴∠ACB=2∠ACD=80°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关图形的性质是解题的关键．
【变式3-2】（23-24八年级·陕西榆林·开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，连接OB，OC．

(1)试说明：BO=AO；
(2)若∠CAD=25°，求∠BOF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)15°
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，结合线段的垂直平分线性质证明；
（2）根据等腰三角形的三线合一性质，等腰三角形中等边对等角原理，直角三角形的性质和三角形内角和定理计算．
【详解】（1）因为AB=AC，点D是BC的中点，
所以AD⊥BC，所以AD是BC的垂直平分线，
所以BO=CO，
因为OE是AC的垂直平分线，所以AO=CO，
所以BO=AO；
（2）因为AB=AC，点D是BC的中点，
所以AD平分∠BAC，
因为∠CAD=25°，所以∠BAD=∠CAD=25°，
所以∠BAC=50°，
因为OE⊥AC，所以∠AEF=90°，
所以∠EFA=90°−50°=40°，
所以∠BFO=180°−∠EFA=140°，
因为AO=BO，所以∠OBA=∠BAD=25°，
所以∠BOF=180°−∠BFO−∠OBA=15°．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，线段垂直平分线性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【变式3-3】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，EF垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点F，M是直线EF上的动点．
(1)当MD⊥BC时，
①若ME=1，则点M到AB的距离为________；
②若∠CMD=30°，CD=3，求△BCM的周长；
(2)若BC=8，且△ABC的面积为40，求△CDM周长的最小值．
【答案】(1)1，18
(2)14
【分析】（1）本题主要考查等腰三角形的三线合一性质即等边三角形的判定，根据MD⊥BC，D是BC的中点，可以判定，A，M，D三点共线，即AD平分∠BAC，根据角平分线的性质，可以求出点M到AB的距离，
其次，可以判定BM=MC，再根据∠CMD=30°后，可以判定△BMC是等边三角形，进而去求周长．
（2）本题主要考查利用轴对称性求周长最小值，由于CD为定值，只要满足CM+MD最小即可，利用垂直平分线，转化成求AM+MD最小，即AM+MD≥AD，最后求出周长最小值．
【详解】（1）①解：∵MD⊥BC，D是BC的中点；
∴MD处垂直平分BC；
连接AM；
∵AB=AC；
∴A，M，D三点共线；
即AM平分∠BAC；
∵ME⊥AC，ME=1；
∴M到AB的距离为1．
②解：由题可知BM=MC；
∵∠CMD=30°；
∴∠MCD=60°；
∴△BMC是等边三角形；
∵CD=3；
∴BC=6；
∴△MBC周长为18．
（2）解：∵BC=8；
∴CD=4；
∵EF垂直平分AC；
连接AM；
∴MA=MC；
即MD+MC=MA+MD;
∵MA+MD≥AD；
∴MA+MD+4≥AD+4；
即只需求出AD长即可；
∵12BC×AD=40；
∴AD=10；
∴△CDM周长的最小值为14．
【题型4 利用三线合一证明】
【例4】（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是中线，且DG⊥CE于G，2CD=AB．
(1)求证：G是CE的中点；
(2)求证∠B=2∠BCE．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）连接DE，由直角三角形的性质可得DE=BE=12AB，由CE是中线得AB=2BE，进而可得DC=BE，即得DC=DE，再根据三角形三线合一即可求证；
（2）由等腰三角形的性质得∠B=∠EDB，∠DEC=∠DCE，再根据三角形外角性质即可求证；
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接DE，
∵CE是△ABC的中线，
∴DE是△ABD的中线，
∵AD是高，
∴∠ADB=90°，
∴DE=BE=12AB，
∵CE是中线，
∴AB=2BE，
∵2CD=AB，
∴DC=BE，
∴DC=DE，
∵DG⊥CE，
∴CE=EG，
即G是CE的中点；
（2）证明：∵DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∵DC=DE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴∠EDB=2∠BCE，
∴∠B=2∠BCE．
【变式4-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若∠BAC=72°，则∠CAD的度数为 ___________．
【答案】(1)见解析
(2)18°
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一、等边对等角的性质是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，从而可得AE=AC，然后根据等腰三角形的三线合一性质即可得证；
（2）根据等边对等角可得∠B=∠BAE，∠C=∠AEC，根据三角形外角的性质可得∠C=∠AEC=2∠B，然后根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接AE，
∵AB的垂直平分线EF交BC于点E，
∴AE=BE，
∵BE=AC，
∴AE=AC，
∵D为线段CE的中点，
∴AD⊥BC；
（2）解：∵AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B，
由（1）知，AE=AC，
∴∠C=∠AEC=2∠B，
∵∠BAC=72°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=36°，∠C=72°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=90°−∠C=18°．
故答案为：18°．
【变式4-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，C为线段 AB 上一点， AD∥EB，AC=BE，AD=BC， CF 平分 ∠DCE．
(1)求证：△ACD≌△BEC；
(2)问： CF与 DE的位置关系并证明．
【答案】(1)见解析；
(2)CF⊥DE，理由见解析．
【分析】（1）根据SAS证明即可；
（2）利用全等三角形的性质推出CD=CE，根据等腰三角形三线合一的性质即可得到CF⊥DE；
此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）∵AD∥EB，
∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中，
AD=BC∠A=∠BAC=BE，
∴△ACD≌△BECSAS ；
（2）CF⊥DE，理由：
∵△ACD≌△BEC，
∴CD=CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
【变式4-3】（23-24八年级·山东聊城·期中）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CH⊥AB于点H，将△ABC沿CE折叠，使点A落在直线CH上的点A'处，BM是∠ABC的平分线，交AC于点M，交CH于点N，连接EN．

(1)AE=CN吗？为什么？
(2)试说明BM垂直平分CE．
【答案】(1)AE=CN；理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出AH=BH=CH，根据折叠的性质得出∠ACE=∠ECH=22.5°．即可证明△ACE≌△CBNASA，即可求证AE=CN；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出EH=A'H，BH=CH，则BE=A'C，推出BE=BC，根据等腰三角形三线合一，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，CH⊥AB，∴∠A=∠ABC=∠ACH=∠BCH=45°，
∴AH=BH=CH，
∵将△ABC沿CE折叠，使点A落在直线CH上的点A'处，
∴∠ACE=∠ECH=22.5°
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠CBM=∠ABM=22.5°，
∴∠ACE=∠CBM，
在△ACE和△CBN中∠A=∠BCNAC=BC∠ACE=∠CBN，
∴△ACE≌△CBN(ASA)，
∴AE=CN．
（2）解：由（1）得，∠ACE=∠ECA'，∠BCN=∠A，
∴∠ECA'+∠BCN=∠ACE+∠A，
即∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴BM垂直平分CE．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握折叠两部分对应边相等，对应角相等；等腰三角形“三线合一”；全等三角形对应边相等，对应角相等．
【题型5 格点中画等腰三角形】
【例5】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个．
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】根据题意，分三种情况：当BA=BC时，当AB=AC时，当CA=CB时，即可解答．
【详解】解：如图所示：
分三种情况：
①当BA=BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交网格线的格点为C1，C2，
②当AB=AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交网格线的格点为C3，C4，
③当CA=CB时，作AB的垂直平分线，交网格线的格点为C5，C6，C7，C8，
综上所述：使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有8个，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键．
【变式5-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：
(1)在图1中，画一个以PQ为腰的等腰△APQ（A为格点）；
(2)在图2中，画一个以PQ为底的等腰△BPQ（B为格点）．
【答案】(1)答案见解析（答案不唯一）
(2)答案见解析（答案不唯一）
【分析】本题主要考查作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
【详解】（1）解：如图1中，△APQ即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图2中，△BPQ即为所求（答案不唯一）．
【变式5-2】（23-24八年级·北京通州·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB的端点都在格点上．要求以AB为边画一个等腰△ABC，且使得点C为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰△ABC．
【答案】答案见解析
【分析】AB为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线，因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可
【详解】解：如图，
……
[答案不唯一]
【点睛】本题考查等腰三角形的绘图，掌握等边三角形和等腰三角形性质即可．
【变式5-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．
(1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．
(2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．
(3)在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的定义，找出满足条件的点，标出所有的点即可；
（2）利用等腰三角形的定义，找出满足条件的点，标出所有的点即可；
（3）作A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于P，P点即为所求；
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图：
（3）解：如图所示：
【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，等腰三角形的定义，轴对称的性质，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
【题型6 找出图中的等腰三角形】
【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，∠A=36°,∠B=72°，AC的垂直平分线交AC,AB于点D、E，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定方法，
根据两边相等的三角形即可等腰三角形即可解答
【详解】解：∵∠A=36°,∠B=72°
∴∠ACB=180°−36°−72°=72°
∴∠B=∠ACB=72°
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形；
∵ED垂直平分线交AC
∴AE=EC
∴△AEC是等腰三角形；
∴∠ECD=∠A=36°
∴∠BCE=∠ACB−∠ECD=72°−36°=36°,
∴∠CEB=180°−∠B−∠BCE=72°
∴∠CEB=∠B
∴△CEB是等腰三角形，
则图中等腰三角形的个数是3个，
故选：B
【变式6-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在△ABC中，已知边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线交于点P，连接PA、PB、PC，则图中有 个等腰三角形．
【答案】3
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答．
【详解】解：∵边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线交于点P，
∴AP=PB,PB=PC，
∴AP=PC，
∴△ABP,△BPC,△APC都是等腰三角形；
故答案为：3．
【变式6-2】（23-24八年级·吉林白山·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠BDC=∠BCD，点E是线段BD上一点，且BE=AD．

(1)求证：△ADB≌△EBC；
(2)直接写出图中所有的等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)图中的等腰三角形有△BCD、△CDE
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握全等三角形的判定成为解题的关键．
（1）根据平行线的性质判定∠ADB=∠EBC，再由∠BDC=∠BCD可得BD=BC，再结合BE=AD，利用SAS即可证明结论；
（2）根据（1）的结论可得CE=AB，再结合等腰梯形的性质即可确定所有等腰三角形．
【详解】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBC，
∵∠BDC=∠BCD，
∴BD=BC，
在△ADB和△EBC中，
AD=BE∠ADB=∠EBCBD=BC，
∴△ADB≌△EBCSAS．
（2）解：∵由（1）可得BD=BC
∴△BCD是等腰三角形，
∵△ADB≌△EBC，
∴CE=AB，
又∵AB=CD，
∴CE=CD，
∴△CDE是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有△BCD、△CDE．
【变式6-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图，ΔABC中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，连结CE交AD于点H，则图中的等腰三角形有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的判定，运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，证得∠CAD=∠BAD=30°，CD=ED，AC=AE，即△ABD、△CDE、△ACE、△BCE是等腰三角形.
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴AD=BD．
∴△ABD是等腰三角形．
∵AD是角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴CD=ED
∴AC=AE
∴△CDE、△ACE是等腰三角形；
∵AC=AE，∠BAC=60°，
∴∠ACE=60°，
∵∠ACB=90∘，
∴∠BCE=30°
∴∠BCE=∠B
∴△CEB是等腰三角形
所以此图中有4个等腰三角形．
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；要综合运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，找到相等的线段，来判定等腰三角形．
【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】
【例7】（23-24八年级·山西吕梁·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=126°，∠B=42°，边AB的垂直平分线DE与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD．求证：△ACD是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，由∠DAC=∠BAC−∠DAB =126°−42° =84° =∠ADC，利用“等角对等边”即可得证．
【详解】证明：∵DE垂直平分AB，
∴DB=DA，
∴∠B=∠DAB，
∵∠B=42°，
∴∠B=∠DAB=42°，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=84°；
∵∠DAC=∠BAC−∠DAB=126°−42°=84°=∠ADC，
∴CA=CD，
∴△ACD为等腰三角形．
【变式7-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．求证：△CDM是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】根据题意和图形，可以求得∠CDM=∠CMD，然后即可证明结论成立．
【详解】∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠CBD+∠CDB=90°，∠ABD+∠BME=90°，
∵∠BME=∠CMD，
∴∠ABD+∠CMD=90°，
∴∠CDB=∠CMD，
∴CM=CD，
∴△CDM是等腰三角形．
【点睛】此题考查了等腰三角形的定义、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式7-2】（23-24八年级·湖北恩施·期末）如图，∠MON=90°，点A,C分别在OM，ON上，以AO，AC为边在∠MON内作等边三角形AOB，ACD，连接DB并延长交ON于点E，求证：OE=BE．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定；证明△AOC≌△ABD，得出∠ABD=90°进而可得∠OBE=∠BOE=30°，即可得证．
【详解】证明：依题意△AOB,△ACD是等边三角形，
∴∠OAB=∠CAD=60°，
∴∠OAB−∠CAB=∠CAD−∠CAB，
∴∠OAC=∠BAD，
∵OA=BA，∠OAC=∠BAD，CA=DA，
∴△AOC≌△ABDSAS，
∴∠ABD=∠AOC=90°，
∵∠MON=90°，∠AOB=∠ABO=60°，
∴∠BOE=∠MON−∠AOB=90°−60°=30°，∠EBO=180°−∠ABD−∠ABO=180°−90°−60°=30°，
∴∠OBE=∠BOE=30°，
∴OE=BE．
【变式7-3】（23-24八年级·北京密云·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，∠BAC与∠ABC的角平分线AD、BE分别交BC、AC边于点D和点E．

(1)求证：△BEC是等腰三角形；
(2)用等式表示线段AB、AC、BD之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)AB+BD=AC
【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出∠EBC=∠C，进而得出EB=EC，即可得出结论；
（2）延长AB至F，使BF=BD，连接DF，利用等边对等角和三角形的外角得出∠F=∠C，再证明△AFD≌△ACD，根据全等三角形的性质得出AF=AC，再根据线段的和差即可得出AB+BD=AC．
【详解】（1）解：证明：在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，
∴∠ABC=80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=40°，
∴∠EBC=∠C，
∴EB=EC，
∴△BEC是等腰三角形．
（2）AB+BD=AC，
证明：延长AB至F，使BF=BD，连接DF，
∴∠F=∠BDF，
∵∠ABC=∠F+∠BDF=80°，
∴2∠F=80°，
∴∠F=40°，
∵∠C=40°，
∴∠F=∠C，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=AD，
∴△AFD≌△ACD(ASA)，
∴AF=AC，
∴AB+BF=AC，即AB+BD=AC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】
【例8】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在△ABC中，BE，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，ED∥AC，交BC于点D，EF⊥AB于点F．若BC=35，EF=5，DE=13，则△EBD的面积为（ ）

A．50B．55C．60D．65
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E作EM⊥BC于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得EM，根据平行线和角平分线的性质易证∠DCE=∠DEC，根据等角对等边求得CD，从而求得BD，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过E作EM⊥BC于M，

∵BE平分∠ABC，EM⊥BC，EF⊥AB，EF=5，
∴EM=EF=5，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠DCE，
∵ED∥AC，
∴∠ACE=∠DEC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴CD=DE=13，
∵BC=35，
∴BD=BC−CD=35−13=22，
∴S△EBD=12BD·EM=12×22×5=55，
故选：B．
【变式8-1】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，∠B=∠ACB，∠1=∠2，AE⊥CD交CD于F，交BC于点E，求证：AB=CE．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握ASA证明三角形全等，是解题的关键．
先证明△AFC≌△EFCASA，由全等三角形的性质可得出AC=EC，由等角对等边可得出AB=AC，等量代换AB=CE可得出进而即可得到结论．
【详解】证明：∵AE⊥CD，
∴∠AFC=∠EFC=90°，
在△AFC和△EFC中，
∠1=∠2CF=CF∠AFC=∠EFC，
∴△AFC≌△EFCASA，
∴AC=EC，
∵∠B=∠ACB，
∴AB=AC，
∴AB=CE．
【变式8-2】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若，EB=7，DC=9，ED=11，则FG= ．
【答案】5
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，由两直线平行，内错角相等，与两个角平分线，列出相等的角，通过等角对等边，可得到两个等腰三角形，代入已知线段长度，即可求解，解题的关键是：通过平行与角平分线的条件，推导出等腰三角形．
【详解】解：∵ED∥BC，
∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，
又∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，
∴∠EBG=∠GBC，∠DCF=∠FCB，
∴∠EBG=∠EGB，∠DFC=∠DCF，
∴EG=EB=7，FD=DC=9，
∵FG=EG+FD−ED=7+9−11=5，
故答案为：5．
【变式8-3】（23-24八年级·上海青浦·期末）已知：如图，点D是△ABC的边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，再过点D作DG∥AB，交BC于点G，且DE=DF．
求证：
(1)DG=BG；
(2)BE=GD+GF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接BD，先根据DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF， 可知∠ABD=∠DBC，再根据DG∥AB即可得出∠ABD=∠BDG，进而可得出∠BDG=∠DBC，由等角对等边可知DG=BG；
（2）先证明Rt△EBD≌Rt△FBDHL，得出BE=BF，根据BF=BG+GF，DG=BG，得出BE=DG+GF．
【详解】（1）证明：连接BD，如图所示：
∵DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵DG∥AB，
∴∠ABD=∠BDG，
∴∠BDG=∠DBC，
∴DG=BG；
（2）解：在Rt△EBD和Rt△FBD中
DE=DFBD=BD，
∴Rt△EBD≌Rt△FBDHL，
∴BE=BF，
∵BF=BG+GF，
又∵DG=BG，
∴BE=DG+GF．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的判定，等边对等角，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明Rt△EBD≌Rt△FBD．
【题型9 尺规作等腰三角形】
【例9】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为12c，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法）
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂线的画法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．首先画射线AE，在射线上截取AB=c，然后作AB的垂直平分线MN，垂足为O，再截取CO=12c，再连接AC、CB，△ABC即为所求．
【详解】解：如图所示，△ABC即为所求．
【变式9-1】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，已知∠MCN，点B是射线CM上一点，求作等腰三角形ABC，使得BC为等腰三角形的底边，点A在∠MCN内部，且点A到角∠MCN的两边距离相等．（尺规作图）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查线段垂直平分线、角平分线的作法以及垂直平分线和角平分线的性质，掌握作图方法、理解特殊线的性质是解题关键．求作以BC为底边的等腰三角形，则需要作线段BC的中垂线EF，点A在角的内部，则依据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边距离相等），需要作∠MCN的角平分线CG，CG与直线EF相交于一点即为点A，连接AB，△ABC即为所求作的等腰三角形．
【详解】解：如图，△ABC即为所求作的等腰三角形．
【变式9-2】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图．已知一个含有30°角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含45°角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图和等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
①在CA上截取CD=CB， △BCD即为含45°角的直角三角形，②延长CB，并在CB上截取CD=CA， △ACD即为含45°角的直角三角形．
【详解】解：①△BCD为含45°角的直角三角形，
①△ACD为含45°角的直角三角形．
【变式9-3】（2024·江苏泰州·一模）证明：等腰三角形的两底角相等．要求：
（1）用无刻度的直尺和圆规作等腰△ABC，使底边BC=m，腰AB=AC=n；
（2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明；
（3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的作法是解答本题的关键．
根据等腰三角形的作图方法画图即可；根据图形写出已知、求证，证明法一：作∠BAC的平分线，交BC于点D，根据SAS证明△BAD≌△CAD即可；证明法二：取BC的中点为D，连接AD，根据SSS证明△BAD≌△CAD即可；证明法三：过点A作AD⊥BC于点D，根据HL证明△BAD≌△CAD即可．
【详解】如图，△ABC即为所求作的三角形．
已知：如图，△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
证明：法一：作∠BAC的平分线，交BC于点D
∴∠BAD=∠CAD
∵在△BAD和△CAD中
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD
∴△BAD≌△CADSAS
∴∠B=∠C．
法二：取BC的中点为D，连接AD．
∴BD=CD
∵在△BAD和△CAD中
AB=ACBD=CDAD=AD
∴△BAD≌△CADSSS
∴∠B=∠C
法三：过点A作AD⊥BC于点D
∴∠ADB=∠ADC=90°
∵在Rt△BAD和Rt△CAD中
AB=ACAD=AD
∴Rt△BAD≌Rt△CADHL
∴∠B=∠C．
【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】
【例10】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，点D在CA上，且DC=2，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使△APD为等腰三角形的点P有 个．
【答案】4
【分析】点P在AB上时，存在三种情况使△APD为等腰三角，点P在BC上时，存在一种情况使△APD为等腰三角形．
【详解】解：①点P在AB上时，
当AP=PD时，
∵∠ACB=90°，AC=BC=6，
∵DC=2，
∴AD=4，
∴∠A=∠PDA=45°,
∴AP=PD=AD2=22；
当AD=AP时，AP=AD=4；
当DA=DP时，AP=2AD=42；
②当点P在BC上时，
存在DA=DP，
综上，使△APD为等腰三角形的点P有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解本题的关键．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】利用分类讨论的思想，当PB=PC，BP=BC，CP=BC时分别找到点P即可．
【详解】如图所示，l为长方形ABCD的对称轴，即l为AB的垂直平分线，
∴当P在l上时满足PA=PB，
作BC的中垂线交l于P1，满足P1B=P1C；
作BP=BC与l交于P2、P3两点，满足P2B=BC，P3B=BC；
作CP=BC与l交于P4、P5两点，满足P4C=BC，P5C=BC；
满足题意的点P共5个，
故选：D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论是解题的关键．
【变式10-2】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°.在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有 个.
【答案】6
【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题。根据题意，画出图形结合求解．
【详解】如图，第1个点在AC上，作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，则有PA=PB；
第2个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，交AC延长线上于点P；
第3个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，在上边于CA延长线上交于点P；
第4个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP=BA，与AC的延长线交于点P；
第5个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP=BA，与BC在左边交于点P；
第6个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，与BC在右边交于点P；
故符合条件的点P有6个点．
故答案为：6．
【变式10-3】（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，线段AB的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】以A为圆心，以BA的长为半径画弧与直线m交于点D，此时BA=AD，同理以B为圆心以BA的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时BC=BA，BE=BA，再作BA的垂直平分线与直线m交于点F，此时BF=AF，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，
以A为圆心，以BA的长为半径画弧与直线m交于点D，此时BA=AD，同理以B为圆心以BA的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时BC=BA，BE=BA，再作BA的垂直平分线与直线m交于点F，此时BF=AF，
∴直线m上存在4个点C，使△ABC为等腰三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义．