初中22.1.1 二次函数练习

这是一份初中22.1.1 二次函数练习，共25页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3296" 【题型1 辨别二次函数】 PAGEREF _Tc3296 \h 1
\l "_Tc11873" 【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 PAGEREF _Tc11873 \h 2
\l "_Tc3238" 【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc3238 \h 2
\l "_Tc13482" 【题型4 二次函数的一般形式】 PAGEREF _Tc13482 \h 2
\l "_Tc4752" 【题型5 求二次函数的值】 PAGEREF _Tc4752 \h 3
\l "_Tc23484" 【题型6 判断函数关系】 PAGEREF _Tc23484 \h 3
\l "_Tc27028" 【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】 PAGEREF _Tc27028 \h 4
\l "_Tc3621" 【题型8 列二次函数关系式(增长率)】 PAGEREF _Tc3621 \h 5
\l "_Tc22421" 【题型9 列二次函数关系式(循环)】 PAGEREF _Tc22421 \h 6
\l "_Tc12685" 【题型10 列二次函数关系式(销售)】 PAGEREF _Tc12685 \h 6
知识点1：二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二
次函数的一般形式．
【题型1 辨别二次函数】
【例1】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A．y=2ax2B．y=2x+a2C．y=2x2−1D．y=x2+1x
【变式1-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=2x−1B．y=x2−1C．y=x2−1D．y=12x
【变式1-2】（23-24九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（ ）
（1）y=3(x−1)2+1；（2）y=1x2−x；（3）S=3−2t2；（4）y=x4+2x2−1；（5）y=3x2−x+3x2；（6）y=mx2+8．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）下列函数①y=5x−5；②y=3x2−1；③y=4x3−3x2；④y=2x2−2x+1；⑤y=1x2．其中是二次函数的是 ．
【题型2 由二次函数的定义求字母的值】
【例2】（23-24九年级下·广东东莞·期中）已知函数y=m−1xm2+1是二次函数，则m= ．
【变式2-1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果y=2x|m|+3x−1是关于x的二次函数，则m= ．
【变式2-2】（23-24九年级上·湖北·周测）如果函数y=k−1xk2−k+2+kx−1是关于x的二次函数，则k= ．
【变式2-3】（23-24九年级下·广东广州·期末）如果y=k−3xk－1+x−3是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ．
【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数y=k−1x2+kx−1（k是常数）是二次函数，那么k的取值范围是 ．
【变式3-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知函数y=m2−mx2+m−1x−2（m为常数）．
(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．
(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
【变式3-2】（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于x的二次函数y=a2−1x2+x−2，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1B．a≠−1C．a≠±1D．为任意实数
【变式3-3】（23-24九年级下·四川遂宁·期中）已知函数y=(m2-2)x2+(m+2)x+8．若这个函数是二次函数，求m的取值范围
【题型4 二次函数的一般形式】
【例4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数y=x2−3x+5的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【变式4-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）把二次函数y=−4(1+2x)(x−3)化为一般形式为： ．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式.
【变式4-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数y=(x−2)(5−2x)的二次项系数是 ．
【变式4-3】（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ．
【知识点2 列二次函数关系式】
(1)理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
(2)分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
(3)列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.
【题型5 求二次函数的值】
【例5】（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）标准大气压下，质量一定的水的体积Vcm3与温度t°C之间的关系满足二次函数V=18t2+104t>0，则当温度为4°C时，水的体积为 cm3．
【变式5-1】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）某车的刹车距离ym与开始刹车时的速度xm/s之间满足二次函数y=116x2x>0，若该车某次的刹车距离为4m，则开始刹车时的速度为 m/s．
【变式5-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）把一个物体以20m/s的速度竖直上抛，该物体在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t−5t2，当h=20m时，物体的运动时间为 s．
【变式5-3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y=-110x2+35x+85，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
【题型6 判断函数关系】
【例6】（23-24九年级上·北京朝阳·期末）如图，矩形绿地的长和宽分别为30m和20m．若将该绿地的长、宽各增加xm，扩充后的绿地的面积为ym2，则y与x之间的函数关系是 ．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）
【变式6-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（ ）
A．圆的周长与圆的半径之间的关系
B．三角形的高一定时，面积与底边长的关系
C．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系
D．正方体的表面积与棱长的关系
【变式6-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．一次函数
C．二次函数D．以上均不正确
【变式6-3】（23-24九年级下·福建福州·期末）如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为a（a为常数）cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，二次函数关系B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系D．一次函数关系，二次函数关系
【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】
【例7】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，∠A=90°，AB=AC，BC=20，四边形EFGH是△ABC的内接矩形，如果EF的长为x，矩形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系式为 ．
【变式7-1】（23-24九年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加xcm时，正方体的表面积增加ycm2，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y=6x2−36xB．y=−6x2+36x
C．y=x2+36xD．y=6x2+36x
【变式7-2】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长26cm，宽22cm，相框边的宽为x cm，相框内的面积是y cm2，则y与x之间的函数关系式为 ．
【变式7-3】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（ ）
A．S=tB．S=12t2C．S=t2D．S=12t2−1
【题型8 列二次函数关系式(增长率)】
【例8】（23-24九年级上·四川自贡·期末）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A．y=40001−xB．y=40001−x2
C．y=80001−xD．y=80001−x2
【变式8-1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度GDP总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y=2.61+2xB．y=2.61−x2
C．y=2.61+x2D．y=2.6+2.61+x+2.61+x2
【变式8-2】（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为y元，设平均每次降价的百分率是x，则y关于x的函数表达式为 ．
【变式8-3】（23-24九年级上·全国·阶段练习）某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y万元，年平均增长率为 x．则y与x的函数解析式 ．
【题型9 列二次函数关系式(循环)】
【例9】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ．
【变式9-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）寒假九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为（ ）
A．m=12n(n+1)B．m=12n(n−1)C．m=12n2D．m=n(n−1)
【变式9-2】（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为 .
【变式9-3】（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）篮球联赛中，每两个球队之间进行两场比赛，设有x个球队参赛计划共打y场比赛，则y与x之间的函数关系为 ．
【题型10 列二次函数关系式(销售)】
【例10】（23-24九年级上·广东广州·期末）某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件（7.50，
当t=4°C时，V=18×42+104=106cm3，
∴水的体积为106cm3．
故答案为：106
【变式5-1】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）某车的刹车距离ym与开始刹车时的速度xm/s之间满足二次函数y=116x2x>0，若该车某次的刹车距离为4m，则开始刹车时的速度为 m/s．
【答案】8
【分析】将y=4代入即可求解．
【详解】解：令y=4，则4=116x2，
解得：x=8（负值舍去）
故答案为：8
【点睛】本题考查了二次函数的应用，将y=4代入是解题的关键．
【变式5-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）把一个物体以20m/s的速度竖直上抛，该物体在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t−5t2，当h=20m时，物体的运动时间为 s．
【答案】2
【分析】分析知，高h=20m有两种情况，一是在上升过程某一时刻高为20，或者是下降时高为20，把h代入关系式即可分别得到时间．
【详解】根据题意，把h=20代入关系式得：
20t−5t2−20=0,即(t−2)2=0，
解得t=2，
∴物体运动时间为2s；
故答案为2.
【点睛】考查了二次函数图象上点的坐标特征与物理运动问题的结合,进行准确的运算即可.
【变式5-3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y=-110x2+35x+85，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
【答案】C
【分析】根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
【详解】解：在y=-110x2+35x+85中，令y=0得：
-110x2+35x+85=0，
解得x=-2（舍去）或x=8，
∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
【题型6 判断函数关系】
【例6】（23-24九年级上·北京朝阳·期末）如图，矩形绿地的长和宽分别为30m和20m．若将该绿地的长、宽各增加xm，扩充后的绿地的面积为ym2，则y与x之间的函数关系是 ．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）
【答案】二次函数关系
【分析】根据矩形面积公式求出y与x之间的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：由题意得y=30+x20+x=x2+50x+600，
∴y与x之间的函数关系是二次函数关系，
故答案为；二次函数关系．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
【变式6-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（ ）
A．圆的周长与圆的半径之间的关系
B．三角形的高一定时，面积与底边长的关系
C．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系
D．正方体的表面积与棱长的关系
【答案】D
【分析】根据二次函数，反比例函数、正比例函数的定义一一判断即可．
【详解】解：A．圆的周长c与圆的半径r之间的关系是：c=2πr，故他们之间的关系是正比例函数关系；
B．三角形的高h一定时S=12lℎ，故他们之间的关系是正比例函数关系；
C．在一定距离s内，故他们之间的关系是反比例函数关系；
D．正方体的表面积S与棱长a的关系：S=6a2，S和a是二次函数关系，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式6-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．一次函数
C．二次函数D．以上均不正确
【答案】C
【分析】设y1＝k1x，y2＝k2x2，根据y＝y1﹣y2得到y＝k1x﹣k2x2，由此得到答案．
【详解】解：设y1＝k1x，y2＝k2x2，
则y＝k1x﹣k2x2，
所以y是关于x的二次函数，
故选：C．
【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键．
【变式6-3】（23-24九年级下·福建福州·期末）如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为a（a为常数）cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，二次函数关系B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到y=−12πx+14a，再根据S阴影=S正方形−S圆得到S=y2−πx2=14π2−πx2−14πax+116a2，由此即可得到答案．
【详解】解：∵正方形ABCD和⊙O的周长之和为acm，圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，
∴4y+2πx=a，
∴y=−12πx+14a，
∵S阴影=S正方形−S圆，
∴S=y2−πx2=−12πx+14a2−πx2=14π2−πx2−14πax+116a2，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】
【例7】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，∠A=90°，AB=AC，BC=20，四边形EFGH是△ABC的内接矩形，如果EF的长为x，矩形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系式为 ．
【答案】y=−12x2+10x
【分析】根据题意可得△BEH，△CFG是等腰直角三角形，得出BH=EH=CG=GF，进而根据矩形的面积即可求解．
【详解】∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵四边形 EFGH 是 △ABC 的内接矩形，
∴∠EHB=∠FGC=90°，EH=FG，EF=HG，
∴∠BEH=∠CFG=45°，
∴BH=EH=CG=GF．
∵BC=20，EF=x，
∴BC−HG=BC−EF=20−x，
∴BH=EH=CG=GF=12BC−HG=10−12x，
∴y=x10−12x=−12x2+10x．
故答案为：y=−12x2+10x．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【变式7-1】（23-24九年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加xcm时，正方体的表面积增加ycm2，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y=6x2−36xB．y=−6x2+36x
C．y=x2+36xD．y=6x2+36x
【答案】D
【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据题意直接列式即可作答．
【详解】根据题意有：y=6x+32−6×32=6x2+36x，
故选：D．
【变式7-2】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长26cm，宽22cm，相框边的宽为x cm，相框内的面积是y cm2，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】y=4x2−96x+57200;22−2x>0
解得：0