人教版2024-2025学年九年级上册数学同步讲义专题22.4二次函数与一元二次方程【九大题型】(学生版+解析)

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专题22.4 二次函数与一元二次方程【九大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc21430" 【题型1 由二次函数图象确定相应方程根的情况】  PAGEREF _Toc21430 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc20016" 【题型2 由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值】  PAGEREF _Toc20016 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc4867" 【题型3 确定x轴与抛物线的截线长】  PAGEREF _Toc4867 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc10229" 【题型4 抛物线与x轴交点上的四点问题】  PAGEREF _Toc10229 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc32338" 【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】  PAGEREF _Toc32338 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc15693" 【题型6 图象法解一元二次不等式】  PAGEREF _Toc15693 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc29974" 【题型7 二次函数与一次函数的综合运用】  PAGEREF _Toc29974 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc32444" 【题型8 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】  PAGEREF _Toc32444 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc24884" 【题型9 由几何变换后得交点个数确定字母的取值范围】  PAGEREF _Toc24884 \h 11知识点1：二次函数与一元二次方程【题型1 由二次函数图象确定相应方程根的情况】【例1】（23-24九年级·北京·阶段练习）若二次函数y＝2x2+4x﹣c与x轴的一个交点是（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣c2＝﹣2x的根为 ．【变式1-1】（23-24九年级·全国·专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根为 ．【变式1-2】（23-24·陕西西安·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A．abc>0B．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=−2，x2=3C．a+b=c−bD．a+4b=3c【变式1-3】（23-24·广东广州·一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+3m与x轴的一个交点为（2，0），并且该抛物线与x轴的两个交点横坐标的值恰好是等腰△ABC的两条边，则△ABC的周长为 ．【题型2 由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值】【例2】（23-24·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的函数y=ax2−a+1x+a−1的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式2-1】（23-24·广东广州·二模）若关于x的方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则抛物线y=x2+a−4x−5的顶点在第 象限．【变式2-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）抛物线y＝x2＋ax＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的方程x2＋ax＋3﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（    ）A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6【变式2-3】（23-24九年级·云南曲靖·期末）已知抛物线y=x2+2k+1x+k2−1的图象与坐标轴有3个交点.(1)求k的取值范围(2)若抛物线的图象经过点1，1，求k值．【题型3 确定x轴与抛物线的截线长】【例3】（23-24九年级·江西南昌·期末）如图，已知抛物线C：y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，且抛物线经过M(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点N．  (1)点N（ ， ）；(2)若抛物线C1与抛物线C关于y轴对称，求抛物线C1的解析式；(3)若抛物线Cn的解析式为y=−(x+1)(x−2−n)(n=1，2，3，⋯)，抛物线Cn的顶点坐标为Pn，与x轴的交点坐标为A，Bn（点A在点Bn的左边）①求：AB1+AB2+AB3+⋯AB100的值；②判断抛物线的顶点P1,P2,P3，…，Pn是否在一条直线上，若在，请直接写出直线解析式；不在，请说明理由．【变式3-1】（23-24九年级·福建福州·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，抛物线y＝mx2+4mx﹣5m．(1)求抛物线与x轴两交点间的距离；(2)当m＞0时，过A（0，2）点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（点C在点D左侧），C、D横坐标分别为x1、x2，且x2﹣x1＝8，求抛物线的解析式．【变式3-2】（23-24九年级·广东汕头·期末）若抛物线y=x2−2x+c与x轴交于Ax1,0、Bx2,0两点，若2≤AB≤5，则c的最大值是 ．【变式3-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点Ax1,0，Bx2,0，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长．(1)求抛物线y=x2−2x−3的雅礼弦长；(2)求抛物线y=x2+n+1x−1(1≤n0，然后分抛物线左、右支与O'B'相交，分两种情况讨论．画出图像是帮助解决本题分类讨论的关键所在．【详解】（1）将点A−3,0、B1,0的坐标代入抛物线y=ax2+bx+1中得：9a−3b+1=0a+b+1=0，解得：a=−13b=−23∴这个抛物线的解析式是：y=−13x2−23x+1．（2）设点P的坐标为a,−13a2−23a+1，由矩形PQED的性质可知，点D的横坐标为a，点Q的纵坐标为−13a2−23a+1．在抛物线y=−13x2−23x+1中，令x=0，得y=1，所以点C0,1，又A−3,0，可设直线AC的解析式为：y=kx+b代入b=1−3k+b=0，解得：k=13b=1∴直线AC的解析式为：y=13x+1∵点D、Q均在直线AC上，将Q点纵坐标代入直线AC的解析式中得：−13a2−23a+1=13x+1，解得：x=−a2−2a∴Da,13a+1、Q−a2−2a,−13a2−23a+1、E−a2−2a,13a+1∴矩形PQED的周长：L=2−a2−2a−a+−13a2−23a+1−13a−1=−83a2−8a=−83a+322+6当a=−32时，−13a2−23a+1=54，此时L的最大值为6，此时P−32,54即矩形PQED周长的最大值是6，此时点P−32,54．（3）∵抛物线沿直线AC向右平移，直线AC的方程为y=13x+1∴每水平向右平移3mm>0个单位，则同时垂直向上平移m个单位，t=3m2+m2=10⋅mt>0故可设平移后的抛物线方程为：y'=−13x−3m2−23x−3m+1+m,m>0根据题意可知四边形OBB'O'边长为1的正方形．则B'1,1，①当抛物线右支与O'B'相交时（如图），0