数学九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程测试题

这是一份数学九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程测试题，共34页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11403" 【题型1 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc11403 \h 1
\l "_Tc15902" 【题型2 判断含参数的一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc15902 \h 2
\l "_Tc25765" 【题型3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】 PAGEREF _Tc25765 \h 2
\l "_Tc23742" 【题型4 证明一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc23742 \h 3
\l "_Tc30999" 【题型5 由根的判别式求代数式的取值范围】 PAGEREF _Tc30999 \h 3
\l "_Tc32524" 【题型6 根的判别式与三角形的综合运用】 PAGEREF _Tc32524 \h 3
\l "_Tc24926" 【题型7 根的判别式与四边形的综合运用】 PAGEREF _Tc24926 \h 4
\l "_Tc3653" 【题型8 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 PAGEREF _Tc3653 \h 4
\l "_Tc15020" 【题型9 一元二次方程中的新定义问题】 PAGEREF _Tc15020 \h 5
\l "_Tc20500" 【题型10 一元二次方程中的多结论问题】 PAGEREF _Tc20500 \h 6
知识点1：一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac0．先根据判别式得出可选择的组，然后解方程即可．
【详解】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2−4ac>0，即b2>4ac
∴②③均可，
当选②解方程时：
x2+5x+6=0，
x+2x+3=0，
x+2=0或x+3=0，
∴x1=−2，x2=−3；
当选③解方程时：
x2+4x−2=0，
x2+4x+4=2+4，
x+22=6，
x+2=±6，
∴x1=6−2，x2=−6−2．
【变式1-3】（23-24九年级·河南安阳·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2−2x=0B．x2+4x−4=0C．x−22−3=0D．3x2+2=0
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项系数，根的判别式Δ与实数根的情况之间的关系如下：Δ>0，一元二次方程有两个不相等的实数根；Δ=0，一元二次方程有两个相等的实数根；Δ0，则A选项有两个不等实数根，不符合题意；
B选项Δ=16+16=32>0，则B选项有两个不等实数根，不符合题意；
C选项方程的一般式为：x2−4x+1=0，则Δ=16−4=12>0，则C选项有两个不等实数根，不符合题意；
D选项方程Δ=0−4×3×2=−240，
所以关于x的一元二次方程x2+(k−2)x−k=0有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）已知一元二次方程x2+bx+c=0．
(1)当b=2时，若方程的一个根为−3，求c的值以及方程的另一个根；
(2)当c+1=14b2时，请判别方程根的情况．
【答案】(1)c=−3，方程另外一个根为x=1
(2)原方程有两个不相等的实数根
【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程等知识点，
（1）将b=2和方程的一个根为−3代入方程求出c值，再解方程即可；
（2）根据c+1=14b2判断出Δ的取值范围，进而进行判断即可；
熟练掌握根的判别式以及解一元二次方程是解决此题的关键．
【详解】（1）∵b=2时，若方程的一个根为−3，
∴−32+2×−3+c=0解得：c=−3，
∴得到方程为x2+2x−3=0，解得x1=−3或x2=1，
∴c=−3，方程另外一个根为x=1；
（2）∵c+1=14b2，
∴c=14b2−1
∴Δ=b2−4c=b2−414b2−1=b2−b2+4=4>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
【变式2-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）一元二次方程x2+4x−7=0的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有一个实根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵x2+4x−7=0，
∴a=1,b=4,c=−7，Δ=b2−4ac=16−4×1×−7=16+28=44>0，
故选：D．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·期末）对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列说法不正确的是（ ）
A．若x=−1是方程的解，则a−b+c=0
B．若c=0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根
C．若ac0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意；
故选：B．
【题型3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】
【例3】（23-24·四川广安·中考真题）若关于x的一元二次方程(m+1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m0，
解得：m0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的方程k−1x2−x+14=0有两个不相等的实根，
∴k−1≠0△=−12−4×14k−1>0 ，
解得：k0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0即可．
【详解】证明：由x−1x−2−m2=0得x2−3x+2−m2=0，
则 Δ=−32−42−m2=4m2+1，
∵无论m取何值，都有m2≥0，
∴4m2+1≥1>0，即Δ>0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
【变式4-1】（23-24九年级·北京顺义·期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一个根小于−2，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)m>3
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式．熟练掌握一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式是解题的关键．
（1）根据Δ=m2−4m−1=m2−4m+4=m−22≥0，证明即可；
（2）由x2+mx+m−1=0，可得x+m−1x+1=0，解得，x=1−m或x=−1，由方程的一个根小于−2，可得1−m0时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，该方程有两个相等的实数根；当Δ0，且该方程的两个实数根的积为12，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)m=2
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法是解本题的关键．
（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；
（2）利用因式分解法可得x1=m,x2=3m，再由“该方程的两个实数根的积为12”可求得3m2=12，计算即可求出m的值．
【详解】（1）证明：∵a=1,b=−4m,c=3m2，
∴Δ=b2−4ac=(−4m)2−4×1×3m2=4m2，
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2−4mx+3m2=0，即：x−mx−3m=0，
∴x1=m,x2=3m，
∵该方程的两个实数根的积为12
∴3m2=12，
∴m=±2，
∵m>0，
∴m=2．
【题型5 由根的判别式求代数式的取值范围】
【例5】（23-24九年级·安徽·期末）若实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0，则a的取值范围是 ．
【答案】−8≤a0a+8≤0或a012x−30，
则方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b2−4ac>0，因此必有两个不相等的实数根；故正确；
②若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，则Δ=b2−4ac>0，
则方程cx2+bx+a=0中，若c=0，则不是一元二次方程；故错误；
③若c是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，则ac2+bc+c=0，
c(ac+b+1)=0，则c=0或ac+b+1=0；故错误；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则ax02+bx0+c=0，
将b2−4ac=(2ax0−b)2化简为：ax02−bx0+c=0；故错误；
故选：A
【点睛】此题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式，解题关键是出现方程的根时，直接代入方程即可．