2025年高考数学精品教案大题规范1 函数与导数

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学生用书P068
考情综述 函数与导数解答题，难度较大，从其在2023年新高考卷Ⅰ中的位置来看，难度有所下降，说明难度定位更灵活.
从近几年的命题情况来看，常涉及的背景函数有：指数函数、对数函数、分式函数、三次函数、三角函数.涉及的命题点有：求切线方程，判断单调性，求单调区间、极值、最值、参数范围，零点问题，证明不等式问题，不等式恒成立问题等.常涉及的数学思想有：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想等.
解题时，无论是单调性、极值、最值问题还是不等式问题，一般需要先求出函数的导数，然后通过导数研究函数的单调性来求解，因此掌握导数与函数的单调性的关系尤为重要.求解过程中，注意内容书写的规范性和完整性.
示例 [2023新高考卷Ⅰ/12分]已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当a＞0时，f（x）＞2ln a＋32.
思维导引 （1）求f '（x） 分类讨论 a≤0与a＞0解f '（x）＜0， f '（x）＞0→得x的取值范围→得f（x）的单调性
（2）思路一 利用a＞0时f（x）的单调性→求出f（x）的最小值→转化为证明f（x）min＞2ln a＋32 作差构造函数 ga=−2ln a−32转化为证明g（a）min＞0
思路二 利用a＞0时f（x）的单调性→求出f（x）的最小值→转化为证明f（x）min＞
2ln a＋32 利用分析法简化 所证不等式借助中间量证明简化后的不等式
规范答题
（1）因为f（x）＝a（ex＋a）－x，所以f'（x）＝aex－1，（1分）→正确求导是关键.
当a≤0时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减；（2分）→注意单调区间的范围.
当a＞0时，令f'（x）＜0，得x＜－ln a，令f'（x）＞0，得x＞－ln a，
所以函数f（x）在（－∞，－ln a）上单调递减，在（－ln a，＋∞）上单调递增.（4分）→有一处不等式解错，但单调性判断对，这一步只给1分.
综上可得：当a≤0时，函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减；
当a＞0时，函数f（x）在（－∞，－ln a）上单调递减，在（－ln a，＋∞）上单调递增.（5分）→下结论不可少，否则，就会失去结论分.
（2）解法一（最值法） 由（1）得，当a＞0时，函数f（x）＝a（ex＋a）－x的最小值为f（－ln a）＝a（e－ln a＋a）＋ln a＝1＋a2＋ln a，（6分）→第（1）问中没有别的条件，其结论可以在第（2）问中合理使用.
令g（a）＝1＋a2＋ln a－2ln a－32＝a2－ln a－12，a∈（0，＋∞），（7分）→利用作差法，构造函数g（a）＝1＋a2＋ln a－2ln a－32，注意自变量a的取值范围.
所以g'（a）＝2a－1a，
令g'（a）＜0，得0＜a＜22；令g'（a）＞0，得a＞22.（9分）→注意新构造的函数中，a是自变量，不要误以为a是常数.
所以函数g（a）在（0，22）上单调递减，在（22，＋∞）上单调递增，（10分）→根据函数g（a）的单调性可判断g（a）的最小值.
所以函数g（a）的最小值为g（22）＝（22）2－ln22－12＝ln2＞0，（11分）→注意求最小值时，需代入函数g（a）中，不要误代入函数g'（a）中.
所以当a＞0时，f（x）＞2ln a＋32成立.（12分）
解法二（分析法） 当a＞0时，由（1）得，f（x）min＝f（－ln a）＝1＋a2＋ln a，（6分）→第（1）问没有别的条件，其结论可以在第（2）问中合理利用.
故要证f（x）＞2ln a＋32成立，
只需证1＋a2＋ln a＞2ln a＋32，
即证a2－12＞ln a. →（7分）用分析法转化待证的不等式时，注意书写的格式“要证……，只需证……，即证……”.
构造函数u（a）＝ln a－（a－1）（a＞0），
则u'（a）＝1a－1＝1－aa，所以当a＞1时，u'（a）＜0；当0＜a＜1时，u'（a）＞0.（8分）→构造函数，注意自变量的取值范围.
所以函数u（a）在（1，＋∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增，
所以u（a）≤u（1）＝0，即ln a≤a－1，（9分）→根据函数u（a）的单调性，可得出u（a）的最大值.
故只需证a2－12＞a－1，
即证a2－a＋12＞0，（10分）→“只需证、即证”的字眼不能漏，否则，就会失分.
因为a2－a＋12＝（a－12）2＋14＞0恒成立，（11分）
所以当a＞0时，f（x）＞2ln a＋32成立.（12分）
感悟升华
函数与导数问题的答题策略
1.定义域优先.在利用导数讨论函数的单调性时，要先确定函数的定义域，求单调区间必须在定义域内进行.
2.正确运用公式与法则.熟练利用基本初等函数的求导公式与法则，正确求导是解题的关键.注意对复合函数求导法则的运用.
3.分类讨论做到不重不漏.分类讨论是难点，需明晰分类的标准，要做到合理分类，不重不漏.
4.会构造函数.正确构造函数，利用导数判断新构造函数的单调性，利用函数的性质求解.
5.会转化.会把不等式问题转化为函数的最值问题，会分离参数或用分析法转化，简化后求解.
训练 [12分]已知函数f（x）＝x2－a（ln x－a）.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当a＞0时，f（x）≥a2＋2a－alna2－e2.
解析 （1）易知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），（讨论函数的单调性或求函数的单调区间时要有定义域优先的意识）
f'（x）＝2x－ax＝2x2－ax.（1分）
当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增.（2分）
当a＞0时，若x∈（0，a2），则f'（x）＜0，若x∈（a2，＋∞），则f'（x）＞0，
所以f（x）在（0，a2）上单调递减，在（a2，＋∞）上单调递增.（4分）
综上，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，a2）上单调递减，在（a2，＋∞）上单调递增.（分类讨论后要记得总结结论，否则容易失分）
（5分）
（2）由（1）可知，当a＞0时，f（x）min＝f（a2）＝a2＋a2－a2lna2.（6分）
要证f（x）≥a2＋2a－alna2－e2，
只需证f（x）min≥a2＋2a－alna2－e2，
即证a2lna2－3a2＋e2≥0.（7分）
令t＝a2，则t＞0，要证a2lna2－3a2＋e2≥0，即证tln t－3t＋e2≥0.（通过换元简化不等式的形式，换元后要注意新元的范围）（8分）
令g（t）＝tln t－3t＋e2，则g'（t）＝ln t－2，
当t∈（0，e2）时，g'（t）＜0，当t∈（e2，＋∞）时，g'（t）＞0，
所以g（t）在（0，e2）上单调递减，在（e2，＋∞）上单调递增，（10分）
所以g（t）≥g（e2）＝2e2－3e2＋e2＝0，（11分）
故当a＞0时，f（x）≥a2＋2a－alna2－e2.（12分）