江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题

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1．A2．C3．D4．A5．B6．B7．C8．C9．ABD10．ABD11．BC
12．13．14．
15．(1)(2)
16．(1)(2)证明见解析
【详解】（1）因为，则，
所以，则切线方程为，
即，
令，解得，所以；
（2）由（1）可得，.
方法一：
所以，
则，
两式相减得，
故
，
所以由可得，
故；
17．(1)(2)
【详解】（1）在中，由余弦定理，可得，
由，，则，
得,
由的周长为20，即，则，
所以，则，即，
所以，
故的面积为，.
（2）根据题意，如图所示，
圆为的内切圆，半径为，切点分别为，
则，且，
由内切圆性质，圆心为内角平分线的交点，
则，且，
由中，即，
所以，又，即，
所以，则，则，
在中，
故，即.
18．(1)答案见解析(2)
【详解】（1）由已知可得函数，.
①当时， 当时，，时，；
则在上单调递减，在上单调递增；
②当时，当时，，
或时，；
则在上单调递减，在上单调递增；
③当时，因与同号，故恒成立，即在R上单调递增；
④当时，当时，，或时，；
则在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题意，恒成立，因，即恒成立.
即需求在上的最大值.
令，，则，
令，，则，
即在0,+∞上单调递减，
又，所以在0,+∞上存在唯一的使gx0=0（*），
当x∈0,x0时，gx>0，即则φx在上单调递增；
当x∈x0,+∞时，gx<0，即则φx在上单调递减.
故φx在时取得最大值，为，
又由（*）可得，，故，
两边取对数得：，
令，由知ℎx在定义域内单调递增，
故由可得，，即，
所以，故，即.
19．(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由函数，可得，
不妨设，曲线在处的切线方程为
，即，
同理曲线在处的切线方程为，
假设与重合，则，
代入化简可得，
两式消去，可得，整理得，
由知，与上式矛盾
即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合，
所以函数图像上的任意两点切线均不重合；
（2）当时，不等式恒成立，
所以在恒成立，所以，
下证：当时，恒成立．
因为，所以
设
（i）当时，由知恒成立，
即在为增函数，所以成立；
（ii）当时，设，可得，
由知恒成立，即在为增函数．
所以，即在为减函数，所以成立，
综上所述，实数的取值范围是