人教版八年级数学上册举一反三11.2三角形的高、中线、角平分线【七大题型】(学生版+解析)

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专题11.2 三角形的高、中线、角平分线【七大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc1260" 【题型1 三角形的高、中线、角平分线的概念辨析】  PAGEREF _Toc1260 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc24807" 【题型2 画三角形的高】  PAGEREF _Toc24807 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc13086" 【题型3 “同高底共线”三角形的有关计算】  PAGEREF _Toc13086 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc7410" 【题型4 根据网格求三角形的面积】  PAGEREF _Toc7410 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc17726" 【题型5 应用三角形的中线等分面积解决问题】  PAGEREF _Toc17726 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc17777" 【题型6 三角形的中线与周长的计算】  PAGEREF _Toc17777 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc6721" 【题型7 三角形边、角、线有关的探究题】  PAGEREF _Toc6721 \h 7【知识点 三角形的角平分线、中线和高】(1)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．【题型1 三角形的高、中线、角平分线的概念辨析】【例1】（2023春·山东枣庄·八年级统考期末）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ）  A．CD=12BC B．2∠BAE=∠BACC．∠C+∠CAF=90° D．AE=AC【变式1-1】（2023春·八年级单元测试）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（　　）A．AB边上的中线和高线 B．∠C的角平分线和AB边上的高线C．∠C的角平分线和AB边上的中线 D．∠C的角平分线、AB边上的中线和高线【变式1-2】（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ）①三角形的三条高线交于一点；②三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点；③直角三角形只有一条高；④三角形三个内角的角平分线交于一点．A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-3】（2023春·八年级课时练习）如图，△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中，正确的个数是（   ）①BG是△ABD的边AD上的中线；②AD既是△ABC的角平分线，也是△ABE的角平分线；③CH既是△ACD的边AD上的高，也是△ACH的边AH上的高．A．0 B．1 C．2 D．3【题型2 画三角形的高】【例2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（    ）   B．  C．   D．  【变式2-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图所示，△ABC中AB边上的高是（    ）  A．BD B．AE C．BE D．CF【变式2-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）A． B． C．D．【变式2-3】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，AD⊥BC，EC⊥BC，CF⊥AB，点D，C，F是垂足，下列说法错误的是（    ）A．△ABD中，AD是BD边上的高 B．△ABD中，EC是BD边上的高C．△CEB中，EC是BC边上的高 D．△CEB中，FC是BE边上的高【题型3 “同高底共线”三角形的有关计算】【例3】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为AB上一点，BE=2AE，连接BD，CE交于点F．若S△BEF=S△DFC，S△ABC=18，则△ABD的面积为(　　)  A．3 B．6 C．9 D．12【变式3-1】（2023春·八年级单元测试）如图，AD∥BC，△ABD的面积等于4，AD=2，BC=6，则△DCB的面积是_______．【变式3-2】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，△ABC中，点D为AC边上一点，满足AD=3DC，连接BD，点E为BD中点，连接AE，若△AED的面积是3，则△ABC的面积是________．  【变式3-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在三角形ABC中，AC=3AE，三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍，则阴影部分的面积占三角形ABC面积的______．【题型4 根据网格求三角形的面积】【例4】（2023·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，正方形网格边长为1，点A，B，C均在格点上，则S△ABC=_________．【变式4-1】（2023春·北京·八年级北京四中校考阶段练习）如图所示的网格是正方形网格，△ABC的面积__△DEF的面积．（填“＞”，“＝”或“＜”）．【变式4-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）画图题：在6×8的正方形网格上，完成下列问题．(1)已知图1中△ABC各顶点都在网格格点上，过点A作BC边上的中线AD．(2)在图2中画出面积是2的钝角△AEF，各顶点都在格点上（画出一种即可）．(3)在图1中，若AC=5，直接写出B点到AC的距离．【变式4-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：图1、图2是两张形状、大小完全相同的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．格中各有一个完全相同的三角形，请在图1、图2分别画一条直线，满足以下要求（1）直线与三角形的交点要经过网格的格点（每个小正方形的顶点均为格点）（2）在图1、图2中分别用不同的方法将三角形分成两个图形其中一个是三角形另一个是四边形，分割后的三角形的面积记为S1，四边形的面积为S2，且S1:S2=4:11．【题型5 应用三角形的中线等分面积解决问题】【例5】（2023春·浙江金华·八年级统考期中）如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△ABC的面积为12．则△AEF的面积是（　　）A．2 B．3 C．4 D．6【变式5-1】（2023春·八年级单元测试）如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，(1)图中与△ABE面积相等是三角形有____个（不含△ABE）；(2)若△ABF的面积是4cm2，求四边形FDCE的面积．【变式5-2】（2023春·上海·八年级假期作业）如图，把△ABC的三边BA、CB和AC分别向外延长一倍，将得到的点A'、B'、C'顺次连接成△A'B'C'，若△ABC的面积是5，则△A'B'C'的面积是____________．【变式5-3】（2023春·八年级课时练习）如图，AP1为△ABC的中线，△ABP1的面积记为S1；AP2为△AP1C的中线，△AP1P2的面积记为S2；AP3为△AP2C的中线，△AP2P3的面积记为S3；……按此规律，APn为△APn−1C的中线，△APn−1Pn面积记为Sn．若△ABC的面积为S，则S1+S2+S3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+Sn的面积为（　　）A．S−S2n−1 B．S−S2n C．S2n−1 D．S2n【题型6 三角形的中线与周长的计算】【例6】（人教版（2012）八年级上册第十一章三角形检测卷）如图，△ABC的周长为27，AC=9，BC边上的中线AE=6，△ABE的周长为19，求AB的长．  【变式6-1】（陕西省西安市曲江第一中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）在△ABC中，BC边上的中线AD将△ABC分成的两个新三角形的周长差为5cm，AB与AC的和为11cm，则AC的长为________．【变式6-2】（云南省昆明市官渡区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）已知△ABC的周长为37cm，AD是BC边上的中线，AC=23AB．（1）如图，当AB=15cm时，求BD的长．（2）若AC=14cm，能否求出DC的长？为什么？【变式6-3】（广东省广州市南沙区实验外语学校2022-2023学年八年级上学期开学质量检测数学试题）如图，在△ABC中（AC>AB），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．【题型7 三角形边、角、线有关的探究题】【例7】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线．DE∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F，图中∠1与∠2有什么关系？为什么？【变式7-1】（2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，AD∥EF，∠1+∠2＝180°，（1）请问DG与AB平行吗？为什么？（2）若DG是∠ADC的角平分线，∠1＝30°，求∠B的度数．【变式7-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间的等量关系是________；（2）若D在底边BC的延长线上，其他条件不变，则DE，DF，CG的长之间的等量关系是_________．（请说明理由）【变式7-3】（2023春·广东梅州·八年级期末）如图，∠ADE+∠BCF=180°，AF平分∠BAD，∠BAD=2∠F．  (1)AD与BC平行吗？请说明理由；(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？(3)若BE平分∠ABC．证明：∠E+∠F=90°．专题11.2 三角形的高、中线、角平分线【七大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc1260" 【题型1 三角形的高、中线、角平分线的概念辨析】  PAGEREF _Toc1260 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc24807" 【题型2 画三角形的高】  PAGEREF _Toc24807 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc13086" 【题型3 “同高底共线”三角形的有关计算】  PAGEREF _Toc13086 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc7410" 【题型4 根据网格求三角形的面积】  PAGEREF _Toc7410 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc17726" 【题型5 应用三角形的中线等分面积解决问题】  PAGEREF _Toc17726 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc17777" 【题型6 三角形的中线与周长的计算】  PAGEREF _Toc17777 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc6721" 【题型7 三角形边、角、线有关的探究题】  PAGEREF _Toc6721 \h 19【知识点 三角形的角平分线、中线和高】(1)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．【题型1 三角形的高、中线、角平分线的概念辨析】【例1】（2023春·山东枣庄·八年级统考期末）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ）  A．CD=12BC B．2∠BAE=∠BACC．∠C+∠CAF=90° D．AE=AC【答案】D【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可．【详解】解：AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高线，CD=12BC，故选项A正确，不合题意；2∠BAE=∠BAC，故选项B正确，不合题意；∴∠AFC=90°,∴∠C+∠CAF=90°，故选项C正确，不合题意；AE与AC不一定相等，故选项D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．【变式1-1】（2023春·八年级单元测试）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（　　）A．AB边上的中线和高线 B．∠C的角平分线和AB边上的高线C．∠C的角平分线和AB边上的中线 D．∠C的角平分线、AB边上的中线和高线【答案】C【分析】由折叠的性质可求解．【详解】解：当AC与BC重合时，折痕是∠C的角平分线；当点A与点B重合时，折叠是AB的中垂线，故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键．【变式1-2】（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ）①三角形的三条高线交于一点；②三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点；③直角三角形只有一条高；④三角形三个内角的角平分线交于一点．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的性质进行判断即可．【详解】解：三角形的三条高所在直线交于一点，故①错误，三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点，故②正确，直角三角形有三条高，故③错误，三角形三个内角的角平分线交于一点，故④正确，正确的是②④，共2个，故选：B．【点睛】此题考查了三角形的高、中线、角平分线的性质，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的性质是解题的关键．【变式1-3】（2023春·八年级课时练习）如图，△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中，正确的个数是（   ）①BG是△ABD的边AD上的中线；②AD既是△ABC的角平分线，也是△ABE的角平分线；③CH既是△ACD的边AD上的高，也是△ACH的边AH上的高．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义逐一判断即可．【详解】解：因为G为AD的中点，所以BG是△ABD的边AD上的中线，故①正确；因为∠1=∠2，所以AD是△ABC的角平分线，AG是△ABE的角平分线，故②错误；因为CF⊥AD于点H，所以CH既是△ACD的边AD边上的高，也是△ACH的边AH上的高，故③正确，综上正确的有2个故选：C．【点睛】此题考查的是三角形中线、角平分线和高的识别，掌握三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义是解决此题的关键．【题型2 画三角形的高】【例2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（    ）   B．  C．   D．  【答案】D【分析】用三角形高的定义即可求解．【详解】解：由三角形高的定义可知，只有D选项中的作法是画BC边上的高线，故选D．【点睛】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．【变式2-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图所示，△ABC中AB边上的高是（    ）  A．BD B．AE C．BE D．CF【答案】D【分析】根据三角形高的概念求解即可．【详解】解：由图可得， ∵CF⊥AB，∴△ABC中AB边上的高是CF，故选：D．【点睛】本题考查了三角形高的定义，理解三角形高的概念是解题的关键．【变式2-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）A． B． C．D．【答案】D【分析】用三角形高的定义即可求解．【详解】解：由三角形高的定义可知只有D选项中线段BE是△ABC的高，故选D．【点睛】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．【变式2-3】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，AD⊥BC，EC⊥BC，CF⊥AB，点D，C，F是垂足，下列说法错误的是（    ）A．△ABD中，AD是BD边上的高 B．△ABD中，EC是BD边上的高C．△CEB中，EC是BC边上的高 D．△CEB中，FC是BE边上的高【答案】B【分析】根据三角形高的定义依次判断即可．【详解】解：A、△ABD中，AD是BD边上的高，故此选项正确，不符合题意；B、△ABD中，EC不是BD边上的高，故此选项错误，符合题意；C、△CEB中，EC是BC边上的高故此选项正确，不符合题意；D、△CEB中，FC是BE边上的高，故此选项正确，不符合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了三角形高的概念，应熟记三角形的高应具备的两个条件：①经过三角形的一个顶点，②垂直于这个顶点的对边．【题型3 “同高底共线”三角形的有关计算】【例3】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为AB上一点，BE=2AE，连接BD，CE交于点F．若S△BEF=S△DFC，S△ABC=18，则△ABD的面积为(　　)  A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】根据题意可得AE=13AB，则S△AEC=13S△ABC，根据S△BEF=S△DFC，可得S△ADB=S△AEC，即可求解．【详解】解：∵BE=2AE，即AE=13AB，∴S△AEC=13S△ABC，∵S△BEF=S△DFC，S△ABC=18，∴S△ADB=S△AEC，∴△ABD的面积为13×18=6，故选：B．【点睛】本题考查了三角形面积，熟练掌握三角形的面积转换是解题的关键．【变式3-1】（2023春·八年级单元测试）如图，AD∥BC，△ABD的面积等于4，AD=2，BC=6，则△DCB的面积是_______．【答案】12【分析】由题意得点B到AD的距离等于点D到BC的距离，即可得S△DCB∶S△ABD=3∶1，根据△ABD的面积为4，即可得．【详解】解：∵AD∥BC，∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离，∴S△DCB∶S△ABD=BC∶AD=6∶2=3∶1，∵△ABD的面积为4，∴S△DCB=3×4=12，故答案为：12．【点睛】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离，解题的关键是掌握平行线间的距离．【变式3-2】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，△ABC中，点D为AC边上一点，满足AD=3DC，连接BD，点E为BD中点，连接AE，若△AED的面积是3，则△ABC的面积是________．  【答案】8【分析】根据E为BD中点可得△ABE的面积是3，求出△ABD的面积，再根据同高的三角形的面积比等于底边的比求出△BCD的面积即可．【详解】解：∵点E为BD中点，△AED的面积是3，∴△ABE的面积是3，∴△ABD的面积是6，∵AD=3DC，∴S△ABD=3S△BCD，∴S△BCD=2，∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=6+2=8，故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，熟知同高或等高的三角形的面积比等于底边的比是解题的关键．【变式3-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在三角形ABC中，AC=3AE，三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍，则阴影部分的面积占三角形ABC面积的______．【答案】37【分析】根据边之比得到面积之比，连接OC，得到△AOC和△AOB的面积比，进而得到△ODC的面积，最后求出阴影部分的面积与三角形ABC面积的比．【详解】解：连接OC，则S△AOE=12S△EOC，又∵S△ADC=12S△ABD，∴S△ODC=12S△BOD，S△AOC+S△ODC=12(S△AOB+S△BOD)，∴S△AOC=12S△AOB设S△AOE=m，则S△OEC=2m，S△AOC=3m，S△AOB=6m，∵S△ABD=S△BEC=23S△ABC，∴S△AOB=S四边形EODC=6m，∴S△ODC=4m，S△BOD=8m，∴S△ABC=21m，∴阴影部分的面积占三角形ABC面积的m+8m21m=37，故答案为：37．【点睛】本题考查三角形的面积，灵活运用边之比等于三角形的面积比是关键．【题型4 根据网格求三角形的面积】【例4】（2023·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，正方形网格边长为1，点A，B，C均在格点上，则S△ABC=_________．【答案】3【分析】由网格是正方形网格，正方形网格边长为1，可得三角形的AC的长度为3，而点B到边AC的距离为2，根据三角形的面积公式即可算出S△ABC的值．【详解】解：∵ 每个网格是正方形网格，正方形网格边长为1∴AC=3,BD=2∴S△ABC =12×BD×AC=12×2×3=3故填：3．【点睛】本题主要考查高在三角形外部的钝角三角形的面积计算，找准高线，是解答本题的关键．【变式4-1】（2023春·北京·八年级北京四中校考阶段练习）如图所示的网格是正方形网格，△ABC的面积__△DEF的面积．（填“＞”，“＝”或“＜”）．【答案】=【分析】根据三角形面积公式：S=12ah，列出算式计算即可求解．【详解】解：∵△ABC的面积=12×2×3＝3，△DEF的面积=12×2×3＝3，∴△ABC的面积＝△DEF的面积．故答案为：＝．【点睛】本题考查了三角形的面积，关键是熟悉正方形网格特点以及三角形面积公式．【变式4-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）画图题：在6×8的正方形网格上，完成下列问题．(1)已知图1中△ABC各顶点都在网格格点上，过点A作BC边上的中线AD．(2)在图2中画出面积是2的钝角△AEF，各顶点都在格点上（画出一种即可）．(3)在图1中，若AC=5，直接写出B点到AC的距离．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)185【分析】（1）根据网格的特点找到BC的中点D，连接AD，即可；（2）作一个底为4，高为1的钝角三角形即可；（3）根据等面积法进行计算即可求解．【详解】（1）如图，中线AD即为所求．（2）钝角△AEF即为所求，如图，（3）解：设B到AC的距离为ℎ，∵S△ABC=12BC×3=12AC×ℎ∴ℎ=3×65=185，即B点到AC的距离为185．【点睛】本题考查了三角形的中线，与三角形高相关的计算，掌握三角形中线的定义以及三角形的高的定义是解题的关键．【变式4-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：图1、图2是两张形状、大小完全相同的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．格中各有一个完全相同的三角形，请在图1、图2分别画一条直线，满足以下要求（1）直线与三角形的交点要经过网格的格点（每个小正方形的顶点均为格点）（2）在图1、图2中分别用不同的方法将三角形分成两个图形其中一个是三角形另一个是四边形，分割后的三角形的面积记为S1，四边形的面积为S2，且S1:S2=4:11．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）找到三角形边上的格点即可求解；（1）首先求出△ABC的面积为15，分割后的三角形的面积记为S1，四边形的面积为S2，且S1：S2＝4：11，推出分割后的三角形的面积为4，利用数形结合的思想解决问题即可求解．【详解】（1）如图1中，直线EF即为所求．（2）S△ABC=12×6×5=15，∵分割后的三角形的面积记为S1，四边形的面积为S2，且S1：S2＝4：11，∴分割后的三角形的面积为4，故可得到分割后的三角形是底为4，高为2的三角形，故在如图2中，直线EF即为所求．【点睛】本题考查作图−应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．【题型5 应用三角形的中线等分面积解决问题】【例5】（2023春·浙江金华·八年级统考期中）如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△ABC的面积为12．则△AEF的面积是（　　）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】由BD是ΔABC的中线，AE是ΔABD的中线，CE是ΔBCD的中线，得ΔACE的面积，再由AF是ΔACE的中线，得到ΔAEF的面积．【详解】解：∵BD是ΔABC的中线，∴SΔABD=SΔCBD=12SΔABC=6，∵点E是BD的中点，∴SΔADE=12SΔABD=3，SΔCDE=12SΔCBD=3，∴SΔACE=SΔADE+SΔCDE=3+3=6，∵点F是CE的中点，∴SΔAFE=12SΔACE=3．故选：B．【点睛】本题考查了三角形中线和三角性的面积之间的关系，“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形”，这也是本题的关键点．【变式5-1】（2023春·八年级单元测试）如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，(1)图中与△ABE面积相等是三角形有____个（不含△ABE）；(2)若△ABF的面积是4cm2，求四边形FDCE的面积．【答案】(1)3(2)4cm2【分析】（1）利用三角形中线的性质即可推导出SΔABE=SΔBEC=SΔABD=SΔADC=12SΔABC，问题即可解答；（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，用S1＋S4＝S2＋S3①，S2＋S4＝S1＋S3②，再用①−②即可表示出S四边形FDCE=S△ABF，问题即可得解．【详解】（1）∵AD、BE分别是△ABC的中线，∴ BD=CD=12BC ， AE=EC=12AC ∴ SΔABE=SΔBEC=12SΔABC， SΔADC=SΔADB=12SΔABC，即SΔABE=SΔBEC=SΔABD=SΔADC=12SΔABC，∴与△ABE面积相等的三角形共有3个故答案为：3（2）如图，∵AD和BE是△ABC的两条中线，∴S△ABD＝S△ACD，S△BCE＝S△ABE，即S1＋S4＝S2＋S3①，S2＋S4＝S1＋S3②，①−②得：S1−S2＝S2−S1，∴S1＝S2．∴S△ABF=S四边形FDCE．∵S△ABF＝4cm2S四边形FDCE=S△ABF=4cm2【点睛】本题主要考查了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，是此类题目常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．【变式5-2】（2023春·上海·八年级假期作业）如图，把△ABC的三边BA、CB和AC分别向外延长一倍，将得到的点A'、B'、C'顺次连接成△A'B'C'，若△ABC的面积是5，则△A'B'C'的面积是____________．【答案】35【分析】连接AB'、BC'、CA'，由题意得：AB=AA'，BC=BB'，AC=CC'，由三角形的中线性质即可得出△A'B'C'的面积．【详解】解：连接AB'、BC'、CA'，如图所示：由题意得：AB=AA'，BC=BB'，AC=CC'，∴△AA'B'的面积=△ABB'的面积=△ABC的面积=5，∴△A'B'B的面积=2△ABC的面积，同理△CC'B'的面积=△AA'C'的面积=2△ABC的面积，∴△A'B'C'的面积=5×1+2×3=5×7=35；故答案为：35．【点睛】本题考查了三角形的中线性质、三角形的面积；熟记三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．【变式5-3】（2023春·八年级课时练习）如图，AP1为△ABC的中线，△ABP1的面积记为S1；AP2为△AP1C的中线，△AP1P2的面积记为S2；AP3为△AP2C的中线，△AP2P3的面积记为S3；……按此规律，APn为△APn−1C的中线，△APn−1Pn面积记为Sn．若△ABC的面积为S，则S1+S2+S3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+Sn的面积为（　　）A．S−S2n−1 B．S−S2n C．S2n−1 D．S2n【答案】B【分析】根据中线的性质得到S△ABP1=S△ACP1=12S△ABC=12S=S1，S2=12S△AP1C=12×12S=122S，…，据此规律，可得S1=S−12S，S1+S2=12S+122S=S−122S，从而推出S1+S2+S3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+Sn =S−Sn，可得结果．【详解】解：∵△ABC的面积为S，AP1为△ABC的中线，∴S△ABP1=S△ACP1=12S△ABC=12S=S1，∴S1=S−12S；∵AP2为△AP1C的中线，∴S2=12S△AP1C=12×12S=122S，∴S1+S2=12S+122S=S−122S，…，按此规律，∴Sn=12nS， ∴S1+S2+S3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+Sn=S−Sn=S−S2n故选B．【点睛】本题考查了图形类规律，中线的性质，解题的关键是根据中线得到各部分面积的计算方法．【题型6 三角形的中线与周长的计算】【例6】（人教版（2012）八年级上册第十一章三角形检测卷）如图，△ABC的周长为27，AC=9，BC边上的中线AE=6，△ABE的周长为19，求AB的长．  【答案】8【分析】设AB=x，BE=y，由AE是BC边上的中线，得BC=2BE=2y，结合△ABC的周长为27、△ABE的周长为19，联立方程组x+9+2y=27x+6+y=19，求解方程组即可．【详解】解：设AB=x，BE=y，∵AE是BC边上的中线，∴BC=2BE=2y，由题意得：C△ABC=AB+AC+BC=x+9+2y=27，C△ABE=AB+AE+BE=x+6+y=19，即：x+9+2y=27x+6+y=19，解得x=8y=5，∴AB的长为8．【点睛】本题考查了中线的性质，三角形周长，二元一次方程组解决实际问题；解题的关键是通过中线得到线段之间的数量关系，并建立相关方程．【变式6-1】（陕西省西安市曲江第一中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）在△ABC中，BC边上的中线AD将△ABC分成的两个新三角形的周长差为5cm，AB与AC的和为11cm，则AC的长为________．【答案】3cm或8cm【分析】根据三角形的中线的定义可得BD=CD，然后求出△ABD与△ADC的周长差是AB与AC的差或AC与AB的差，然后代入数据计算即可得解．【详解】如图1，图2，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∵中线AD将△ABC分成的两个新三角形的周长差为5cm，∴AB+BD+AD−AC+CD+AD=5或AC+CD+AD−AB+BD+AD=5，∴AB−AC=5或者AC−AB=5，∵AB与AC的和为11cm，∴AB+AC=11，∴AB=8AC=3或AB=3AC=8，故答案为：3cm或8cm．【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键．【变式6-2】（云南省昆明市官渡区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）已知△ABC的周长为37cm，AD是BC边上的中线，AC=23AB．（1）如图，当AB=15cm时，求BD的长．（2）若AC=14cm，能否求出DC的长？为什么？【答案】（1）6cm；（2）不能求出DC的长，理由见解析【分析】（1）根据AC=23AB，AB=15cm及△ABC的周长为37cm，可求得BC，再根据三角形中线的性质解答即可；（2）利用（1）中的方法，求得BC的长度，然后根据构成三角形的条件，可判断出△ABC不存在，进而可知没法求DC的长．【详解】解：（1）∵AC=23AB，AB=15cm，∴AC=23×15=10cm，又∵△ABC的周长为37cm，∴AB+AC+BC=37，∴BC=37−AB−AC=37−15−10=12cm，又∵AD是BC边上的中线，∴BD=12BC=12×12=6cm；（2）不能，理由如下：∵AC=23AB，AC=14cm，∴AB=32×14=21cm，又∵△ABC的周长为37cm，∴AB+AC+BC=37，∴BC=37−AB−AC=37−21−14=2cm，∴BC+AC=16AB），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．【答案】AC=48，AB=28【分析】根据AD是BC边上的中线，可以得到BD=CD，设BD=CD=x，AB=y，则BC=2x，AC=4x．分两种情况讨论：当AC+CD=60，AB+BD=40时，求出x、y的值，即可确定AC和AB的值；当AC+CD=40，AB+BD=60时，同理可求出AC和AB的值，注意检验所得到的答案是否满足三角形的三边关系．【详解】解：因为AD是BC的中线，所以BD=CD，设BD=CD=x，AB=y，则BC=BD+CD=2x，AC=2BC=4x，分两种情况讨论：①AC+CD=60，AB+BD=40，则4x+x=60，x+y=40，解得x=12，y=28，即AC=4x=48，AB=28；②AC+CD=40，AB+BD=60，则4x+x=40，x+y=60，解得x=8，y=52，即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16，此时AC+BC