人教版八年级数学上册举一反三11.10三角形章末八大题型总结(拔尖篇)(学生版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册举一反三11.10三角形章末八大题型总结(拔尖篇)(学生版+解析)，共82页。
专题11.10 三角形章末八大题型总结（拔尖篇） 【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc25031" 【题型1 利用三角形的中线求面积】  PAGEREF _Toc25031 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc25770" 【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】  PAGEREF _Toc25770 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc22451" 【题型3 利用三角形的三边关系化简或证明】  PAGEREF _Toc22451 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc25393" 【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】  PAGEREF _Toc25393 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc19417" 【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】  PAGEREF _Toc19417 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc1446" 【题型6 与折叠有关的三角形角的计算问题】  PAGEREF _Toc1446 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc32095" 【题型7 多边形中的阅读理解类问题】  PAGEREF _Toc32095 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc25989" 【题型8 与多边形内角和有关的角度探究问题】  PAGEREF _Toc25989 \h 13【题型1 利用三角形的中线求面积】【例1】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四边形DEFG的面积为28，则△ABC的面积为（    ）  A．60 B．56 C．70 D．48【变式1-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如图，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面积为4，则四边形AEFD的面积为 ．【变式1-2】（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，点C为直线AB外一动点，AB=6，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC长度的最小值为 ．  【变式1-3】（2023春·江苏盐城·八年级统考期末）【问题情境】苏科版数学课本八年级下册上有这样一道题：如图1，AD是△ABC的中线，△ABC与△ABD的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作BC边上的高AE，根据中线的定义可知BD=CD．又因为高AE相同，所以S△ABD=S△ACD，于是S△ABC=2S△ABD．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．  【深入探究】（1）如图2，点D在△ABC的边BC上，点P在AD上．①若AD是△ABC的中线，求证：S△APB=S△APC；②若BD=3DC，则S△APB:S△APC=______．【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形ABCD的各边，使得点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，依次连结E、F、G、H得四边形EFGH．①求证：S△HDG+S△FBE=2S四边形ABCD；②若S四边形ABCD=3，则S四边形EFGH=______．【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】【例2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，∠AOBa【变式2-1】（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 【变式2-2】（2023秋·安徽·八年级期末）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（    ）A．x>5 B．xOB+OC，①同理，AB+BC>OA+OC，②AC+BC>OA+OB.③由①+②+③，得2AB+AC+BC>2OA+OB+OC，即AB+AC+BC>OA+OB+OC.（3）由AB+AC+BC=10km，点O为ΔABC内一点，及（1）（2）知12AB+BC+AC2BD，理由为：∵AB+AD>BD，BC+CD>BD，∴AB+AD+BC+CD>BD+BD即：AB+BC+CA>2BD（2）AB+AC>PB+PC，理由为：在△ABD中，AB+AD>BP+PD，在△PDC中，PD+DC>PC，两式相加得：AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC即：AB+AC>PB+PC（3）AB+AC>BD+DE+CE，理由为：如图，延长BD交CE的延长线于G，交AC于点F，在△ABF中，AB+AF>BD+DG+GF，①在△GFC中，GF+AC−AF>GE+EC，②△DEG中，DG+GE>DE，③①+②+③得：AB+AC>BD+DE+CE【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三遍之间的关系是解题的关键．【变式3-3】（2023春·六年级单元测试）如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由【答案】H建在AC、BD的交点处，理由见解析．【分析】连接AC、BD相交于点H，任取一点H'，连接H'A、H'B、H'C、H'D，根据三角形三边关系得到H'A+H'C>AC，H'B+H'D>BD，进而得到H'A+H'B+H'C+H'D>HA+HB+HC+HD，即可推出结论．【详解】解：H建在AC、BD的交点处，理由如下：连接AC、BD相交于点H，任取一点H'，连接H'A、H'B、H'C、H'D，在△AH'C中，H'A+H'C>AC，在△BH'D中，H'B+H'D>BD，∴H'A+H'B+H'C+H'D>AC+BD，∵AC+BD=HA+HB+HC+HD，∴H'A+H'B+H'C+H'D>HA+HB+HC+HD，∴HA+HB+HC+HD最小，即维修站H建在AC、BD的交点处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小．【点睛】本题考查了线段最短，三角形的三边关系，作辅助线构造三角形，灵活运用三角形三边关系是解题关键．【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】【例4】（2023春·江苏苏州·八年级太仓市第一中学校考期中）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．(1)若∠A=60°，则∠BDC的度数为_________；(2)若∠A=α，直线MN经过点D．①如图2，若MN∥AB，求∠NDC−∠MDB的度数（用含α的代数式表示）；②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC,AC于点M,N，试问旋转过程中∠NDC−∠MDB的度数是否会发生改变？若不变，求出∠NDC−∠MDB的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由；③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出∠NDC与∠MDB的关系（用含α的代数式表示）．【答案】(1)120°(2)①90°-α2 ②不变，90°-α2 ③∠NDC与∠MDB的关系是∠NDC+∠MDB=90∘−α2．【分析】（1）利用角平分线的定义，三角形内角和定理，分步计算即可．（2）①利用平角的定义，变形代入计算，注意与第（1）的结合． ②与 ①结合起来求解即可．③根据平角的定义，变形后结合前面的计算，求解即可．【详解】（1）∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠CBD=12∠ABC，∠BCD=12∠ACB，∴∠CBD+∠BCD=12∠ACB+12∠ABC=12(∠ABC+∠ACB)，∵∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴180°-∠BDC=12(180∘−∠A)，∴∠BDC=90∘+∠A2，∵∠A=60°，∴∠BDC=90∘+30∘=120°，故答案为：120°．（2）①∵∠NDC=180°-∠MDC，∴∠NDC−∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB=180°-（∠MDC+∠MDB）=180°-∠BDC=180°-（90∘+∠A2）=90∘−α2．②∠NDC−∠MDB保持不变，恒等于90°-α2．理由如下：∵∠NDC=180°-∠MDC，∴∠NDC−∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB=180°-（∠MDC+∠MDB）=180°-∠BDC=180°-（90∘+∠A2）=90∘−α2．故保持不变，且为90∘−α2．③∠NDC与∠MDB的关系是∠NDC+∠MDB=90∘−α2．理由如下：∵∠NDC+∠MDB+∠BDC=180°，∴∠NDC+∠MDB=180°-∠BDC，∵∠BDC=90∘+α2，∴∠NDC+∠MDB=180°-（90∘+α2）=90∘−α2．【点睛】本题考查了角的平分线的定义，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握三角形内角和定理，平角的定义是解题的关键．【变式4-1】（2023秋·河南漯河·八年级校考期中）（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；（2）如果图2中，∠D=40°,∠B=36°，AP与CP分别是∠DAB和∠DCB的角平分线，试求∠P的度数；（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．【答案】（1）∠A+∠D =∠C+∠B（2）∠P=38°（3）∠D+∠B=2∠P【分析】（1）根据三角形的内角和定理和对顶角相等就可以得出∠A，∠D，∠C，∠B的数量关系；（2）由（1）可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ，再两式相加，结合角平分线的定义可得∠D+∠B=2∠P，再把∠D=40°，∠B=36°代入计算即可得到答案；（3）由（1）可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ，再两式相加，结合角平分线的定义可得∠D+∠B=2∠P.【详解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，且∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D =∠C+∠B；（2）由（1）可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①，∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②，∵∠DAB和∠DCB的角平分线AP与CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，∴∠D+∠B=2∠P，又∵∠D=40°，∠B=36°，∴40°+36°=2∠P，∴∠P=38°；（3）存在的数量关系为：∠D+∠B=2∠P，由（1）可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①，∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②，∵∠DAB和∠DCB的角平分线AP与CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，∴∠D+∠B=2∠P.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理以及角平分线的性质是解题的关键.【变式4-2】（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)．(1)如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO=BO时∠AEB= °；(2)如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D，随着点A，B的运动∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；(3)如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．【答案】(1)135°(2)∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，值为45°(3)60°或45°【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；（2）利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；（3）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质不难得出∠EAF=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍．【详解】（1）解：∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，∴∠EBA=12∠OBA，∠BAE=12∠BAO，∵∠MON=90°，∴∠EAB+EBA=90°，∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，∴∠AEB=180°−∠EBA−∠BAE，=180°−12∠OBA+∠BAO，=180°−12×90°，=180°−45°，=135°；（2）解： ∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD=α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO=2α，∵∠AOB=90°，∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC=45°+α，∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°；（3）解：∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，∴∠AOE=135°，∴∠E=180°−∠EAO−∠AOE，=45°−∠EAO，=45°−12∠BAO，=45°−12(180°−90°−∠ABO)，=12∠ABO∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，∴∠EAF=12∠BAO+12∠GAO=12×180°=90°，在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，则①当∠EAF=3∠E时，得∠E=30°，此时∠ABO=60°；②当∠EAF=3∠F时，得∠E=60°，此时∠ABO=120°＞90°，舍去；③当∠F=3∠E时，得∠E=14×90°=22.5°，此时∠ABO=45°；．④当∠E=3∠F时，得∠E=34×90°=67.5°，此时∠ABO=135°＞90°，舍去．综上可知，∠ABO的度数为60°或45°．【点睛】前两问熟练运用三角形内角和定理、直角三角形的两锐角互余、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明∠EAF=90°，再分情况进行讨论，熟练运用三角形的内角和定理及角平分线的性质是解题的关键．【变式4-3】（2023秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图1，∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．(1)若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D．①若∠BAO=60°，则∠D=______°；②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由．(2)如图2，若∠OAD=35∠OAB，∠NBC=35∠NBA，则∠D=______°；(3)若将∠MON=90°改为∠MON=120°（如图3），∠OAD=mn∠OAB，∠NBC=mn∠NBA，其余条件不变，则∠D=______（用含m，n的代数式表示，其中m”“180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______；（用α、β表示）（3）如图3，∠ADC=α，∠BCD=β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．【挑战】（4）如果将（2）中的条件α+β>180°改为α+β