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人教版（2024）八年级上册13.1.1 轴对称当堂检测题
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这是一份人教版（2024）八年级上册13.1.1 轴对称当堂检测题，共69页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24431" 【题型1 利用轴对称的性质求解】 PAGEREF _Tc24431 \h 1
\l "_Tc29394" 【题型2 轴对称中的光线反射】 PAGEREF _Tc29394 \h 2
\l "_Tc18863" 【题型3 等腰三角形中分类讨论】 PAGEREF _Tc18863 \h 4
\l "_Tc8757" 【题型4 双垂直平分线求角度与周长】 PAGEREF _Tc8757 \h 5
\l "_Tc4284" 【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】 PAGEREF _Tc4284 \h 6
\l "_Tc28302" 【题型6 轴对称图形中的面积问题】 PAGEREF _Tc28302 \h 7
\l "_Tc25559" 【题型7 轴对称中尺规作图与证明、计算的综合运用】 PAGEREF _Tc25559 \h 8
\l "_Tc30449" 【题型8 轴对称中的旋转】 PAGEREF _Tc30449 \h 10
\l "_Tc18225" 【题型9 轴对称中规律探究】 PAGEREF _Tc18225 \h 12
\l "_Tc21111" 【题型10 等边三角形的十字结合模型】 PAGEREF _Tc21111 \h 13
【题型1 利用轴对称的性质求解】
【例1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB=7cm，AC=9cm，BC=12cm，则△DBE的周长为 cm．
【变式1-1】（2023春·江西九江·八年级统考期末）已知△ABC中∠B是钝角，以AC所在直线为对称轴作△ADC，若∠BAD+∠BCD=100°，则∠B的度数为 ．
【变式1-2】（2023春·山东潍坊·八年级统考期中）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB=40°，则∠MPN的度数是 ．
【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，将△ABC纸片沿DM折叠，使点C落在点C'的位置，其中点D为AC边上一定点，点M为BC边上一动点，点M与B，C不重合．
（1）若∠A＝84°，∠B＝61°，则∠C'＝ °；
（2）如图1，当点C'落在四边形ABMD内时，设∠BMC'＝∠1，∠ADC'＝∠2，探索∠C'与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由；
（3）在点M运动过程中，折叠图形，若∠C'＝35°，∠BMC'＝53°，求∠ADC'的度数．
【题型2 轴对称中的光线反射】
【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）光线以如图所示的角度α照射到平面镜工上，然后在平面镜I，Ⅱ之间来回反射．若∠α=50°，∠β=60°，则∠γ等于 ( )
A．80°B．70°C．60°D．50°
【变式2-1】（2023·八年级单元测试）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线NO垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同．
如图2，长方型球桌ABCD上有两个球P，Q．请你尝试解决台球碰撞问题：
(1)请你设计一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反射后，撞到球Q．在图2中画出，并说明做法的合理性．
(2)请你设计一路径，使得球P连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球Q，在图3中画出一种路径即可．
【变式2-2】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图1，直线l垂直BC于点B，∠ACB=90°，点D为BC中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E，且有∠EDB=∠ADC．
(1)求证：BE=AC；
(2)如图2，连接AB交DE于点F，连接FC交AD于点H，AC=BC，求证：CF⊥AD；
(3)如图3，在（2）的条件下，点P是AB边上的动点，连接PC，PD，SΔACD=5，CH=2，请问PC+PD是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值，无需证明；若不存在，请说明理由．
【变式2-3】（2023春·上海·八年级专题练习）如图所示，已知边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3，且1＜BP3＜32（反射角等于入射角），则P1C的取值范围是 ．
【题型3 等腰三角形中分类讨论】
【例3】（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，△ABC中，∠ACB>120°，∠B=20°，D为AB边上一点（不与A、B重合），将△BCD沿CD翻折得到△CDE，CE交AB于点F．若△DEF为等腰三角形，则∠BCD为（ ）
A．30°B．30°或60°C．50°D．30°或50°
【变式3-1】（2023春·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则它的底角为（ ）
A．35°B．55°C．55°或35°D．70°或35°
【变式3-2】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，△ABC中∠ABC=40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB= ．
【变式3-3】（2023春·山西运城·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，△AFD和△ABD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG，当△DFG为等腰三角形时，∠FDG的度数为 ．
【题型4 双垂直平分线求角度与周长】
【例4】（2023春·广西桂林·八年级统考期末）如图所示，点E、F是∠BAC的边AB上的两点，线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，连接DE、DF，若∠CDF=α，则∠EDF的度数为（ ）
A．αB．4α3C．180°−2α3D．180°−4α3
【变式4-1】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于（ ）
A．6B．7C．8 D．12
【变式4-2】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（ ）
A．αB．14α+90°C．12α+90°D．180°−12α
【变式4-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为 ．
【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】
【例5】（2023春·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有以下结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【变式5-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,∠CAB的平分线交BC于点D,DE恰好是AB的垂直平分线，垂足为E．若AD=6，则DE的长为 ．
【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ACB的角平分线CF与BC的垂直平分线DE交于点O，连接OB．若∠ABO=20°，则∠ACB= ．
【变式5-3】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为 ．
【题型6 轴对称图形中的面积问题】
【例6】（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分∠ABC，DH⊥BA，交BA的延长线于点H．
(1)若∠ADB=48°，求∠A的度数；
(2)若AB=5cm，△ABC与△ABD的周长之差为8cm，且△ADB的面积为10cm2，求△BDC的面积．
【变式6-1】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，∠B=∠C=90°，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．
(1)求证：AE是∠DAB的平分线；
(2)已知AE=4，DE=3，求四边形ABCD的面积．
【变式6-2】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D、E分别是边AC、BC上的点，连接BD，AE交于点O．
(1)如图1，BD⊥AE，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点F，求证：AO=CF；
(2)如图2，点D是AC中点，连接DE，若∠ADB=∠CDE，求证：BD⊥AE；
(3)如图3，过点C作CF⊥AE于点F，延长FC至点G，使得∠GAC=∠FCE，点B、O、D、G在同一直线上，若CF=145，AF=465，直接写出△AOG的面积．
【变式6-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，点P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，∠P1OP2= °，△OP1P2的面积最小值为 ．
【题型7 轴对称中尺规作图与证明、计算的综合运用】
【例7】（2023春·河南郑州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点P，使得点P到点A和点B的距离相等；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(2)在（1）的条件下，若AC=2，CB=5，则△CAP的周长是___________．
【变式7-1】（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接AD．
(1)请用直尺和圆规完成基本作图：
作AD的垂直平分线EF交AD于点O，交AB于点E，交AC于点F，连接DE、DF；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：AE=DF．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵AB=AC，D为BC中点，
∴∠1=________．
∵EF为AD的垂直平分线，
∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF
又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°，
∠2+∠AOF+∠AFE=180°，
∴∠AEF=________．
∴AE=________，
∴AE=DF．
【变式7-2】（2023春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．
(1)求证：DB=DE；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段BE的中点F（不写作法，保留作图痕迹）；若AB=4，求CF的长．
【变式7-3】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）（1）尺规作图：过点A作直线l的垂线．
作法如下：
①以点A为圆心，a为半径作弧交直线l于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，a长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接AE（路径最短）；
i根据题意，利用直尺和圆规补全图形；
ii作图依据为______________
（2）画一画，想一想：如图，已知∠AOB．你能用手中的三角板作出∠AOB的角平分线吗？写出作法，并证明．
【题型8 轴对称中的旋转】
【例8】（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段A−B−C中，BC可绕点B旋转，AB=6，BC=2，线段AB上有一动点P，将线段AB分成两部分，旋转BC，PA，当三条线段BC，BP，PA首尾顺次相连构成等腰三角形时，BP的长为（ ）
A．3B．2或3C．2或4D．2或3或4
【变式8-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转.如图②，当∠CAE=15°时，此时BC∥DE.继续旋转三角尺ABC，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE（0°<∠CAE<180°）其他所有可能符合条件的度数为
【变式8-2】（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针方向旋转40°得到△A'BC'，点A'恰好落在AC上，连接CC'，则∠ACC'度数为（ ）
A．110°B．105°C．100°D．95°
【变式8-3】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC和CB的延长线于E，F，当点E在AC延长线上时，S△DEF，S△CEF，S△ABC的关系为（ ）
A．S△DEF−S△CEF=12S△ABCB．S△DEF−S△CEF=S△ABC
C．S△DEF+S△CEF=2S△ABCD．S△ABC+S△CEF=S△DEF
【题型9 轴对称中规律探究】
【例9】（2023春·宁夏中卫·八年级统考期末）如图在△ABC中，AB=AC，DN⊥AB分别交AB，AC于点D，N，交BC的延长线于点M．
(1)若∠A=50°，求∠NMB的大小；
(2)如果将（1）中的∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；
(3)分析（1），（2）两问，你认为存在什么样的规律？试用文字概括；
(4)将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？说明理由．
【变式9-1】（2023·北京·八年级专题练习）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=a，则∠A2020B2020O=（ ）
A．a22020B．a22019C．4040aD．4038a
【变式9-2】（2023春·八年级单元测试）观察规律并填空：，, ,
【变式9-3】（2023春·云南大理·八年级统考期末）同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？
（1）如图（1），已知∠AOB，请你画出它的角平分线OC，并填空：因为OC是∠AOB的平分线，所以∠______=∠______=12∠AOB
（2）如图（2），已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，请你画出射线OB，射线OC一定平分∠AOB．
理由如下：因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC=∠_______，所以射线_________是∠_________的角平分线．
拓展应用
（3）如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为OE，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在OC上的D处并且使OD过点C，折痕为OF．直接利用（2）的结论；
①若∠AOE=30°，求∠EOF的度数．（写出计算说理过程）
②若∠AOE=m°，求∠EOF的度数，从计算中你发现了∠EOF的度数有什么规律？（写出计算说理过程）
【题型10 等边三角形的十字结合模型】
【例10】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，，为的角平分线，点在的延长线上，连接、，，①；②；③；④；其中说法正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式10-1】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，△ABD是等边三角形，P是∠BAC平分线上一动点连接PC、PD，则PC＋PD的最小值为 ．
【变式10-2】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期中）如图，等边三角形△ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，且EC=BD，AD，BE相交于点P．
(1)不添加辅助线，请在图中找出与BE相等的线段，并证明．
(2)若BQ⊥AD于Q，AD=7，PE=1，求PQ的长．
【变式10-3】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期中）如图，等边三角形△ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，且EC=BD，AD，BE相交于点P．
(1)不添加辅助线，请在图中找出与BE相等的线段，并证明．
(2)若BQ⊥AD于Q，AD=7，PE=1，求PQ的长．
专题13.9 轴对称章末十大题型总结（培优篇）
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24431" 【题型1 利用轴对称的性质求解】 PAGEREF _Tc24431 \h 1
\l "_Tc29394" 【题型2 轴对称中的光线反射】 PAGEREF _Tc29394 \h 5
\l "_Tc18863" 【题型3 等腰三角形中分类讨论】 PAGEREF _Tc18863 \h 10
\l "_Tc8757" 【题型4 双垂直平分线求角度与周长】 PAGEREF _Tc8757 \h 15
\l "_Tc4284" 【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】 PAGEREF _Tc4284 \h 19
\l "_Tc28302" 【题型6 轴对称图形中的面积问题】 PAGEREF _Tc28302 \h 24
\l "_Tc25559" 【题型7 轴对称中尺规作图与证明、计算的综合运用】 PAGEREF _Tc25559 \h 32
\l "_Tc30449" 【题型8 轴对称中的旋转】 PAGEREF _Tc30449 \h 37
\l "_Tc18225" 【题型9 轴对称中规律探究】 PAGEREF _Tc18225 \h 42
\l "_Tc21111" 【题型10 等边三角形的十字结合模型】 PAGEREF _Tc21111 \h 46
【题型1 利用轴对称的性质求解】
【例1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB=7cm，AC=9cm，BC=12cm，则△DBE的周长为 cm．
【答案】10
【分析】根据轴对称的性质可得AD=DE，AC=CE=9cm，进而得出BE=BC−CE=3cm，再根据三角形的周长公式，即可求解．
【详解】解：∵点A与点E关于直线CD对称，
∴AD=DE，AC=CE=9cm，
∵BC=12cm，
∴BE=BC−CE=12−9=3cm，
∵AB=7cm，AC=9cm，BC=12cm，
∴△DBE的周长=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BE=7+3=10(cm)．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握成轴对称的图象对应边相等，对应角相等．
【变式1-1】（2023春·江西九江·八年级统考期末）已知△ABC中∠B是钝角，以AC所在直线为对称轴作△ADC，若∠BAD+∠BCD=100°，则∠B的度数为 ．
【答案】130°
【分析】根据轴对称的性质可得∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，从而得到∴∠BAC+∠BCA=50°，再根据三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意画出图如图所示：
，
∵ △ABC和△ADC关于AC成轴对称，
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∵ ∠BAD+∠BCD=100°，
∴∠BAC+∠BCA=12∠BAD+∠BCD=50°，
∵∠BAC+∠BCA+∠B=180°，
∴∠B=130°，
故答案为：130°．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质，三角形内角和定理，是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·山东潍坊·八年级统考期中）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB=40°，则∠MPN的度数是 ．
【答案】100°
【分析】首先求出∠P1+∠P2=40°证明∠PNM=∠P2+∠NPP2=2∠P2，∠PMN=∠P1+∠MPP1=2∠P1，推出∠PNM+∠PMN=2（∠P1+∠P2）=80°，可得结论．
【详解】解：∵P点关于OB的对称点是P1，P点关于OA的对称点是P2，
∴PM=P1M，PN=P2N，∠P2=∠P2PN，∠P1=∠P1PM，
∵∠AOB=40°，
∴∠P2PP1=140°，
∴∠P1+∠P2=40°，
∴∠PNM=∠P2+∠NPP2=2∠P2，∠PMN=∠P1+∠MPP1=2∠P1，
∴∠PMN+∠PNM=2×40°=80°，
∴∠MPN=180°−（∠PMN+∠PNM）=180°−80°=100°，
故答案为：100°．
【点睛】本题考查轴对称，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，将△ABC纸片沿DM折叠，使点C落在点C'的位置，其中点D为AC边上一定点，点M为BC边上一动点，点M与B，C不重合．
（1）若∠A＝84°，∠B＝61°，则∠C'＝ °；
（2）如图1，当点C'落在四边形ABMD内时，设∠BMC'＝∠1，∠ADC'＝∠2，探索∠C'与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由；
（3）在点M运动过程中，折叠图形，若∠C'＝35°，∠BMC'＝53°，求∠ADC'的度数．
【答案】（1）35 （2）2∠C′＝∠1＋∠2，理由见解析 （3）17°或123°
【分析】（1）由三角形的内角和定理求出∠C，再由折叠性质得∠C'＝∠C即可解答；
（2）由三角形的内角和定理得出∠CDM+∠CMD=180º﹣∠C，由折叠性质得∠C′DM=∠CDM，∠C′MD=∠CMD，推出∠1+∠2=360º-2（∠CDM+∠CMD）即可找出角之间的关系；
（3）根据题意，分点C′落在三角形ABC内和外讨论，类比（2）中方法求解即可．
【详解】（1）在△ABC中，∠A=84º，∠B=61º，
由∠A+∠B+∠C=180º得：∠C=180º-84º-61º=35º，
由折叠性质得：∠C′=∠C=35º，
故答案为：35；
（2）在△CDM中，∠CDM+∠CMD+∠C=180º，即∠CDM+∠CMD=180º﹣∠C，
由折叠性质得：∠C′DM=∠CDM，∠C′MD=∠CMD，
∵∠1+∠C′MD+∠CMD=180º，
∠2+∠C′DM+∠CDM=180º，
∴∠1+∠2=360º﹣2（∠CDM+∠CMD）=2∠C，
∴∠1+∠2=2∠C′；
（3）设∠BMC'＝∠1=53º，∠ADC'＝∠2，
当点C′落在△ABC的内部时，由（2）知，∠2=2C′-∠1=2×35º-53º=17º；
当点C′落在如图1位置时，同（2）中方法由∠1+∠2=2∠C′，∴∠2==17º；
当点C′落在如图2位置时，在△CDM中，∠CDM+∠CMD=180º﹣∠C，
由折叠性质得：∠C′DM=∠CDM，∠C′MD=∠CMD，
∵∠1+∠C′MD+∠CMD=180º，
∠C′DM+∠CDM﹣∠2=180º，
∴∠1﹣∠2=360º﹣2（∠CDM+∠CMD）=2∠C，
∴∠1﹣∠2=2∠C′，
∴∠2=∠1﹣2∠C′=53º-70º=﹣17º（舍去）；
当点C′落在如图3位置时，
∵∠C′MD+∠CMD﹣∠1=180º，
∠C′DM+∠CDM+∠2=180º，
∴∠2﹣∠1=360º﹣2（∠CDM+∠CMD）=2∠C，
∴∠2﹣∠1=2∠C′，
∴∠2=2∠C′+∠1=70º+53º=123º，
综上，∠ADC'的度数为17º或123º．
【题型2 轴对称中的光线反射】
【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）光线以如图所示的角度α照射到平面镜工上，然后在平面镜I，Ⅱ之间来回反射．若∠α=50°，∠β=60°，则∠γ等于 ( )
A．80°B．70°C．60°D．50°
【答案】B
【分析】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角将已知转化到三角形中，利用三角形的内角和是180°求解．
【详解】解：如图：
由反射规律可知：∠α=∠1，∠γ=∠3，∠2=180°−2∠β，
又∵∠1+∠2+∠3=180°
∴180°−2∠β+∠α+∠γ=180°，
∴2∠β=∠α+∠γ
即2×60°=50°+∠γ
∴∠γ=120°−50°=70°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角是解题关键，注意隐含的180°的关系的使用．
【变式2-1】（2023·八年级单元测试）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线NO垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同．
如图2，长方型球桌ABCD上有两个球P，Q．请你尝试解决台球碰撞问题：
(1)请你设计一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反射后，撞到球Q．在图2中画出，并说明做法的合理性．
(2)请你设计一路径，使得球P连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球Q，在图3中画出一种路径即可．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作点P关于AB的对称点P'，连接QP'交AB于T，线路P→T→Q即为所求．
（2）作点P关于AD的对称点P'，作点Q关于BC的对称点Q'，作点Q'关于CD的对称点Q″，连接P'Q″交AD于E，交DC于F，连接FQ'交BC于点G，P→E→F→G→Q即为所求．
【详解】（1）解：如图2中，作点P关于AB的对称点P'，连接QP'交AB于T，线路P→T→Q即为所求，
原理：∵点P'和点P关于AB对称，
∴∠P'TA=∠PTA，
∵∠P'TA=∠BTQ，
∴∠PTA=∠BTQ；
（2）如图3中，
作点P关于AD的对称点P'，作点Q关于BC的对称点Q'，作点Q'关于CD的对称点Q″，连接P'Q″交AD于E，交DC于F，连接FQ'交BC于点G，P→E→F→G→Q即为所求．
【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题．
【变式2-2】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图1，直线l垂直BC于点B，∠ACB=90°，点D为BC中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E，且有∠EDB=∠ADC．
(1)求证：BE=AC；
(2)如图2，连接AB交DE于点F，连接FC交AD于点H，AC=BC，求证：CF⊥AD；
(3)如图3，在（2）的条件下，点P是AB边上的动点，连接PC，PD，SΔACD=5，CH=2，请问PC+PD是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值，无需证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)存在，5
【分析】（1）由ASA可证△BDE≌△CDA，可得BE=AC；
（2）由SAS可证△CBF≌△EBF，可得∠BED=∠DAC=∠BCF，由余角的性质可得结论；
（3）由SAS可证△EBP≌△CBP，可得PE=PC，则当点E，点P，点D三点共线时，PE+PD有最小值，即PC+PD有最小值为DE的长，由面积法可以求解．
【详解】（1）∵直线l垂直BC于点B，∠ACB=90°，点D是BC的中点，
∴BD=CD，∠EBD=∠ACB=90°，
在△BDE和△CDA中，
∠EDB=∠ADCBD=CD∠EBC=∠ACD=90°，
∴△BDE≌△CDAAAS，
∴BE=AC；
（2）∵AC=BC，BE=AC，
∴BE=BC，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∵∠EBC=90°，
∴∠EBA=∠ABC=45°，
又∵BF=BF，
∴△CBF≌△EBF，
∴∠BED=∠BCF，
∵△BDE≌△CDA，
∴∠BED=∠DAC=∠BCF，
∵∠DAC+∠ADC=90°=∠BCF+∠ADC，
∴∠CHD=90°，
∴CF⊥AD；
（3）存在；
在△EBP和△CBP中，
EB=BC∠EBA=∠CBAEP=BP，
∴△EBP≌△CBP，
∴PE=PC，
∴PC+PD=PE+PD，
∴当点E，点P，点D三点共线时，PE+PD有最小值，即PC+PD有最小值为DE的长，
∵△BDE≌△CDA，
∴ED=AD，
∵BD=CD，
∵S△ACD=5，
∴12×AD×CH=5，
∴AD=5×2×12=5．
∴PC+PD的最小值为5．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·上海·八年级专题练习）如图所示，已知边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3，且1＜BP3＜32（反射角等于入射角），则P1C的取值范围是 ．
【答案】1【分析】首先利用光的反射定律及等边三角形的性质证明△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，再根据相似三角形对应边成比例得到用含P3B的代数式表示P1C的式子，然后由
1＜BP3＜32，即可求出P1C长的取值范围．
【详解】解：∵反射角等于入射角，
∴∠P0P1C＝∠P2P1A＝∠P2P3B，
又∵∠C＝∠A＝∠B＝60°，
∴△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，
∴P0CP1C＝P2AP1A＝P2BP3B，
设P1C＝x，P2A＝y，则P1A＝2﹣x，P2B＝2﹣y．
∴1x＝y2−x＝2−yP3B，
∴xy=2−x2x−xy=P3B，
∴x＝13（2+P3B）．
又∵1＜BP3＜32，
∴1＜x＜76，
即P1C长的取值范围是：1＜P1C＜76．
故答案为：1＜P1C<76．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质找出对应点是解此题的关键，难度较大．
【题型3 等腰三角形中分类讨论】
【例3】（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，△ABC中，∠ACB>120°，∠B=20°，D为AB边上一点（不与A、B重合），将△BCD沿CD翻折得到△CDE，CE交AB于点F．若△DEF为等腰三角形，则∠BCD为（ ）
A．30°B．30°或60°C．50°D．30°或50°
【答案】B
【分析】分两种情况进行讨论，当EF=ED时，根据折叠的性质可知∠BCD=∠ECD，设∠BCD=∠ECD=x，根据等腰三角形的性质可得∠EFD=∠EDF=80°，则x+x+20°=80°，解出x即可；当EF=DF时， 根据折叠的性质可知∠BCD=∠ECD，设∠BCD=∠ECD=y，根据等腰三角形的性质可得∠E=∠FDE=20°，则∠EFD=140°，则y+y+20°=140°，解出y即可．
【详解】解：当EF=ED时，
根据折叠的性质可知∠BCD=∠ECD，
设∠BCD=∠ECD=x，
∵∠B=20°，
∴∠FDC=x+20°，
∵△DEF为等腰三角形，EF=ED，
∴∠EFD=∠EDF=80°，
∵∠ECD+∠FDC=∠EFD，
∴x+x+20°=80°，
解得x=30°，
当EF=DF时，
根据折叠的性质可知∠BCD=∠ECD，
设∠BCD=∠ECD=y，
∵∠B=20°，
∴∠FDC=y+20°，
∵△DEF为等腰三角形，EF=DF，
∴∠E=∠FDE=20°，
∴∠EFD=140°，
∵∠ECD+∠FDC=∠EFD，
∴y+y+20°=140°，
解得y=60°，
综上所述，∠BCD的度数为30°或60°，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质，利用外角的性质将角与角建立联系列出方程是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则它的底角为（ ）
A．35°B．55°C．55°或35°D．70°或35°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，注意分类讨论思想的运用．
【详解】解：①∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠A=70°，
∴∠ABC=∠C=180°−70°÷2=55°；
②∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=20°+90°=110°
∴∠ABC=∠C=180°−110°÷2=35°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键．
【变式3-2】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，△ABC中∠ABC=40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB= ．
【答案】20°或40°或70°或100°
【分析】画出图形，分四种情况分别求解．
【详解】解：若AB=AD，
则∠ADB=∠ABC=40°；
若AD=BD，
则∠DAB=∠DBA=40°，
∴∠ADB=180°−2×40°=100°；
若AB=BD，且三角形是锐角三角形，
则∠ADB=∠BAD=12180°−∠ABC=70°；
若AB=BD，且三角形是钝角三角形，
则∠BAD=∠BDA=12∠ABC=20°．
综上：∠ADB的度数为20°或40°或70°或100°，
故答案为：20°或40°或70°或100°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是找齐所有情况，分类讨论．
【变式3-3】（2023春·山西运城·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，△AFD和△ABD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG，当△DFG为等腰三角形时，∠FDG的度数为 ．
【答案】50°或65°或80°
【分析】先由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，再证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；再分三种情况求解：当GD=GF、DF=GF、DF=DG．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=130°，
∴∠B=∠C=25°．
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B=∠AFD=25°，AB=AF，
∴AF=AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG．
在△AGF和△AGC中，
AF=AC∠FAG=∠CAGAG=AG，
∴△AGF≌△AGC(SAS)，
∴∠AFG=∠C．
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C=25°+25°=50°．
①当GD=GF时，
∴∠FDG=∠GFD=50°．
②当DF=GF时，
∴∠FDG=∠FGD．
∵∠DFG=50°，
∴∠FDG=∠FGD=65°．
③当DF=DG时，
∴∠DFG=∠DGF=50°，
∴∠FDG=80°，
故答案为：50°或65°或80°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，分类讨论是解答本题的关键．
【题型4 双垂直平分线求角度与周长】
【例4】（2023春·广西桂林·八年级统考期末）如图所示，点E、F是∠BAC的边AB上的两点，线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，连接DE、DF，若∠CDF=α，则∠EDF的度数为（ ）
A．αB．4α3C．180°−2α3D．180°−4α3
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理计算判断即可．
【详解】∵线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，
∴DE=DF,AE=DE，
∴∠DFE=∠DEF,∠EAD=∠EDA，
∵∠DEF=∠EAD+∠EDA,∠CDF=∠EAD+∠DFA，
∴∠EAD=12∠DEF=12∠DFA，
∴∠CDF=12∠DFA+∠DFA=32∠DFA，
∴∠DFA=23∠CDF=23α，
∴∠EDF=180°−2∠DFA=180°−43α，
故选D．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于（ ）
A．6B．7C．8 D．12
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=EC，进而可得AD+ED+AE=BD+DE+EC，从而可得答案．
【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC于D，
∴AD=BD，
∵AC的垂直平分线交BC于E，
∴AE=EC，
∵BC=8，
∴BD+CE+DE=8，
∴AD+AE+DE=8，
∴△ADE的周长为8，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【变式4-2】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（ ）
A．αB．14α+90°C．12α+90°D．180°−12α
【答案】B
【分析】连接CO并延长，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，根据三角形的外角性质计算，得到∠AOB=12(∠OCA+∠OCB)=α．根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA=180°−∠AIB，根据角平分线的定义得到∠IAB+∠IBA=90°−α4，求出∠AIB．
【详解】解：连接CO并延长，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC，OB=OC，
∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA，
同理，∠BOD=2∠OCB，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=α，
∴∠OCA+∠OCB=α2，
∴∠ACB=α2，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，
∴∠IAB+∠IBA=12(∠CAB+∠CBA)=12(180°−∠ACB)=90°−α4，
∴∠AIB=180°−(∠IAB+∠IBA)=90°+α4，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为 ．
【答案】6cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB，EA=EC，OA=OB=OC，从而可求出BC=11cm，然后根据△OBC的周长为23cm，即可求出OB的长，即可解答．
【详解】解：∵OM是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，OA=OB，
∵ON是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，OA=OC，
∴OB=OC，
∵△ADE的周长为11cm，
∴AD+DE+AE=11cm，
∴BD+DE+CE=11cm，
∴BC=11cm，
∵△OBC的周长为23cm，
∴OB+OC=23−11=12cm，
∴OB=OC=6cm，
∴OA=OC=6cm，
故答案为：6cm．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】
【例5】（2023春·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有以下结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【答案】B
【分析】①由角平分线的性质即可证明；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，可得DE=12AD，DF=12AD，从而可以证明；③假设DM平分∠ADF，则∠ADM=∠FDM=30°，可推出∠ABC=∠E=90°，条件不足，故错误；④连接BD、CD，证明Rt△BED≌Rt△CFD，Rt△BED≌Rt△CFD，得出BE=CF，AE=AF，即可证明AB+AC=2AE．
【详解】如图所示，连接BD、CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED=DF．
故①正确；
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD=30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∴DE=12AD．
同理DF=12AD，
∴DE+DF=AD．
故②正确；
∵∠EAD=∠FAD=30°，∠AED=∠AFD=90°
∴∠ADE=∠ADF=60°．
假设DM平分∠ADF，则∠ADM=∠FDM=30°，
∴∠EDM=∠ADE+∠ADM=90°．
∵DM⊥BC，
∴BC∥DE．
∴∠ABC=∠E=90°．
又∵∠ABC的度数是未知的，
∴不能判定DM平分∠ADF．
故③错误；
∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB=DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中，
DE=DFBD=CD，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)．
∴BE=CF．
在Rt△AED和Rt△AFD中，
DE=DFAD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)．
∴AE=AF，
∴AB+AC=AE−BE+AF+CF=2AE．
故④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,∠CAB的平分线交BC于点D,DE恰好是AB的垂直平分线，垂足为E．若AD=6，则DE的长为 ．
【答案】3
【分析】由角平分线性质定理，得DE=DC，所以Rt△ADE≌Rt△ADC(HL)，于是AC=AE，由线段垂直平分线定理，得AD=BD=6；由面积公式S△ABD=12AB⋅DE=12BD⋅AC，化简求解．
【详解】解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC．
∴Rt△ADE≌Rt△ADC(HL)
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，AD=BD=6．
∴AC=AE．
∵S△ABD=12AB⋅DE=12BD⋅AC，
∴2AE⋅DE=6×AC．
∴DE=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形全等的判定；运用面积公式寻求线段间的关系是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ACB的角平分线CF与BC的垂直平分线DE交于点O，连接OB．若∠ABO=20°，则∠ACB= ．
【答案】72°
【分析】由线段垂直平分线的性质可得∠OBC=∠OCB，由角平分线的定义可得∠ACF=∠OCB，再利用三角形的内角和定理可求得∠ACF的度数，进而可求解．
【详解】解：∵OE垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠OCB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+∠ABO+3∠ACF=180°，
∵∠A=52°，∠ABO=20°，
∴∠ACF=36°，
∴∠ACB=2∠ACF=72°．
故答案为：72°．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解∠ACF的度数是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为 ．
【答案】2
【分析】连接AD，CD，由“AAS”可证△BDM≅△BDN，可得BM=BN，由“HL”可证Rt△ADM≅Rt△CDN，可得AM=CN，即可求解．
【详解】解：连接AD，CD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
在△BDM和△BDN中，
∠DMB=∠DNB=90°∠ABD=∠DBCBD=BD，
∴△BDM≅△BDNAAS，
∴BM=BN，DM=DN，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
在Rt△ADM和Rt△CDN中，
AD=CDDM=DN，
∴Rt△ADM≅Rt△CDNHL，
∴AM=CN，
∵AB=3，BC=7，
∴BC−AB=BN+CN−BM−AM=2AM=4，
∴AM=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【题型6 轴对称图形中的面积问题】
【例6】（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分∠ABC，DH⊥BA，交BA的延长线于点H．
(1)若∠ADB=48°，求∠A的度数；
(2)若AB=5cm，△ABC与△ABD的周长之差为8cm，且△ADB的面积为10cm2，求△BDC的面积．
【答案】(1)∠A=108°
(2)△BDC的面积为16cm2
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABD=∠DBC，由线段垂直平分线的性质可得DB=DC，从而得到∠DBC=∠C=∠ABD，由三角形外角的性质可求出∠ABD=24°，最后由三角形内角和定理进行计算即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得BD=DC，DE⊥BC，由△ABC与△ABD的周长之差为8cm计算可得BC=8cm，由角平分线的性质可得DE=DH，由三角形的面积可求得DH=DE=2×105=4cm，最后由三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC．
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠C=∠ABD，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=2∠ABD=48°，
∴∠ABD=24°，
∴∠A=180°−∠ABD−∠ADB=180°−24°−48°=108°；
（2）解：∵DE垂直平分BC，
∴BD=DC，DE⊥BC，
∵△ABC与△ABD的周长之差为8cm，
∴AB+BC+AD+DC−AB+AD+BD=BC=8cm，
∵BD平分∠ABC，DH⊥BA，
∴DE=DH，
∵AB=5cm，△ADB的面积为10cm2，
∴12AB⋅DH=10，
∴DH=DE=2×105=4cm，
∴△BDC的面积=12BC⋅DE=12×8×4=16cm2，
答：△BDC的面积为16cm2．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的定义与性质、三角形内角和定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，∠B=∠C=90°，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．
(1)求证：AE是∠DAB的平分线；
(2)已知AE=4，DE=3，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）过点E作EF⊥DA于点F，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF，根据等量代换可得BE=EF，再根据角平分线的判定可得AE平分∠DAB；
（2）利用（1）的结论证明Rt△EFD≌Rt△ECDHL和Rt△EFA≌Rt△EBAHL，可推出∠DEA=90°，S四边形ABCD=2S△AED，再根据AE=4，DE=3，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠C=90°，DE平分∠ADC，
∴CE=EF，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴BE=EF，
又∵∠B=90°，EF⊥DA，
∴AE平分∠DAB．
（2）解：∵EF⊥DA，∠C=90°，
∴△EFD和△ECD都为Rt△，
又∵DE平分∠ADC，
∴EC=EF，
在Rt△EFD和Rt△ECD中，
ED=EDEC=EF，
∴Rt△EFD≌Rt△ECDHL，
∴S△EFD=S△ECD，∠CED=∠FED，
∵EF⊥DA，∠B=90°，
∴△EFA和△EBA都为Rt△，
又∵AE平分∠DAB，
∴EF=EB，
在Rt△EFA和Rt△EBA中，
EA=EAEF=EB，
∴Rt△EFA≌Rt△EBAHL，
∴S△EFA=S△EBA，∠FEA=∠BEA，
∴∠DEA=∠DEF+∠AEF=12∠CEF+∠BEF=12×180°=90°，
∵AE=4，DE=3，
∴S△AED=12AE⋅DE=12×4×3=6，
∴S四边形ABCD=S△EFD+S△ECD+S△EFA+S△EBA
=S△EFD+S△EFD+S△EFA+S△EFA
=2S△EFD+S△EFA
=2S△AED
=2×6
=12．
∴四边形ABCD的面积为12．
【点睛】本题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，利用等积法计算四边形的面积．解题的关键是掌握角平分线的性质和判定定理．
【变式6-2】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D、E分别是边AC、BC上的点，连接BD，AE交于点O．
(1)如图1，BD⊥AE，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点F，求证：AO=CF；
(2)如图2，点D是AC中点，连接DE，若∠ADB=∠CDE，求证：BD⊥AE；
(3)如图3，过点C作CF⊥AE于点F，延长FC至点G，使得∠GAC=∠FCE，点B、O、D、G在同一直线上，若CF=145，AF=465，直接写出△AOG的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)1385
【分析】（1）证明△BOA≌△AFCAAS，即可得结论；
（2）如图2中，过点C作CG⊥AC交DE的延长线于点G．证明△BAD≌△GCDASA，推出AB=GC，∠ABD=∠G，再证明△ACE≌△GCESAS，推出∠CAE=∠G，∠ABD=∠CAE，即可得结论；
（3）过点B作BH⊥AE于点H．证明FA=FG=465，再证明△BHA≌△AFCAAS，推出BH=AF，AH=CF=145，证明△BOH≌△GOFAAS，推出OH=OF=12AF−AH=165，即可得结论．
【详解】（1）证明：∵BD⊥AF，CF⊥AF，
∴∠AOB=∠F=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAF+∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠CAF，
在△BOA和△AFC中，∠AOB=∠F=90°∠ABO=∠CAFAB=CA，
∴△BOA≌△AFCAAS，
∴AO=CF．
（2）证明：如图，过点C作CG⊥AC交DE的延长线于点G，
∵D是AC的中点，
∴DA=DC，
在△BAD和△GCD中，∠BAD=∠GCD=90°AD=CD∠ADB=∠CDG，
∴△BAD≌△GCDASA，
∴AB=GC，∠ABD=∠G，
∵AB=AC，
∴CA=CG，
∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵∠GCD=90°，
∴∠ACE=∠GCE=45°，
在△ACE和△GCE中，CA=CG∠ACE=∠GCECE=CE，
∴△ACE≌△GCESAS，
∴∠CAE=∠G，
∴∠ABD=∠CAE，
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠CAE+∠ADB=90°，
∴∠AOD=90°，
∴BD⊥AE．
（3）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H，
∵∠ACF=∠ACB+∠FCE=∠GAC+∠AGC，∠GAC=∠FCE，
∴∠AGC=∠ACB=45°，
∵AF⊥FG，
∴∠FAG=∠AGF=45°，
∴AF=FG=465，
∵BH⊥AF，
∴∠BHA=∠F=90°，
∵∠ABH+∠BAH=90°，∠BAH+∠CAF=90°，
∴∠ABH=∠CAF，
在△BHA和△AFC中，∠BHA=∠F=90°∠ABH=∠CAFAB=CA，
∴△BHA≌△AFCAAS，
∴BH=AF，AH=CF=145，
∴BH=GF，
在△BOH和△GOF中，∠BOH=∠GOF∠BHO=∠F=90°BH=GF，
∴△BOH≌△GOFAAS，
∴OH=OF=12HF=12AF−AH=165，
∴AO=AH+OH=145+165=6，
∴S△AOG=12OA⋅GF=12×6×465=1385．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
【变式6-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，点P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，∠P1OP2= °，△OP1P2的面积最小值为 ．
【答案】 90 8
【分析】分点P在线段MN上，点M的左侧和点N的右侧，三种情况进行讨论，连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，先利用三角形的面积公式求出OH，再根据轴对称的性质可得∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，OP1=OP=OP2，从而可得∠P1OP2=90°，然后利用三角形的面积公式可得△OP1P2的面积为12OP2，根据垂线段最短可得当点P与点H重合时，OP取得最小值，△OP1P2的面积最小，由此即可得．
【详解】解：当点P在线段MN上，如图，连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，
∵S△OMN=12MN⋅OH=12，且MN=6，
∴OH=4，
∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，
∴∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，OP1=OP=OP2，
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2∠AOP+∠BOP=2∠AOB=90°，
∴△OP1P2的面积为12OP1⋅OP2=12OP2，
由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，OP取得最小值，最小值为OH=4，
∴△OP1P2的面积的最小值为12×42=8，
当点P在点M的左侧时，如图：连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，
同法可得：OH=4，
∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，
∴∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，OP1=OP=OP2，
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2∠BOP−∠AOP=2∠AOB=90°，
∴△OP1P2的面积为12OP1⋅OP2=12OP2，
由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，OP取得最小值，最小值为OH=4，
∴△OP1P2的面积的最小值为12×42=8，
当点P在点N的右侧时，如图：连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，
同法可得：∠P1OP2=2∠AOP−∠BOP=2∠AOB=90°，
△OP1P2的面积的最小值为12×42=8，
综上：∠P1OP2=90°，△OP1P2的面积的最小值为8；
故答案为：90，8．
【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
【题型7 轴对称中尺规作图与证明、计算的综合运用】
【例7】（2023春·河南郑州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点P，使得点P到点A和点B的距离相等；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(2)在（1）的条件下，若AC=2，CB=5，则△CAP的周长是___________．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线与BC的交点即为P点；
（2）根据AP=BP求出△CAP的周长等于AC+BC即可得解．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求；
（2）解：连接AP，
由（1）知AP=BP，
∴△CAP的周长为：AC+CP+AP=AC+CP+BP=AC+BC=2+5=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接AD．
(1)请用直尺和圆规完成基本作图：
作AD的垂直平分线EF交AD于点O，交AB于点E，交AC于点F，连接DE、DF；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：AE=DF．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵AB=AC，D为BC中点，
∴∠1=________．
∵EF为AD的垂直平分线，
∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF
又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°，
∠2+∠AOF+∠AFE=180°，
∴∠AEF=________．
∴AE=________，
∴AE=DF．
【答案】(1)见解析
(2)∠2，∠AFE，AF
【分析】（1）利用基本作图作AD的垂直平分线得到EF；
（2）先根据等腰三角形的性质得到∠1= ∠2，再根据线段垂直平分线的性质得到AF=DF，进而可得∠AEF= ∠AFE，根据等角对等边得到AE= AF，等量代换即可解题．
【详解】（1）解：直线EF，如图所示：
（2）证明：∵AB=AC，D为BC中点，
∴∠1= ∠2．
∵EF为AD的垂直平分线，
∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF．
又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°，
∠2+∠AOF+∠AFE=180°，
∴∠AEF= ∠AFE，
∴AE= AF．
∴AE=DF．
故答案为：∠2，∠AFE，AF
【点睛】本题考查垂直平分线的作图和性质，等角对等边，掌握基本作图和垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．
(1)求证：DB=DE；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段BE的中点F（不写作法，保留作图痕迹）；若AB=4，求CF的长．
【答案】(1)见解析
(2)作图见解析，CF=1
【分析】（1）证明∠DBC=∠E=30°，利用等角对等边即可得出结论．
（2）过点D作DF⊥BE于F即可，再根据等边三角形性质得出AC=AB=4，∠ACB=60°，再由BD是中线得CD=12AC=2，在Rt△DFC中，由∠CDF=90°−∠DCB=90°−60°=30°，即可得CF=12CD=1．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是中线，
∴∠DBC=12∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
又∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠CDE=∠E=12∠ACB=30°，
∴∠DBC=∠E，
∴DB=DE．
（2）解：如图所示．
由作图可知：DF⊥BE，，由（1）知，DB=DE，
∴DF垂直平分BE．即点F是BE的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，∠ACB=60°，
∵BD是中线，
∴CD=12AC=2，
∴在Rt△DFC中，∠CDF=90°−∠DCB=90°−60°=30°．
∴CF=12CD=1．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，尺规基本作图-经过直线外一点作直线的垂线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质．熟练掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）（1）尺规作图：过点A作直线l的垂线．
作法如下：
①以点A为圆心，a为半径作弧交直线l于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，a长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接AE（路径最短）；
i根据题意，利用直尺和圆规补全图形；
ii作图依据为______________
（2）画一画，想一想：如图，已知∠AOB．你能用手中的三角板作出∠AOB的角平分线吗？写出作法，并证明．
【答案】（1）作图见解析，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上；
（2）见解析
【分析】（1）按照要求直接作图，根据垂直平分线的性质可得答案；
（2）按照角平分线的作法作出图形，并用全等三角形的判定定理进行证明．
【详解】（1）如图所示，
连接AC,AD,CE,CD,
由作法得：AC=CE=AD=DE，
∴A，E在CD的垂直平分线上，
∴AE⊥CD
∴作图依据为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上．
故答案为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上．
（2）作法：①在OA、OB上，利用刻度尺截取OC=OD，
②利用三角板的直角作CD⊥OB,DF⊥OA交于点P，
③作射线OP，
则OP为∠AOB的角平分线．
证明：∵CD⊥OB,DF⊥OA
∴∠OCP=∠ODP=90°
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
OP=OPOC=OD，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP
∴∠POC=∠POD
即OP为∠AOB的角平分线．
【点睛】本题考查基本作图——垂线和角平分线，解题的关键是熟练掌握垂直平分线和角平分线的性质．
【题型8 轴对称中的旋转】
【例8】（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段A−B−C中，BC可绕点B旋转，AB=6，BC=2，线段AB上有一动点P，将线段AB分成两部分，旋转BC，PA，当三条线段BC，BP，PA首尾顺次相连构成等腰三角形时，BP的长为（ ）
A．3B．2或3C．2或4D．2或3或4
【答案】A
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形的三边关系可求解．
【详解】解：当AP=BP时，
∵AP+BP=6，
∴BP=3，
当AP=BC=2时，则BP=4，
∵2+2=4，
∴三条线段BC，BP，PA不能构成三角形，
当BP=BC=2时，则AP=4，
∵2+2=4，
∴三条线段BC，BP，PA不能构成三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转.如图②，当∠CAE=15°时，此时BC∥DE.继续旋转三角尺ABC，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE（0°<∠CAE<180°）其他所有可能符合条件的度数为
【答案】15°、60°、105°或135°
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到的度数，再找到关于点中心对称的情况即可求解．
【详解】解：如图②，当BC//DE 时，
∠CAE=45°−30°=15°；
如图所示，当AE//BC时，
∠CAE=90°−30°=60°；
如图所示，当DE//AB （或AD//BC）时，
∠CAE=45°+60°=105°；
如图所示，当DE//AC时，
∠CAE=45°+90°=135°．
故答案为：15°、60°、105°或135°．
【点睛】本题主要考查的是平行线的判定和性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角形的性质求解是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针方向旋转40°得到△A'BC'，点A'恰好落在AC上，连接CC'，则∠ACC'度数为（ ）
A．110°B．105°C．100°D．95°
【答案】A
【分析】由旋转知∠ABA'=∠CBC'=40°，BA=BA'，BC=BC'，由等边对等角及三角形内角和定理可求∠BAA'=70°，∠BCC'=70°，∠CAB=∠CBA=70°，∠ACB=40°，从而求得∠ACC'=∠ACB+∠BCC'=110°．
【详解】解：由旋转知，∠ABA'=∠CBC'=40°，BA=BA'，BC=BC'，
∴∠BAA'=∠BA'A，∠BCC'=∠BC'C，
∴∠BAA'=12(180°−∠ABA')=70°，∠BCC'=12(180°−∠CBC')=70°，
∵△ABC中，AC=BC
∴∠CAB=∠CBA=70°，
∴∠ACB=180°−∠CAB−∠CBA=40°，
∴∠ACC'=∠ACB+∠BCC'=40°+70°=110°．
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形等边对等角，三角形内角和定理，由定理得到角之间数量关系是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC和CB的延长线于E，F，当点E在AC延长线上时，S△DEF，S△CEF，S△ABC的关系为（ ）
A．S△DEF−S△CEF=12S△ABCB．S△DEF−S△CEF=S△ABC
C．S△DEF+S△CEF=2S△ABCD．S△ABC+S△CEF=S△DEF
【答案】A
【分析】连接CD，证明△CDE≌△BDF（ASA），由全等三角形的性质得出S△CDE=S△BDF，则可得出结论．
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，
∴∠ABC=45°，∠ACD=12∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=AD=BD，
∴∠DCE=∠DBF，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
∠CDE=∠BDFCD=BD∠DCE=∠DBF
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S△CDE=S△BDF，
∴S△DEF=S△CFE+S△DBC，
=S△CFE+12S△ABC，
∴S△DEF-S△CFE=12S△ABC．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键．
【题型9 轴对称中规律探究】
【例9】（2023春·宁夏中卫·八年级统考期末）如图在△ABC中，AB=AC，DN⊥AB分别交AB，AC于点D，N，交BC的延长线于点M．
(1)若∠A=50°，求∠NMB的大小；
(2)如果将（1）中的∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；
(3)分析（1），（2）两问，你认为存在什么样的规律？试用文字概括；
(4)将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？说明理由．
【答案】(1)25°
(2)40°
(3)当∠A为锐角时，∠NMB=12∠A．
(4)需要加以修改，需改为：当∠A为顿角时，∠NMB=180°−12∠A，理由见解析
【分析】（1）根据等边对等角结合三角形内角和定理，即可求出∠B=∠ACB=65°，再根据DN⊥AB，即可求出∠NMB=90°−∠B=25°；
（2）同理即可求∠NMB=90°−∠B=40°；
（3）设∠A=α(0°<α<90°)，根据等边对等角结合三角形内角和定理，即可求出∠B=∠ACB=90°−12α．再根据DN⊥AB，即可得出∠NMB=90°−∠B=12α，即∠NMB=12∠A；
（4）画出图形，设∠A=β，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理同样可求出∠B=∠ACB=90°−12β，再根据DN⊥AB结合三角形外角性质即可求出∠NMB=∠D+∠B=180°−12β，即∠NMB=180°−12∠A．
【详解】（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=12(180°−∠A)=65°．
∵DN⊥AB，
∴∠NMB=90°−∠B=90°−65°=25°；
（2）同理可得∠B=∠ACB=12(180°−∠A)=50°，
∴∠NMB=90°−∠B=90°−50°=40°；
（3）当∠A为锐角时，∠NMB=12∠A．
设∠A=α(0°<α<90°)，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=12(180°−α)=90°−12α．
∵DN⊥AB，
∴∠NMB=90°−∠B=90°−(90°−12α)=12α．
故∠NMB=12∠A；
（4）需要加以修改，需改为：当∠A为顿角时，∠NMB=180°−12∠A，
理由：如图，
设∠A=β(90°<β<180°)，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=12(180°−β)=90°−12β．
∵DN⊥AB，
∴∠D=90°．
∴∠NMB=∠D+∠B=90°+90°−12β=180°−12β，即∠NMB=180°−12∠A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
【变式9-1】（2023·北京·八年级专题练习）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=a，则∠A2020B2020O=（ ）
A．a22020B．a22019C．4040aD．4038a
【答案】B
【分析】根据等腰三角形两底角相等结合三角形外角性质用α表示出∠A2B2O，依此类推即可得到结论．
【详解】解：∵B1A2=B1B2，∠A1B1O=α，
∴∠A2B2O=12∠A1B1O=12α，
同理∠A3B3O=12∠A2B2O=12×12α=122α，
∴∠A4B4O=123α，
∴∠AnBnO=12n−1α，
∴∠A2020B2020O=α22019，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，和三角形外角性质,图形的变化规律，依次求出每个三角形的一个底角，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·八年级单元测试）观察规律并填空：，, ,
【答案】
【详解】分析：根据已知得出是连续的偶数且每两个数组成轴对称图形进而得出答案．
详解：由题意得出：
数据是连续的偶数且每两个数组成轴对称图形，故空格处应该是．
故答案为．
点睛：此题主要考查了轴对称图形的性质，根据题意得出数组变化规律是解题关键．
【变式9-3】（2023春·云南大理·八年级统考期末）同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？
（1）如图（1），已知∠AOB，请你画出它的角平分线OC，并填空：因为OC是∠AOB的平分线，所以∠______=∠______=12∠AOB
（2）如图（2），已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，请你画出射线OB，射线OC一定平分∠AOB．
理由如下：因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC=∠_______，所以射线_________是∠_________的角平分线．
拓展应用
（3）如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为OE，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在OC上的D处并且使OD过点C，折痕为OF．直接利用（2）的结论；
①若∠AOE=30°，求∠EOF的度数．（写出计算说理过程）
②若∠AOE=m°，求∠EOF的度数，从计算中你发现了∠EOF的度数有什么规律？（写出计算说理过程）
【答案】（1）∠AOC，∠BOC；（2）∠AOC，OC，∠AOB；（3）①90°，过程见解析，②90°，∠EOF始终是90°，过程见解析．
【分析】(1)根据角的平分线的定义解答即可；
(2)根据折叠的意义解答即可；
(3)①根据折叠的意义，平角的定义，角平分线的定义解答即可；②根据计算探究规律．
【详解】解：（1）如图(1)，根据角的平分线的定义，知∠AOC＝∠BOC，
故答案为：∠AOC，∠BOC；
（2）如图(2)，∠BOC=∠AOC，所以射线OC_是∠AOB的角平分线，
故答案为：∠AOC，OC，∠AOB；
（1）（2）（3）
（3）①由（2）“翻折”结论得
∠EOC=∠AOE=30°，∠DOF=∠BOF=12∠BOD，
而∠BOD=180°−∠AOC=180°−(∠AOE+∠EOC)
=180°−2×30°=120°，
所以∠DOF=∠BOF=12∠BOD=12×120°=60°，
所以∠EOF=∠EOC+DOF=30°+60°=90°；
②当∠AOE=m°时，同理可得，∠EOC=∠AOE=m°，
∠DOF=∠BOF=12∠BOD=12180°−2m°=90°−m°，
所以∠EOF=∠EOC+DOF=m°+90°−m°=90°，
综上所述，发现∠EOF始终是90°．
【点睛】本题考查了角的平分线，角的平分线的基本作图，折叠的意义，折叠的应用，熟练掌握角的平分线的意义和折叠的意义是解题的关键．
【题型10 等边三角形的十字结合模型】
【例10】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，，为的角平分线，点在的延长线上，连接、，，①；②；③；④；其中说法正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】先证明，得到，可判断①；过点H作交延长线于N，作于M，由角平分线的性质得，可证明，推出是等边三角形，再证明，，可判断④；根据角之间的关系得出，即，可判断③；在上截取，证明，得出，根据线段的和差，可判断②．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在和△CAE中，，
∴，
∴，故①正确；
过点H作交延长线于N，作于M，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，④正确；
∵，，
∴，
∴，③错误；
在上截取，
∵，
∴是等边三角形，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确，
∴正确的有：①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，角平分线的性质定理，涉及三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
【变式10-1】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，△ABD是等边三角形，P是∠BAC平分线上一动点连接PC、PD，则PC＋PD的最小值为 ．
【答案】20
【分析】连接BP，根据等腰三角形的性质可证AP垂直平分BC，即可得到CP=BP，再根据当B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，即可得出PD+PC的最小值为20．
【详解】解：如图，连接BP，
∵点P是∠BAC的角平分线上一动点，AB=AC，
∴AP垂直平分BC，
∴CP=BP，
∴PD+PC=PD+PB，
∴当B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，
又∵△ABD是等边三角形，AB=BD=20，
∴PD+PC的最小值为20，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【变式10-2】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期中）如图，等边三角形△ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，且EC=BD，AD，BE相交于点P．
(1)不添加辅助线，请在图中找出与BE相等的线段，并证明．
(2)若BQ⊥AD于Q，AD=7，PE=1，求PQ的长．
【答案】(1)AD=BE；证明见解析
(2)PQ=3
【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△CAD即可；
（2）根据三角形全等的性质得出∠ABE=∠CAD，BE=AD=7，求出BP=BE−PE=6，证明∠BPD=∠ABE+∠BAD=60°，根据BQ⊥AD，求出∠PBQ=90°−∠BPD=30°，根据直角三角形的性质得出PQ=12BP=3．
【详解】（1）解：AD=BE；理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵EC=BD，
∴AC−EC=BC−BD，
即AE=CD，
在△ABE和△CAD中，AB=CA∠BAC=∠CAE=CD，
∴△ABE≌△CADSAS，
∴AD=BE；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，BE=AD=7，
∵PE=1，
∴BP=BE−PE=6，
∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BAD+∠ABE=60°，
∴∠BPD=∠ABE+∠BAD=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=90°−∠BPD=30°，
∴PQ=12BP=3．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法证明△ABE≌△CAD．
【变式10-3】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期中）如图，等边三角形△ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，且EC=BD，AD，BE相交于点P．
(1)不添加辅助线，请在图中找出与BE相等的线段，并证明．
(2)若BQ⊥AD于Q，AD=7，PE=1，求PQ的长．
【答案】(1)AD=BE；证明见解析
(2)PQ=3
【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△CAD即可；
（2）根据三角形全等的性质得出∠ABE=∠CAD，BE=AD=7，求出BP=BE−PE=6，证明∠BPD=∠ABE+∠BAD=60°，根据BQ⊥AD，求出∠PBQ=90°−∠BPD=30°，根据直角三角形的性质得出PQ=12BP=3．
【详解】（1）解：AD=BE；理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵EC=BD，
∴AC−EC=BC−BD，
即AE=CD，
在△ABE和△CAD中，AB=CA∠BAC=∠CAE=CD，
∴△ABE≌△CADSAS，
∴AD=BE；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，BE=AD=7，
∵PE=1，
∴BP=BE−PE=6，
∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BAD+∠ABE=60°，
∴∠BPD=∠ABE+∠BAD=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=90°−∠BPD=30°，
∴PQ=12BP=3．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法证明△ABE≌△CAD．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24431" 【题型1 利用轴对称的性质求解】 PAGEREF _Tc24431 \h 1
\l "_Tc29394" 【题型2 轴对称中的光线反射】 PAGEREF _Tc29394 \h 2
\l "_Tc18863" 【题型3 等腰三角形中分类讨论】 PAGEREF _Tc18863 \h 4
\l "_Tc8757" 【题型4 双垂直平分线求角度与周长】 PAGEREF _Tc8757 \h 5
\l "_Tc4284" 【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】 PAGEREF _Tc4284 \h 6
\l "_Tc28302" 【题型6 轴对称图形中的面积问题】 PAGEREF _Tc28302 \h 7
\l "_Tc25559" 【题型7 轴对称中尺规作图与证明、计算的综合运用】 PAGEREF _Tc25559 \h 8
\l "_Tc30449" 【题型8 轴对称中的旋转】 PAGEREF _Tc30449 \h 10
\l "_Tc18225" 【题型9 轴对称中规律探究】 PAGEREF _Tc18225 \h 12
\l "_Tc21111" 【题型10 等边三角形的十字结合模型】 PAGEREF _Tc21111 \h 13
【题型1 利用轴对称的性质求解】
【例1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB=7cm，AC=9cm，BC=12cm，则△DBE的周长为 cm．
【变式1-1】（2023春·江西九江·八年级统考期末）已知△ABC中∠B是钝角，以AC所在直线为对称轴作△ADC，若∠BAD+∠BCD=100°，则∠B的度数为 ．
【变式1-2】（2023春·山东潍坊·八年级统考期中）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB=40°，则∠MPN的度数是 ．
【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，将△ABC纸片沿DM折叠，使点C落在点C'的位置，其中点D为AC边上一定点，点M为BC边上一动点，点M与B，C不重合．
（1）若∠A＝84°，∠B＝61°，则∠C'＝ °；
（2）如图1，当点C'落在四边形ABMD内时，设∠BMC'＝∠1，∠ADC'＝∠2，探索∠C'与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由；
（3）在点M运动过程中，折叠图形，若∠C'＝35°，∠BMC'＝53°，求∠ADC'的度数．
【题型2 轴对称中的光线反射】
【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）光线以如图所示的角度α照射到平面镜工上，然后在平面镜I，Ⅱ之间来回反射．若∠α=50°，∠β=60°，则∠γ等于 ( )
A．80°B．70°C．60°D．50°
【变式2-1】（2023·八年级单元测试）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线NO垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同．
如图2，长方型球桌ABCD上有两个球P，Q．请你尝试解决台球碰撞问题：
(1)请你设计一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反射后，撞到球Q．在图2中画出，并说明做法的合理性．
(2)请你设计一路径，使得球P连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球Q，在图3中画出一种路径即可．
【变式2-2】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图1，直线l垂直BC于点B，∠ACB=90°，点D为BC中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E，且有∠EDB=∠ADC．
(1)求证：BE=AC；
(2)如图2，连接AB交DE于点F，连接FC交AD于点H，AC=BC，求证：CF⊥AD；
(3)如图3，在（2）的条件下，点P是AB边上的动点，连接PC，PD，SΔACD=5，CH=2，请问PC+PD是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值，无需证明；若不存在，请说明理由．
【变式2-3】（2023春·上海·八年级专题练习）如图所示，已知边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3，且1＜BP3＜32（反射角等于入射角），则P1C的取值范围是 ．
【题型3 等腰三角形中分类讨论】
【例3】（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，△ABC中，∠ACB>120°，∠B=20°，D为AB边上一点（不与A、B重合），将△BCD沿CD翻折得到△CDE，CE交AB于点F．若△DEF为等腰三角形，则∠BCD为（ ）
A．30°B．30°或60°C．50°D．30°或50°
【变式3-1】（2023春·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则它的底角为（ ）
A．35°B．55°C．55°或35°D．70°或35°
【变式3-2】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，△ABC中∠ABC=40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB= ．
【变式3-3】（2023春·山西运城·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，△AFD和△ABD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG，当△DFG为等腰三角形时，∠FDG的度数为 ．
【题型4 双垂直平分线求角度与周长】
【例4】（2023春·广西桂林·八年级统考期末）如图所示，点E、F是∠BAC的边AB上的两点，线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，连接DE、DF，若∠CDF=α，则∠EDF的度数为（ ）
A．αB．4α3C．180°−2α3D．180°−4α3
【变式4-1】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于（ ）
A．6B．7C．8 D．12
【变式4-2】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（ ）
A．αB．14α+90°C．12α+90°D．180°−12α
【变式4-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为 ．
【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】
【例5】（2023春·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有以下结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【变式5-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,∠CAB的平分线交BC于点D,DE恰好是AB的垂直平分线，垂足为E．若AD=6，则DE的长为 ．
【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ACB的角平分线CF与BC的垂直平分线DE交于点O，连接OB．若∠ABO=20°，则∠ACB= ．
【变式5-3】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为 ．
【题型6 轴对称图形中的面积问题】
【例6】（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分∠ABC，DH⊥BA，交BA的延长线于点H．
(1)若∠ADB=48°，求∠A的度数；
(2)若AB=5cm，△ABC与△ABD的周长之差为8cm，且△ADB的面积为10cm2，求△BDC的面积．
【变式6-1】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，∠B=∠C=90°，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．
(1)求证：AE是∠DAB的平分线；
(2)已知AE=4，DE=3，求四边形ABCD的面积．
【变式6-2】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D、E分别是边AC、BC上的点，连接BD，AE交于点O．
(1)如图1，BD⊥AE，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点F，求证：AO=CF；
(2)如图2，点D是AC中点，连接DE，若∠ADB=∠CDE，求证：BD⊥AE；
(3)如图3，过点C作CF⊥AE于点F，延长FC至点G，使得∠GAC=∠FCE，点B、O、D、G在同一直线上，若CF=145，AF=465，直接写出△AOG的面积．
【变式6-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，点P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，∠P1OP2= °，△OP1P2的面积最小值为 ．
【题型7 轴对称中尺规作图与证明、计算的综合运用】
【例7】（2023春·河南郑州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点P，使得点P到点A和点B的距离相等；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(2)在（1）的条件下，若AC=2，CB=5，则△CAP的周长是___________．
【变式7-1】（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接AD．
(1)请用直尺和圆规完成基本作图：
作AD的垂直平分线EF交AD于点O，交AB于点E，交AC于点F，连接DE、DF；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：AE=DF．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵AB=AC，D为BC中点，
∴∠1=________．
∵EF为AD的垂直平分线，
∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF
又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°，
∠2+∠AOF+∠AFE=180°，
∴∠AEF=________．
∴AE=________，
∴AE=DF．
【变式7-2】（2023春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．
(1)求证：DB=DE；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段BE的中点F（不写作法，保留作图痕迹）；若AB=4，求CF的长．
【变式7-3】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）（1）尺规作图：过点A作直线l的垂线．
作法如下：
①以点A为圆心，a为半径作弧交直线l于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，a长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接AE（路径最短）；
i根据题意，利用直尺和圆规补全图形；
ii作图依据为______________
（2）画一画，想一想：如图，已知∠AOB．你能用手中的三角板作出∠AOB的角平分线吗？写出作法，并证明．
【题型8 轴对称中的旋转】
【例8】（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段A−B−C中，BC可绕点B旋转，AB=6，BC=2，线段AB上有一动点P，将线段AB分成两部分，旋转BC，PA，当三条线段BC，BP，PA首尾顺次相连构成等腰三角形时，BP的长为（ ）
A．3B．2或3C．2或4D．2或3或4
【变式8-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转.如图②，当∠CAE=15°时，此时BC∥DE.继续旋转三角尺ABC，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE（0°<∠CAE<180°）其他所有可能符合条件的度数为
【变式8-2】（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针方向旋转40°得到△A'BC'，点A'恰好落在AC上，连接CC'，则∠ACC'度数为（ ）
A．110°B．105°C．100°D．95°
【变式8-3】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC和CB的延长线于E，F，当点E在AC延长线上时，S△DEF，S△CEF，S△ABC的关系为（ ）
A．S△DEF−S△CEF=12S△ABCB．S△DEF−S△CEF=S△ABC
C．S△DEF+S△CEF=2S△ABCD．S△ABC+S△CEF=S△DEF
【题型9 轴对称中规律探究】
【例9】（2023春·宁夏中卫·八年级统考期末）如图在△ABC中，AB=AC，DN⊥AB分别交AB，AC于点D，N，交BC的延长线于点M．
(1)若∠A=50°，求∠NMB的大小；
(2)如果将（1）中的∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；
(3)分析（1），（2）两问，你认为存在什么样的规律？试用文字概括；
(4)将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？说明理由．
【变式9-1】（2023·北京·八年级专题练习）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=a，则∠A2020B2020O=（ ）
A．a22020B．a22019C．4040aD．4038a
【变式9-2】（2023春·八年级单元测试）观察规律并填空：，, ,
【变式9-3】（2023春·云南大理·八年级统考期末）同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？
（1）如图（1），已知∠AOB，请你画出它的角平分线OC，并填空：因为OC是∠AOB的平分线，所以∠______=∠______=12∠AOB
（2）如图（2），已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，请你画出射线OB，射线OC一定平分∠AOB．
理由如下：因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC=∠_______，所以射线_________是∠_________的角平分线．
拓展应用
（3）如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为OE，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在OC上的D处并且使OD过点C，折痕为OF．直接利用（2）的结论；
①若∠AOE=30°，求∠EOF的度数．（写出计算说理过程）
②若∠AOE=m°，求∠EOF的度数，从计算中你发现了∠EOF的度数有什么规律？（写出计算说理过程）
【题型10 等边三角形的十字结合模型】
【例10】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，，为的角平分线，点在的延长线上，连接、，，①；②；③；④；其中说法正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式10-1】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，△ABD是等边三角形，P是∠BAC平分线上一动点连接PC、PD，则PC＋PD的最小值为 ．
【变式10-2】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期中）如图，等边三角形△ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，且EC=BD，AD，BE相交于点P．
(1)不添加辅助线，请在图中找出与BE相等的线段，并证明．
(2)若BQ⊥AD于Q，AD=7，PE=1，求PQ的长．
【变式10-3】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期中）如图，等边三角形△ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，且EC=BD，AD，BE相交于点P．
(1)不添加辅助线，请在图中找出与BE相等的线段，并证明．
(2)若BQ⊥AD于Q，AD=7，PE=1，求PQ的长．
专题13.9 轴对称章末十大题型总结（培优篇）
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24431" 【题型1 利用轴对称的性质求解】 PAGEREF _Tc24431 \h 1
\l "_Tc29394" 【题型2 轴对称中的光线反射】 PAGEREF _Tc29394 \h 5
\l "_Tc18863" 【题型3 等腰三角形中分类讨论】 PAGEREF _Tc18863 \h 10
\l "_Tc8757" 【题型4 双垂直平分线求角度与周长】 PAGEREF _Tc8757 \h 15
\l "_Tc4284" 【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】 PAGEREF _Tc4284 \h 19
\l "_Tc28302" 【题型6 轴对称图形中的面积问题】 PAGEREF _Tc28302 \h 24
\l "_Tc25559" 【题型7 轴对称中尺规作图与证明、计算的综合运用】 PAGEREF _Tc25559 \h 32
\l "_Tc30449" 【题型8 轴对称中的旋转】 PAGEREF _Tc30449 \h 37
\l "_Tc18225" 【题型9 轴对称中规律探究】 PAGEREF _Tc18225 \h 42
\l "_Tc21111" 【题型10 等边三角形的十字结合模型】 PAGEREF _Tc21111 \h 46
【题型1 利用轴对称的性质求解】
【例1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB=7cm，AC=9cm，BC=12cm，则△DBE的周长为 cm．
【答案】10
【分析】根据轴对称的性质可得AD=DE，AC=CE=9cm，进而得出BE=BC−CE=3cm，再根据三角形的周长公式，即可求解．
【详解】解：∵点A与点E关于直线CD对称，
∴AD=DE，AC=CE=9cm，
∵BC=12cm，
∴BE=BC−CE=12−9=3cm，
∵AB=7cm，AC=9cm，BC=12cm，
∴△DBE的周长=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BE=7+3=10(cm)．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握成轴对称的图象对应边相等，对应角相等．
【变式1-1】（2023春·江西九江·八年级统考期末）已知△ABC中∠B是钝角，以AC所在直线为对称轴作△ADC，若∠BAD+∠BCD=100°，则∠B的度数为 ．
【答案】130°
【分析】根据轴对称的性质可得∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，从而得到∴∠BAC+∠BCA=50°，再根据三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意画出图如图所示：
，
∵ △ABC和△ADC关于AC成轴对称，
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∵ ∠BAD+∠BCD=100°，
∴∠BAC+∠BCA=12∠BAD+∠BCD=50°，
∵∠BAC+∠BCA+∠B=180°，
∴∠B=130°，
故答案为：130°．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质，三角形内角和定理，是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·山东潍坊·八年级统考期中）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB=40°，则∠MPN的度数是 ．
【答案】100°
【分析】首先求出∠P1+∠P2=40°证明∠PNM=∠P2+∠NPP2=2∠P2，∠PMN=∠P1+∠MPP1=2∠P1，推出∠PNM+∠PMN=2（∠P1+∠P2）=80°，可得结论．
【详解】解：∵P点关于OB的对称点是P1，P点关于OA的对称点是P2，
∴PM=P1M，PN=P2N，∠P2=∠P2PN，∠P1=∠P1PM，
∵∠AOB=40°，
∴∠P2PP1=140°，
∴∠P1+∠P2=40°，
∴∠PNM=∠P2+∠NPP2=2∠P2，∠PMN=∠P1+∠MPP1=2∠P1，
∴∠PMN+∠PNM=2×40°=80°，
∴∠MPN=180°−（∠PMN+∠PNM）=180°−80°=100°，
故答案为：100°．
【点睛】本题考查轴对称，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，将△ABC纸片沿DM折叠，使点C落在点C'的位置，其中点D为AC边上一定点，点M为BC边上一动点，点M与B，C不重合．
（1）若∠A＝84°，∠B＝61°，则∠C'＝ °；
（2）如图1，当点C'落在四边形ABMD内时，设∠BMC'＝∠1，∠ADC'＝∠2，探索∠C'与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由；
（3）在点M运动过程中，折叠图形，若∠C'＝35°，∠BMC'＝53°，求∠ADC'的度数．
【答案】（1）35 （2）2∠C′＝∠1＋∠2，理由见解析 （3）17°或123°
【分析】（1）由三角形的内角和定理求出∠C，再由折叠性质得∠C'＝∠C即可解答；
（2）由三角形的内角和定理得出∠CDM+∠CMD=180º﹣∠C，由折叠性质得∠C′DM=∠CDM，∠C′MD=∠CMD，推出∠1+∠2=360º-2（∠CDM+∠CMD）即可找出角之间的关系；
（3）根据题意，分点C′落在三角形ABC内和外讨论，类比（2）中方法求解即可．
【详解】（1）在△ABC中，∠A=84º，∠B=61º，
由∠A+∠B+∠C=180º得：∠C=180º-84º-61º=35º，
由折叠性质得：∠C′=∠C=35º，
故答案为：35；
（2）在△CDM中，∠CDM+∠CMD+∠C=180º，即∠CDM+∠CMD=180º﹣∠C，
由折叠性质得：∠C′DM=∠CDM，∠C′MD=∠CMD，
∵∠1+∠C′MD+∠CMD=180º，
∠2+∠C′DM+∠CDM=180º，
∴∠1+∠2=360º﹣2（∠CDM+∠CMD）=2∠C，
∴∠1+∠2=2∠C′；
（3）设∠BMC'＝∠1=53º，∠ADC'＝∠2，
当点C′落在△ABC的内部时，由（2）知，∠2=2C′-∠1=2×35º-53º=17º；
当点C′落在如图1位置时，同（2）中方法由∠1+∠2=2∠C′，∴∠2==17º；
当点C′落在如图2位置时，在△CDM中，∠CDM+∠CMD=180º﹣∠C，
由折叠性质得：∠C′DM=∠CDM，∠C′MD=∠CMD，
∵∠1+∠C′MD+∠CMD=180º，
∠C′DM+∠CDM﹣∠2=180º，
∴∠1﹣∠2=360º﹣2（∠CDM+∠CMD）=2∠C，
∴∠1﹣∠2=2∠C′，
∴∠2=∠1﹣2∠C′=53º-70º=﹣17º（舍去）；
当点C′落在如图3位置时，
∵∠C′MD+∠CMD﹣∠1=180º，
∠C′DM+∠CDM+∠2=180º，
∴∠2﹣∠1=360º﹣2（∠CDM+∠CMD）=2∠C，
∴∠2﹣∠1=2∠C′，
∴∠2=2∠C′+∠1=70º+53º=123º，
综上，∠ADC'的度数为17º或123º．
【题型2 轴对称中的光线反射】
【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）光线以如图所示的角度α照射到平面镜工上，然后在平面镜I，Ⅱ之间来回反射．若∠α=50°，∠β=60°，则∠γ等于 ( )
A．80°B．70°C．60°D．50°
【答案】B
【分析】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角将已知转化到三角形中，利用三角形的内角和是180°求解．
【详解】解：如图：
由反射规律可知：∠α=∠1，∠γ=∠3，∠2=180°−2∠β，
又∵∠1+∠2+∠3=180°
∴180°−2∠β+∠α+∠γ=180°，
∴2∠β=∠α+∠γ
即2×60°=50°+∠γ
∴∠γ=120°−50°=70°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角是解题关键，注意隐含的180°的关系的使用．
【变式2-1】（2023·八年级单元测试）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线NO垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同．
如图2，长方型球桌ABCD上有两个球P，Q．请你尝试解决台球碰撞问题：
(1)请你设计一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反射后，撞到球Q．在图2中画出，并说明做法的合理性．
(2)请你设计一路径，使得球P连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球Q，在图3中画出一种路径即可．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作点P关于AB的对称点P'，连接QP'交AB于T，线路P→T→Q即为所求．
（2）作点P关于AD的对称点P'，作点Q关于BC的对称点Q'，作点Q'关于CD的对称点Q″，连接P'Q″交AD于E，交DC于F，连接FQ'交BC于点G，P→E→F→G→Q即为所求．
【详解】（1）解：如图2中，作点P关于AB的对称点P'，连接QP'交AB于T，线路P→T→Q即为所求，
原理：∵点P'和点P关于AB对称，
∴∠P'TA=∠PTA，
∵∠P'TA=∠BTQ，
∴∠PTA=∠BTQ；
（2）如图3中，
作点P关于AD的对称点P'，作点Q关于BC的对称点Q'，作点Q'关于CD的对称点Q″，连接P'Q″交AD于E，交DC于F，连接FQ'交BC于点G，P→E→F→G→Q即为所求．
【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题．
【变式2-2】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图1，直线l垂直BC于点B，∠ACB=90°，点D为BC中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E，且有∠EDB=∠ADC．
(1)求证：BE=AC；
(2)如图2，连接AB交DE于点F，连接FC交AD于点H，AC=BC，求证：CF⊥AD；
(3)如图3，在（2）的条件下，点P是AB边上的动点，连接PC，PD，SΔACD=5，CH=2，请问PC+PD是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值，无需证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)存在，5
【分析】（1）由ASA可证△BDE≌△CDA，可得BE=AC；
（2）由SAS可证△CBF≌△EBF，可得∠BED=∠DAC=∠BCF，由余角的性质可得结论；
（3）由SAS可证△EBP≌△CBP，可得PE=PC，则当点E，点P，点D三点共线时，PE+PD有最小值，即PC+PD有最小值为DE的长，由面积法可以求解．
【详解】（1）∵直线l垂直BC于点B，∠ACB=90°，点D是BC的中点，
∴BD=CD，∠EBD=∠ACB=90°，
在△BDE和△CDA中，
∠EDB=∠ADCBD=CD∠EBC=∠ACD=90°，
∴△BDE≌△CDAAAS，
∴BE=AC；
（2）∵AC=BC，BE=AC，
∴BE=BC，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∵∠EBC=90°，
∴∠EBA=∠ABC=45°，
又∵BF=BF，
∴△CBF≌△EBF，
∴∠BED=∠BCF，
∵△BDE≌△CDA，
∴∠BED=∠DAC=∠BCF，
∵∠DAC+∠ADC=90°=∠BCF+∠ADC，
∴∠CHD=90°，
∴CF⊥AD；
（3）存在；
在△EBP和△CBP中，
EB=BC∠EBA=∠CBAEP=BP，
∴△EBP≌△CBP，
∴PE=PC，
∴PC+PD=PE+PD，
∴当点E，点P，点D三点共线时，PE+PD有最小值，即PC+PD有最小值为DE的长，
∵△BDE≌△CDA，
∴ED=AD，
∵BD=CD，
∵S△ACD=5，
∴12×AD×CH=5，
∴AD=5×2×12=5．
∴PC+PD的最小值为5．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·上海·八年级专题练习）如图所示，已知边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3，且1＜BP3＜32（反射角等于入射角），则P1C的取值范围是 ．
【答案】1
1＜BP3＜32，即可求出P1C长的取值范围．
【详解】解：∵反射角等于入射角，
∴∠P0P1C＝∠P2P1A＝∠P2P3B，
又∵∠C＝∠A＝∠B＝60°，
∴△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，
∴P0CP1C＝P2AP1A＝P2BP3B，
设P1C＝x，P2A＝y，则P1A＝2﹣x，P2B＝2﹣y．
∴1x＝y2−x＝2−yP3B，
∴xy=2−x2x−xy=P3B，
∴x＝13（2+P3B）．
又∵1＜BP3＜32，
∴1＜x＜76，
即P1C长的取值范围是：1＜P1C＜76．
故答案为：1＜P1C<76．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质找出对应点是解此题的关键，难度较大．
【题型3 等腰三角形中分类讨论】
【例3】（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，△ABC中，∠ACB>120°，∠B=20°，D为AB边上一点（不与A、B重合），将△BCD沿CD翻折得到△CDE，CE交AB于点F．若△DEF为等腰三角形，则∠BCD为（ ）
A．30°B．30°或60°C．50°D．30°或50°
【答案】B
【分析】分两种情况进行讨论，当EF=ED时，根据折叠的性质可知∠BCD=∠ECD，设∠BCD=∠ECD=x，根据等腰三角形的性质可得∠EFD=∠EDF=80°，则x+x+20°=80°，解出x即可；当EF=DF时， 根据折叠的性质可知∠BCD=∠ECD，设∠BCD=∠ECD=y，根据等腰三角形的性质可得∠E=∠FDE=20°，则∠EFD=140°，则y+y+20°=140°，解出y即可．
【详解】解：当EF=ED时，
根据折叠的性质可知∠BCD=∠ECD，
设∠BCD=∠ECD=x，
∵∠B=20°，
∴∠FDC=x+20°，
∵△DEF为等腰三角形，EF=ED，
∴∠EFD=∠EDF=80°，
∵∠ECD+∠FDC=∠EFD，
∴x+x+20°=80°，
解得x=30°，
当EF=DF时，
根据折叠的性质可知∠BCD=∠ECD，
设∠BCD=∠ECD=y，
∵∠B=20°，
∴∠FDC=y+20°，
∵△DEF为等腰三角形，EF=DF，
∴∠E=∠FDE=20°，
∴∠EFD=140°，
∵∠ECD+∠FDC=∠EFD，
∴y+y+20°=140°，
解得y=60°，
综上所述，∠BCD的度数为30°或60°，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质，利用外角的性质将角与角建立联系列出方程是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则它的底角为（ ）
A．35°B．55°C．55°或35°D．70°或35°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，注意分类讨论思想的运用．
【详解】解：①∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠A=70°，
∴∠ABC=∠C=180°−70°÷2=55°；
②∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=20°+90°=110°
∴∠ABC=∠C=180°−110°÷2=35°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键．
【变式3-2】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，△ABC中∠ABC=40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB= ．
【答案】20°或40°或70°或100°
【分析】画出图形，分四种情况分别求解．
【详解】解：若AB=AD，
则∠ADB=∠ABC=40°；
若AD=BD，
则∠DAB=∠DBA=40°，
∴∠ADB=180°−2×40°=100°；
若AB=BD，且三角形是锐角三角形，
则∠ADB=∠BAD=12180°−∠ABC=70°；
若AB=BD，且三角形是钝角三角形，
则∠BAD=∠BDA=12∠ABC=20°．
综上：∠ADB的度数为20°或40°或70°或100°，
故答案为：20°或40°或70°或100°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是找齐所有情况，分类讨论．
【变式3-3】（2023春·山西运城·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，△AFD和△ABD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG，当△DFG为等腰三角形时，∠FDG的度数为 ．
【答案】50°或65°或80°
【分析】先由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，再证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；再分三种情况求解：当GD=GF、DF=GF、DF=DG．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=130°，
∴∠B=∠C=25°．
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B=∠AFD=25°，AB=AF，
∴AF=AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG．
在△AGF和△AGC中，
AF=AC∠FAG=∠CAGAG=AG，
∴△AGF≌△AGC(SAS)，
∴∠AFG=∠C．
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C=25°+25°=50°．
①当GD=GF时，
∴∠FDG=∠GFD=50°．
②当DF=GF时，
∴∠FDG=∠FGD．
∵∠DFG=50°，
∴∠FDG=∠FGD=65°．
③当DF=DG时，
∴∠DFG=∠DGF=50°，
∴∠FDG=80°，
故答案为：50°或65°或80°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，分类讨论是解答本题的关键．
【题型4 双垂直平分线求角度与周长】
【例4】（2023春·广西桂林·八年级统考期末）如图所示，点E、F是∠BAC的边AB上的两点，线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，连接DE、DF，若∠CDF=α，则∠EDF的度数为（ ）
A．αB．4α3C．180°−2α3D．180°−4α3
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理计算判断即可．
【详解】∵线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，
∴DE=DF,AE=DE，
∴∠DFE=∠DEF,∠EAD=∠EDA，
∵∠DEF=∠EAD+∠EDA,∠CDF=∠EAD+∠DFA，
∴∠EAD=12∠DEF=12∠DFA，
∴∠CDF=12∠DFA+∠DFA=32∠DFA，
∴∠DFA=23∠CDF=23α，
∴∠EDF=180°−2∠DFA=180°−43α，
故选D．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于（ ）
A．6B．7C．8 D．12
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=EC，进而可得AD+ED+AE=BD+DE+EC，从而可得答案．
【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC于D，
∴AD=BD，
∵AC的垂直平分线交BC于E，
∴AE=EC，
∵BC=8，
∴BD+CE+DE=8，
∴AD+AE+DE=8，
∴△ADE的周长为8，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【变式4-2】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（ ）
A．αB．14α+90°C．12α+90°D．180°−12α
【答案】B
【分析】连接CO并延长，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，根据三角形的外角性质计算，得到∠AOB=12(∠OCA+∠OCB)=α．根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA=180°−∠AIB，根据角平分线的定义得到∠IAB+∠IBA=90°−α4，求出∠AIB．
【详解】解：连接CO并延长，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC，OB=OC，
∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA，
同理，∠BOD=2∠OCB，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=α，
∴∠OCA+∠OCB=α2，
∴∠ACB=α2，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，
∴∠IAB+∠IBA=12(∠CAB+∠CBA)=12(180°−∠ACB)=90°−α4，
∴∠AIB=180°−(∠IAB+∠IBA)=90°+α4，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为 ．
【答案】6cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB，EA=EC，OA=OB=OC，从而可求出BC=11cm，然后根据△OBC的周长为23cm，即可求出OB的长，即可解答．
【详解】解：∵OM是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，OA=OB，
∵ON是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，OA=OC，
∴OB=OC，
∵△ADE的周长为11cm，
∴AD+DE+AE=11cm，
∴BD+DE+CE=11cm，
∴BC=11cm，
∵△OBC的周长为23cm，
∴OB+OC=23−11=12cm，
∴OB=OC=6cm，
∴OA=OC=6cm，
故答案为：6cm．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】
【例5】（2023春·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有以下结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【答案】B
【分析】①由角平分线的性质即可证明；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，可得DE=12AD，DF=12AD，从而可以证明；③假设DM平分∠ADF，则∠ADM=∠FDM=30°，可推出∠ABC=∠E=90°，条件不足，故错误；④连接BD、CD，证明Rt△BED≌Rt△CFD，Rt△BED≌Rt△CFD，得出BE=CF，AE=AF，即可证明AB+AC=2AE．
【详解】如图所示，连接BD、CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED=DF．
故①正确；
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD=30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∴DE=12AD．
同理DF=12AD，
∴DE+DF=AD．
故②正确；
∵∠EAD=∠FAD=30°，∠AED=∠AFD=90°
∴∠ADE=∠ADF=60°．
假设DM平分∠ADF，则∠ADM=∠FDM=30°，
∴∠EDM=∠ADE+∠ADM=90°．
∵DM⊥BC，
∴BC∥DE．
∴∠ABC=∠E=90°．
又∵∠ABC的度数是未知的，
∴不能判定DM平分∠ADF．
故③错误；
∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB=DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中，
DE=DFBD=CD，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)．
∴BE=CF．
在Rt△AED和Rt△AFD中，
DE=DFAD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)．
∴AE=AF，
∴AB+AC=AE−BE+AF+CF=2AE．
故④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,∠CAB的平分线交BC于点D,DE恰好是AB的垂直平分线，垂足为E．若AD=6，则DE的长为 ．
【答案】3
【分析】由角平分线性质定理，得DE=DC，所以Rt△ADE≌Rt△ADC(HL)，于是AC=AE，由线段垂直平分线定理，得AD=BD=6；由面积公式S△ABD=12AB⋅DE=12BD⋅AC，化简求解．
【详解】解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC．
∴Rt△ADE≌Rt△ADC(HL)
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，AD=BD=6．
∴AC=AE．
∵S△ABD=12AB⋅DE=12BD⋅AC，
∴2AE⋅DE=6×AC．
∴DE=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形全等的判定；运用面积公式寻求线段间的关系是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ACB的角平分线CF与BC的垂直平分线DE交于点O，连接OB．若∠ABO=20°，则∠ACB= ．
【答案】72°
【分析】由线段垂直平分线的性质可得∠OBC=∠OCB，由角平分线的定义可得∠ACF=∠OCB，再利用三角形的内角和定理可求得∠ACF的度数，进而可求解．
【详解】解：∵OE垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠OCB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+∠ABO+3∠ACF=180°，
∵∠A=52°，∠ABO=20°，
∴∠ACF=36°，
∴∠ACB=2∠ACF=72°．
故答案为：72°．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解∠ACF的度数是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为 ．
【答案】2
【分析】连接AD，CD，由“AAS”可证△BDM≅△BDN，可得BM=BN，由“HL”可证Rt△ADM≅Rt△CDN，可得AM=CN，即可求解．
【详解】解：连接AD，CD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
在△BDM和△BDN中，
∠DMB=∠DNB=90°∠ABD=∠DBCBD=BD，
∴△BDM≅△BDNAAS，
∴BM=BN，DM=DN，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
在Rt△ADM和Rt△CDN中，
AD=CDDM=DN，
∴Rt△ADM≅Rt△CDNHL，
∴AM=CN，
∵AB=3，BC=7，
∴BC−AB=BN+CN−BM−AM=2AM=4，
∴AM=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【题型6 轴对称图形中的面积问题】
【例6】（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分∠ABC，DH⊥BA，交BA的延长线于点H．
(1)若∠ADB=48°，求∠A的度数；
(2)若AB=5cm，△ABC与△ABD的周长之差为8cm，且△ADB的面积为10cm2，求△BDC的面积．
【答案】(1)∠A=108°
(2)△BDC的面积为16cm2
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABD=∠DBC，由线段垂直平分线的性质可得DB=DC，从而得到∠DBC=∠C=∠ABD，由三角形外角的性质可求出∠ABD=24°，最后由三角形内角和定理进行计算即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得BD=DC，DE⊥BC，由△ABC与△ABD的周长之差为8cm计算可得BC=8cm，由角平分线的性质可得DE=DH，由三角形的面积可求得DH=DE=2×105=4cm，最后由三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC．
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠C=∠ABD，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=2∠ABD=48°，
∴∠ABD=24°，
∴∠A=180°−∠ABD−∠ADB=180°−24°−48°=108°；
（2）解：∵DE垂直平分BC，
∴BD=DC，DE⊥BC，
∵△ABC与△ABD的周长之差为8cm，
∴AB+BC+AD+DC−AB+AD+BD=BC=8cm，
∵BD平分∠ABC，DH⊥BA，
∴DE=DH，
∵AB=5cm，△ADB的面积为10cm2，
∴12AB⋅DH=10，
∴DH=DE=2×105=4cm，
∴△BDC的面积=12BC⋅DE=12×8×4=16cm2，
答：△BDC的面积为16cm2．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的定义与性质、三角形内角和定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，∠B=∠C=90°，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．
(1)求证：AE是∠DAB的平分线；
(2)已知AE=4，DE=3，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）过点E作EF⊥DA于点F，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF，根据等量代换可得BE=EF，再根据角平分线的判定可得AE平分∠DAB；
（2）利用（1）的结论证明Rt△EFD≌Rt△ECDHL和Rt△EFA≌Rt△EBAHL，可推出∠DEA=90°，S四边形ABCD=2S△AED，再根据AE=4，DE=3，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠C=90°，DE平分∠ADC，
∴CE=EF，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴BE=EF，
又∵∠B=90°，EF⊥DA，
∴AE平分∠DAB．
（2）解：∵EF⊥DA，∠C=90°，
∴△EFD和△ECD都为Rt△，
又∵DE平分∠ADC，
∴EC=EF，
在Rt△EFD和Rt△ECD中，
ED=EDEC=EF，
∴Rt△EFD≌Rt△ECDHL，
∴S△EFD=S△ECD，∠CED=∠FED，
∵EF⊥DA，∠B=90°，
∴△EFA和△EBA都为Rt△，
又∵AE平分∠DAB，
∴EF=EB，
在Rt△EFA和Rt△EBA中，
EA=EAEF=EB，
∴Rt△EFA≌Rt△EBAHL，
∴S△EFA=S△EBA，∠FEA=∠BEA，
∴∠DEA=∠DEF+∠AEF=12∠CEF+∠BEF=12×180°=90°，
∵AE=4，DE=3，
∴S△AED=12AE⋅DE=12×4×3=6，
∴S四边形ABCD=S△EFD+S△ECD+S△EFA+S△EBA
=S△EFD+S△EFD+S△EFA+S△EFA
=2S△EFD+S△EFA
=2S△AED
=2×6
=12．
∴四边形ABCD的面积为12．
【点睛】本题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，利用等积法计算四边形的面积．解题的关键是掌握角平分线的性质和判定定理．
【变式6-2】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D、E分别是边AC、BC上的点，连接BD，AE交于点O．
(1)如图1，BD⊥AE，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点F，求证：AO=CF；
(2)如图2，点D是AC中点，连接DE，若∠ADB=∠CDE，求证：BD⊥AE；
(3)如图3，过点C作CF⊥AE于点F，延长FC至点G，使得∠GAC=∠FCE，点B、O、D、G在同一直线上，若CF=145，AF=465，直接写出△AOG的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)1385
【分析】（1）证明△BOA≌△AFCAAS，即可得结论；
（2）如图2中，过点C作CG⊥AC交DE的延长线于点G．证明△BAD≌△GCDASA，推出AB=GC，∠ABD=∠G，再证明△ACE≌△GCESAS，推出∠CAE=∠G，∠ABD=∠CAE，即可得结论；
（3）过点B作BH⊥AE于点H．证明FA=FG=465，再证明△BHA≌△AFCAAS，推出BH=AF，AH=CF=145，证明△BOH≌△GOFAAS，推出OH=OF=12AF−AH=165，即可得结论．
【详解】（1）证明：∵BD⊥AF，CF⊥AF，
∴∠AOB=∠F=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAF+∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠CAF，
在△BOA和△AFC中，∠AOB=∠F=90°∠ABO=∠CAFAB=CA，
∴△BOA≌△AFCAAS，
∴AO=CF．
（2）证明：如图，过点C作CG⊥AC交DE的延长线于点G，
∵D是AC的中点，
∴DA=DC，
在△BAD和△GCD中，∠BAD=∠GCD=90°AD=CD∠ADB=∠CDG，
∴△BAD≌△GCDASA，
∴AB=GC，∠ABD=∠G，
∵AB=AC，
∴CA=CG，
∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵∠GCD=90°，
∴∠ACE=∠GCE=45°，
在△ACE和△GCE中，CA=CG∠ACE=∠GCECE=CE，
∴△ACE≌△GCESAS，
∴∠CAE=∠G，
∴∠ABD=∠CAE，
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠CAE+∠ADB=90°，
∴∠AOD=90°，
∴BD⊥AE．
（3）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H，
∵∠ACF=∠ACB+∠FCE=∠GAC+∠AGC，∠GAC=∠FCE，
∴∠AGC=∠ACB=45°，
∵AF⊥FG，
∴∠FAG=∠AGF=45°，
∴AF=FG=465，
∵BH⊥AF，
∴∠BHA=∠F=90°，
∵∠ABH+∠BAH=90°，∠BAH+∠CAF=90°，
∴∠ABH=∠CAF，
在△BHA和△AFC中，∠BHA=∠F=90°∠ABH=∠CAFAB=CA，
∴△BHA≌△AFCAAS，
∴BH=AF，AH=CF=145，
∴BH=GF，
在△BOH和△GOF中，∠BOH=∠GOF∠BHO=∠F=90°BH=GF，
∴△BOH≌△GOFAAS，
∴OH=OF=12HF=12AF−AH=165，
∴AO=AH+OH=145+165=6，
∴S△AOG=12OA⋅GF=12×6×465=1385．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
【变式6-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，点P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，∠P1OP2= °，△OP1P2的面积最小值为 ．
【答案】 90 8
【分析】分点P在线段MN上，点M的左侧和点N的右侧，三种情况进行讨论，连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，先利用三角形的面积公式求出OH，再根据轴对称的性质可得∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，OP1=OP=OP2，从而可得∠P1OP2=90°，然后利用三角形的面积公式可得△OP1P2的面积为12OP2，根据垂线段最短可得当点P与点H重合时，OP取得最小值，△OP1P2的面积最小，由此即可得．
【详解】解：当点P在线段MN上，如图，连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，
∵S△OMN=12MN⋅OH=12，且MN=6，
∴OH=4，
∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，
∴∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，OP1=OP=OP2，
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2∠AOP+∠BOP=2∠AOB=90°，
∴△OP1P2的面积为12OP1⋅OP2=12OP2，
由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，OP取得最小值，最小值为OH=4，
∴△OP1P2的面积的最小值为12×42=8，
当点P在点M的左侧时，如图：连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，
同法可得：OH=4，
∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，
∴∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，OP1=OP=OP2，
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2∠BOP−∠AOP=2∠AOB=90°，
∴△OP1P2的面积为12OP1⋅OP2=12OP2，
由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，OP取得最小值，最小值为OH=4，
∴△OP1P2的面积的最小值为12×42=8，
当点P在点N的右侧时，如图：连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，
同法可得：∠P1OP2=2∠AOP−∠BOP=2∠AOB=90°，
△OP1P2的面积的最小值为12×42=8，
综上：∠P1OP2=90°，△OP1P2的面积的最小值为8；
故答案为：90，8．
【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
【题型7 轴对称中尺规作图与证明、计算的综合运用】
【例7】（2023春·河南郑州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点P，使得点P到点A和点B的距离相等；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(2)在（1）的条件下，若AC=2，CB=5，则△CAP的周长是___________．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线与BC的交点即为P点；
（2）根据AP=BP求出△CAP的周长等于AC+BC即可得解．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求；
（2）解：连接AP，
由（1）知AP=BP，
∴△CAP的周长为：AC+CP+AP=AC+CP+BP=AC+BC=2+5=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接AD．
(1)请用直尺和圆规完成基本作图：
作AD的垂直平分线EF交AD于点O，交AB于点E，交AC于点F，连接DE、DF；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：AE=DF．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵AB=AC，D为BC中点，
∴∠1=________．
∵EF为AD的垂直平分线，
∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF
又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°，
∠2+∠AOF+∠AFE=180°，
∴∠AEF=________．
∴AE=________，
∴AE=DF．
【答案】(1)见解析
(2)∠2，∠AFE，AF
【分析】（1）利用基本作图作AD的垂直平分线得到EF；
（2）先根据等腰三角形的性质得到∠1= ∠2，再根据线段垂直平分线的性质得到AF=DF，进而可得∠AEF= ∠AFE，根据等角对等边得到AE= AF，等量代换即可解题．
【详解】（1）解：直线EF，如图所示：
（2）证明：∵AB=AC，D为BC中点，
∴∠1= ∠2．
∵EF为AD的垂直平分线，
∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF．
又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°，
∠2+∠AOF+∠AFE=180°，
∴∠AEF= ∠AFE，
∴AE= AF．
∴AE=DF．
故答案为：∠2，∠AFE，AF
【点睛】本题考查垂直平分线的作图和性质，等角对等边，掌握基本作图和垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．
(1)求证：DB=DE；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段BE的中点F（不写作法，保留作图痕迹）；若AB=4，求CF的长．
【答案】(1)见解析
(2)作图见解析，CF=1
【分析】（1）证明∠DBC=∠E=30°，利用等角对等边即可得出结论．
（2）过点D作DF⊥BE于F即可，再根据等边三角形性质得出AC=AB=4，∠ACB=60°，再由BD是中线得CD=12AC=2，在Rt△DFC中，由∠CDF=90°−∠DCB=90°−60°=30°，即可得CF=12CD=1．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是中线，
∴∠DBC=12∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
又∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠CDE=∠E=12∠ACB=30°，
∴∠DBC=∠E，
∴DB=DE．
（2）解：如图所示．
由作图可知：DF⊥BE，，由（1）知，DB=DE，
∴DF垂直平分BE．即点F是BE的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，∠ACB=60°，
∵BD是中线，
∴CD=12AC=2，
∴在Rt△DFC中，∠CDF=90°−∠DCB=90°−60°=30°．
∴CF=12CD=1．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，尺规基本作图-经过直线外一点作直线的垂线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质．熟练掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）（1）尺规作图：过点A作直线l的垂线．
作法如下：
①以点A为圆心，a为半径作弧交直线l于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，a长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接AE（路径最短）；
i根据题意，利用直尺和圆规补全图形；
ii作图依据为______________
（2）画一画，想一想：如图，已知∠AOB．你能用手中的三角板作出∠AOB的角平分线吗？写出作法，并证明．
【答案】（1）作图见解析，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上；
（2）见解析
【分析】（1）按照要求直接作图，根据垂直平分线的性质可得答案；
（2）按照角平分线的作法作出图形，并用全等三角形的判定定理进行证明．
【详解】（1）如图所示，
连接AC,AD,CE,CD,
由作法得：AC=CE=AD=DE，
∴A，E在CD的垂直平分线上，
∴AE⊥CD
∴作图依据为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上．
故答案为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上．
（2）作法：①在OA、OB上，利用刻度尺截取OC=OD，
②利用三角板的直角作CD⊥OB,DF⊥OA交于点P，
③作射线OP，
则OP为∠AOB的角平分线．
证明：∵CD⊥OB,DF⊥OA
∴∠OCP=∠ODP=90°
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
OP=OPOC=OD，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP
∴∠POC=∠POD
即OP为∠AOB的角平分线．
【点睛】本题考查基本作图——垂线和角平分线，解题的关键是熟练掌握垂直平分线和角平分线的性质．
【题型8 轴对称中的旋转】
【例8】（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段A−B−C中，BC可绕点B旋转，AB=6，BC=2，线段AB上有一动点P，将线段AB分成两部分，旋转BC，PA，当三条线段BC，BP，PA首尾顺次相连构成等腰三角形时，BP的长为（ ）
A．3B．2或3C．2或4D．2或3或4
【答案】A
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形的三边关系可求解．
【详解】解：当AP=BP时，
∵AP+BP=6，
∴BP=3，
当AP=BC=2时，则BP=4，
∵2+2=4，
∴三条线段BC，BP，PA不能构成三角形，
当BP=BC=2时，则AP=4，
∵2+2=4，
∴三条线段BC，BP，PA不能构成三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转.如图②，当∠CAE=15°时，此时BC∥DE.继续旋转三角尺ABC，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE（0°<∠CAE<180°）其他所有可能符合条件的度数为
【答案】15°、60°、105°或135°
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到的度数，再找到关于点中心对称的情况即可求解．
【详解】解：如图②，当BC//DE 时，
∠CAE=45°−30°=15°；
如图所示，当AE//BC时，
∠CAE=90°−30°=60°；
如图所示，当DE//AB （或AD//BC）时，
∠CAE=45°+60°=105°；
如图所示，当DE//AC时，
∠CAE=45°+90°=135°．
故答案为：15°、60°、105°或135°．
【点睛】本题主要考查的是平行线的判定和性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角形的性质求解是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针方向旋转40°得到△A'BC'，点A'恰好落在AC上，连接CC'，则∠ACC'度数为（ ）
A．110°B．105°C．100°D．95°
【答案】A
【分析】由旋转知∠ABA'=∠CBC'=40°，BA=BA'，BC=BC'，由等边对等角及三角形内角和定理可求∠BAA'=70°，∠BCC'=70°，∠CAB=∠CBA=70°，∠ACB=40°，从而求得∠ACC'=∠ACB+∠BCC'=110°．
【详解】解：由旋转知，∠ABA'=∠CBC'=40°，BA=BA'，BC=BC'，
∴∠BAA'=∠BA'A，∠BCC'=∠BC'C，
∴∠BAA'=12(180°−∠ABA')=70°，∠BCC'=12(180°−∠CBC')=70°，
∵△ABC中，AC=BC
∴∠CAB=∠CBA=70°，
∴∠ACB=180°−∠CAB−∠CBA=40°，
∴∠ACC'=∠ACB+∠BCC'=40°+70°=110°．
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形等边对等角，三角形内角和定理，由定理得到角之间数量关系是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC和CB的延长线于E，F，当点E在AC延长线上时，S△DEF，S△CEF，S△ABC的关系为（ ）
A．S△DEF−S△CEF=12S△ABCB．S△DEF−S△CEF=S△ABC
C．S△DEF+S△CEF=2S△ABCD．S△ABC+S△CEF=S△DEF
【答案】A
【分析】连接CD，证明△CDE≌△BDF（ASA），由全等三角形的性质得出S△CDE=S△BDF，则可得出结论．
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，
∴∠ABC=45°，∠ACD=12∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=AD=BD，
∴∠DCE=∠DBF，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
∠CDE=∠BDFCD=BD∠DCE=∠DBF
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S△CDE=S△BDF，
∴S△DEF=S△CFE+S△DBC，
=S△CFE+12S△ABC，
∴S△DEF-S△CFE=12S△ABC．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键．
【题型9 轴对称中规律探究】
【例9】（2023春·宁夏中卫·八年级统考期末）如图在△ABC中，AB=AC，DN⊥AB分别交AB，AC于点D，N，交BC的延长线于点M．
(1)若∠A=50°，求∠NMB的大小；
(2)如果将（1）中的∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；
(3)分析（1），（2）两问，你认为存在什么样的规律？试用文字概括；
(4)将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？说明理由．
【答案】(1)25°
(2)40°
(3)当∠A为锐角时，∠NMB=12∠A．
(4)需要加以修改，需改为：当∠A为顿角时，∠NMB=180°−12∠A，理由见解析
【分析】（1）根据等边对等角结合三角形内角和定理，即可求出∠B=∠ACB=65°，再根据DN⊥AB，即可求出∠NMB=90°−∠B=25°；
（2）同理即可求∠NMB=90°−∠B=40°；
（3）设∠A=α(0°<α<90°)，根据等边对等角结合三角形内角和定理，即可求出∠B=∠ACB=90°−12α．再根据DN⊥AB，即可得出∠NMB=90°−∠B=12α，即∠NMB=12∠A；
（4）画出图形，设∠A=β，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理同样可求出∠B=∠ACB=90°−12β，再根据DN⊥AB结合三角形外角性质即可求出∠NMB=∠D+∠B=180°−12β，即∠NMB=180°−12∠A．
【详解】（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=12(180°−∠A)=65°．
∵DN⊥AB，
∴∠NMB=90°−∠B=90°−65°=25°；
（2）同理可得∠B=∠ACB=12(180°−∠A)=50°，
∴∠NMB=90°−∠B=90°−50°=40°；
（3）当∠A为锐角时，∠NMB=12∠A．
设∠A=α(0°<α<90°)，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=12(180°−α)=90°−12α．
∵DN⊥AB，
∴∠NMB=90°−∠B=90°−(90°−12α)=12α．
故∠NMB=12∠A；
（4）需要加以修改，需改为：当∠A为顿角时，∠NMB=180°−12∠A，
理由：如图，
设∠A=β(90°<β<180°)，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=12(180°−β)=90°−12β．
∵DN⊥AB，
∴∠D=90°．
∴∠NMB=∠D+∠B=90°+90°−12β=180°−12β，即∠NMB=180°−12∠A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
【变式9-1】（2023·北京·八年级专题练习）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=a，则∠A2020B2020O=（ ）
A．a22020B．a22019C．4040aD．4038a
【答案】B
【分析】根据等腰三角形两底角相等结合三角形外角性质用α表示出∠A2B2O，依此类推即可得到结论．
【详解】解：∵B1A2=B1B2，∠A1B1O=α，
∴∠A2B2O=12∠A1B1O=12α，
同理∠A3B3O=12∠A2B2O=12×12α=122α，
∴∠A4B4O=123α，
∴∠AnBnO=12n−1α，
∴∠A2020B2020O=α22019，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，和三角形外角性质,图形的变化规律，依次求出每个三角形的一个底角，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·八年级单元测试）观察规律并填空：，, ,
【答案】
【详解】分析：根据已知得出是连续的偶数且每两个数组成轴对称图形进而得出答案．
详解：由题意得出：
数据是连续的偶数且每两个数组成轴对称图形，故空格处应该是．
故答案为．
点睛：此题主要考查了轴对称图形的性质，根据题意得出数组变化规律是解题关键．
【变式9-3】（2023春·云南大理·八年级统考期末）同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？
（1）如图（1），已知∠AOB，请你画出它的角平分线OC，并填空：因为OC是∠AOB的平分线，所以∠______=∠______=12∠AOB
（2）如图（2），已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，请你画出射线OB，射线OC一定平分∠AOB．
理由如下：因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC=∠_______，所以射线_________是∠_________的角平分线．
拓展应用
（3）如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为OE，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在OC上的D处并且使OD过点C，折痕为OF．直接利用（2）的结论；
①若∠AOE=30°，求∠EOF的度数．（写出计算说理过程）
②若∠AOE=m°，求∠EOF的度数，从计算中你发现了∠EOF的度数有什么规律？（写出计算说理过程）
【答案】（1）∠AOC，∠BOC；（2）∠AOC，OC，∠AOB；（3）①90°，过程见解析，②90°，∠EOF始终是90°，过程见解析．
【分析】(1)根据角的平分线的定义解答即可；
(2)根据折叠的意义解答即可；
(3)①根据折叠的意义，平角的定义，角平分线的定义解答即可；②根据计算探究规律．
【详解】解：（1）如图(1)，根据角的平分线的定义，知∠AOC＝∠BOC，
故答案为：∠AOC，∠BOC；
（2）如图(2)，∠BOC=∠AOC，所以射线OC_是∠AOB的角平分线，
故答案为：∠AOC，OC，∠AOB；
（1）（2）（3）
（3）①由（2）“翻折”结论得
∠EOC=∠AOE=30°，∠DOF=∠BOF=12∠BOD，
而∠BOD=180°−∠AOC=180°−(∠AOE+∠EOC)
=180°−2×30°=120°，
所以∠DOF=∠BOF=12∠BOD=12×120°=60°，
所以∠EOF=∠EOC+DOF=30°+60°=90°；
②当∠AOE=m°时，同理可得，∠EOC=∠AOE=m°，
∠DOF=∠BOF=12∠BOD=12180°−2m°=90°−m°，
所以∠EOF=∠EOC+DOF=m°+90°−m°=90°，
综上所述，发现∠EOF始终是90°．
【点睛】本题考查了角的平分线，角的平分线的基本作图，折叠的意义，折叠的应用，熟练掌握角的平分线的意义和折叠的意义是解题的关键．
【题型10 等边三角形的十字结合模型】
【例10】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，，为的角平分线，点在的延长线上，连接、，，①；②；③；④；其中说法正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】先证明，得到，可判断①；过点H作交延长线于N，作于M，由角平分线的性质得，可证明，推出是等边三角形，再证明，，可判断④；根据角之间的关系得出，即，可判断③；在上截取，证明，得出，根据线段的和差，可判断②．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在和△CAE中，，
∴，
∴，故①正确；
过点H作交延长线于N，作于M，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，④正确；
∵，，
∴，
∴，③错误；
在上截取，
∵，
∴是等边三角形，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确，
∴正确的有：①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，角平分线的性质定理，涉及三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
【变式10-1】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，△ABD是等边三角形，P是∠BAC平分线上一动点连接PC、PD，则PC＋PD的最小值为 ．
【答案】20
【分析】连接BP，根据等腰三角形的性质可证AP垂直平分BC，即可得到CP=BP，再根据当B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，即可得出PD+PC的最小值为20．
【详解】解：如图，连接BP，
∵点P是∠BAC的角平分线上一动点，AB=AC，
∴AP垂直平分BC，
∴CP=BP，
∴PD+PC=PD+PB，
∴当B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，
又∵△ABD是等边三角形，AB=BD=20，
∴PD+PC的最小值为20，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【变式10-2】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期中）如图，等边三角形△ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，且EC=BD，AD，BE相交于点P．
(1)不添加辅助线，请在图中找出与BE相等的线段，并证明．
(2)若BQ⊥AD于Q，AD=7，PE=1，求PQ的长．
【答案】(1)AD=BE；证明见解析
(2)PQ=3
【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△CAD即可；
（2）根据三角形全等的性质得出∠ABE=∠CAD，BE=AD=7，求出BP=BE−PE=6，证明∠BPD=∠ABE+∠BAD=60°，根据BQ⊥AD，求出∠PBQ=90°−∠BPD=30°，根据直角三角形的性质得出PQ=12BP=3．
【详解】（1）解：AD=BE；理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵EC=BD，
∴AC−EC=BC−BD，
即AE=CD，
在△ABE和△CAD中，AB=CA∠BAC=∠CAE=CD，
∴△ABE≌△CADSAS，
∴AD=BE；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，BE=AD=7，
∵PE=1，
∴BP=BE−PE=6，
∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BAD+∠ABE=60°，
∴∠BPD=∠ABE+∠BAD=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=90°−∠BPD=30°，
∴PQ=12BP=3．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法证明△ABE≌△CAD．
【变式10-3】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期中）如图，等边三角形△ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，且EC=BD，AD，BE相交于点P．
(1)不添加辅助线，请在图中找出与BE相等的线段，并证明．
(2)若BQ⊥AD于Q，AD=7，PE=1，求PQ的长．
【答案】(1)AD=BE；证明见解析
(2)PQ=3
【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△CAD即可；
（2）根据三角形全等的性质得出∠ABE=∠CAD，BE=AD=7，求出BP=BE−PE=6，证明∠BPD=∠ABE+∠BAD=60°，根据BQ⊥AD，求出∠PBQ=90°−∠BPD=30°，根据直角三角形的性质得出PQ=12BP=3．
【详解】（1）解：AD=BE；理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵EC=BD，
∴AC−EC=BC−BD，
即AE=CD，
在△ABE和△CAD中，AB=CA∠BAC=∠CAE=CD，
∴△ABE≌△CADSAS，
∴AD=BE；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，BE=AD=7，
∵PE=1，
∴BP=BE−PE=6，
∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BAD+∠ABE=60°，
∴∠BPD=∠ABE+∠BAD=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=90°−∠BPD=30°，
∴PQ=12BP=3．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法证明△ABE≌△CAD．
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