初中数学人教版（2024）八年级上册14.1.4 整式的乘法综合训练题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册14.1.4 整式的乘法综合训练题，共38页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19909" 【题型1 幂的基本运算】 PAGEREF _Tc19909 \h 1
\l "_Tc17174" 【题型2 利用幂的运算进行比较大小】 PAGEREF _Tc17174 \h 1
\l "_Tc7269" 【题型3 利用幂的运算进行简便计算】 PAGEREF _Tc7269 \h 2
\l "_Tc24483" 【题型4 幂的运算中的新定义问题】 PAGEREF _Tc24483 \h 3
\l "_Tc30619" 【题型5 整式乘除的计算与化简】 PAGEREF _Tc30619 \h 4
\l "_Tc23819" 【题型6 整式混合运算的应用】 PAGEREF _Tc23819 \h 4
\l "_Tc27996" 【题型7 因式分解（提公因式与公式法综合）】 PAGEREF _Tc27996 \h 6
\l "_Tc24695" 【题型8 因式分解（十字相乘法）】 PAGEREF _Tc24695 \h 6
\l "_Tc10543" 【题型9 因式分解（分组分解法）】 PAGEREF _Tc10543 \h 7
\l "_Tc32355" 【题型10 利用因式分解求值】 PAGEREF _Tc32355 \h 8
【题型1 幂的基本运算】
【例1】（2023春·浙江·八年级期中）我们知道下面的结论：若am=an（a>0，且a≠1），则m=n．利用这个结论解决下列问题：设3m=2，3n=6，3p=18．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p=2n，②3m+n=4p−6，③p2−n2−2m=3．其中正确的序号有
【变式1-1】（2023春·河北沧州·八年级校考期中）若n为正整数．且a2n=4，则2a3n2−4a22n的值为（ ）
A．4B．16C．64D．192
【变式1-2】（2023春·江苏南京·八年级统考期中）已知5a=4，5b=6，5c=9，则a，b，c之间满足的等量关系是 ．
【变式1-3】（2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第二十一中学校考期中）按要求完成下列各小题
(1)若x2=2，求3x2−4x32的值；
(2)若m−n=1，求3m×9n÷27m的值；
(3)若xm⋅x2n+1=x11，ym−1÷yn=y6，求2m+n的值．
【题型2 利用幂的运算进行比较大小】
【例2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）比较大小：8131 2741．（填>、<或=）
【变式2-1】（2023春·江苏·八年级期末）若a3=2，b5=3，比较a，b大小关系的方法：因为a15=a35=25=32，b15=b53=33=27，32>27，所以a15>b15，所以a>b．已知x5=2，y7=3，则x，y的大小关系是x y（填“<”或“>”）．
【变式2-2】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
①比较2a，2b的大小：当a>b时，2a>2b，所以当同底数时，指数越大，值越大；
②比较340和260的大小：因为340=3220=920，260=2320=820，9>8所以340>260．
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)比较大小：320__________915（填“>”或“<”）
(2)已知a=344，b=433，c=522，试比较a，b，c的大小．
【变式2-3】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：520______420，961______2741；（填“>”、“<”或“=”）
(2)比较233与322的大小；
(3)比较312×510与310×512的大小．
【题型3 利用幂的运算进行简便计算】
【例3】（2023秋·湖北荆州·八年级沙市一中校考期中）计算：−0.1255×−216=（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【变式3-1】（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）计算310×194的值为（ ）
A．9B．19C．3D．1310
【变式3-2】（2023春·贵州六盘水·八年级统考期中）计算−0.1252020×26060×−0.1252021×26063的结果是 ．
【变式3-3】（2023春·江苏扬州·八年级统考期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：45×(−0.25)5；
解：原式=(−4×0.25)5=(−1)5=−1
(1)计算：
①82022×(−0.125)2022；
②(125)11×(56)13×(12)12；
(2)若3×9n×81n=325，请求出n的值．
【题型4 幂的运算中的新定义问题】
【例4】（2023春·江西抚州·八年级统考期末）对于整数a、b，我们定义：a▲b=10a×10b，a△b=10a÷10b．例如：5▲3=105×103=108，5△3=105÷103=102．
(1)求2▲1−6△3的值；
(2)若x▲3=5△1，求x的值．
【变式4-1】（2023秋·山东临沂·八年级统考期中）定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2=−1，那么这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：(2+i)+(3−5i)=(2+3)+(1−5)i=5−4i．
根据以上信息，下列各式：
①i3=−i；
②i4=1；
③1+i+3−4i=4−3i
④i+i2+i3+i4+⋯+i2019=−1．
其中正确的是 （填上所有正确答案的序号）．
【变式4-2】（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）对于整数a、b定义运算：a※b=(ab)m+(ba)n(其中m、n为常数)，如3※2=(32)m+(23)n．
(1)填空：当m=1，n=2023时，2※−1= ______ ；
(2)若−1※4=10，2※−2=23，求42m+n−1的值．
【变式4-3】（2023秋·北京海淀·八年级校考期中）在学习平方根的过程中，同学们总结出：在ax=N中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算．小明提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．
小明课后借助网络查到了对数的定义：
如果N=ax（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（lgarithm），记作：x=lgaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：
(1)∵21=2,∴lg22=1；
∵22=4,∴lg24=2；
∵23=8,∴lg28=3；
∵24=16,∴lg216=__________；
计算：lg232=__________；
(2)计算后小明观黎（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，
例如：lg24+lg28=__________；（用对数表示结果）
(3)于是他猜想：lgaM+lgaN=__________（a>0且a≠1，M>0，N>0）．请你将小明的探究过程补充完整，并证明他的猜想．
(4)根据之前的探究，直接写出lgaM−lgaN=__________．
【题型5 整式乘除的计算与化简】
【例5】（2023秋·上海金山·八年级校联考期末）已知： a+b=32，ab=1，化简a−2b−2的结果是 ．
【变式5-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中）（1）运用乘法公式计算：9992−1002×998+1
（2）先化简，再求值：2x+y2x−y−3x+yx−2y−x2÷−12y，其中x=−1，y=2．
【变式5-3】（2023春·福建三明·八年级统考期中）为了比较两个数的大小，我们可以求这两个数的差，若差为0，则两数相等；若差为正数，则被减数大于减数．若M=a+3a−4，N=a+22a−5，其中a为有理数，
(1)求M−N，要求化简为关于a的多项式；
(2)比较M，N的大小．
【题型6 整式混合运算的应用】
【例6】（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第三十七中学校校联考开学考试）阅读材料：
材料1：将一个三位数或三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=左边数的平方+右边数的平方，那么我们称该整数是平方和数，比如，对于整数251，它的中间数是5，左边数是2，右边数是1，因为22+12=5，所以251是平方和数；再比如，对于整数3254，因为32+42=25，所以3254是一个平方和数．显然，152，4253这两个数也肯定是平方和数．
材料2：将一个三位数或者三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=2×左边数×右边数，那么我们称该整数是双倍积数；比如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，因为2×1×3=6，所以163是双倍积数；再比如，对于整数3305，因为2×3×5=30，所以3305是一个双倍积数，显然，361，5303这两个数也肯定是双倍积数．
请根据上述定义完成下面问题：
(1)如果一个三位整数既是平方和数，又是双倍积数，则该三位整数是_____．（直接写出结果）
(2)如果我们用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，则a585b为一个平方和数，a504b为一个双倍积数，求a2−b2的值．
【变式6-1】（2023秋·贵州遵义·八年级校考期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
(1)用含a，b的整式表示花坛的面积；
(2)若a=2,b=1，工程费为500元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元?
【变式6-2】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）在矩形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（a>b），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD−AB=2时，S1−S2的值是（ ）
A．2aB．2bC．−2b+b2 D．2a−2b
【变式6-3】（2023秋·浙江·八年级期中）正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B，C，E三点在同一条直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（a>b）．
(1)求图1中阴影部分的面积S1（用含a，b的代数式表示）；
(2)当a=5，b=3时，求图1中阴影部分的面积S1的值；
(3)当a=5，b=3时，请直接写出图2中阴影部分的面积S2的值．
【题型7 因式分解（提公因式与公式法综合）】
【例7】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）分解因式
（1）20a3-30a2
（2）25（x+y）2-9（x-y）2
【变式7-1】（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）分解因式：3a2m−n+12n−m= ．
【变式7-2】（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考开学考试）多项式−2a3−4a2−2a因式分解的结果是 ．
【变式7-3】（2023春·湖南永州·八年级统考期末）请把下列各式分解因式
(1)a2a−b+b−a
(2)(a2+b2)2−4a2b2
【题型8 因式分解（十字相乘法）】
【例8】（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）阅读下面的材料，解答提出的问题：
已知：二次三项式x2−4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为x+n，由题意，得
x2−4x+m=x+3x+n，
x2−4x+m=x2+n+3x+3n，
所以n+3=−4m=3n，解得m=−21n=−7．
所以另一个因式为x−7，m的值为−21．
提出问题：
(1)已知二次三项式x2−5x−p有一个因式是x−1，另一个因式是________；
(2)已知二次三项式3x2+2x−k有一个因式是x−5，求另一个因式及k的值．
【变式8-1】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）多项式x2+x−6可因式分解成x+ax+b，其中a，b均为整数，则a+b2023的值为（ ）
A．−1B．1C．−2023D．2023
【变式8-2】（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期中）分解因式：2x2+4x2−42x2+4x−12．
【变式8-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）材料1：由多项式乘法，x+ax+b=x2+a+bx+ab，将该式子从右到左地使用，即可对形如x2+a+bx+ab的多项式进行因式分解：x2+a+bx+ab=x+ax+b．多项式x2+a+bx+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
材料2：因式分解：(x+y)2+2x+y+1，解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2，再将“A”还原得：原式=(x+y+1)2．
上述解题用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：
(1)根据材料1将x2+4x+3因式分解；
(2)根据材料2将(x−y)2−10x−y+25因式分解；
(3)结合材料1和材料2，将m2−2mm2−2m+4+3因式分解．
【题型9 因式分解（分组分解法）】
【例9】（2023秋·山东日照·八年级统考期末）已知a+b=3,ab=1，则多项式a2b+ab2−a−b的值为 ．
【变式9-1】（2023春·江苏·八年级期中）分解因式：a4−4a3+4a2−9= ．
【变式9-2】（2023春·福建漳州·八年级校考期中）阅读理解∶
当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．
比如因式分解：am+bm+an+bn=am+bm+an+bn=ma+b+na+b=a+bm+n
这种分组法是分组后用提公因式法分解；
比如因式分解：a2+2ab+b2−9=a2+2ab+b2−9=a+b2−9=a+b+3a+b−3
这种分组法是分组后用公式法分解．
根据以上信息分解因式：
(1)ab−a−b+1；
(2)a2−9b2−2a+6b；
(3)n2+(n+1)(n+2)(n+3)(n+6)．
【变式9-3】（2023秋·上海·八年级校考期中）因式分解：x2+9xy+18y2−3x−9y．
【题型10 利用因式分解求值】
【例10】（2023春·四川达州·八年级校联考期中）若a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，则多项式a2+b2+c2−ab−ac−bc的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式10-1】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）若x2+x−3=0，则x3+2x2−2x+5的值为 ．
【变式10-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市文晖中学校考期中）（1）当mn=−4，m+n=3，求m−n的值．
（2）已知x+y=2,xy=34，求x3y+xy3+2x2y2的值．
【变式10-3】（2023春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）阅读材料：若m2+2mn+2n2−6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2−6n+9=0，
∴m2+2mn+n2+n2−6n+9=0，
∴(m+n)2+(n−3)2=0，
∴m+n=0，n−3=0，
∴m=−3，n=3．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：
(1)已知x2+2y2−2xy−8y+16=0，则x=______，y=______；
(2)若A=2a2−3a−1，B=a2−a−4，试比较A与B的大小：A______B（填“>”或“<”）；
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2−6a−2b+10=0，求△ABC的周长．
专题14.8 整式的乘法与因式分解章末十大题型总结（培优篇）
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19909" 【题型1 幂的基本运算】 PAGEREF _Tc19909 \h 1
\l "_Tc17174" 【题型2 利用幂的运算进行比较大小】 PAGEREF _Tc17174 \h 3
\l "_Tc7269" 【题型3 利用幂的运算进行简便计算】 PAGEREF _Tc7269 \h 6
\l "_Tc24483" 【题型4 幂的运算中的新定义问题】 PAGEREF _Tc24483 \h 8
\l "_Tc30619" 【题型5 整式乘除的计算与化简】 PAGEREF _Tc30619 \h 13
\l "_Tc23819" 【题型6 整式混合运算的应用】 PAGEREF _Tc23819 \h 15
\l "_Tc27996" 【题型7 因式分解（提公因式与公式法综合）】 PAGEREF _Tc27996 \h 19
\l "_Tc24695" 【题型8 因式分解（十字相乘法）】 PAGEREF _Tc24695 \h 21
\l "_Tc10543" 【题型9 因式分解（分组分解法）】 PAGEREF _Tc10543 \h 24
\l "_Tc32355" 【题型10 利用因式分解求值】 PAGEREF _Tc32355 \h 26
【题型1 幂的基本运算】
【例1】（2023春·浙江·八年级期中）我们知道下面的结论：若am=an（a>0，且a≠1），则m=n．利用这个结论解决下列问题：设3m=2，3n=6，3p=18．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p=2n，②3m+n=4p−6，③p2−n2−2m=3．其中正确的序号有
【答案】①③/③①
【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则进行变形可得3n=6=3×2=3×3m=3m+1，3p=18=3×6=3×3n=31+n，进而可得m=n−1，p=1+n=2+m，再逐项判断即可作答．
【详解】∵3m=2，3n=6=3×2=3×3m=3m+1，
∴n=1+m，即m=n−1，
∵3p=18=3×6=3×3n=31+n，
∴p=1+n=2+m，
①m+p=n−1+1+n=2n，故正确；
②3m+n=3(p−2)+p−1=4p−7，故错误；
③p2−n2−2m=(p+n)(p−n)−2m=(2+m+1+m)(2+m−1−m)−2m=3，故正确；故选：①③．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘除法公式，本题属于中等题型．
【变式1-1】（2023春·河北沧州·八年级校考期中）若n为正整数．且a2n=4，则2a3n2−4a22n的值为（ ）
A．4B．16C．64D．192
【答案】D
【分析】根据积的乘方以及逆运算对式子进行化简求解即可．
【详解】解析：2a3n2−4a22n=4a6n−4a4n
=4a2n3−4a2n2=4×43−4×42
=4×43−42=4×48=192，
故选D．
【点睛】此题考查了幂的有关运算，解题的关键是熟练掌握幂的有关运算法则．同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方．
【变式1-2】（2023春·江苏南京·八年级统考期中）已知5a=4，5b=6，5c=9，则a，b，c之间满足的等量关系是 ．
【答案】a+c=2b
【分析】根据4×9=62，把各数代入即可求解．
【详解】∵4×9=62，5a=4，5b=6，5c=9
∴5a×5c=5b2=52b
故5a+c=52b
∴a+c=2b
故答案为：a+c=2b．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则．
【变式1-3】（2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第二十一中学校考期中）按要求完成下列各小题
(1)若x2=2，求3x2−4x32的值；
(2)若m−n=1，求3m×9n÷27m的值；
(3)若xm⋅x2n+1=x11，ym−1÷yn=y6，求2m+n的值．
【答案】(1)−14
(2)19
(3)17
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则将代数式转换为含x2的式子，再将x2=2代入计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法和除法运算法则将代数式进行化简，再将m−n=1代入计算即可；
（3）根据同底数幂的乘法和除法运算法则将代数式进行化简，根据等式的性质建立两个等式，将两个等式相加即可得到答案．
【详解】（1）解：3x2−4x32
=9x2−4x23
∵x2=2，
∴3x2−4x32
=9×2−4×23
=18−32
=−14；
（2）解：3m×9n÷27m
=3m×32n÷33m
=3m+2n−3m
=3−2m−n
=3−2
=19；
（3）解：∵xm⋅x2n+1=x11，ym−1÷yn=y6
∴xm+2n+1=x11，ym−1−n=y6
∴m+2n+1=11①m−1−n=6②，
将①+②得2m+n=17．
【点睛】本题考查的代数式求值，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算、同底数幂的乘法和除法运算，以及掌握等式的性质．
【题型2 利用幂的运算进行比较大小】
【例2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）比较大小：8131 2741．（填>、<或=）
【答案】>
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘整理成以3为底数的幂，再根据指数的大小比较即可．
【详解】解：8131=3431=3124，
2741=3341=3123，
∵124>123，
∴8131>2741．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了幂的乘方的性质，熟记性质并转换成以3为底数的幂是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·江苏·八年级期末）若a3=2，b5=3，比较a，b大小关系的方法：因为a15=a35=25=32，b15=b53=33=27，32>27，所以a15>b15，所以a>b．已知x5=2，y7=3，则x，y的大小关系是x y（填“<”或“>”）．
【答案】<
【详解】解：参照题目中比较大小的方法可知，
∵x35=(x5)7=27=128，y35=(y7)5=35=243，243>128，
∴x35∴x故答案为：<．
【点睛】本题考查利用幂的乘方比较未知量的大小，熟练掌握幂的乘方的运算法则（底数不变，指数相乘）是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
①比较2a，2b的大小：当a>b时，2a>2b，所以当同底数时，指数越大，值越大；
②比较340和260的大小：因为340=3220=920，260=2320=820，9>8所以340>260．
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)比较大小：320__________915（填“>”或“<”）
(2)已知a=344，b=433，c=522，试比较a，b，c的大小．
【答案】(1)<
(2)c【分析】（1）根据幂的乘方的逆运算进行化简比较即可；
（2）根据题目中的方法，变化成指数相同时，比较底数即可．
【详解】（1）因为915=3215=330，20<30，
所以320<915．
故答案为：<；
（2）因为a=344=3411=8111，
b=433=4311=6411，
c=522=5211=2511，
且25<64<81，
所以2511<6411<8111，
所以c【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题关键．
【变式2-3】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：520______420，961______2741；（填“>”、“<”或“=”）
(2)比较233与322的大小；
(3)比较312×510与310×512的大小．
【答案】(1)>，<
(2)233<322
(3)312×510<310×512
【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，”即可比较520和420的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac，即可比较961和2741的大小；
（2）据“对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac”，即可比较233与322的大小；
（3）利用作商法，即可比较312×510和310×512的大小．
【详解】（1）解：∵5>4，
∴520>420，
∵961=(32)61=3122，2741=(33)41=3123，122<123，
∴961<2741，
故答案为：>，<；
（2）解：∵233=(23)11=811，322=(32)11=911，8<9，
∴233<322．
（3）解：∵312×510310×512=3252=925<1，
∴312×510<310×512．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方及有理数大小比较，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
【题型3 利用幂的运算进行简便计算】
【例3】（2023秋·湖北荆州·八年级沙市一中校考期中）计算：−0.1255×−216=（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】D
【分析】根据积的乘方和幂的乘方的运算法则进行巧算．
【详解】解：−0.1255×−216=−0.1255×−215×−2
=−0.1255×−235×−2
=−0.125×−85×−2
=15×−2
=−2．
故选：D．
【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方的运算，解题的关键是利用0.125×8=1进行巧算．
【变式3-1】（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）计算310×194的值为（ ）
A．9B．19C．3D．1310
【答案】A
【分析】根据积的乘方及幂的乘方的运算法则进行计算即可．
【详解】解：310×194
=310×1324
=310×138
=32×3×138
=9，
故选A．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方，熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·贵州六盘水·八年级统考期中）计算−0.1252020×26060×−0.1252021×26063的结果是 ．
【答案】-1
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
【详解】原式=−0.1252020×232020×−0.1252021×232021
=−0.125×232020×−0.125×232021
=−12020×−12021
=1×−1
=−1
故答案为：−1
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
【变式3-3】（2023春·江苏扬州·八年级统考期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：45×(−0.25)5；
解：原式=(−4×0.25)5=(−1)5=−1
(1)计算：
①82022×(−0.125)2022；
②(125)11×(56)13×(12)12；
(2)若3×9n×81n=325，请求出n的值．
【答案】(1)①1；②2572
(2)n=4
【分析】（1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果；
（2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值．
【详解】（1）解：①82022×(−0.125)2022
=8×−0.1252022
=−12022
=1；
②(125)11×(56)13×(12)12
=125×56×1211×562×12
=111×562×12
=1×2536×12
=2572．
（2）解：∵3×9n×81n=325，
∴3×32n×34n=325，
∴31+2n+4n=325，
∴36n+1=325，
∴6n+1=25，
∴n=4．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键．
【题型4 幂的运算中的新定义问题】
【例4】（2023春·江西抚州·八年级统考期末）对于整数a、b，我们定义：a▲b=10a×10b，a△b=10a÷10b．例如：5▲3=105×103=108，5△3=105÷103=102．
(1)求2▲1−6△3的值；
(2)若x▲3=5△1，求x的值．
【答案】(1)0
(2)x=1
【分析】（1）根据题干中新定义进行转化，再计算同底数幂的乘法和除法，然后合并同类项，即可计算求值；
（2）根据题干中新定义进行转化，再计算同底数幂的乘法和除法，得到x+3=4，即可求出x的值．
【详解】（1）解：2▲1−6△3
=102×10−106−103
=103−103
=0；
（2）解：∵x▲3=5△1，
∴10x×103=105÷10，
∴10x+3=104，
∴x+3=4，
∴x=1
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法和同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
【变式4-1】（2023秋·山东临沂·八年级统考期中）定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2=−1，那么这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：(2+i)+(3−5i)=(2+3)+(1−5)i=5−4i．
根据以上信息，下列各式：
①i3=−i；
②i4=1；
③1+i+3−4i=4−3i
④i+i2+i3+i4+⋯+i2019=−1．
其中正确的是 （填上所有正确答案的序号）．
【答案】①②③④
【分析】理解i的含义以及运算，再对选项逐个判断即可．
【详解】解：i3=i2⋅i=−i，①正确；
i4=i2⋅i2=−12=1，②正确；
1+i+3−4i=4−3i，③正确；
∵i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，
∴i5+i6+i7+i8=i4i+i2+i3+i4=0，
∴i+i2+i3+i4+⋯+i2019=i2017+i2018+i2019=i2016i+i2+i3=i−1−i=−1，④正确；
故答案为：①②③④
【点睛】此题考查了数字的变化规律，乘方运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用其中的定义与公式是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）对于整数a、b定义运算：a※b=(ab)m+(ba)n(其中m、n为常数)，如3※2=(32)m+(23)n．
(1)填空：当m=1，n=2023时，2※−1= ______ ；
(2)若−1※4=10，2※−2=23，求42m+n−1的值．
【答案】(1)32
(2)9100
【分析】（1）把相应的值代入进行运算即可；
（2）把相应的值代入运算求得4m，4n，再利用幂的乘方的法则，同度数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则进行求解即可．
【详解】（1）解：当m=1，n=2023时，
2※−1
=(2−1)1+[(−1)2]2023
=12+1
=32，
故答案为：32．
（2）解：∵−1※4=10，2※−2=23，
∴[(−1)4]m+(4−1)n=10，(2−2)m+[(−2)2]n=23，
整理得：14n=9，14m+4n=23，解得：4m=95，4n=19，
∴42m+n−1
=42m×4n÷4
=(4m)2×4n÷4
=952×19÷4
=8125×19×14
=9100．
【点睛】本题主要考查幂乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式4-3】（2023秋·北京海淀·八年级校考期中）在学习平方根的过程中，同学们总结出：在ax=N中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算．小明提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．
小明课后借助网络查到了对数的定义：
如果N=ax（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（lgarithm），记作：x=lgaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：
(1)∵21=2,∴lg22=1；
∵22=4,∴lg24=2；
∵23=8,∴lg28=3；
∵24=16,∴lg216=__________；
计算：lg232=__________；
(2)计算后小明观黎（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，
例如：lg24+lg28=__________；（用对数表示结果）
(3)于是他猜想：lgaM+lgaN=__________（a>0且a≠1，M>0，N>0）．请你将小明的探究过程补充完整，并证明他的猜想．
(4)根据之前的探究，直接写出lgaM−lgaN=__________．
【答案】(1)4，5；
(2)lg232；
(3)lgaMN，证明见解析；
(4)lgaMN．
【分析】（1）根据对数与乘方之间的关系求解可得答案；
（2）利用对数的定义结合（1）中结果求解可得答案；
（3）根据（2）中结果进行猜想，设lgaM=x，lgaN=y，可得ax=M，ay=N，求出ax⋅ay=ax+y=MN，根据对数的定义可得结论；
（4）根据（3）中的探究可得lgaM−lgaN=lgaMN，设lgaM=x，lgaN=y，可得ax=M，ay=N，求出ax÷ay=ax−y=MN，根据对数的定义可进行验证．
【详解】（1）解：∵24＝16，
∴lg216=4；
∵25＝32，
∴lg232=5；
故答案为：4，5；
（2）解：lg24+lg28=2+3=5=lg232，
故答案为：lg232；
（3）解：lgaM+lgaN=lgaMN，
证明：设lgaM=x，lgaN=y，则ax=M，ay=N，
∴ax⋅ay=ax+y=MN，
∴lgaMN=x+y，
∴lgaMN=lgaM+lgaN，
故答案为：lgaMN；
（4）根据之前的探究，可得lgaM−lgaN=lgaMN，
设lgaM=x，lgaN=y，则ax=M，ay=N，
∴ax÷ay=ax−y=MN，
∴lgaMN=x−y，
∴lgaMN=lgaM−lgaN，
故答案为：lgaMN．
【点睛】本题考查了新定义，有理数的乘方，同底数幂的乘除运算，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用．
【题型5 整式乘除的计算与化简】
【例5】（2023秋·上海金山·八年级校联考期末）已知： a+b=32，ab=1，化简a−2b−2的结果是 ．
【答案】2
【分析】先把所求式子化简为ab−2a+b+4，然后把已知条件式整体代入求解即可．
【详解】解：a−2b−2
=ab−2a−2b+4
=ab−2a+b+4，
∵a+b=32，ab=1，
∴原式=1−2×32+4=1−3+4=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式——化简求值，正确计算是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）已知m满足3m−20152+2014−3m2=5．
(1)求2015−3m2014−3m的值．
(2)求6m−4029的值．
【答案】(1)−2
(2)±3
【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，计算即可确定出原式的值；
（2）原式利用完全平方公式变形，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：设a=3m−2015，b=2014−3m，
可得a+b=−1，a2+b2=5，
∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴1=5+2ab，即ab=−2，
则2015−3m2014−3m=3m−20152014−3m=−ab=2；
（2）解：设a=3m−2015，b=2014−3m，可得6m−4029=3m−2015−2014−3m=a−b，
∵a−b2=a2+b2−2ab，
∴6m−40292=a−b2=a2+b2−2ab=5+4=9，
则6m−4029=±3．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
【变式5-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中）（1）运用乘法公式计算：9992−1002×998+1
（2）先化简，再求值：2x+y2x−y−3x+yx−2y−x2÷−12y，其中x=−1，y=2．
【答案】（1）−1994；（2）−2y−10x，6
【分析】（1）把原式化为1000−12−1000+21000−2+1，再利用乘法公式进行简便运算即可；
（2）先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把x=−1，y=2代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：（1）9992−1002×998+1
=1000−12−1000+21000−2+1
=10002−2000+1−10002+4+1
=−1994；
（2）2x+y2x−y−3x+yx−2y−x2÷−12y
=4x2−y2−3x2+6xy−xy+2y2−x2÷−12y
=y2+5xy÷−12y
=−2y−10x；
当x=−1，y=2时，
原式=−2×2−10×−1=−4+10=6．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，整式的混合运算，完全平方公式与平方差公式的灵活运用，熟记运算公式与运算法则是解本题的关键．
【变式5-3】（2023春·福建三明·八年级统考期中）为了比较两个数的大小，我们可以求这两个数的差，若差为0，则两数相等；若差为正数，则被减数大于减数．若M=a+3a−4，N=a+22a−5，其中a为有理数，
(1)求M−N，要求化简为关于a的多项式；
(2)比较M，N的大小．
【答案】(1)−a2−2
(2)M【分析】（1）先计算多项式乘多项式，再合并同类项即可；
（2）根据（1）中的结果进行判断即可．
【详解】（1）解：M−N=a+3a−4−a+22a−5
=a2−a−12−2a2+a+10
=−a2−2；
（2）∵a为有理数，
∴a2≥0，
∴−a2−2<0，
∴M【点睛】本题考查整式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
【题型6 整式混合运算的应用】
【例6】（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第三十七中学校校联考开学考试）阅读材料：
材料1：将一个三位数或三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=左边数的平方+右边数的平方，那么我们称该整数是平方和数，比如，对于整数251，它的中间数是5，左边数是2，右边数是1，因为22+12=5，所以251是平方和数；再比如，对于整数3254，因为32+42=25，所以3254是一个平方和数．显然，152，4253这两个数也肯定是平方和数．
材料2：将一个三位数或者三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=2×左边数×右边数，那么我们称该整数是双倍积数；比如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，因为2×1×3=6，所以163是双倍积数；再比如，对于整数3305，因为2×3×5=30，所以3305是一个双倍积数，显然，361，5303这两个数也肯定是双倍积数．
请根据上述定义完成下面问题：
(1)如果一个三位整数既是平方和数，又是双倍积数，则该三位整数是_____．（直接写出结果）
(2)如果我们用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，则a585b为一个平方和数，a504b为一个双倍积数，求a2−b2的值．
【答案】(1)121，282
(2)287
【分析】（1）根据平方和数的定义、双倍积数的定义即可求解；
（2）根据平方和数的定义可得a2+b2=585，根据双倍积数的定义2ab=504，再利用完全平方公式与平方差公式即可求解．
【详解】（1）解：设该三位整数是mcn，
由题意得：m2+n2=c，2mn=c，
∴m2+n2=2mn，
∴m2+n2−2mn=0，即m−n2=0，解得：m=n，
∴c=2m2
∴m=1或2，
∴该三位整数是121，282；
（2）解：∵a585b为一个平方和数，
∴a2+b2=585，
∵a504b为一个双倍积数，
∴2ab=504，
∴a2+b2+2ab=585+504=1089，a2+b2−2ab=585−504=81，
∴a+b=33,a−b=9，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=33×9=287；
【点睛】本题考查了因式分解的应用，学生的阅读理解能力与知识的迁移能力，理解平方和数与双倍积数的定义是解题的关键．
【变式6-1】（2023秋·贵州遵义·八年级校考期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
(1)用含a，b的整式表示花坛的面积；
(2)若a=2,b=1，工程费为500元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元?
【答案】(1)花坛的面积是4a2+2ab+3b2平方米．
(2)建花坛的总工程费为11500元．
【分析】（1）用大长方形的面积减去一个小长方形面积即可；
（2）将a和b的值代入（1）中的结果，求出面积即可．
【详解】（1）解：a+3b+a2a+b−2a⋅3b
=4a2+8ab+3b2−6ab
=4a2+2ab+3b2（平方米）．
答：花坛的面积是4a2+2ab+3b2平方米．
（2）当a=2，b=1时，
4a2+2ab+3b2
=4×22+2×2×1+3×12
=16+4+3
=23（平方米）
23×500=11500（元）
答：建花坛的总工程费为11500元．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）在矩形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（a>b），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD−AB=2时，S1−S2的值是（ ）
A．2aB．2bC．−2b+b2 D．2a−2b
【答案】C
【分析】根据图形和题目中的数据，可以表示出S1和S2，然后作差化简即可．
【详解】解：由图可得，
S1=AD·AB−a2−b(AD−a)，
S2=AD·AB−a2−b2−b(AB−a),
S1−S2
=AD·AB−a2−b(AD−a)−AD·AB−a2−b2−b(AB−a)
=AD·AB−a2−b(AD−a)−AD·AB+a2+b2+b(AB−a)
=−b·AD+ab+b2+b·AB−ab
=−bAD−AB+b2
∵AD−AB=2，
∴−bAD−AB=−2b，
即S1−S2=−2b+b2．
故选：C．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
【变式6-3】（2023秋·浙江·八年级期中）正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B，C，E三点在同一条直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（a>b）．
(1)求图1中阴影部分的面积S1（用含a，b的代数式表示）；
(2)当a=5，b=3时，求图1中阴影部分的面积S1的值；
(3)当a=5，b=3时，请直接写出图2中阴影部分的面积S2的值．
【答案】(1)S1=12a2+12b2−12ab
(2)192
(3)212
【分析】（1）利用两个正方形的面积减去空白部分的面积列式即可；
（2）把a=5，b=3代入S1的代数式，计算即可；
（3）延长AD和EF，交于点H．即可由S2=S长方形ABEH−S正方形CEFH−S△ABC−S△AFH求出图2中阴影部分的面积S2，再将a=5，b=3代入S2的代数式，求值即可．
【详解】（1）S1=S正方形ABCD+S正方形CEFG−S△ABD−S△BEF
=a2+b2−12a2−12b(a+b)
=12a2+12b2−12ab；
（2）∵a=5，b=3，
∴S1=12a2+12b2−12ab
=12×52+12×32−12×5×3
=192；
（3）如图，延长AD和EF，交于点H．
∴S2=S长方形ABEH−S正方形CEFH−S△ABC−S△AFH
=a(a+b)−b2−12a2−12(a−b)(a+b)
=ab−12b2．
∵a=5，b=3，
∴S2=ab−12b2=5×3−12×32=212．
【点睛】本题考查列代数式，代数式求值，整式的混合运算．求得两个阴影部分的面积是解决问题的关键．
【题型7 因式分解（提公因式与公式法综合）】
【例7】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）分解因式
（1）20a3-30a2
（2）25（x+y）2-9（x-y）2
【答案】（1）10a2（2a﹣3）（2）4(4x+y)(x+4y)
【详解】分析：（1）利用提公因式法，找到并提取公因式10a2即可；
（2）利用平方差公式进行因式分解，然后整理化简即可.
详解：（1）解：20a3﹣30a2=10a2（2a﹣3）
（2）解：25（x+y）2﹣9（x﹣y）2
=[5（x+y）+3（x﹣y）][5（x+y）﹣3（x﹣y）]
=（8x+2y）（2x+8y）；
=4(4x+y)(x+4y) .
点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式a2−b2=a+ba−b，完全平方公式a2±2ab+b2=a±b2）、三检查（彻底分解）.
【变式7-1】（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）分解因式：3a2m−n+12n−m= ．
【答案】3m−na+2a−2
【分析】分别运用提公因式，公式法进行因式分解即可．
【详解】解：3a2m−n+12n−m
=3a2m−n−12m−n
=3m−na2−4
=3m−na+2a−2
故答案为：3m−na+2a−2．
【点睛】本题考查因式分解的相关知识．灵活运用提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键．解题时注意，分解一定要彻底，这是易错点．
【变式7-2】（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考开学考试）多项式−2a3−4a2−2a因式分解的结果是 ．
【答案】−2aa+12
【分析】先提取公因式−2a，然后利用完全平方公式分解因式即可得．
【详解】解：−2a3−4a2−2a
=−2aa2+2a+1
=−2aa+12．
故答案为：−2aa+12．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题关键．
【变式7-3】（2023春·湖南永州·八年级统考期末）请把下列各式分解因式
(1)a2a−b+b−a
(2)(a2+b2)2−4a2b2
【答案】(1)a−ba+1a−1
(2)(a+b)2(a−b)2
【分析】（1）把b−a变形为a−b后再提取公因式，最后运用平方差公式求解即可；
（2）原式先运用平方差公式分解后，再运用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）a2a−b+b−a
=a2a−b−a−b
=a−ba2−1
=a−ba+1a−1
（2）(a2+b2)2−4a2b2
=(a2+b2+2ab)(a2+b2−2ab)
=(a+b)2(a−b)2
【点睛】本题主要考查了因式分解，正确选用因式分解的方法是解答本题的关键．
【题型8 因式分解（十字相乘法）】
【例8】（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）阅读下面的材料，解答提出的问题：
已知：二次三项式x2−4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为x+n，由题意，得
x2−4x+m=x+3x+n，
x2−4x+m=x2+n+3x+3n，
所以n+3=−4m=3n，解得m=−21n=−7．
所以另一个因式为x−7，m的值为−21．
提出问题：
(1)已知二次三项式x2−5x−p有一个因式是x−1，另一个因式是________；
(2)已知二次三项式3x2+2x−k有一个因式是x−5，求另一个因式及k的值．
【答案】(1)x−4
(2)另一个因式为3x+17，k的值为85
【分析】（1）设另一个因式为x+n，由题意得x2−5x−p=x−1x+n=x2+n−1x−n，从而得到n−1=−5n=p，进行计算即可得到答案；
（2）设另一个因式为3x+m，由题意得：3x2+2x−k=x−53x+m=3x2+m−15x−5m ，从而得到m−15=25m=k，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设另一个因式为x+n，
由题意得：x2−5x−p=x−1x+n，
则x2−5x−p=x−1x+n=x2+nx−x−n=x2+n−1x−n，
∴n−1=−5n=p，
解得：n=−4p=−4，
∴另一个因式为x−4，
故答案为：x−4；
（2）解：设另一个因式为3x+m，
由题意得：3x2+2x−k=x−53x+m，
则3x2+2x−k=x−53x+m=3x2+mx−15x−5m=3x2+m−15x−5m，
∴m−15=25m=k，
解得：m=17k=85，
∴另一个因式为3x+17，k的值为85．
【点睛】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，解二元一次方程组，正确设出另一个因式是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）多项式x2+x−6可因式分解成x+ax+b，其中a，b均为整数，则a+b2023的值为（ ）
A．−1B．1C．−2023D．2023
【答案】B
【分析】先分解因式，求出a、b的值，再结合有理数的乘方进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵x2+x−6=x+3x−2，
又∵多项式x2+x−6可因式分解成x+ax+b，
∴a=3，b=−2或a=−2，b=3，
∴a+b2023=3−22023=12023=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解、有理数的乘方，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题关键．
【变式8-2】（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期中）分解因式：2x2+4x2−42x2+4x−12．
【答案】4x+3x−1x+12
【分析】直接利用十字相乘法和完全平方公式进行因式分解即可得到答案．
【详解】解：2x2+4x2−42x2+4x−12
=2x2+4x−62x2+4x+2
=2x2+2x−3×2x2+2x+1
=4x+3x−1x+12．
【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法和完全平方公式分解因式，熟练掌握十字相乘法和完全平方公式是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）材料1：由多项式乘法，x+ax+b=x2+a+bx+ab，将该式子从右到左地使用，即可对形如x2+a+bx+ab的多项式进行因式分解：x2+a+bx+ab=x+ax+b．多项式x2+a+bx+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
材料2：因式分解：(x+y)2+2x+y+1，解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2，再将“A”还原得：原式=(x+y+1)2．
上述解题用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：
(1)根据材料1将x2+4x+3因式分解；
(2)根据材料2将(x−y)2−10x−y+25因式分解；
(3)结合材料1和材料2，将m2−2mm2−2m+4+3因式分解．
【答案】(1)(x+3)(x+1)
(2)(x−y−5)2
(3)(m2−2m+3)(m−1)2
【分析】（1）仿照材料一分解即可；
（2）把(x−y)看成一个整体，利用材料一的方法分解即可；
（3）把(m2−2m)看成一个整体，先算乘法再利用材料一因式分解．
【详解】（1）解：x2+4x+3=(x+3)(x+1)；
（2）(x−y)2−10(x−y)+25=(x−y−5)2；
（3）(m2−2m)(m2−2m+4)+3
=(m2−2m)2+4(m2−2m)+3
=(m2−2m+3)(m2−2m+1)
=(m2−2m+3)(m−1)2．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，读懂题目给出的材料，会运用题目给出材料的方法是解决本题的关键．
【题型9 因式分解（分组分解法）】
【例9】（2023秋·山东日照·八年级统考期末）已知a+b=3,ab=1，则多项式a2b+ab2−a−b的值为 ．
【答案】0
【分析】先进行因式分解，再代值计算即可．
【详解】解：a2b+ab2−a−b=aba+b−a+b
=ab−1a+b；
当a+b=3,ab=1时，原式=3×1−1=0；
故答案为：0．
【点睛】本题考查代数式求值．熟练掌握分组法进行因式分解，整体思想代入求值，是解题的关键．
【变式9-1】（2023春·江苏·八年级期中）分解因式：a4−4a3+4a2−9= ．
【答案】(a−3)(a+1)(a2−2a+3)
【分析】本题有a的四次项、a的三次项，a的二次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组，前三项提取公因式后可以利用完全平方公式分解因式，然后还可以与第四项继续利用平方差公式分解因式．
【详解】解：a4−4a3+4a2−9
=(a4−4a3+4a2)−9
=a2(a−2)2−32
=(a2−2a−3)(a2−2a+3)
=(a−3)(a+1)(a2−2a+3)
故答案为：(a−3)(a+1)(a2−2a+3)．
【点睛】本题考查了分组分解法，十字相乘法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解，利用平方差公式分解后还要继续利用十字相乘法分解因式，注意分解因式要彻底．
【变式9-2】（2023春·福建漳州·八年级校考期中）阅读理解∶
当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．
比如因式分解：am+bm+an+bn=am+bm+an+bn=ma+b+na+b=a+bm+n
这种分组法是分组后用提公因式法分解；
比如因式分解：a2+2ab+b2−9=a2+2ab+b2−9=a+b2−9=a+b+3a+b−3
这种分组法是分组后用公式法分解．
根据以上信息分解因式：
(1)ab−a−b+1；
(2)a2−9b2−2a+6b；
(3)n2+(n+1)(n+2)(n+3)(n+6)．
【答案】(1)(a−1)(b−1)
(2)(a−3b)(a+3b−2)
(3)(n2+6n+6)2
【分析】（1）分组，提公因式分解；
（2）分组，分别运用平方差公式，提公因式法分解；
（3）运用整式乘法法则变形，再运用平方差公式展开，进一步化简．
【详解】（1）解：原式=a（b−1)−(b−1)
=(a−1)（b−1)
（2）原式=(a+3b)(a−3b)−2(a−3b)
=(a−3b)(a+3b−2)
（3）原式=n2+(n+1)(n+6)(n+2)(n+3)
=n2+(n2+6+7n)(n2+6+5n)
=n2+[(n2+6+6n)+n][(n2+6+6n)−n]
=n2+(n2+6+6n)2−n2
=(n2+6n+6)2．
【点睛】本题考查分组分解法，提公因式法，公式法因式分解；根据代数式具体情况合理分组是解题的关键．
【变式9-3】（2023秋·上海·八年级校考期中）因式分解：x2+9xy+18y2−3x−9y．
【答案】x+3yx+6y−3
【分析】先将原式进行分组，再进行因式分解即可．
【详解】解：原式=x2+9xy+18y2−3x+9y
=x+3yx+6y−3x+3y
=x+3yx+6y−3．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是先将原式进行分组，熟练掌握用提取公因式，完全平方公式和十字相乘进行因式分解的方法．
【题型10 利用因式分解求值】
【例10】（2023春·四川达州·八年级校联考期中）若a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，则多项式a2+b2+c2−ab−ac−bc的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，可以得到a−b，a−c，b−c的值，然后将所求式子变形，然后将a−b，a−c，b−c的值代入变形后的式子计算即可．
【详解】∵a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，
∴a−b=−1，a−c=−2，b−c=−1，
∴a2+b2+c2−ab−bc−ac，
=2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac2，
=a−b2+a−c2+b−c22，
=−12+−22+−122，
=1+4+12，
=3，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键时明确题意，利用完全平方公式解答．
【变式10-1】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）若x2+x−3=0，则x3+2x2−2x+5的值为 ．
【答案】8
【分析】把x2+x当整体代入求值，通过两次代入即可得出最后结果．
【详解】解：∵x2+x−3=0，
∴x2+x=3，
x3+2x2−2x+5
=x3+x2+x2−2x+5
=xx2+x+x2−2x+5
∵x2+x=3，
∴原式=3x+x2−2x+5
=x2+x+5
=3+5
=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查分解因式的应用，同时也要熟练运用整体代入的方法，快速分析出所需代入的整体是解题的关键．
【变式10-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市文晖中学校考期中）（1）当mn=−4，m+n=3，求m−n的值．
（2）已知x+y=2,xy=34，求x3y+xy3+2x2y2的值．
【答案】（1）±5；（2）3
【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）把所求代数式因式分解变形为xyx+y2，再根据已知条件代入计算即可．
【详解】解：∵mn=−4，m+n=3，
∴m−n2=m+n2−4mn
=32−4×−4
=9+16
=25，
∴m−n=±5，
∴m−n的值为±5；
（2）∵x+y=2,xy=34，
∴x3y+xy3+2x2y2
=xyx2+y2+2xy
=xyx+y2
=34×22
=3，
∴x3y+xy3+2x2y2的值3．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式是解题的关键．
【变式10-3】（2023春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）阅读材料：若m2+2mn+2n2−6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2−6n+9=0，
∴m2+2mn+n2+n2−6n+9=0，
∴(m+n)2+(n−3)2=0，
∴m+n=0，n−3=0，
∴m=−3，n=3．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：
(1)已知x2+2y2−2xy−8y+16=0，则x=______，y=______；
(2)若A=2a2−3a−1，B=a2−a−4，试比较A与B的大小：A______B（填“>”或“<”）；
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2−6a−2b+10=0，求△ABC的周长．
【答案】(1)4；4
(2)>
(3)△ABC的周长为7
【分析】、
（1）将x2+2y2−2xy−8y+16=0变形为x−y2+y−42=0，然后根据二次方的非负性求出结果即可；
（2）求出A−B=a−12+2>0，得出A>B即可；
（3）先根据a2+b2−6a−2b+10=0求出，a=3，b=1，根据三角形三边关系求出2【详解】（1）解：∵x2+2y2−2xy−8y+16=0，
∴x2−2xy+y2+y2−8y+16=0，
∴x−y2+y−42=0，
∴x−y=0，y−4=0，
解得：x=y=4，
故答案为：4；4．
（2）解：A−B=2a2−3a−1−a2−a−4
=2a2−3a−1−a2+a+4
=a2−2a+3
=a2−2a+1+2
=a−12+2，
∵a−12≥0，
∴a−12+2>0，
∴A>B．
故答案为：>．
（3）解：∵a2+b2−6a−2b+10=0，
∴a2−6a+9+b2−2b+1=0，
∴a−32+b−12=0，
∴a−3=0，b−1=0，
解得：a=3，b=1，
∵a、b、c是三角形的三边，
∴3−1即2∵a、b、c都是正整数，
∴c=3，
∴△ABC的周长为a+b+c=3+1+3=7．
【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，三角形三边关系的应用，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式a2±2ab+b2=a±b2．