初中数学人教版（2024）八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.1.4 整式的乘法复习练习题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.1.4 整式的乘法复习练习题，共47页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17218" 【题型1 巧用幂的运算逆向运算】 PAGEREF _Tc17218 \h 1
\l "_Tc21498" 【题型2 整式乘法中不含某项问题】 PAGEREF _Tc21498 \h 1
\l "_Tc28157" 【题型3 多项式乘法中的规律性问题】 PAGEREF _Tc28157 \h 2
\l "_Tc5411" 【题型4 巧用乘法公式求值】 PAGEREF _Tc5411 \h 3
\l "_Tc29456" 【题型5 乘法公式的几何背景】 PAGEREF _Tc29456 \h 4
\l "_Tc1625" 【题型6 利用因式分解探究三角形形状】 PAGEREF _Tc1625 \h 7
\l "_Tc4030" 【题型7 利用拆项或添项进行因式分解】 PAGEREF _Tc4030 \h 8
\l "_Tc2686" 【题型8 因式分解的应用】 PAGEREF _Tc2686 \h 9
【题型1 巧用幂的运算逆向运算】
【例1】（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期末）已知2a=3，2b=6，2c=12，
（1）2c−b= ；
（2）a，b，c之间满足的等式关系为 ．
【变式1-1】（2023春·江苏苏州·八年级期中）已知常数a，b满足2a×22b=8，且(5a)2×(52b)2÷(53a)b=1，求ab的值，
【变式1-2】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）已知xn=2，yn=3．
（1）(xy)2n的值为 ；
（2）若x3n+1⋅y3n+1=64，则xy的值为 ．
【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若am=an(a>0，且a≠1，m、n都是正整数），则m=n，例如：若5m=54，则m=4．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：
(1)如果2×4x×32x=236，求x的值；
(2)如果3x+2+3x+1=108，求x的值．
【题型2 整式乘法中不含某项问题】
【例2】（2023春·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考期中）若(x2+nx+3)(x2−3x+m)的展开式中不含x2和x3项，则m+n= ．
【变式2-1】（2023秋·甘肃武威·八年级校考期末）老师在黑板上布置了一道题：
已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值．
小亮和小新展开了下面的讨论：
小亮：只知道x的值，没有告诉y的值，这道题不能做；
小新：这道题与y的值无关，可以求解；
根据上述说法，你认为谁说的正确？为什么？
【变式2-2】（2023秋·河南周口·八年级校考期末）已知x2+mx−32x+n的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，则mn的值为 ．
【变式2-3】（2023秋·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）已知关于x、y的代数式2x+5y32x−5y3−mx−32+nx的值与x的取值无关，求实数m、n的值．
【题型3 多项式乘法中的规律性问题】
【例3】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，……按此规律排列下去，第⑨个图形中星星的颗数为 ．

【变式3-1】（2023春·重庆·八年级校考期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝ ．
（2）a+bn的展开式共有______项，系数和为_______．
（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
（4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期 ．
【变式3-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳中学校考开学考试）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第n个叠放的图形中，小正方体木块总数应是 ．

【变式3-3】（2023春·北京昌平·八年级北京市昌平区第二中学校考期中）阅读以下材料：
(x−1)(x+1)=x2−1；
(x−1)x2+x+1=x3−1；
(x−1)x3+x2+x+1=x4−1⋯⋯
（1）根据以上规律，(x−1)xn−1+xn−2+xn−3+⋯+x+1= ；
（2）利用（1）的结论，求1+5+52+53+54+55+⋯+52018+52019+52000的值
【题型4 巧用乘法公式求值】
【例4】（2023春·湖南益阳·八年级统考期中）使用整式乘法法则与公式可以使计算简便，请利用法则或公式计算下列各题
(1)已知a+1a=5，求a2+1a2的值
(2)计算：2−22−23−⋯−218−219+220（写计算过程）
(3)设a，b，c，d都是正整数，并且a5=b4，c3=d2，c−a=19求d−b的值．
【变式4-1】（2023春·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知x满足（x﹣2020）2+（2023﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是 ．
【变式4-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知：x2+xy=10，y2+xy=6，x−y=−1，则：（1）x+y= ．（2）求x，y的值分别为 ．
【变式4-3】（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）已知a−ba+b=a2−b2．
(1)2−12+122+1=______；
(2)求2+122+124+128+1216+1的值；
(3)求23+132+134+138+1316+1332+1结果的个位数字．
【题型5 乘法公式的几何背景】
【例5】（2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）【知识生成】
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到a+b2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】（1）若x+y=3，x2+y2=5，求xy的值；
【类比应用】（2）填空：①若x3−x=1，则x2+x−32= ；
②若x−3x−4=1，则x−32+x−42= ；
【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD．若AD=16，S△AOC+S△BOD=68，求一块直角三角板的面积．

【变式5-1】（2023春·全国·八年级期末）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．
（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；
（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为 ．
【变式5-2】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数间刻时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问题．
构图一：（1）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的公式 （填选项即可）；

A．a2−2ab+b2=a−b2；B．a2−b2=a+ba−b；C．a2+ab=aa+b
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①若x2−9y2=12,x+3y=4，求x−3y的值为 ；
②计算：20192−2020×2018= ．
构图二：如图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个边长为1的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ．

构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中正方形MNPQ与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为a(a+4b)，正方形MNPQ的边长为a，则八边形ABCDEFGH的面积为 ．

【变式5-3】（2023春·浙江·八年级期中）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到a+b2=a2+2ab+b2
(1)写出由图2所表示的数学等式：________________________．
(2)根据上面的等式，如果将a−b看成a+−b，直接写出n−1n+12的展开式（结果化简）；若n2+1n2=6，求n−1n+12的值．
(3)已知实数a、b、c，满足以下两个条件：a2+b2+c2+2a−4b+6c=−10且a+1c+3+b−2c+3=a+1b−2，求a+b−c的值．
【题型6 利用因式分解探究三角形形状】
【例6】（2023春·广东河源·八年级校考期中）已知：a、b、c为△ABC的三边长，且a2(b−c)+b2(c−a)+c2(a−b)=0试判定△ABC的形状．
【变式6-1】（2023·重庆·八年级统考期中）已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 ．
【变式6-2】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如a2−4ab+4b2−1，我们可以把它先分组再分解：a2−4ab+4b2−1=a−2b2−1=a−2b+1a−2b−1，这种方法叫做分组分解法．
请解决下列问题：
(1)分解因式：a2−4b2+2a−4b；
(2)已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2−b2−bc+ac=0，请判断△ABC的形状，并说明理由，
【变式6-3】（2023春·湖南怀化·八年级溆浦县第一中学校考期中）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式=x2+2x−3=x2+2x+1−4=x+12−22=x+1+2x+1−2=x+3x−1；
例如：求代数式2x2+4x−6的最小值．
原式=2x2+4x−6=2x2+2x−3=2x+12−8．可知当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8．
(1)用配方法分解因式：a2+2a−8
(2)已知a、b、c是△ABC的三条边长．若a、b、c满足a2+19b2+10=6a+23b−c−3，试判断△ABC的形状，并说明你的理由．
(3)当m，n为何值时，多项式2m2−4mn+5n2−4m−2n+16有最小值，并求出这个最小值．
【题型7 利用拆项或添项进行因式分解】
【例7】（2023春·广东深圳·八年级深圳中学校考期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：x2−2xy+y2−4=x2−2xy+y2−4=x−y2−22=x−y−2x−y+2．
②拆项法：
例如：x2+2x−3=x2+2x+1−4=x+12−22=x+1−2x+1+2=x−1x+3．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）4x2+4x−y2+1；
②（拆项法）x2−6x+8；
(2)已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，求△ABC的周长．
【变式7-1】（2023秋·陕西汉中·八年级统考期中）阅读理解：
对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=x+a2，但对于二次三项式x2+2ax−8a2，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax−8a2中先加上一项a2，使其成为某个多项式的平方，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：
x2+2ax−8a2
=x2+2ax−8a2+a2−a2
=x2+2ax+a2−8a2−a2
=x2+2ax+a2−8a2+a2
=x+a2−9a2
=x+a+3ax+a−3a
=x+4ax−2a
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
请用上述方法将下列各式进行因式分解．
(1)x2+2ax−3a2；
(2)a4+4．
【变式7-2】（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）《义务教育数学课程标准（2023年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解．
例题：用拆项补项法分解因式x3−9x+8．
解：添加两项−x2+x2．
原式=x3−x2+x2−9x+8
=x3−x2+x2−x−8x+8
=x2x−1+xx−1+8x−1
=x−1x2+x−8
请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
(1)分解因式：x2+9x−10；
(2)分解因式x3−2x2−5x+6；
(3)分解因式：x4+5x3+x2−20x−20．
【变式7-3】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期中）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成x+a2的形式．但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax−3a2=x2+2ax+a2−a2−3a2
＝x+a2−2a2
＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
(1)利用“配方法”分解因式：
①a2﹣6a﹣7；
②a4+a2b2+b4．
(2)若a+b＝5，ab＝6，求：
①a2+b2；
②a4+b4的值．
【题型8 因式分解的应用】
【例8】（2023秋·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考开学考试）对于一个四位自然数N，其千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，各个数位上的数字均不相同且均不为0，将自然数N的千位数字和个位数字组成一个两位数ad，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字bc，记为B，若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，A=65，B=34，65+34=99，116+3=99，所以6345是“坎数”．若N1为“坎数”，且A+B=99，则N1最大为 ；若N2为“坎数”，且a>b，当a+bc−d为9的倍数时，则所有满足条件的N2的最大值为 ．
【变式8-1】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）阅读与思考
请仔细阅读并完成相应任务．
生活中我们经常用到密码，例如用支付宝或微信支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2−x−2可以因式分解为x−1x+1x+2，当x=29时，x−1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．
任务：
(1)根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3−xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？
(2)已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．
【变式8-2】（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）如图1，现有3种不同型号的A型、B型、C型卡片若干张．

(1)已知1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片可拼成如图2所示的正方形，用不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可得到等式：______ ；
(2)请用上述三种型号的卡片若干张拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形(无空隙，不重叠)，在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式2a2+5ab+2b2因式分解的结果；
(3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为m(a【变式8-3】（2023秋·山东青岛·八年级统考期末）【实践探究】
小明在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究：
(1)现取其中两个拼成一个大长方体，如图2，据此写出一个多项式的因式分解：________________．
【问题解决】
(2)若要用这四种长方体拼成一个棱长为x+1的正方体，需要②号长方体________个，③号长方体_____个，据此写出一个多项式的因式分解：____________________．
【拓展与延伸】
(3)如图3，在一个边长为a的正方体中挖出一个边长为b的正方体，据此写出a3−b3=______________．
专题14.9 整式的乘法与因式分解章末八大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17218" 【题型1 巧用幂的运算逆向运算】 PAGEREF _Tc17218 \h 1
\l "_Tc21498" 【题型2 整式乘法中不含某项问题】 PAGEREF _Tc21498 \h 4
\l "_Tc28157" 【题型3 多项式乘法中的规律性问题】 PAGEREF _Tc28157 \h 6
\l "_Tc5411" 【题型4 巧用乘法公式求值】 PAGEREF _Tc5411 \h 9
\l "_Tc29456" 【题型5 乘法公式的几何背景】 PAGEREF _Tc29456 \h 12
\l "_Tc1625" 【题型6 利用因式分解探究三角形形状】 PAGEREF _Tc1625 \h 20
\l "_Tc4030" 【题型7 利用拆项或添项进行因式分解】 PAGEREF _Tc4030 \h 24
\l "_Tc2686" 【题型8 因式分解的应用】 PAGEREF _Tc2686 \h 29
【题型1 巧用幂的运算逆向运算】
【例1】（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期末）已知2a=3，2b=6，2c=12，
（1）2c−b= ；
（2）a，b，c之间满足的等式关系为 ．
【答案】 2 a+c=2b
【分析】（1）逆用同底数幂除法法则计算即可；
（2）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理即可．
【详解】解：（1）∵2b=6，2c=12，
∴2c−b=2c÷2b=12÷6=2，
故答案为：2；
（2）∵2a×2c=2a+c=3×12=36，2b2=62，22b=36，
∴2a+c=22b，
∴a+c=2b,
故答案为：a+c=2b．
【点睛】本题主要考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键．
【变式1-1】（2023春·江苏苏州·八年级期中）已知常数a，b满足2a×22b=8，且(5a)2×(52b)2÷(53a)b=1，求ab的值，
【答案】2
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．
【详解】解：∵2a×22b=8，
∴2a+2b=23，
∴a+2b=3，
∵(5a)2×(52b)2÷(53a)b=1，
∴52a+4b−3ab=50，
∴2a+4b−3ab=0，
∴2a+2b−3ab=0，
∴2×3−3ab=0，
解得：ab=2．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．
【变式1-2】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）已知xn=2，yn=3．
（1）(xy)2n的值为 ；
（2）若x3n+1⋅y3n+1=64，则xy的值为 ．
【答案】 36 827
【分析】1利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果；
2利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果．
【详解】解：(1)∵xn=2，yn=3，
∴(xy)2n
=x2ny2n
=(xn)2(yn)2
=22×32
=4×9
=36，
故答案为：36；
(2)∵x3n+1⋅y3n+1=64，
∴x3n⋅y3n⋅xy=64，
∴(xn)3⋅(yn)3⋅xy=64，
∵xn=2，yn=3，
∴23×33⋅xy=64，
∴xy=827，
故答案为：827．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若am=an(a>0，且a≠1，m、n都是正整数），则m=n，例如：若5m=54，则m=4．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：
(1)如果2×4x×32x=236，求x的值；
(2)如果3x+2+3x+1=108，求x的值．
【答案】(1)x=5
(2)x=2
【分析】（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解；
（2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解．
【详解】（1）因为2×4x×32x=236，
所以2×22x×25x=236，
即21+7x=236，
所以1+7x=36，
解得：x=5；
（2）因为3x+2+3x+1=108，
所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，
即3x+1=33，
所以x+1=3，
解得：x=2．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
【题型2 整式乘法中不含某项问题】
【例2】（2023春·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考期中）若(x2+nx+3)(x2−3x+m)的展开式中不含x2和x3项，则m+n= ．
【答案】9．
【分析】根据展开式中不含x2和x3项，即x2和x3项的系数为0即可求解．
【详解】解：(x2+nx+3)(x2−3x+m)，
=x4−3x3+mx2+nx3−3nx2+mnx+3x2−9x+3m，
=x4+(n−3)x3+(m−3n+3)x2+(mn−9)x+3m，
根据展开式中不含x2和x3项，列方程组得，
n−3=0m−3n+3=0，
解得，n=3m=6，
m+n=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查整式乘法和二元一次方程组，解题关键是根据多项式中不含某一项时，这一项的系数为0列方程组．
【变式2-1】（2023秋·甘肃武威·八年级校考期末）老师在黑板上布置了一道题：
已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值．
小亮和小新展开了下面的讨论：
小亮：只知道x的值，没有告诉y的值，这道题不能做；
小新：这道题与y的值无关，可以求解；
根据上述说法，你认为谁说的正确？为什么？
【答案】小新的说法正确，原因见解析
【分析】根据平方差公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简即可得到答案．
【详解】解：2x−y2x+y+2x−yy−4x+2yy−3x
=4x2−y2+2xy−y2−8x2+4xy+2y2−6xy
=−4x2，
∴这道题与y的值无关，可以求解，
∴小新的说法正确．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，多项式乘以多项式，多项式乘以单项式，熟知整式的相关计算法则是解题的关键，注意去括号的时候的符号问题．
【变式2-2】（2023秋·河南周口·八年级校考期末）已知x2+mx−32x+n的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，则mn的值为 ．
【答案】6
【分析】根据多项式乘多项式运算法则进行化简，然后令含x的一次项的系数为零以及常数项为−6即可求出答案．
【详解】解：x2+mx−32x+n
=2x3+nx2+2mx2+mnx−6x−3n
=2x3+n+2mx2+mn−6x−3n，
∵x2+mx−32x+n的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，
∴mn−6=0−3n=−6，
∴mn=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型．
【变式2-3】（2023秋·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）已知关于x、y的代数式2x+5y32x−5y3−mx−32+nx的值与x的取值无关，求实数m、n的值．
【答案】m=2，n=−12或m=−2，n=12．
【分析】先对原式进行化简，然后根据代数式的值与x的取值无关令含x的项的系数为0，分情况求出m、n的值即可．
【详解】解：原式=4x2−25y6−m2x2−6mx+9+nx
=4x2−25y6−m2x2+6mx−9+nx
=4−m2x2−25y6+6m+nx−9，
∵代数式2x+5y32x−5y3−mx−32+nx的值与x的取值无关，
∴4−m2=0，6m+n=0，
∴m=±2，
当m=2时，由6m+n=0可得12+n=0，
解得：n=−12，
当m=−2时，由6m+n=0可得−12+n=0，
解得：n=12，
∴m=2，n=−12或m=−2，n=12．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，求一个数的平方根，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
【题型3 多项式乘法中的规律性问题】
【例3】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，……按此规律排列下去，第⑨个图形中星星的颗数为 ．

【答案】144
【分析】根据题意将每个图形都看作两部分，一部分是上面的构成规则的矩形，另一部分是构成下面的近似金字塔的形状，然后根据递增关系即可得到答案．
【详解】第①个图形中星星的颗数4=2+1×2；
第②个图形中星星的颗数11=2+3+2×3；
第③个图形中星星的颗数21=2+3+4+3×4；
第④个图形中星星的颗数34=2+3+4+5+4×5；
……
∴第n个图形中星星的颗数
=2+3+4+5+⋯+n+n+1+nn+1
=2+n+1n2+nn+1
=32n2+52n
∴当n=9时，32n2+52n=32×92+52×9=144，
∴第⑨个图形中的星星颗数为144颗，
故答案为：144
【点睛】本题考查了图形变化规律，正确地得到每个图形中小星星的数字变化情况是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·重庆·八年级校考期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝ ．
（2）a+bn的展开式共有______项，系数和为_______．
（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
（4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期 ．
【答案】（1）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）n+1,2n；（3）1；（4）三
【分析】（1）根据得出的系数规律，将原式展开即可；
（2）直接根据得出的规律即可求解；
（3）利用规律计算原式即可得到结果；
（4）由8100=7+1100，根据得出的规律即可求解．
【详解】解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）∵a+bn的展开式是按照a的指数从n到0进行降幂排列，
∴a+bn的展开式共有n+1项，从规律可发现系数和为2n；
（3）令（1）中a=2，b=-1，得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2-1）5=1；
（4）8100=7+1100
根据规律可知，7+1100除以7余数为1，
∴若今天是星期二，经过8100天后是星期三．
【点睛】此题考查了完全平方公式，找出题中的规律是解本题的关键．
【变式3-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳中学校考开学考试）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第n个叠放的图形中，小正方体木块总数应是 ．

【答案】2n2−n
【分析】图（1）中只有一层，有4×0+1一个正方体，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有4×1+1个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有4×2+1，依此类推出第n层正方体的个数，即可推出当有n层时总的正方体个数．
【详解】解：经分析，可知：第一层的正方体个数为4×0+1，
第二层的正方体个数为4×1+1，
第三层的正方体个数为4×2+1，
……
第n层的个数为：4n−1+1，
第n个叠放的图形中，小正方体木块总数为：
1+4×1+1+4×2+1+⋅⋅⋅+4n−2+1+4n−1+1
=n+41+2+3+⋅⋅⋅+n−2+n−1
=n+4×1+n−1n−12
=n+2nn−1
=2n2−n．
故答案为：2n2−n
【点睛】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加第n层时小正方体共增加了4n−1+1个，将n层的小正方体个数相加即可得到总的小正方体个数．
【变式3-3】（2023春·北京昌平·八年级北京市昌平区第二中学校考期中）阅读以下材料：
(x−1)(x+1)=x2−1；
(x−1)x2+x+1=x3−1；
(x−1)x3+x2+x+1=x4−1⋯⋯
（1）根据以上规律，(x−1)xn−1+xn−2+xn−3+⋯+x+1= ；
（2）利用（1）的结论，求1+5+52+53+54+55+⋯+52018+52019+52000的值
【答案】（1）xn−1；（2）52001−14
【分析】（1）仔细观察上式就可以发现得数中x的指数是式子中x的最高指数减1，根据此规律就可求出本题.
（2）不难看出所求式子是材料中等号左边式子的一个因式，将所求式子转化成
(x−1)xn−1+xn−2+xn−3+⋯+x+1形式，即可利用（1）的结论进行求解.
【详解】（1）(x−1)xn−1+xn−2+xn−3+⋯+x+1中最高次项为x•xn−1=xn，
所以(x−1)xn−1+xn−2+xn−3+⋯+x+1=xn-1；
（2）1+5+52+53+54+55+⋯+52018+52019+52000
=14（5-1）（1+5+52+53+54+55+⋯+52018+52019+52000）
=52001−14
【点睛】仔细观察式子，总结出运算规律，是解决此类题的关键.
【题型4 巧用乘法公式求值】
【例4】（2023春·湖南益阳·八年级统考期中）使用整式乘法法则与公式可以使计算简便，请利用法则或公式计算下列各题
(1)已知a+1a=5，求a2+1a2的值
(2)计算：2−22−23−⋯−218−219+220（写计算过程）
(3)设a，b，c，d都是正整数，并且a5=b4，c3=d2，c−a=19求d−b的值．
【答案】(1)a2+1a2=23
(2)6
(3)d−b=757
【分析】（1）利用完全平方公式变形计算即可；
（2）将原式变形为220−219−218−⋯−23−22+2，然后依次进行运算即可；
（3）根据已知条件得出a=b4a4=b2a22，c=d2c2=dc2，根据c−a=19，得出dc+b2a2dc−b2a2=19，根据a，b，c，d都是正整数，dc+b2a2>dc−b2a2，得出dc+b2a2=19，dc−b2a2=1，求出d=10c，b=3a，根据d=10c，b=3a，a5=b4，c3=d2，得出c=100，d=10c=1000，根据c−a=19，得出a=c−19=100−19=81，求出b=3a=243，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵a+1a2=a2+1a2+2，
∴a2+1a2=a+1a2−2=52−2=23．
（2）解：2−22−23−⋯−218−219+220
=220−219−218−⋯−23−22+2
=2192−1−218−⋅⋅⋅−23−22+2
=219−218−⋅⋅⋅−23−22+2
=2182−1−217−⋅⋅⋅−23−22+2
=218−217−⋅⋅⋅−23−22+2
=⋅⋅⋅
=22+2
=4+2
=6．
（3）解：∵a5=b4，
∴a=b4a4=b2a22，
∵c3=d2，
∴c=d2c2=dc2，
∵c−a=19，
∴dc2−b2a22=19，
即dc+b2a2dc−b2a2=19，
∵a，b，c，d都是正整数，
又∵a=b4a4=b2a22，c=d2c2=dc2，
∴b2a22，dc2为正整数，
∴dc+b2a2为正整数，
∵dc+b2a2dc−b2a2=19，
∴dc−b2a2为正整数，
∵dc+b2a2>dc−b2a2，
∴dc+b2a2=19，dc−b2a2=1，
∴dc+b2a2+dc−b2a2=2dc=19+1=20，
∴dc=10，
即d=10c，
∵dc+b2a2−dc−b2a2=2b2a2=19−1=18，
∴b2a2=9，
即b2=9a2，
∵a，b，c，d都是正整数，
∴b=3a，
∵d=10c，b=3a，a5=b4，c3=d2，
∴c3=d2=10c2=100c2，
解得：c=100，
则d=10c=1000，
∵c−a=19，
∴a=c−19=100−19=81，
∴b=3a=243，
∴d−b=1000−243=757．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，数字规律计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，准确计算．
【变式4-1】（2023春·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知x满足（x﹣2020）2+（2023﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是 ．
【答案】4
【分析】根据题意原式可化为[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，再应用完全平方公式可化为（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，应用整体思想合并同类项，即可得出答案．
【详解】解：∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝10
∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，
∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，
∴2（x﹣2021）2+2＝10，
∴（x﹣2021）2＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知：x2+xy=10，y2+xy=6，x−y=−1，则：（1）x+y= ．（2）求x，y的值分别为 ．
【答案】 −4 x=−52，y=32
【分析】由x2+xy−y2+xy可得x+yx−y=4，再根据x−y=−1，可得x+y=−4，可得x+y=−4x−y=−1，进而可得x，y的值．
【详解】解：∵x2+xy=10，y2+xy=6，
∴x2+xy−y2+xy=10−6=4，即：x2−y2=4，
∴x+yx−y=4，
∵x−y=−1，
∴x+y=−4，
可得x+y=−4x−y=−1，解得：x=−52y=−32
即：x，y的值分别为x=−52，y=32；
故答案为：−4；x=−52，y=32．
【点睛】本题考查平方差公式及其变形，由x2+xy−y2+xy得到x+yx−y=4是解决问题的关键．
【变式4-3】（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）已知a−ba+b=a2−b2．
(1)2−12+122+1=______；
(2)求2+122+124+128+1216+1的值；
(3)求23+132+134+138+1316+1332+1结果的个位数字．
【答案】(1)15
(2)232－1
(3)0
【分析】（1）根据平方差公式求出即可；
（2）添加上(2−1)，重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；
（3）根据（2）的规律，多次利用平方差公式即可得出答案．
【详解】（1）解：(2−1)(2+1)(22+1)=(22−1)(22+1)=24−1=15；
故答案为：15；
（2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(24−1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(28−1)(28+1)(216+1)
=(216−1)(216+1)
=232−1；
（3）2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)…(332+1)
=(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
=(32−1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
=(34−1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
=(38−1)(38+1)(316+1)(332+1)
=(316−1)(316+1)(332+1)
=(332−1)(332+1)
=364−1；
∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，...，
可知3n的个位数呈3、9、7、1...循环，
64÷4=16，
∴364的个位数是1，
∴364−1的个位数是0．
即2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)…(332+1)结果的个位数字是0．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是重复运用平方差公式，根据结果得出规律，题目比较好，有一定的难度．
【题型5 乘法公式的几何背景】
【例5】（2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）【知识生成】
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到a+b2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】（1）若x+y=3，x2+y2=5，求xy的值；
【类比应用】（2）填空：①若x3−x=1，则x2+x−32= ；
②若x−3x−4=1，则x−32+x−42= ；
【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD．若AD=16，S△AOC+S△BOD=68，求一块直角三角板的面积．

【答案】（1）xy=2；（2）①7；②3；（3）30．
【分析】（1）根据完全平方公式的变形可得答案；
（2）①设x=m，3−x=n，则mn=1，m+n=3，由x2+x−32=m2+n2=m+n2−2mn进行计算即可；
②设x−3=a，x−4=b，则ab=x−3x−4=1，a−b=1，由x−32+x−42=a2+b2=a−b2+2ab进行计算即可；
（3）设AO=p，DO=q，由题意可得，p+q=16，p2+q2=136，由2pq=p+q2−p2+q2求出12pq的值即可．
【详解】解：（1）∵x+y=3，
∴x+y2=9，
∴x2+2xy+y2=9，
∵x2+y2=5，
∴xy=9−52=2，
答：xy=2；
（2）①设x=m，3−x=n，则mn=1，m+n=3，
∴x2+x−32=m2+n2
=m+n2−2mn
=9−2
=7，
故答案为：7；
②设x−3=a，x−4=b，则ab=x−3x−4=1，a−b=1，
∴x−32+x−42=a2+b2=a−b2+2ab
=1+2
=3，
故答案为：3；
（3）设AO=p，DO=q，
∵AD=16，S△AOC+S△BOD=68，
∴p+q=16，12p2+12q2=68，
即p+q=16，p2+q2=136，
∴2pq=p+q2−p2+q2
=162−136，
即pq=60，
∴S直角三角板=12pq=30，
答：一块直角三角板的面积为30．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键．
【变式5-1】（2023春·全国·八年级期末）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．
（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；
（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为 ．
【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积＝a2+6a；②拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）9.
【分析】（1）①根据面积差可得结论；
②根据图形可以直接得结论；
（2）分别计算S2和S1的值，相减可得结论．
【详解】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；
②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3=a，∴长为a+6，则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；
（2）设AB=x，则BC=x+3，∴图1中阴影部分的面积为S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），图2中阴影部分的面积为S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．
故答案为9．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目根据图形的面积列出等式是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数间刻时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问题．
构图一：（1）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的公式 （填选项即可）；

A．a2−2ab+b2=a−b2；B．a2−b2=a+ba−b；C．a2+ab=aa+b
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①若x2−9y2=12,x+3y=4，求x−3y的值为 ；
②计算：20192−2020×2018= ．
构图二：如图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个边长为1的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ．

构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中正方形MNPQ与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为a(a+4b)，正方形MNPQ的边长为a，则八边形ABCDEFGH的面积为 ．

【答案】构图一：（1）B；（2）①3；②1；构图二：x3−x=x(x−1)(x+1)；构图三：a2+4ab+2b2
【分析】构图一：（1）根据图1和图2中阴影部分的面积不变，数形结合列出代数式求解即可得到答案；（2）①②先把（1）中的公式变形，再整体代入求解；
构图二：根据体积不变求解；
构图三：先求出小长方形的短边，再求解．
【详解】解：构图一：（1）图1中阴影部分的面积为：a2−b2，图2中阴影部分的面积为：(a+b)(a−b)，根据阴影部分面积不变得到a2−b2=a+ba−b，
故选：B；
（2）①∵x2−9y2=(x+3y)(x−3y)，即12=4(x−3y)，
∴x−3y=3，
故答案为：3；
②20192−2020×2018=20192−(2019+1)(2019−1)=20192−20192+1=1，
故答案为：1；
构图二：根据体积不变得x3−x=x(x−1)(x+1)；
构图三：由题意知小长方形的短边为b，
∴八边形ABCDEFGH的面积为a(a+4b)+2b2=a2+4ab+2b2，
故答案为：a2+4ab+2b2．
【点睛】本题考查了根据几何图形列代数式，平方差公式的几何背景，数形结合，掌握列代数式准确表示题中几何图形关系是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·浙江·八年级期中）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到a+b2=a2+2ab+b2
(1)写出由图2所表示的数学等式：________________________．
(2)根据上面的等式，如果将a−b看成a+−b，直接写出n−1n+12的展开式（结果化简）；若n2+1n2=6，求n−1n+12的值．
(3)已知实数a、b、c，满足以下两个条件：a2+b2+c2+2a−4b+6c=−10且a+1c+3+b−2c+3=a+1b−2，求a+b−c的值．
【答案】(1)a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
(2)n−1n+12=n2+1n2−1−2n+2n；n−1n+12的值为1或9．
(3)2或6．
【分析】（1）把大正方形面积和小矩形面积之和表示出来，根据大正方形面积也等于各个小矩形面积之和写出相应关系式；
（2）根据提示可得n−1n+12=n+−1n+12，仿照（1）中的公式即可写出展开式，将n−1n2展开为n2+1n2−2，根据题意及平方根的计算即可求解；
（3）运用换元法，简化计算，有助于快速解出题目．
【详解】（1）大正方形面积＝a+b+c2，大正方形面积也等于各个小矩形面积之和即：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）根据（1）中公式，n−1n+12=n+−1n+12=n2+−1n2+12+2n×−1n+2×−1n×1+2×n×1
=n2+1n2+1−2−2n+2n=n2+1n2−1−2n+2n即n−1n+12=n2+1n2−1−2n+2n
由题意得：n−1n2=n2+1n2−2，
∵n2+1n2=6，
∴n−1n2=4，
∴n−1n=±2，
∴n−1n+1=−1或3
∴n−1n+12=1或9．
（3）∵a2+b2+c2+2a−4b+6c=−10，
∴a+12+b−22+c+32=4，
令A＝a＋1，B＝b−2，C＝c＋3，可得A2+B2+C2=4，
∴a＝A−1，b＝B＋2，c＝C−3，
∴a＋b−c＝A−1＋B＋2−（C−3）＝A＋B−C＋4，
（a＋1）（c＋3）＋（b−2）（c＋3）＝（a＋1）（b−2）变形得，
A⋅C＋B⋅C＝A⋅B．
∴A+B−C2＝A2+B2+C2+2A⋅B−2B⋅C−2A⋅C＝A2+B2+C2+2A⋅B−2B⋅C+A⋅C ＝A2+B2+C2＝4，
∴A＋B−C＝−2或2，
∴a＋b−c＝A＋B−C＋4＝2或6．
【点睛】本题考查了灵活运用完全平方式，以及运算能力，转换变形是本题得关键．
【题型6 利用因式分解探究三角形形状】
【例6】（2023春·广东河源·八年级校考期中）已知：a、b、c为△ABC的三边长，且a2(b−c)+b2(c−a)+c2(a−b)=0试判定△ABC的形状．
【答案】△ABC为等腰三角形，理由见解析；
【分析】先把前面两项展开得到a2b-a2c+b2c-ab2+c2（a-b）=0，再分组分解，得到公因式（a-b），则ab（a-b）-c（a-b）（a+b）+c2（a-b）=0，所以把等式左边分解得到（a-b）（ab-ac-bc+c2）=0，接着在把中括号内分组分解得到（a-b）（b-c）（a-c）=0，然后根据有理数积的性质得到a-b=0或b-c=0或a-c=0，于是根据等腰三角形的判定方法进行判断．
【详解】△ABC为等腰三角形，理由如下：
∵a2 (b−c)+ b2(c−a)+c2(a−b)=0，
∴a2b−a2c+b2c−ab2+c2(a−b)=0，
∴ab(a−b)−c(a2−b2)+c2(a−b)=0，
∴ab(a−b)−c(a−b)(a+b)+c2(a−b)=0，
∴(a−b)(ab−ac−bc+c2)=0，
∴(a−b)[a(b−c)−c(b−c)]=0，
∴(a−b)(b−c)(a−c)=0，
∴a−b=0或b−c=0或a−c=0，
∴△ABC为等腰三角形.
【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于掌握运算法则.
【变式6-1】（2023·重庆·八年级统考期中）已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【分析】首先把2xy+x2=2yz+z2变形为（x-z）（x+z+2y）=0，由题意得出x+z+2y≠0，x-z=0，得出x=z，即可得出结论．
【详解】∵2xy+x2＝2yz+z2，
∴2xy+x2﹣2yz﹣z2＝0，
因式分解得：（x﹣z）（x+z+2y）＝0，
∵x，y，z是△ABC的三边，
∴x+z+2y≠0，
∴x﹣z＝0，
∴x＝z，
∴△ABC是等腰三角形；
故答案为等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用、等腰三角形的判定；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如a2−4ab+4b2−1，我们可以把它先分组再分解：a2−4ab+4b2−1=a−2b2−1=a−2b+1a−2b−1，这种方法叫做分组分解法．
请解决下列问题：
(1)分解因式：a2−4b2+2a−4b；
(2)已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2−b2−bc+ac=0，请判断△ABC的形状，并说明理由，
【答案】(1)(a−2b)(a+2b+2)
(2)△ABC是等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）根据题干中的方法进行分组分解因式即可；
（2）利用分组法分解因式，然后得出a=c，即可判断三角形的形状．
【详解】（1）a2−4b2+2a−4b
=(a+2b)(a−2b)+2(a−2b)
=(a−2b)(a+2b+2)；
（2）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵a2−b2−bc+ac=0，
∴(a+b)(a−b)+c(a−b)=(a−b)(a+b+c)=0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a+b+c≠0，
∴a−b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查分组分解因式及提公因式与公式法分解因式，等腰三角形的定义等，理解题意，深刻理解题干中的分组分解法是解题关键．
【变式6-3】（2023春·湖南怀化·八年级溆浦县第一中学校考期中）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式=x2+2x−3=x2+2x+1−4=x+12−22=x+1+2x+1−2=x+3x−1；
例如：求代数式2x2+4x−6的最小值．
原式=2x2+4x−6=2x2+2x−3=2x+12−8．可知当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8．
(1)用配方法分解因式：a2+2a−8
(2)已知a、b、c是△ABC的三条边长．若a、b、c满足a2+19b2+10=6a+23b−c−3，试判断△ABC的形状，并说明你的理由．
(3)当m，n为何值时，多项式2m2−4mn+5n2−4m−2n+16有最小值，并求出这个最小值．
【答案】(1)(a+4)(a−2)
(2)等边三角形，见解析
(3)当m=2，n=1时，有最小值，最小值是11
【分析】（1）模仿例题，将a2+2a−8变为a2+2a+1−9，然后配方，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）先移项，再配方，利用非负数的性质求解a、b、c即可解答；
（3）先进行配方，再根据非负数的性质求解即可．
【详解】（1）解：a2+2a−8=a2+2a+1−9
=a+12−32
=a+1+3a+1−3
=a+4a−2；
（2）解：△ABC是等边三角形，理由如下：
∵a2+19b2+10=6a+23b−c−3，
∴a2+19b2+10−6a−23b+c−3=0，
则a2−6a+9+19b2−23b+1+c−3=0，
∴(a−3)2+13b−12+c−3=0，
∴a=b=c=3，
即△ABC是等边三角形．
（3）解：2m2−4mn+5n2−4m−2n+16
=m−2n2+m−22+n−12+11，
∴当m=2，n=1时，2m2−4mn+5n2−4m−2n+16有最小值，最小值是11．
【点睛】本题主要考查因式分解、完全平方公式的应用、平方式的非负数，熟练掌握完全平方公式的灵活运用，利用类比的方法求解是解答的关键．
【题型7 利用拆项或添项进行因式分解】
【例7】（2023春·广东深圳·八年级深圳中学校考期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：x2−2xy+y2−4=x2−2xy+y2−4=x−y2−22=x−y−2x−y+2．
②拆项法：
例如：x2+2x−3=x2+2x+1−4=x+12−22=x+1−2x+1+2=x−1x+3．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）4x2+4x−y2+1；
②（拆项法）x2−6x+8；
(2)已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，求△ABC的周长．
【答案】(1)①2x+y+12x−y+1；②x−4x−2
(2)7
【分析】（1）①将原式化为4x2+4x+1−y2，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为x2−6x+9−1，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（2）先利用完全平方公式对等式a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出a、b、c的值，然后求和即可得到答案．
【详解】（1）解：①4x2+4x−y2+1
=4x2+4x+1−y2
=2x+12−y2
=2x+y+12x−y+1；
②x2−6x+8
=x2−6x+9−1
=x−32−1
=x−3−1x−3+1
=x−4x−2；
（2）解：∵a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，
∴a2−4a+4+b2−4b+4+c2−6c+9=0，
∴a−22+b−22+c−32=0，
∵a−22≥0，b−22≥0，c−32≥0，
∴a−2=0，b−2=0，c−3=0，
∴a=2，b=2，c=3，
∴a+b+c=2+2+3=7，
故△ABC的周长为：7．
【点睛】本题考查了因式分解的方法，运用完全平方公式进行计算，本题主要包括分组分解法、运用平方差公式进行分解、运用完全平方公式进行分解，解题的关键是理解分组分解法、拆项法的实质．
【变式7-1】（2023秋·陕西汉中·八年级统考期中）阅读理解：
对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=x+a2，但对于二次三项式x2+2ax−8a2，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax−8a2中先加上一项a2，使其成为某个多项式的平方，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：
x2+2ax−8a2
=x2+2ax−8a2+a2−a2
=x2+2ax+a2−8a2−a2
=x2+2ax+a2−8a2+a2
=x+a2−9a2
=x+a+3ax+a−3a
=x+4ax−2a
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
请用上述方法将下列各式进行因式分解．
(1)x2+2ax−3a2；
(2)a4+4．
【答案】(1)x+3ax−a
(2)a2+2+2aa2+2−2a
【分析】（1）将式子x2+2ax−3a2，添项a2，再减去a2，重新分组后，利用平方差公式分解因式；
（2）将式子a4+4，添项4a2，再减去4a2，重新分组后，利用平方差公式分解因式．
【详解】（1）解：x2+2ax−3a2
=x2+2ax−3a2+a2−a2 =x2+2ax+a2−3a2−a2
=x+a2−4a2 =x+a2−2a2
=x+a+2ax+a−2a =x+3ax−a．
（2）解：a4+4
=a4+4a2+4−4a2 =a2+22−2a2 =a2+2+2aa2+2−2a．
【点睛】本题是因式分解及因式分解的应用，除了一般因式分解的方法以外，还可以利用添（拆）项法把一此复杂的式子进行因式分解；同时可以利用因式分解求式子的最大值和最小值．
【变式7-2】（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）《义务教育数学课程标准（2023年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解．
例题：用拆项补项法分解因式x3−9x+8．
解：添加两项−x2+x2．
原式=x3−x2+x2−9x+8
=x3−x2+x2−x−8x+8
=x2x−1+xx−1+8x−1
=x−1x2+x−8
请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
(1)分解因式：x2+9x−10；
(2)分解因式x3−2x2−5x+6；
(3)分解因式：x4+5x3+x2−20x−20．
【答案】(1)x−1x+10
(2)x−1x−2x−3
(3)x−2x+2x2+5x+5
【分析】（1）根据例题用拆项补项法分解因；
（2）根据例题用拆项补项法分解因；
（3）根据例题用拆项补项法分解因；
【详解】（1）解：x2+9x−10
=x2−x+10x−10
=xx−1+10x−1
=x−1x+10；
（2）x3−2x2−5x+6
=x3−x2−x2+x−6x+6
=x2x−1−xx−1−6x−1
=x−1x2−x−6
=x−1x2−3x+2x−6
=x−1xx−3−2x−3
=x−1x−2x−3
（3）x4+5x3+x2−20x−20
=x4−2x3+7x3−14x2+15x2−30x+10x−20
=x3x−2+7x2x−2+15xx−2+10x−2
=x−2x3+7x2+15x+10
=x−2x3+2x2+5x2+10x+5x+10
=x−2x2x+2+5xx+2+5x+2
=x−2x+2x2+5x+5
【点睛】本题考查了因式分解，理解题意，正确的增项是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期中）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成x+a2的形式．但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax−3a2=x2+2ax+a2−a2−3a2
＝x+a2−2a2
＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
(1)利用“配方法”分解因式：
①a2﹣6a﹣7；
②a4+a2b2+b4．
(2)若a+b＝5，ab＝6，求：
①a2+b2；
②a4+b4的值．
【答案】(1)①（a+1）（a﹣7）②(a2+b2−ab)(a2+b2+ab)
(2)①13②97
【分析】（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子分解因式；
（2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
【详解】（1）解：利用“配方法”分解因式：
①a2﹣6a﹣7＝a2﹣6a+9﹣9﹣7
＝(a−3)2﹣16
＝（a﹣3+4）（a﹣3﹣4）
＝（a+1）（a﹣7）；
②a4+a2b2+b4=a4+a2b2+b4+a2b2−a2b2
＝a4+2a2b2+b4−a2b2
＝(a2+b2)2−a2b2
＝(a2+b2−ab)(a2+b2+ab)．
（2）解：①a2+b2=(a+b)2−2ab，
将a+b＝5，ab＝6代入得：
原式＝52−2×6＝25﹣12＝13；
②a4+b4=(a2+b2)2−2a2b2
将a2+b2＝13，ab＝6代入得：
原式＝132−2×62
＝97．
【点睛】本题考查了配方法，因式分解和完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
【题型8 因式分解的应用】
【例8】（2023秋·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考开学考试）对于一个四位自然数N，其千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，各个数位上的数字均不相同且均不为0，将自然数N的千位数字和个位数字组成一个两位数ad，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字bc，记为B，若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，A=65，B=34，65+34=99，116+3=99，所以6345是“坎数”．若N1为“坎数”，且A+B=99，则N1最大为 ；若N2为“坎数”，且a>b，当a+bc−d为9的倍数时，则所有满足条件的N2的最大值为 ．
【答案】 8172 8154
【分析】根据“坎数”的定义可以得到10a+d+10b+c=11a+b，可得出a+b=c+d，根据当a+bc−d为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，所以可知c=54d，则可知c=5，d=4，故a+b=9，则最大的值为a=8，b=1，即可求解．
【详解】解：∵A+B=99，N1为“坎数”，
∵千位数字为8，个数位上的数字1，百位数字为7，十位数字为2，
∴N1最大为8172，
根据“坎数”的定义可以得到10a+d+10b+c=11a+b，
∴a+b=c+d，
∴a+bc−d为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，a>b，
a+bc−d=9，即c+dc−d=9，
∴c=54d，
∴c=5，d=4，
∴a+b=c+d=9，
当a=8时，N有最大值，
∴b=9−8=1，
∴N的最大值为8154，
【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过给出的“坎数”的定义求出对应的各个数位的数字的关系，通过给出的式子，求出对应的数字的结果，从而求出最后的解．
【变式8-1】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）阅读与思考
请仔细阅读并完成相应任务．
生活中我们经常用到密码，例如用支付宝或微信支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2−x−2可以因式分解为x−1x+1x+2，当x=29时，x−1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．
任务：
(1)根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3−xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？
(2)已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．
【答案】(1)可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015
(2)24121（或12124）
【分析】（1）先将x3−xy2进行因式分解，再根据题意代入x=15，y=5计算，即可求解；
（2）根据勾股定理和三角形周长公式得x+y=13 x2+y2=121，解得xy=24，再将多项式x3y+xy3分解因式后，代入xy=24，x2+y2=121进行计算即可求解．
【详解】（1）解：x3−xy2=xx−yx+y，
当x=15，y=5时，x−y=10，x+y=20，
可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015．
（2）由题意得：x+y=13 x2+y2=121，解得xy=24，
而x3y+xy3=xyx2+y2，
所以可得数字密码为24121（或12124）．
【点睛】本题考查因式分解和因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法以及题目中数字密码的计算方法．
【变式8-2】（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）如图1，现有3种不同型号的A型、B型、C型卡片若干张．

(1)已知1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片可拼成如图2所示的正方形，用不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可得到等式：______ ；
(2)请用上述三种型号的卡片若干张拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形(无空隙，不重叠)，在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式2a2+5ab+2b2因式分解的结果；
(3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为m(a【答案】(1)a2+b2=(a+b)2−2ab
(2)2a2+5ab+2b2=2a+ba+2b
(3)19
【分析】（1）根据阴影部分的面积的两种表示方法求解；
（2）先因式分解，再画图；
（3）根据割补法表示面积，再整体代入求解．
【详解】（1）解：阴影部分的面积为：a2+b2，(a+b)2−2ab，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab，
故答案为：a2+b2=(a+b)2−2ab．
（2）解：2a2+5ab+2b2=2a+ba+2b，
∴如图所示，

（3）由图得：m2=a2+b2−S1+S2+S3
=a2+b2
=(a+b)2−2ab
=25−6
=19．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握割补法图形结合求面积是解题的关键．
【变式8-3】（2023秋·山东青岛·八年级统考期末）【实践探究】
小明在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究：
(1)现取其中两个拼成一个大长方体，如图2，据此写出一个多项式的因式分解：________________．
【问题解决】
(2)若要用这四种长方体拼成一个棱长为x+1的正方体，需要②号长方体________个，③号长方体_____个，据此写出一个多项式的因式分解：____________________．
【拓展与延伸】
(3)如图3，在一个边长为a的正方体中挖出一个边长为b的正方体，据此写出a3−b3=______________．
【答案】(1)x3+x2=x2(x+1)
(2)3，3，x3+3x2+3x+1=(x+1)3
(3)a−ba2+ab+b2
【分析】（1）根据图2所示，用字母表示出小长方体的体积，再表示出大长方体的体积，它们体积相等，由此即可求解；
（2）①号是长，宽，高为x的正方体，②号是长，宽为x，高为1的长方体，③号长方体的长为x，宽，高为1的长方体，④号是长，宽，高为1的正方体，要拼成棱长为x+1的正方体，整体的体积等于几个小长方体的体积和，由此即可求解；
（3）如图所示，将挖去剩下部分的立体几何分割后，求出各自的体积，最后求和即可求解．
【详解】（1）解：从图中1中选择①②拼接，①是一个边长都为x的正方体，②是长，宽为x，高为1的长方体，
∴体积为：x3+x2，
图2中体积为：x2(x+1)，
∵体积相等，
∴x3+x2=x2(x+1)，
故答案为：x3+x2=x2(x+1)．
（2）解：①号是长，宽，高为x的正方体，②号是长，宽为x，高为1的长方体，③号长方体的长为x，宽，高为1的长方体，④号是长，宽，高为1的正方体，要拼成棱长为x+1的正方体，
∴棱长为x+1的正方体，长，宽，高都为x+1，体积为(x+1)3=x3+3x2+3x+1，
∵①号的体积为x3，②号的体积为x2，③号的体积为x，④号的体积为1，
∴①号需要1个，②号需要3个，③号需要3个，④号需要1个，
∴1个①号正方体的体积是x3，3个②号长方体的体积是3x2，3个③号长方体的体积是3x，1个④号正方体的体积是1，
∴①②③④号组成的体积是：x3+3x2+3x+1，棱长为x+1的正方体的体积是：(x+1)3，
∵体积相等，
∴x3+3x2+3x+1=(x+1)3，
故答案为：3，3，x3+3x2+3x+1=(x+1)3．
（3）解：边长为a的正方体的体积是：a3，边长为b的正方体的体积是：b3，
∴挖去后的体积为：a3−b3，
如图所示，过AB，DE把正方体分割为1,2,3部分，
∴1部分的体积为：a2(a−b)，2部分的体积为：ab(a−b)，3部分的体积为：b2(a−b)，
∴a2(a−b)+ab(a−b)+b2(a−b)=(a−b)(a2+ab+b2)，
∵体积相等，
∴a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)，
故答案为：(a−b)(a2+ab+b2)．
【点睛】本题主要考查图像变换表示多项式的和、差、积的关系，即因式分解，掌握图像的变换，体积的计算方法是解题的关键．