初中数学人教版（2024）七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数课后作业题

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数课后作业题，共34页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30330" 【题型1 正负数表示的意义】 PAGEREF _Tc30330 \h 1
\l "_Tc20943" 【题型2 有理数的相关概念】 PAGEREF _Tc20943 \h 2
\l "_Tc27109" 【题型3 利用数轴比较有理数的大小】 PAGEREF _Tc27109 \h 3
\l "_Tc3477" 【题型4 绝对值非负性的运用】 PAGEREF _Tc3477 \h 3
\l "_Tc24607" 【题型5 化简绝对值】 PAGEREF _Tc24607 \h 4
\l "_Tc27488" 【题型6 有理数的混合运算】 PAGEREF _Tc27488 \h 4
\l "_Tc19953" 【题型7 倒数的运用】 PAGEREF _Tc19953 \h 5
\l "_Tc12912" 【题型8 科学记数法表示较大的数】 PAGEREF _Tc12912 \h 6
\l "_Tc21709" 【题型9 计算“24”点】 PAGEREF _Tc21709 \h 7
【题型1 正负数表示的意义】
【例1】（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）桌子上放有6枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的4枚，至少翻转 次能使所有硬币都反面朝上．
【变式1-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如果向北走10米记作＋10米，则－8米表示( )
A．向北走8米B．向南走8米C．向西走8米D．向东走8米
【变式1-2】（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ）

A．Φ44.9B．Φ45.02C．Φ44.98D．Φ45.01
【变式1-3】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（ ）
A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约
C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约
【题型2 有理数的相关概念】
【例2】（2023春·河南新乡·七年级统考期中）把下列各数填在相应的集合内：﹣3，4，﹣2，−15，﹣0.58，0，−3.4，0.618，139，3.14．
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
负有理数集合：{ …}；
非正整数集合：{ …}．
【变式2-1】（2023春·山东日照·七年级统考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【变式2-2】（2023春·上海奉贤·六年级校联考期末）在数轴上，位于﹣2和2之间的点表示的有理数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．无数个
【变式2-3】（2023春·四川成都·七年级校考期中）有六个数：5，0，312，−0.3，−14，−π，其中分数有a个，非负整数有b个，有理数有c个，则a+b−c= ．
【题型3 利用数轴比较有理数的大小】
【例3】（2023春·安徽芜湖·七年级校考期中）在数轴上表示有理数a，b的点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b>0B．−a>bC．a−b>0D．a⋅b>0
【变式3-1】（2023春·四川攀枝花·七年级统考期中）在数轴上表示下列各数：−(−4),−|−3.5|,+(−13),0,+(+2.5),114．并用<号把这些数连接起来．
【变式3-2】（2023春·北京延庆·七年级统考期末）有理数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．n>3B．m<−1C．m>−nD．m>n
【变式3-3】（2023春·全国·七年级期中）有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间数的个数是（ ）
①−a−1；②|a+1|；③2−|a|；④12|a|．
A．1B．2C．3D．4
【题型4 绝对值非负性的运用】
【例4】（2023春·湖北武汉·七年级校考期末）点A、B在数轴上对应的数分别为a,b，满足a+2+b−52=0，点P在数轴上对应的数为x，当x= 时，PA+PB=10．
【变式4-1】（2023春·江西景德镇·七年级校考期中）如果a，b表示的是有理数，并且|a|＋|b|＝0，那么( )
A．a，b的值不存在B．a和b符号相反
C．a，b都不为0D．a＝b＝0
【变式4-2】（2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）如果x为有理数，式子2020+6x+3的最小值等于 ．
【变式4-3】（2023春·浙江杭州·七年级期中）已知a、b、c都为整数，且3(a−4)2+2|b+3|+c−1=3，则a+b+c的最小值是 ，最大值是 ．
【题型5 化简绝对值】
【例5】（2023春·江苏无锡·七年级校考期中）规定：fx=x−2，gy=y+3．例如f−4=−4−2，g−4=−4+3．下列结论中，正确的个数是（ ）
①能使fx=4成立的x的值为6或−2；
②若x>2，则fx+gx=2x+1；
③式子fx−1+gx+1的最小值是2；
④式子fx−1−gx+1的最大值是7．
A．2B．3C．4D．1
【变式5-1】（2023春·河南南阳·七年级校考期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且a=b，化简c+a−c−b+a+b= ．

【变式5-2】（2023春·河南焦作·七年级焦作市实验中学校考期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b=c
(1)若b+c+a=3，求a的值．
(2)用“<”把a，−a，b，c连按越来．
【变式5-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）a，b，c的大小关系如图所示，则a−b|a−b|−b−c|b−c|−c−a|c−a|的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【题型6 有理数的混合运算】
【例6】（2023春·山西临汾·七年级统考期中）（1）−16++4−−5−+15
（2）−3÷−34×−43
（3）127×−13−14÷56
（4）−13−211×3−−23
（5）−32+−42×2−−5÷−15−−12023
（6）−42÷−223−56−113×−115
【变式6-1】（2023春·河南许昌·七年级统考期末）在计算10−18−32+716×−42时，小明同学的解题过程如下：
10−18−32+716×−42
解：原式=10−18−32+716×16①
=10−18×16−32×16+716×16②
=10−2−24+7③
=−9④
(1)上述书写过程中，小明同学第________步出现了错误，错误的原因是________．
(2)请你帮小明同学写出正确的解答过程．
(3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就计算时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【变式6-2】（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）计算：
(1)−6−3+−7+5
(2)−18÷32×−23
(3)56−23+712×36
(4)−−2−13×−14+2−−32÷4
【变式6-3】（2023春·河北承德·七年级统考期末）已知2、3、4三个数
(1)计算：2−3÷4
(2)写出一个算式（要求每个数字都出现且只出现一次，运算符号不限），使其结果为−6
_______________________________=−6
(3)从三个任取两个数，组成算式，使其运算结果最大（提示：目前运算有加、减、乘、除、乘方）．则最大结果为：_________________
【题型7 倒数的运用】
【例7】（2023春·重庆·七年级统考期末）−1.5的倒数的绝对值的相反数为 ．
【变式7-1】（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）在数轴上，点A表示的数在−2的右边，且到−2的距离为3，则点A表示的数的倒数是（ ）
A．1B．-1C．5D．15
【变式7-2】（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求a−cd+6m+b的值．
【变式7-3】（2023春·云南红河·七年级统考期末）观察下面的解题过程，并解决问题．求−78÷134−78−712的值．
解∵134−78−712÷−78．
=134−78−712×−87．
=74×−87−78×−87−712×−87．
＝﹣2+1+23．
=−13．
∴−78÷134−78−712=−3．
请用上述方法计算：−112÷16−14+23−512．
【题型8 科学记数法表示较大的数】
【例8】（2023春·云南昆明·七年级昆明市第三中学校考期末）从疫情形势和病毒变异情况来看，奥密克戎变异株已经成为全球流行优势毒株，虽然感染人数多，但是重症率和死亡率低．从人群免疫水平来看，我国新冠疫苗接种得到普及全国截至2022年12月27日累计接种新冠病毒疫苗超过34亿剂次，疫苗接种覆盖人数和全程接种人数分别占全国总人口的92%和90%以上．人民群众健康意识、健康素养进一步提升，个人防护能力逐渐提高．其中，34亿这个数用科学记数法表示为（ ）
A．34×108B．3.4×109C．3.4×1010D．0.34×1011
【变式8-1】（2023春·安徽淮南·七年级统考期末）中央网信办等五部门印发《2023年数字乡村发展工作要点》，提出到2023年底，农村宽带接入用户数超过190000000，190000000这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．1.9×107B．19×107C．1.9×108D．0.19×109
【变式8-2】（2023春·河南商丘·七年级统考期末）截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是5.76×106人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据5.76×106原来的数是（ ）
A．576000B．576万C．57600000D．57.6万
【变式8-3】（2023春·河北邢台·七年级统考期末）若数据14320000⋯⋯0n个=1.432×1015，则n的值是（ ）
A．15B．14C．12D．11
【题型9 计算“24”点】
【例9】（2023春·辽宁鞍山·七年级统考期末）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．
(1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；
(2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．
【变式9-1】（2023春·广东惠州·七年级统考期中）有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24，例如1，2，3，4可做如下运算：1+2+3×4=24
(1)现有4个有理数：−6，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24：_________
(2)现有4个有理数：1，2，4，−8，在上述规则的基础上，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24：________________
【变式9-2】（2023春·浙江·七年级期中）小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题．
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ．
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是 ．
(3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，如：23×[1−(−2)]=8×3=24），请另写出一种符合要求的运算式子 ．
【变式9-3】（2023春·浙江杭州·七年级期末）给出四个数：−3,−4,2,6，计算“24点”，请列出四个符合要求的不同算式．
【可运用加、减、乘、除、乘方运算，可用括号；注意：例如4×(1+2+3)=24与(2+1+3)×4=24只是顺序不同，属同一个算式．】
算式1：_________________；算式2_______________；算式3：_________________；算式4_______________
专题1.13 有理数章末九大题型总结（培优篇）
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30330" 【题型1 正负数表示的意义】 PAGEREF _Tc30330 \h 1
\l "_Tc20943" 【题型2 有理数的相关概念】 PAGEREF _Tc20943 \h 3
\l "_Tc27109" 【题型3 利用数轴比较有理数的大小】 PAGEREF _Tc27109 \h 5
\l "_Tc3477" 【题型4 绝对值非负性的运用】 PAGEREF _Tc3477 \h 8
\l "_Tc24607" 【题型5 化简绝对值】 PAGEREF _Tc24607 \h 10
\l "_Tc27488" 【题型6 有理数的混合运算】 PAGEREF _Tc27488 \h 13
\l "_Tc19953" 【题型7 倒数的运用】 PAGEREF _Tc19953 \h 18
\l "_Tc12912" 【题型8 科学记数法表示较大的数】 PAGEREF _Tc12912 \h 20
\l "_Tc21709" 【题型9 计算“24”点】 PAGEREF _Tc21709 \h 21
【题型1 正负数表示的意义】
【例1】（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）桌子上放有6枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的4枚，至少翻转 次能使所有硬币都反面朝上．
【答案】3
【分析】用“+”表示正面朝上，用“−”表示正面朝下，找出最少翻转次数能使硬币正面全部朝下的情况即可．
【详解】解：用“+”表示正面朝上，用“−”表示正面朝下，
开始时+ + + + + +，
第一次− − − − + +，
第二次− + + + − +，
第三次− − − − − −，
∴至少翻转3次能使所有硬币都反面朝上，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了正负数的应用，根据朝上和朝下的两种状态对应正负号，尝试满足题意的最次数是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如果向北走10米记作＋10米，则－8米表示( )
A．向北走8米B．向南走8米C．向西走8米D．向东走8米
【答案】B
【分析】利用相反意义的量的相反词即可判断．
【详解】解：向南走8米与向北走10米是具有相反意义的量，
向北走10米记作＋10米，
－8米表示向南走8米，
故选B．
【点睛】本题考查相反意义的量问题，掌握相反意义的量，会用相反词识别相反意义的量的问题是解题关键．
【变式1-2】（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ）

A．Φ44.9B．Φ45.02C．Φ44.98D．Φ45.01
【答案】A
【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围为44.96≤零件的直径≤5.03，据此逐项判断即可解答．
【详解】解：∵45+0.03=45.03，45−0.04=44.96，
∴零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤5.03，
∴不合格的是A，合格的是BCD．
故选A．
【点睛】本题主要考查了正数和负数，解题关键在于依据正负数的意义求得零件直径的合格范围．
【变式1-3】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（ ）
A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约
C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约
【答案】A
【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可．
【详解】解：由表格，可知悉尼比北京时差为+2，所以北京时间是16点或18点，推理可得北京时间是16点，
则纽约时间为16﹣13＝3点，悉尼时间16+2＝18点，伦敦时间16﹣8＝8点，罗马时间16﹣7＝9点，
由钟表显示的时间可得对应城市为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京；
故答案为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京．
故选：A．
【点睛】本题考查正负数的应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键 ．
【题型2 有理数的相关概念】
【例2】（2023春·河南新乡·七年级统考期中）把下列各数填在相应的集合内：﹣3，4，﹣2，−15，﹣0.58，0，−3.4，0.618，139，3.14．
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
负有理数集合：{ …}；
非正整数集合：{ …}．
【答案】﹣3，4，﹣2，0；−15，﹣0.58，−3.4 ，0.618，139，3.14；﹣3，﹣2，−15，﹣0.58，−3.4；﹣3，﹣2，0
【分析】按照有理数的分类填写：有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数即可．
【详解】解： 整数集合：{﹣3，4，﹣2，0…}；
分数集合：{−15，﹣0.58，−3.4 ，0.618，139，3.14…}；
负有理数集合：{﹣3，﹣2，−15，﹣0.58，−3.4…}；
非正整数集合：{﹣3，﹣2，0…}．
故答案为：﹣3，4，﹣2，0；−15﹣0.58，−3.4 ，0.618，139，3.14；﹣3，﹣2，−15，﹣0.58，−3.4；﹣3，﹣2，0．
【点睛】此题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解答本题的关键，注意0是整数，但不是正数．
【变式2-1】（2023春·山东日照·七年级统考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案．
【详解】解：①、0是最小的整数，说法错误，因为整数有正、负、0之分；
②、一个有理数不是正数就是负数，说法错误，0既不是正数也不是负数；
③、非负数指的是正数和0，说法错误；
④、整数和分数统称有理数，说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的分类以及正数负数的有关概念，正确理解有理数的分类是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·上海奉贤·六年级校联考期末）在数轴上，位于﹣2和2之间的点表示的有理数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．无数个
【答案】D
【分析】根据有理数的定义解答问题即可．
【详解】解：∵有理数包括整数和分数，
∴在﹣2和2之间的有理数有无数个，如﹣1，0，1，12，13等等．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数的定义，能够掌握有理数所指的数的范围是解答问题的关键．
【变式2-3】（2023春·四川成都·七年级校考期中）有六个数：5，0，312，−0.3，−14，−π，其中分数有a个，非负整数有b个，有理数有c个，则a+b−c= ．
【答案】0
【分析】根据分数、非负整数和有理数的定义得到a，b，c的值，即可求解．
【详解】解：分数有312，−0.3，−14，∴a=3，
非负整数有0，5，∴b=2，
有理数有5，0，312，−0.3，−14，∴c=5，
∴a+b−c=3+2−5=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查有理数的定义，掌握分数、非负整数和有理数的定义是解题的关键．
【题型3 利用数轴比较有理数的大小】
【例3】（2023春·安徽芜湖·七年级校考期中）在数轴上表示有理数a，b的点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b>0B．−a>bC．a−b>0D．a⋅b>0
【答案】B
【分析】先根据点在数轴上的位置，判断出a、b的正负，然后在比较出a、b的大小，最后结合选项进行判断即可．
【详解】解：由点在数轴上的位置可知：a<0，b>0，a>b，
A、由于a<0，b>0，a>b，a+b<0，故本选项错误，不符合题意；
B、由于a<0，b>0，a>b，−a>b，故本选项正确，符合题意；
C、由于a<0，b>0，−b<0，a−b<0，故本选项错误，不符合题意；
D、由于a<0，b>0，a⋅b<0，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题重点考查了数轴上的点和有理数的关系，正数，负数大小的比较，绝对值等知识点，读懂数轴的信息是解答本题的关键．
【变式3-1】（2023春·四川攀枝花·七年级统考期中）在数轴上表示下列各数：−(−4),−|−3.5|,+(−13),0,+(+2.5),114．并用<号把这些数连接起来．
【答案】数轴见解析，−|−3.5|<+(−13)<0<114<+(+2.5)<−(−4)
【分析】依题意，将各个数化简成小数，然后依据数轴的性质，对各数标记在数轴上，最后按照要求用“<”连接即可；
【详解】由题知：对已知数进行化简： −(−4)=4；−−3.5=3.5；+(−13)≈−0.33；0=0；+(+2.5)=2.5；114=1.25；
依据数轴的性质：从左往右数依次增大；
∴ −−3.5<+(−13)<0<114<+(+2.5)<−(−4)
【点睛】本题主要考查数轴的性质，绝对值和正负号的运算，解题的关键是熟练数轴的使用
【变式3-2】（2023春·北京延庆·七年级统考期末）有理数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．n>3B．m<−1C．m>−nD．m>n
【答案】C
【分析】根据m，n在数轴上的位置，对选项逐个判断即可．
【详解】解：由题意可得：−1∴−3<−n<−2，
∴−n<−2<−1−n，C选项正确，符合题意；
∵0∴m故选：C．
【点睛】此题考查了数轴与有理数，绝对值和相反数，解题的关键是掌握数轴的有关知识，正确确定出m，n的大小关系．
【变式3-3】（2023春·全国·七年级期中）有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间数的个数是（ ）
①−a−1；②|a+1|；③2−|a|；④12|a|．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据相反数的定义在数轴上表示出−a，得出−2<α<−1，1<−α<2,再逐个判断即可．
【详解】解：如图，
①根据数轴可以知道：−2<α<−1，
∴1<−α<2,，
∴.0<−a−1<1，符合题意；
②∵−2<α<−1，
∴−1∴0<|a+1|<1，符合题意；
③∵−2∴1<|a|<2，
∴−2<−|a|<−1，
∴0<2−|a|<1，符合题意；
④∵1<|a|<2，
∴12<12|a|<1，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较，绝对值的意义，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
【题型4 绝对值非负性的运用】
【例4】（2023春·湖北武汉·七年级校考期末）点A、B在数轴上对应的数分别为a,b，满足a+2+b−52=0，点P在数轴上对应的数为x，当x= 时，PA+PB=10．
【答案】−72或132
【分析】由绝对值和完全平方的非负性可得a+2=0b−5=0 ，则可计算出A、B对应的数，然后分三种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵a+2+b−52=0，a+2≥0 ，(b−5)2≥0 ，
则可得：a+2=0b−5=0，
解得：a=−2b=5 ，
∴AB=5−(−2)=7 ，
①当P在A点左侧时，
PA+PB=2PA+AB=10 ，
∴PA=32 ，
则可得：−2−x=32 ，
解得：x=−72
②当P在B点右侧时，
PA+PB=2PB+AB=10 ，
∴PB=32 ，
则可得：x−5=32 ，
解得：x=132 ，
③当P在A、B中间时，
则有PA+PB=AB=7≠10 ，
∴P点不存在．
综上所述：x=132或x=−72．
故答案为：−72或132．
【点睛】本题考查了绝对值和完全平方的非负性，数轴上两点间的距离：a，b是数轴上任意不同的两点，则这两点间的距离=右边的数-左边的数，掌握数轴上两点距离和分情况讨论是本题的关键．
【变式4-1】（2023春·江西景德镇·七年级校考期中）如果a，b表示的是有理数，并且|a|＋|b|＝0，那么( )
A．a，b的值不存在B．a和b符号相反
C．a，b都不为0D．a＝b＝0
【答案】D
【分析】根据绝对值的非负性得到a和b都等于0．
【详解】解：∵a≥0，b≥0，且a+b=0，
∴a=0，b=0．
故选：D．
【点睛】本题考查绝对值的非负性，解题的关键是掌握绝对值的性质．
【变式4-2】（2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）如果x为有理数，式子2020+6x+3的最小值等于 ．
【答案】2020
【分析】根据绝对值的非负性解得即可
【详解】∵x为有理数，
∴根据绝对值的非负性：x+3≥0，
∴6x+3≥0，
∴2020+6x+3≥2020，
∴2020+6x+3的最小值为2020，
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握：任何一个数的绝对值都是非负数．
【变式4-3】（2023春·浙江杭州·七年级期中）已知a、b、c都为整数，且3(a−4)2+2|b+3|+c−1=3，则a+b+c的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】 -2 5
【分析】由3(a−4)2+2|b+3|+c−1=3以及a、b、c都为整数，得出共10种情况，分别讨论，再比较即可．
【详解】解：∵3(a−4)2+2|b+3|+c−1=3，a、b、c都为整数，
∴若3(a−4)2=1，2|b+3|=1，c−1=1，
则a和b不为整数，不符合；
若3(a−4)2=3，2|b+3|=0，c−1=0，
则a=3，b=-3，c=1或a=5，b=-3，c=1，
则a+b+c=1或3；
若3(a−4)2=0，2|b+3|=3，c−1=0，
则b不为整数，不符合；
若3(a−4)2=0，2|b+3|=0，c−1=3，
则a=4，b=-3，c=-2或4，
则a+b+c=-1或5；
若3(a−4)2=1，2|b+3|=2，c−1=0，
则a不为整数，不符合；
若3(a−4)2=1，2|b+3|=0，c−1=2，
则a不为整数，不符合；
若3(a−4)2=0，2|b+3|=1，c−1=2，
则b不为整数，不符合；
若3(a−4)2=2，2|b+3|=1，c−1=0，
则a不为整数，不符合；
若3(a−4)2=2，2|b+3|=0，c−1=1，
则a不为整数，不符合；
若3(a−4)2=0，2|b+3|=2，c−1=1，
则a=4，b=-2或-4，c=2或0，
则a+b+c=4或2或0，
∴a+b+c的最小值为-2，最大值为5，
故答案为：-2，5．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解题的关键是理解题意，能够分类讨论，从而得出最值．
【题型5 化简绝对值】
【例5】（2023春·江苏无锡·七年级校考期中）规定：fx=x−2，gy=y+3．例如f−4=−4−2，g−4=−4+3．下列结论中，正确的个数是（ ）
①能使fx=4成立的x的值为6或−2；
②若x>2，则fx+gx=2x+1；
③式子fx−1+gx+1的最小值是2；
④式子fx−1−gx+1的最大值是7．
A．2B．3C．4D．1
【答案】B
【分析】利用题目的新规定和绝对值的意义对每个结论进行判断，即可得出结论．
【详解】解：∵fx=x−2，fx=4，
∴x−2=4，
∴x−2=4或x−2=−4，
∴x=6或x=−2，
∴①的结论正确；
∵fx=x−2，gy=y+3，
∴fx+gx=x−2+x+3，
∵当x>2时，
∴fx+gx
=x−2+x+3
=x−2+x+3
=2x+1，
∴②的结论正确；
∵fx−1+gx+1
=x−1−2+x+1+3
=x−3+x+4，
又∵当−4≤x≤3时，x−3+x+4有最小值7，
∴③的结论错误；
∵fx−1−gx+1
=x−1−2−x+1+3
=x−3−x+4，
又∵当x>3时，x−3−x+4=−7，
当−4≤x≤3时，x−3−x+4=−2x−1，
当x<−4时，x−3−x+4=7|，
∴当x<−4时，式子fx−1−gx+1的最大值是7，
∴④的结论正确，
综上，正确的结论有：①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，应用新定义和绝对值的性质解题是解答本题的关键．
【变式5-1】（2023春·河南南阳·七年级校考期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且a=b，化简c+a−c−b+a+b= ．

【答案】0
【分析】先由数轴得出a，b，c的大小，再按照绝对值的化简法则化简即可；
【详解】∵由数轴可得：a<0∴b=−a,
∴c+a−c−b+a+b=−c−a+c−b+0=−a−b
当 b=−a 时
原式 =−a+a=0
故答案为0
【点睛】本题考查了数轴上的数的绝对值化简问题，属于基础知识的考查，比较简单．
【变式5-2】（2023春·河南焦作·七年级焦作市实验中学校考期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b=c
(1)若b+c+a=3，求a的值．
(2)用“<”把a，−a，b，c连按越来．
【答案】(1)−3
(2)a【分析】（1）由题意得到a=−a，根据b=c得到b+c=0，结合已知条件得到0−a=3，即a=−3；
（2）根据a>c，a【详解】（1）解：由题意得，a∴a=−a，
∵b=c，
∴b=−c，即b+c=0，
∵b+c+a=3，
∴0−a=3，
∴a=−3；
（2）解：∵ac，
∴a【点睛】本题主要考查了化简绝对值，有理数与数轴，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）a，b，c的大小关系如图所示，则a−b|a−b|−b−c|b−c|−c−a|c−a|的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【答案】B
【分析】先根据数轴分别判断出a−b，b−c，c−a的符号，然后根据绝对值的性质去绝对值，化简即可．
【详解】解：由数轴可知∶ a−b<0，b−c>0，c−a<0，
∴a−b∣a−b∣−b−c∣b−c∣−c−a∣c−a∣
=a−b−a−b−b−cb−c−c−a−c−a
=−1−1+1
=−1
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是数轴的比较大小和去绝对值，掌握利用数轴比较大小和绝对值的性质是解决此题的关键．
【题型6 有理数的混合运算】
【例6】（2023春·山西临汾·七年级统考期中）（1）−16++4−−5−+15
（2）−3÷−34×−43
（3）127×−13−14÷56
（4）−13−211×3−−23
（5）−32+−42×2−−5÷−15−−12023
（6）−42÷−223−56−113×−115
【答案】（1）−22；（2）−163；（3）−65；（4）−3；（5）−1；（6）−525
【分析】（1）利用有理数的加法法则计算即可；
（2）利用有理数的乘除混合运算即可；
（3）按照有理数混合运算的法则计算即可；
（4）利用带有乘方运算的有理数混合运算的法则计算即可；
（5）利用带有乘方运算的有理数混合运算的法则计算即可；
（6）利用带有乘方运算的有理数混合运算的法则计算即可．
【详解】解：（1）−16++4−−5−+15
=−16++4+5+−15
=−31+9
=−22；
（2）−3÷−34×−43
=−3×−43×−43
=−163；
（3）127×−13−14÷56
=127×−712×65
=−65
（4）−13−211×3−−23
=−1−211×3−−8
=−1−211×11
=−1−2
=−3
（5）−32+−42×2−−5÷−15−−12023
=−9+16×2−−5×−5−−1
=−9+32−25+1
=−1
（6）−42÷−223−56−113×−115
=16×−38−56−86×−65
=−6−12×−65
=−6+35
=−525．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的法则是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·河南许昌·七年级统考期末）在计算10−18−32+716×−42时，小明同学的解题过程如下：
10−18−32+716×−42
解：原式=10−18−32+716×16①
=10−18×16−32×16+716×16②
=10−2−24+7③
=−9④
(1)上述书写过程中，小明同学第________步出现了错误，错误的原因是________．
(2)请你帮小明同学写出正确的解答过程．
(3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就计算时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】(1)②，改变了运算的顺序
(2)25
(3)在有理数的运算中要注意确定运算结果的符号（答案不唯一）
【分析】（1）根据小明的解答过程分析即可；
（2）按照有理数混合运算的顺序计算即可；
（3）根据有理数的运算法则解答即可．
【详解】（1）由运算过程可知，小明同学第②步出现了错误，错误的原因是改变了运算的顺序．
故答案为：②，改变了运算的顺序；
（2）原式=10−18−32+716×16
=10−18×16−32×16+716×16
=10−2−24+7
=10−−15
=25；
（3）在有理数的运算中要注意确定运算结果的符号（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．
【变式6-2】（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）计算：
(1)−6−3+−7+5
(2)−18÷32×−23
(3)56−23+712×36
(4)−−2−13×−14+2−−32÷4
【答案】(1)3
(2)8
(3)27
(4)32
【分析】（1）去绝对值，再根据有理数加减法则直接计算即可得到答案；
（2）根据有理数乘除法则直接计算即可得到答案；
（3）根据有理数乘除法则直接计算即可得到答案；
（4）去绝对值，再根据有理数乘除法则直接计算即可得到答案；
【详解】（1）解：原式=−6−3+7+5
=−9+12
=3；
（2）解：原式=(−18)×23×(−23)
=8；
（3）解：原式=56×36−23×36+712×36
=30−24+21
=27；
（4）解：原式=2−13×(−1+7)÷4
=2−12
=32
【点睛】本题考查去绝对值，幂的运算，有理数加减乘除法则，解题的关键是熟练掌握有理数四则运算的法则．
【变式6-3】（2023春·河北承德·七年级统考期末）已知2、3、4三个数
(1)计算：2−3÷4
(2)写出一个算式（要求每个数字都出现且只出现一次，运算符号不限），使其结果为−6
_______________________________=−6
(3)从三个任取两个数，组成算式，使其运算结果最大（提示：目前运算有加、减、乘、除、乘方）．则最大结果为：_________________
【答案】(1)−14
(2)−3×4÷2，答案不唯一
(3)81
【分析】（1）按照有理数混合运算法则进行计算；
（2）利用12÷2=6的运算构造即可；
（3）从三个任取两个数，组成算式，使其运算结果最大，所选之数应为3，4，且用乘方计算即可．
【详解】（1）解：2−3÷4=−1÷4=−14；
（2）解：−3×4÷2=−12÷2=−6
故答案为：−3×4÷2（答案不唯一）；
（3）解：∵34=81，43=64，
∴最大结果为：81；
故答案为：81．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．
【题型7 倒数的运用】
【例7】（2023春·重庆·七年级统考期末）−1.5的倒数的绝对值的相反数为 ．
【答案】−23
【分析】根据倒数的定义、相反数的定义、绝对值的定义解答即可．
【详解】解：∵−1.5=−32，
∴−32的倒数是−23，
∴−23的绝对值是23，
∴23的相反数为−23，
∴−1.5的倒数的绝对值的相反数为−23，
故答案为−23．
【点睛】本题考查了倒数的定义，绝对值的定义，相反数的定义，掌握倒数的定义及相反数的定义是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）在数轴上，点A表示的数在−2的右边，且到−2的距离为3，则点A表示的数的倒数是（ ）
A．1B．-1C．5D．15
【答案】A
【分析】在数轴的右边找出与点A距离是3的点表示的数，再求出倒数即可．
【详解】解：∵点A表示的数在−2的右边，且到−2的距离为3，
∴点A表示的数为−2+3=1，
∴点A表示的数的倒数是1，
故选A．
【点睛】本题考查了数轴的性质，倒数的定义，熟练掌握相关性质是解题关键．
【变式7-2】（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求a−cd+6m+b的值．
【答案】2或-4
【分析】根据a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求出a+b=0．cd=1，m=±2，分两种情况代入原式计算即可．
【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b=0．cd=1，m=±2，
①m=2时，原式=a+b−cd+6m=0-1+3=2，
②m=-2时，原式=a+b−cd+6m=0-1-3=-4，
综上所述：a−cd+6m+b的值为2或-4．
【点睛】本题考查了相反数、倒数、绝对值、有理数的加减混合运算，掌握混合云算的顺序，相反数、倒数、绝对值性质的熟练应用是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·云南红河·七年级统考期末）观察下面的解题过程，并解决问题．求−78÷134−78−712的值．
解∵134−78−712÷−78．
=134−78−712×−87．
=74×−87−78×−87−712×−87．
＝﹣2+1+23．
=−13．
∴−78÷134−78−712=−3．
请用上述方法计算：−112÷16−14+23−512．
【答案】−12
【分析】仿照阅读材料中的方法先求其倒数，然后根据倒数关系求解即可．
【详解】解：16−14+23−512÷−112，
=16−14+23−512×−12，
=16×−12−14×−12+23×−12−512×−12，
=−2+3−8+5，
=-2，
∴−112÷16−14+23−512=−12．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【题型8 科学记数法表示较大的数】
【例8】（2023春·云南昆明·七年级昆明市第三中学校考期末）从疫情形势和病毒变异情况来看，奥密克戎变异株已经成为全球流行优势毒株，虽然感染人数多，但是重症率和死亡率低．从人群免疫水平来看，我国新冠疫苗接种得到普及全国截至2022年12月27日累计接种新冠病毒疫苗超过34亿剂次，疫苗接种覆盖人数和全程接种人数分别占全国总人口的92%和90%以上．人民群众健康意识、健康素养进一步提升，个人防护能力逐渐提高．其中，34亿这个数用科学记数法表示为（ ）
A．34×108B．3.4×109C．3.4×1010D．0.34×1011
【答案】B
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：34亿=3400000000=3.4×109，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【变式8-1】（2023春·安徽淮南·七年级统考期末）中央网信办等五部门印发《2023年数字乡村发展工作要点》，提出到2023年底，农村宽带接入用户数超过190000000，190000000这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．1.9×107B．19×107C．1.9×108D．0.19×109
【答案】C
【分析】将190000000写成a×10n（1【详解】解：190000000=1.9×108．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成a×10n（1【变式8-2】（2023春·河南商丘·七年级统考期末）截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是5.76×106人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据5.76×106原来的数是（ ）
A．576000B．576万C．57600000D．57.6万
【答案】B
【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
【详解】解：5.76×106=5760000=576万．
故选：B．
【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
【变式8-3】（2023春·河北邢台·七年级统考期末）若数据14320000⋯⋯0n个=1.432×1015，则n的值是（ ）
A．15B．14C．12D．11
【答案】C
【分析】根据1.432×1015，得到原数小数点向左移动了15位，而1.432×1015的小数点后包含3位数字，因此用15-12即可获得正确答案．
【详解】∵将原数用科学记数法表示为1.432×1015
∴原数小数点向左移动了15位
∵1.432×1015的小数点后包含3位数字
∴n=15−3=12
故答案为C．
【点睛】本题考查了科学记数法，对于a×10n，a的取值范围1≤a<10．
【题型9 计算“24”点】
【例9】（2023春·辽宁鞍山·七年级统考期末）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．
(1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；
(2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．
【答案】(1)5−3×2×6=24，答案不唯一
(2)见解析
【分析】（1）根据题意将其进行有理数的混合运算得到24即可；
（2）假设一组数字，再进行计算即可．
【详解】（1）由题意得：5−3×2×6=24；
（2）由题意得，假设抽取的卡牌上的数字为：2、3、4、6，
则2×6+3×4=24．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
【变式9-1】（2023春·广东惠州·七年级统考期中）有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24，例如1，2，3，4可做如下运算：1+2+3×4=24
(1)现有4个有理数：−6，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24：_________
(2)现有4个有理数：1，2，4，−8，在上述规则的基础上，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24：________________
【答案】(1)答案不唯一，见解析
(2)答案不唯一，见解析
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，写出相应的算式即可，注意本题答案不唯一；
（2）根据题意和题目中的数据，写出相应的算式即可，注意本题答案不唯一．
【详解】（1）解：10+4+−6×3
=14−6×3
=8×3
=24
10−4−3×−6
=6−−18
=6+18
=24
故答案为：10+4+−6×3=24或10−4−3×−6=24（答案不唯一）
（2）解：42−1×−8
=16−−8
=16+8
=24
故答案为：42−1×−8=24（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
【变式9-2】（2023春·浙江·七年级期中）小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题．
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ．
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是 ．
(3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，如：23×[1−(−2)]=8×3=24），请另写出一种符合要求的运算式子 ．
【答案】(1)6
(2)﹣2
(3)(−2)3×[−(2+1)]=24
【分析】（1）找出+3与+2，使其乘积最大即可；
（2）找出−2与1，使其商最小即可；
（3）利用“24点”游戏规则写出两个符合要求的式子即可．
【详解】（1）取3，2，乘积最大值为6，
故答案为：6
（2）取−2，1商的最小值为−2，
故答案为：−2
（3）(−2)3×[−(2+1)]=24；
【点睛】本题实际上是有理数的混合运算的逆运算，先给你数，让你列混合运算的式子，培养学生的逆向思维能力．
【变式9-3】（2023春·浙江杭州·七年级期末）给出四个数：−3,−4,2,6，计算“24点”，请列出四个符合要求的不同算式．
【可运用加、减、乘、除、乘方运算，可用括号；注意：例如4×(1+2+3)=24与(2+1+3)×4=24只是顺序不同，属同一个算式．】
算式1：_________________；算式2_______________；算式3：_________________；算式4_______________
【答案】(−3)×(−4)+2×6=24, (−3)×(−4+2−6)=24, 6×(−4)×(−3+2)=24, (−4)×(−3−6÷2)=(−4)×(−6)=24.
【分析】由24=12+12, 可得−3×(−4)+2×6=24,由24=−3×(−8)， 可得(−3)×(−4+2−6)=24,由24=−1×(−24), 可得6×(−4)×(−3+2)=24,由24=−4×(−6)，可得(−4)×(−3−6÷2)=(−4)×(−6)=24，从而可得答案．
【详解】解：算式1：(−3)×(−4)+2×6=12+12=24,
算式2：(−3)×(−4+2−6)=(−3)×(−8)=24,
算式3：6×(−4)×(−3+2)=(−24)×(−1)=24,
算式4：(−4)×(−3−6÷2)=(−4)×(−3−3)=(−4)×(−6)=24,
故答案为：(−3)×(−4)+2×6=24, (−3)×(−4+2−6)=24, 6×(−4)×(−3+2)=24, (−4)×(−3−6÷2)=(−4)×(−6)=24.
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，注意本题答案不唯一，这是一道开放性的题目，同时考查了学生的逆向思维．
城市
时差/h
纽约
﹣13
悉尼
+2
伦敦
﹣8
罗马
﹣7
城市
时差/h
纽约
﹣13
悉尼
+2
伦敦
﹣8
罗马
﹣7