人教版（2024）九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数同步达标检测题

这是一份人教版（2024）九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数同步达标检测题，共41页。

考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·江苏·九年级专题练习）一次函数y=cx−b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2023春·安徽滁州·九年级校考期末）已知抛物线y=x2+m+1x−14m2−1（m为整数）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=OB，则m等于（ ）
A．2+5B．2−5C．2D．−2
3．（3分）（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）已知二次函数y=mx2−2mx+2（m≠0）在−2≤x<2时有最小值−2，则m=（ ）
A．−4或−12B．4或−12C．−4或12D．4或12
4．（3分）（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）四位同学在研究二次函数y=ax2+bx−6a≠0时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x=1；乙同学发现当x=3时，y=−6；丙同学发现函数的最小值为−8；丁同学发现x=3是一元二次方程ax2+bx−6=0a≠0的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（3分）（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知二次函数y=−x+m−1x−m+1，点Ax1,y1,Bx2,y2x1A．若x1+x2>1，则y1>y2B．若x1+x2<1，则y1>y2
C．若x1+x2>−1，则y1>y2D．若x1+x2<−1，则y16．（3分）（2023春·浙江温州·九年级期末）已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过点A1，0和点B0，−3，若该抛物线的顶点在第三象限，记m=2a−b+c，则m的取值范围是（ ）
A．07．（3分）（2023春·江苏扬州·九年级校考期末）在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为8，当△ABC面积最大时，则其周长的最小值为（ ）
A．45+2B．45+4C．25+2D．25+4
8．（3分）（2023春·浙江绍兴·九年级校考期中）如图是抛物线y=ax2+bx+ca≠0的部分图象，其顶点坐标为1，n，且与x轴的一个交点在点3，0和4，0之间，则下列结论：①b=2a；②c−a=n；③抛物线另一个交点m，0在−2到−1之间；④当x<0时，ax2+b+2x≥0；⑤一元二次方程ax2+b−12x+c=0有两个不相等的实数根；其中正确的是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．②④⑤D．②③⑤
9．（3分）（2023春·辽宁鞍山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点C1，C2，…，都在y轴正半轴上，点A1在二次函数y=x2x>0图象上，以OA1，OC1为邻边作平行四边形OA1B1C1，且OC1=2OA1，延长C1B1与二次函数y=x2x>0图象交于点A2；以，C1C2为邻边作平行四边形C1A2B2C2，且C1C2=2C1A2，延长C2B2与二次函数y=x2x>0图象交于点A3；…；按此规律进行下去，若A1的横坐标为1，则A2022的坐标为（ ）
A．2021,20212B．2021,20222C．2022,20222D．2023,20232
10．（3分）（2023春·福建福州·八年级校考期末）对于二次函数y=ax2+bx+c，规定函数y=ax2+bx+cx≥0−ax2−bx−c(x<0)是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为−12,1，92,1，连接MN，若线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．−3C．n≤−1或1二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+ℎ交于A、B两点，则关于x的不等式ax2+b−kx+c>ℎ的解集为 ．

12．（3分）（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，线段PQ的端点坐标分别为P(1，2)，Q(1，3)，抛物线y=x2−2mx+3m2（m为常数，m>0）和线段PQ有公共点时，m的取值范围是 ，
13．（3分）（2023春·天津津南·九年级统考期末）抛物线y=−12x2+x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点C(2,y)在在这条抛物线上．
(1)则点C的坐标为 ；
(2)若点P为y轴的正半轴上的一点，且△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
14．（3分）（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．点D是抛物线上的一个点，作DE∥AB交抛物线于D、E两点，以线段DE为对角线作菱形DPEQ，点P在x轴上，若PQ= 12 DE时，则菱形对角线DE的长为 ．
15．（3分）（2023春·湖北孝感·九年级统考期中）如图1，在矩形ABCD中，AD＜AB，点E和F同时从点A出发，点E以1cm/s的速度沿A−D−C的方向运动，点F以1cm/s的速度沿A−B−C的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为xs，△AEF的面积为ycm2，y关于x的函数图象如图2，图象经过点3，m,n，m，则n的值为 ．
16．（3分）（2023春·江苏南京·九年级统考期末）将二次函数y=4x2+mx+n（m，n为常数）的图像沿与x轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将x轴截出长为22的线段，则该二次函数图像的顶点的纵坐标为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·安徽六安·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−x2+bx+c（b，c是常数）．
(1)当b=−2，c=3时，求该函数图象的顶点坐标．
(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，当该函数图象经过点(1,−3)时，求n关于m的函数解析式．
(3)已知b=2c+1，当0≤x≤2时，该函数有最大值8，求c的值．
18．（6分）（2023春·广东广州·九年级校考期中）为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边露墙，可利用的墙长不超过16m，另外三边由36m长的栅栏围成，设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）．

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
(3)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
19．（8分）（2023春·山西运城·九年级统考期末）画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线，小明想在下面的平面直角坐标系中画函数y＝kx＋b与函数y=x2−x−c的图象，他已经画出函数y＝kx＋b的图象，它的图象经过A(−1,0)B(2,−3)两点．在画二次函数y=x2−x−c的图象时，他根据x，y的对应关系列出了下面表格．
根据以上信息完成下面任务：
(1)请你根据表格提供的对应值，在平面直角坐标系中画出函数y=x2−x−c的图象．
(2)函数y=x2−x−c中c的值为 ；
(3)请你根据图象直接写出不等式kx+b>x2−x−c的解集；
(4)若二次函数y=x2−x−c的图象的顶点为C，则△ABC的面积为 ．
20．（8分）（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）某班“数学兴趣小组”对函数y=−x2+2x+3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m=________．
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．
(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质_______________________________；
(4)已知函数y=−x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程−x2+2x+3=−x+4的解（保留一位小数，误差不超过0.2）
21．（8分）（2023春·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx−52经过A−1,0，B5,0两点．

(1)求此拋物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC值最小，求最小值；
(3)点M为x轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（8分）（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为−32,−10．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为1,54，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM=212，EN=272，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x−ℎ）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
23．（8分）（2023春·吉林·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx−4a≠0的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC=4OB．

(1)求直线CA的表达式；
(2)求该二次函数的解析式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
(3)点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为n0(4)当−1≤x≤m时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围．
第22章 二次函数章末拔尖卷
【人教版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·江苏·九年级专题练习）一次函数y=cx−b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先假设c<0，根据二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交点的位置可判断A，C是否成立；
再假设c>0，b<0，判断一次函数y=cx−b的图象位置及增减性，再根据二次函数y=ax2+bx+c的开口方向及对称轴位置确定B，D是否成立．
【详解】解：若c<0，则一次函数y=cx−b图象y随x的增大而减小，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点在y轴负半轴，故A，C错；
若c>0，b<0，则一次函数y=cx−b图象y随x的增大而增大，且图象与y的交点在y轴正半轴上，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点也在y轴正半轴，若a>0，则对称轴x=−b2a>0，故B错；若a<0，则对称轴x=−b2a<0，则D可能成立．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象与二次函数图象的综合判断问题，解答时可假设一次函数图象成立，分析二次函数的图象是否符合即可．
2．（3分）（2023春·安徽滁州·九年级校考期末）已知抛物线y=x2+m+1x−14m2−1（m为整数）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=OB，则m等于（ ）
A．2+5B．2−5C．2D．−2
【答案】D
【分析】当x=0时，可求得B为0，−14m2−1，由OA=OB可得A为−14m2−1，0或14m2+1，0，将A的坐标代入y=x2+m+1x−14m2−1，进行计算即可得到答案．
【详解】解：当x=0时，y=−14m2−1，
∴抛物线与y轴的交点B为0，−14m2−1，
∵ OA=OB，
∴抛物线与x轴的交点A为−14m2−1，0或14m2+1，0，
∴−14m2−12+m+1−14m2−1−14m2−1=0或14m2+12+m+114m2+1−14m2−1=0，
∴−14m2−1−14m2−1+m+1+1=0或14m2+114m2+1+m+1−1=0，
∴−14m2−1=0或−14m2−1+m+1+1=0或14m2+1=0或14m2+1+m+1−1=0，
解得：m=22+2或m=−22+2或m=−2，
∵ m为整数，
∴m=−2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴、y轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
3．（3分）（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）已知二次函数y=mx2−2mx+2（m≠0）在−2≤x<2时有最小值−2，则m=（ ）
A．−4或−12B．4或−12C．−4或12D．4或12
【答案】B
【分析】先求出二次函数对称轴为直线x=1，再分m>0和m<0两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数y=mx2−2mx+2=mx−12−m+2，
∴对称轴为直线x=1，
①当m>0，抛物线开口向上，x=1时，有最小值y=−m+2=−2，解得：m=4；
②当m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x=1，在−2≤x<2时有最小值−2，
∴x=−2时，有最小值y=9m−m+2=−2，解得：m=−12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
4．（3分）（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）四位同学在研究二次函数y=ax2+bx−6a≠0时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x=1；乙同学发现当x=3时，y=−6；丙同学发现函数的最小值为−8；丁同学发现x=3是一元二次方程ax2+bx−6=0a≠0的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，假设其中一个不对时，判断其它三个条件是否同时成立．
【详解】解：当甲同学的结论正确，即当函数的对称轴是直线x=1时，−b2a=1，即b=−2a．
当乙同学的结论正确，即当x=3时，y=−6时，9a+3b−6=−6，可得b=−3a．
当丙同学的结论正确，即当函数的最小值为−8时，4ac−b24a=−24a−b24a=−8，可得b2=8a．
当丁同学的结论正确，即当x=3是一元二次方程ax2+bx−6=0a≠0的一个根时，9a+3b−6=0，可得b=2−3a．
根据b=−3a和b=2−3a不能同时成立，可知乙同学和丁同学中有一位的结论是错误的，
假设丁同学的结论错误，联立b=−2a和b=−3a，得a=0，b=0，不满足a≠0，故假设不成立；
假设乙同学的结论错误，联立b=−2a和b=2−3a，得a=2，b=−4，此时满足b2=8a，故假设成立；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数抛物线的对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键．
5．（3分）（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知二次函数y=−x+m−1x−m+1，点Ax1,y1,Bx2,y2x1A．若x1+x2>1，则y1>y2B．若x1+x2<1，则y1>y2
C．若x1+x2>−1，则y1>y2D．若x1+x2<−1，则y1【答案】A
【分析】将函数化为二次函数的一般形式，可以求得对称轴为x=12，然后根据函数图像上点的坐标与对称轴的关系即可得到答案；
【详解】解：∵y=−(x+m−1)(x−m)+1=−x2+x+m2−m+1
∴函数图像开口向下，对称轴为x=12
当x1+x2=1时，A、B两点关于对称轴对称，此时y1=y2；
当x1+x2>1时，A、B在对称轴右侧或分别在对称轴两侧且A到对称轴的距离小于B到对称轴的距离，此时y1>y2；
当x1+x2<1时，A、B在对称轴左侧或分别在对称轴两侧，且A到对称轴的距离大于B到对称轴的距离，此时y1由此可判断选项，只有A选项符合，故选A；
【点睛】本题考查了二次函数的图像，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
6．（3分）（2023春·浙江温州·九年级期末）已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过点A1，0和点B0，−3，若该抛物线的顶点在第三象限，记m=2a−b+c，则m的取值范围是（ ）
A．0【答案】B
【分析】由顶点在第三象限，经过点A1，0和点B0，−3，可得出： a>0，−b2a<0，即可得出0【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c过点1,0和点0,−3，
∴c=−3，a+b+c=0，
即b=3−a，
∵顶点在第三象限，经过点A1，0和点B0，−3，
∴a>0，−b2a<0，
∴b>0，
∴b=3−a>0，
∴a<3，
∴0∵m=2a−b+c=2a−3−a+−3=3a−6，
∵0∴0<3a<9
∴−6<3a−6<3，
∴−6故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b2a；抛物线与y轴的交点坐标为0，c．
7．（3分）（2023春·江苏扬州·九年级校考期末）在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为8，当△ABC面积最大时，则其周长的最小值为（ ）
A．45+2B．45+4C．25+2D．25+4
【答案】B
【分析】设BC=x，则高为(8−x)，设△ABC面积为S，则S=12x(8−x)，找到面积最大时的x值，过A作直线l∥BC，作B关于l的对称点E，连接CE交l于点F，则A在F处时，△ABC的周长最小，计算可以解题．
【详解】设BC=x，则高为(8−x)，设△ABC面积为S
∴S=12x(8−x)=−12(x−4)2+8，
∵ △ABC的面积最大，
∴x=4，
即BC=4，
过A作直线l∥BC，作B关于l的对称点E，连接BE交l于点G，连接CE交l于点F，则A在F处时，△ABC的周长最小，
∴BG=GE=AD=4，
∴BE=8，
∴CE=42+82=45，
∴ △ABC的周长最小值为：45+4．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题，轴对称的应用，是一道二次函数的综合题，正确运用轴对称是解题的关键．
8．（3分）（2023春·浙江绍兴·九年级校考期中）如图是抛物线y=ax2+bx+ca≠0的部分图象，其顶点坐标为1，n，且与x轴的一个交点在点3，0和4，0之间，则下列结论：①b=2a；②c−a=n；③抛物线另一个交点m，0在−2到−1之间；④当x<0时，ax2+b+2x≥0；⑤一元二次方程ax2+b−12x+c=0有两个不相等的实数根；其中正确的是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．②④⑤D．②③⑤
【答案】D
【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判别式即可求解．
【详解】解：①因为抛物线的顶点坐标为1，n，则其对称轴为x=1，
即−b2a=1，所以b=−2a，所以①错误；
②当x=1时，y=n，
所以a+b+c=n，因为b=−2a，
所以c−a=n，所以②正确；
③因为抛物线的对称轴为x=1，
且与x轴的一个交点在点3，0和4，0之间，
所以抛物线另一个交点m，0在−2到−1之间；所以③正确；
④因为ax2+b+2x≥0，即ax2+bx≥−2x，
根据图象可知：
把抛物线y=ax2+bx+ca≠0图象向下平移c个单位后图象过原点，
即可得抛物线y=ax2+bxa≠0的图象，
所以当x<0时，ax2+bx<−2x，
即ax2+b+2x<0．所以④错误；
⑤一元二次方程ax2+b−12x+c=0，
Δ=b−122−4ac，
因为根据图象可知：a<0，c>0，
所以−4ac>0，
所以Δ=b−122−4ac>0，
所以一元二次方程ax2+b−12x+c=0有两个不相等的实数根．
所以⑤正确．
综上，正确的有②③⑤，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是综合运用以上知识．
9．（3分）（2023春·辽宁鞍山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点C1，C2，…，都在y轴正半轴上，点A1在二次函数y=x2x>0图象上，以OA1，OC1为邻边作平行四边形OA1B1C1，且OC1=2OA1，延长C1B1与二次函数y=x2x>0图象交于点A2；以，C1C2为邻边作平行四边形C1A2B2C2，且C1C2=2C1A2，延长C2B2与二次函数y=x2x>0图象交于点A3；…；按此规律进行下去，若A1的横坐标为1，则A2022的坐标为（ ）
A．2021,20212B．2021,20222C．2022,20222D．2023,20232
【答案】C
【分析】由题已得A11,1，OA1=2可计算出OC1的长度，得C10,2，利用平行四边形的性质及两直线平行，其解析式的系数k相等的特性，可知直线C1B1解析式，联立y=x2x>0，可求得A22,4，同理，依此类推，可求得A33,9，寻找规律，类比可得A2022的坐标．
【详解】解：∵A1的横坐标为1，且在y=x2x>0图象上
∴A11,1，则：OA1=2，
易得OA1的解析式为：y=x，
又∵OC1=2OA1
∴OC1=2×2=2，即：C10,2
又∵OA1B1C1为平行四边形，
∴直线C1B1解析式为：y=x+2（两直线平行，其解析式的系数k相等）
联立y=x+2y=x2，
解得：x=2y=4或x=−1y=1（舍去），
即A22,4，
则：C1A2=2−02+4−22=22，C1C2=2C1A2=4，
∴C20,6，
又∵C1A2B2C2为平行四边形，
∴直线C2B2解析式为：y=x+6，
联立y=x+6y=x2，
解得：x=3y=9或x=−2y=4（舍去），
即A33,9，
由A11,1，A22,4，A33,9，得A11,12，A22,22，A33,32，
依此类推，A20222022,20222
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，能够利用两直线平行，其解析式的系数k相等这一特征求解析式是解决问题的关键．
10．（3分）（2023春·福建福州·八年级校考期末）对于二次函数y=ax2+bx+c，规定函数y=ax2+bx+cx≥0−ax2−bx−c(x<0)是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为−12,1，92,1，连接MN，若线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．−3C．n≤−1或1【答案】A
【分析】首先确定出二次函数y=−x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．
【详解】解：如图1所示：线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．

所以当x=2时，y=1，即−4+8+n=1，解得n=−3．
如图2所示：线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y=x2−4x−n与y轴交点纵坐标为1，
∴−n=1，解得：n=−1．
∴当−3如图3所示：线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y=−x2+4x+n经过点0,1，
∴n=1．
如图4所示：线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．

∵抛物线y=x2−4x−n经过点M−12,1，
∴14+2−n=1，解得：n=54．
∴1综上所述，n的取值范围是−3故选A．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，涉及二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系等，求得二次函数y=−x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+ℎ交于A、B两点，则关于x的不等式ax2+b−kx+c>ℎ的解集为 ．

【答案】x<2或x>4
【分析】根据题意得出：当ax2+bx+c>kx+ℎ时，则ax2+b−kx+c>ℎ，进而结合函数图象得出x的取值范围．
【详解】解：根据题意得出：
当ax2+bx+c>kx+ℎ时，则ax2+b−kx+c>ℎ，
由图象可得：关于x的不等式ax2+b−kx+c>ℎ的解集为：x<2或x>4，
故答案为：x<2或x>4．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，采用数形结合的思想解题，是解答此题的关键．
12．（3分）（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，线段PQ的端点坐标分别为P(1，2)，Q(1，3)，抛物线y=x2−2mx+3m2（m为常数，m>0）和线段PQ有公共点时，m的取值范围是 ，
【答案】1【分析】抛物线和线段PQ有公共点可知2【详解】解：抛物线y=x2−2mx+3m2（m为常数，m>0）和线段PQ有公共点，P(1，2)，Q(1，3)，
∴2∴当点P(1，2)在抛物线上时，1−2m+3m2=2，解得，m1=1，m2=−13；
当点Q(1，3)在抛物线上时，1−2m+3m2=3，解得，m3=1−73，m4=1+73；
∵当20，
∴m的取值范围是1故答案为：1【点睛】本题主要考查二次函数图像与线段的交点问题，掌握二次函数图像的性质，线段与图像的位置关系，数形结合分析是解题的关键．
13．（3分）（2023春·天津津南·九年级统考期末）抛物线y=−12x2+x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点C(2,y)在在这条抛物线上．
(1)则点C的坐标为 ；
(2)若点P为y轴的正半轴上的一点，且△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
【答案】 (2,4) (0,2)，(0, 12 )
【分析】（1）将点C(2,y)代入函数解析式即可得出结论；
（2）令y=0，求得点B的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用△BCP为等腰三角形和等腰三角形的解答即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点C(2,y)在抛物线y=−12x2+x+4上，
∴y=4，
∴C(2,4)，
故答案为：(2,4)；
（2）令y=0，则−12x2+x+4=0，
解得：x=4或x=−2．
∵抛物线y=−12x2+x+4与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，
∴B(4,0)．
∵点P为y轴的正半轴上的一点，①当BP=BC时，如图，

过点C作CD⊥OB于点D，
∵C(2,4)，B(4,0)，
∴CD=4，OB=4，OD=2，
∴CD=OB．
在Rt△BPO和Rt△BCD中，
BP=BCOB=DC，
∴Rt△BPO≌Rt△BCD(HL)，
∴OP=BD．
∵OB=4，OD=2，
∴BD=OB−OD=2，
∴OP=BD=2，
∴P(0,2)；
②当BP=PC时，如图，

过点C作CE⊥y轴于点E，
∵C(2,4)，B(4,0)，
∴CE=2，OE=4，OB=4，
设点P(0,a)，
∵点P为y轴的正半轴上的一点，
∴OP=a,EP=4−a，
∵BP=PC，
∴ BP2=PC2，
∴ EP2+CE2=OP2+OB2，
∴ 4−a2+22=a2+42，
解得：a= 12，
∴P(0, 12 )．
综上，当△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为(0,2)或(0, 12 )．
故答案为：(0,2)或(0, 12 )．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，等腰三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
14．（3分）（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．点D是抛物线上的一个点，作DE∥AB交抛物线于D、E两点，以线段DE为对角线作菱形DPEQ，点P在x轴上，若PQ= 12 DE时，则菱形对角线DE的长为 ．
【答案】1+652或−1+652
【分析】设菱形DPEQ对角线的交点为M，则PQ⊥DE，PM= 12 PQ，设点D的横坐标为t，由此表示出DE的长，PM的长，进而可得PQ的长，根据PQ= 12 DE建立方程，求解即可．
【详解】解：如图，由抛物线的解析式可知，抛物线y=x2−2x−3的对称轴为直线x=1，
设菱形DPEQ对角线的交点为M，则PQ⊥DE，PM= 12 PQ，
∵点D是抛物线上的一个点，且DE∥AB，设点D的横坐标为t，
∴Dt，t2−2t−3，
∵DE∥AB，
∴点D，点E关于对称轴对称，
∴点P和点Q在对称轴上，
∴E(2−t，t2−2t−3)，
∴DE=(2−2t)，PM=t2−2t−3，
∴PQ=2PM=2t2−2t−3，
∵PQ=12DE，
∴2t2−2t−3=122−2t，
解得t1= 5−654，t2= 5+654(舍去)，t3= 3−654，t4= 3+654(舍去)，
∴DE=2−2t= 1+652或−1+652．
故答案为：1+652或−1+652．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质由点D的坐标表示出PQ的长是解题关键．
15．（3分）（2023春·湖北孝感·九年级统考期中）如图1，在矩形ABCD中，AD＜AB，点E和F同时从点A出发，点E以1cm/s的速度沿A−D−C的方向运动，点F以1cm/s的速度沿A−B−C的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为xs，△AEF的面积为ycm2，y关于x的函数图象如图2，图象经过点3，m,n，m，则n的值为 ．
【答案】3+6/6+3
【分析】分析图形可知，图2中的图象分为三段：当点E在AD上时；当点F在AB上，且点E在CD上时；当点F在BC上，且点E在CD上时．图2中的最高点是当点F与点B重合时，y的值为2.5；当点E和点F相遇时，即到达点C时，用时6秒．由此可求出AB=5，AD=1，由此可求出当点E运动3秒后y的值，即可求出m的值，进而可求出n的取值．
【详解】解：由图2可知，当点F运动到点B时，
y=12•AB•AD=2.5，即AB•AD=5，
当点E和点F相遇时，即到达点C时，运动了6秒，即AB+AD=6cm，
AB6−AB=5，
∴AB=5或AB=1，
∵AD＜AB，
∴AB=5，
∴AB=5cm，AD=1cm，
当x=3时，如图，AF=xcm，
m=12•AF•EM=12×3×1=32cm2；
当x=n时，点E在CD上，点F在BC上，如图，
此时，EC=6﹣ncm，CF=6﹣ncm，BF=n﹣5cm，
∴y=12×6−n+5×1−12×5n−5−12×6−n2=32，
解得n=3+6或n=3−6（舍去）．
故答案为：3+6．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据一元二次方程和二次函数和一次函数图象与性质解决问题，能够准确进行分类讨论是解题的关键．
16．（3分）（2023春·江苏南京·九年级统考期末）将二次函数y=4x2+mx+n（m，n为常数）的图像沿与x轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将x轴截出长为22的线段，则该二次函数图像的顶点的纵坐标为 ．
【答案】−8
【分析】设设翻折后图像与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=−m4,x1x2=n4,再进行变形得出x1+x22−4x1x2=8,再代入可得m2−1616=8,进而可得出该二次函数图像的顶点的纵坐标
【详解】∵二次函数y=4x2+mx+n（m，n为常数）的图像沿与x轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将x轴截出长为22的线段，
∴翻折前两交点间的距离不变，
设翻折后图像与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，
则x1+x2=−m4,x1x2=n4,
∴x1−x2=22,
∴x1−x22=8,
∴x1+x22−4x1x2=8,
∴−m42−4×n4=8,
∴m2−1616=8,
又∵y=4x2+mx+n的纵坐标为4×4n−m24×4=16n−m216，
∴16−m216=−8,
即该二次函数图像顶点纵坐标为−8
故答案为：−8
【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，根据翻折的特征求得翻折后的图像与x轴交点之间的距离是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·安徽六安·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−x2+bx+c（b，c是常数）．
(1)当b=−2，c=3时，求该函数图象的顶点坐标．
(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，当该函数图象经过点(1,−3)时，求n关于m的函数解析式．
(3)已知b=2c+1，当0≤x≤2时，该函数有最大值8，求c的值．
【答案】(1)−1,4
(2)n=m2−2m−2
(3)2
【分析】（1）将二次函数化为顶点式求解即可；
（2）根据二次函数的性质和已知条件得到m=b2，n=c+b24，b=2m，c=−2−2m，进而求解即可；
（3）当b=2c+1时，二次函数y=−x2+2c+1x+c的对称轴为直线x=2c+12=c+12，开口向下，分0≤c+12≤2 、c+12<0、c+12>2三种情况，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当b=−2，c=3时，y=−x2−2x+3=−x+12+4，
∴此时该函数图象的顶点坐标为−1,4；
（2）解：∵该函数图象经过点(1,−3)，
∴−1+b+c=−3，则c=−2−b，
∵该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，
∴m=−b2×−1=b2，n=4×−1×c−b24×−1=4c+b24=c+b24，
∴b=2m，c=−2−2m，
∴n=−2−2m+4m24，即n=m2−2m−2；
（3）解：当b=2c+1时，二次函数y=−x2+2c+1x+c的对称轴为直线x=2c+12=c+12，开口向下，
∵0≤x≤2，
∴当0≤c+12≤2即−12≤c≤32时，该函数的最大值为4×−1×c−2c+124×−1=c+2c+124=8，即4c2+8c−31=0，
解得c1=−1+352（不合题意，舍去），c2=−1−352（不合题意，舍去）；
当c+12<0即c<−12时，0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴当x=0时，y有最大值为c=8，不合题意，舍去；
当c+12>2即c>32时，0≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y有最大值为−22+22c+1+c=8，
解得c=2，符合题意，
综上，满足条件的c的值为2．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第（3）问是解答的关键．
18．（6分）（2023春·广东广州·九年级校考期中）为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边露墙，可利用的墙长不超过16m，另外三边由36m长的栅栏围成，设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）．

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
(3)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)y=−2x2+36x10≤x<18
(2)x=10
(3)x=10，y有最大值，最大值是160
【分析】（1）根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，并由0<36−2x≤16求出自变量x的取值范围即可；
（2）若矩形空地的面积为160m2，则由y=160可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可；
（3）把（1）中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：根据题意得：y=x36−2x=−2x2+36x,
∵0<36−2x≤16，
∴10≤x<18，
∴y与x之间的函数关系式为y=−2x2+36x10≤x<18；
（2）解：由题意得：−2x2+36x=160，
即x2−18x+80=0，
x−8x−10=0
解得x1=8，x2=10，
∵10≤x<18，
∴x1=8不符合题意，故舍去，
∴x=10；
（3）解：由（1）知y=−2x2+36x10≤x<18，
化成顶点式：y=−2x2+36x=−2x−92+162，
因为y=−2x−92+162开口向下，x值越靠近对称轴x=9，y值最大，且10≤x<18，
∴当x=10时，y有最大值，且为y=−2×10−92+162=−2+162=160，
此时AD=36−2x=36−20=16m，符合题意．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．（8分）（2023春·山西运城·九年级统考期末）画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线，小明想在下面的平面直角坐标系中画函数y＝kx＋b与函数y=x2−x−c的图象，他已经画出函数y＝kx＋b的图象，它的图象经过A(−1,0)B(2,−3)两点．在画二次函数y=x2−x−c的图象时，他根据x，y的对应关系列出了下面表格．
根据以上信息完成下面任务：
(1)请你根据表格提供的对应值，在平面直角坐标系中画出函数y=x2−x−c的图象．
(2)函数y=x2−x−c中c的值为 ；
(3)请你根据图象直接写出不等式kx+b>x2−x−c的解集；
(4)若二次函数y=x2−x−c的图象的顶点为C，则△ABC的面积为 ．
【答案】(1)详情见详解；
(2)c=−3
(3)−1(4)3
【分析】（1）根据表格中的坐标在坐标系中描点连线即可；
（2）选择一个表格中的点代入即可求解；
（3）根据图像找出两个函数的交点坐标即可求解；
（4）求出顶点C 坐标，过C作CH垂直于x轴交 AB于H，根据S△ABC=S△ACH+S△BCH即可求解；
【详解】（1）如图：

（2）根据表格可知，y=x2−x−c的图象经过点(−1,0)
将(−1,0)代入y=x2−x−c可得：c=−3
（3）根据表格和图像可知，y=x2−x−c的图像和y＝kx＋b的两个交点分别是：−1,0和 (2,−3)
∴不等式 kx+b>x2−x−c 的解为 −1（4）∴顶点C 坐标为 (1,−4)，过C作CH垂直于x轴交 AB于H
则H(1,−2)
∵A(−1,0)B(2,−3)
∴S△ABC=S△ACH+S△BCH=12×2×2+12×2×1=3
故 △ABC 的面积为3．

【点睛】该题考查了二次函数画图方法，二次函数图像的性质、二次函数与一次函数交点确定以及与不等式相结合与三角形面积相结合的相关知识点和解题方法，解答该题的关键是熟悉这些知识点并能够熟练运用．
20．（8分）（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）某班“数学兴趣小组”对函数y=−x2+2x+3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m=________．
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．
(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质_______________________________；
(4)已知函数y=−x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程−x2+2x+3=−x+4的解（保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)函数图象关于y轴对称（答案不唯一）
(4)x1=0.6，x2=2.6
【分析】（1）把x=2代入解析式即可求得答案；
（2）描点后、用光滑曲线顺次连接即可；
（3）观察图象可得函数的性质；
（4）观察图象即可获得交点横坐标，即可得解．
【详解】（1）解：当x=2时，m=−22+22+3=−4+4+3=3，
故答案为：3；
（2）解：描点，连线得出函数图象如图：
；
（3）解：由图可知，该函数图象关于y轴对称．
故答案为：函数图象关于y轴对称；
（4）解：观察图象可得y=−x+4与y=−x2+2x+3图象交点的横坐标为：0.6、2.6．
∴方程−x2+2x+3=−x+4的解为：x1=0.6，x2=2.6．
【点睛】本题考查了函数图象上的点的特征，描点法画函数图象，函数与方程的联系．图象法解方程等知识，解题的关键在于熟练掌握函数的性质，图象的画法．
21．（8分）（2023春·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx−52经过A−1,0，B5,0两点．

(1)求此拋物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC值最小，求最小值；
(3)点M为x轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=12x2−2x−52
(2)552
(3)4,−52，2+14,52，2−14,52
【分析】（1）把A−1,0，B5,0两点代入求出a、b的值即可；
（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为5,0，连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；
（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−52经过A−1,0，B5,0两点，
∴a−b−52=025a+5b−52=0，
解得：a=12，b=−2，
∴此拋物线的解析式为y=12x2−2x−52；
（2）如图，连接BC，交对称轴于点P，

∵拋物线的解析式为y=12x2−2x−52，
∴其对称轴为直线x=−b2a=−−22×12=2，
当x=0时，y=−52，
∴C0,−52，
又∵B5,0，
∴设BC的解析式为y=kx+bk≠0，
∴5k+b=0b=−52，
解得：k=12，b=−52，
∴ BC的解析式为y=12x−52，
当x=2时，y=2×12−52=−32，
∴P2,−32，
∴PA+PC=−1−22+32+02+0−22+−52+322=552；
（3）存在，如图所示：

①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为x=2，C0,−52，
∴N14,−52，
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，
在△AN2D和△M2CO中，
∠N2AD=∠CM2OAN2=CM2∠N2DA=∠COM2，
∴△AN2D≌△M2COASA，
∴N2D=OC=52，即N2点的纵坐标为52
∴12x2−2x−52=52，
解得：x=2+14或x=2−14，
∴N22+14,52，N32−14,52，
综上所述符合条件的N的坐标有4,−52，2+14,52，2−14,52．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，两点间距离的求解，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
22．（8分）（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为−32,−10．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为1,54，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM=212，EN=272，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x−ℎ）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)y=−54x−12+54；4，−10
(2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析
(3)14≤a≤1625
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a0x−12+54，将0,0代入即可求得解析式；令y=−10，即可求得点B的坐标；
（2）求出距点E水平距离为5米的点的纵坐标即可进行判断；
（3）分别求出当抛物线经过点M、N时的a的值即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=a0x−12+54
将0,0代入解析式得：a0=−54
∴抛物线的解析式为y=−54x−12+54
令y=−10，则−10=−54x−12+54
解得：x1=−2(舍去),x2=4
∴入水处B点的坐标4，−10
（2）解：距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为：x=5−32=72
将x=72代入解析式得：y=−54×72−12+54=−10516
∵−10516−−10=5516<5
∴该运动员此次跳水失误了
（3）解：∵EM=212，EN=272，点E的坐标为−32,−10
∴点M、N的坐标分别为：9,−10,12,−10
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x−ℎ）2+k，顶点C距水面4米
y=a(x−132)2−14，
∴当抛物线经过点M时，把点M9,−10代入得：a=1625
同理，当抛物线经过点N 12,−10时，a=14
由点D在MN之间可得：14≤a≤1625
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．涉及了抛物线的顶点式、求抛物线上的点的坐标等．熟记二次函数的相关形式是解题关键．
23．（8分）（2023春·吉林·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx−4a≠0的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC=4OB．

(1)求直线CA的表达式；
(2)求该二次函数的解析式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
(3)点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为n0(4)当−1≤x≤m时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)y=x−4
(2)y=x2−3x−4，x<32
(3)P2，−6
(4)32≤m≤4
【分析】（1）先求出点A、点C的坐标，再用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）先求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求出二次函数的解析式，将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
（3）过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，点P的横坐标为n，Pn，n2−3n−4，则Qn，n−4，PQ=n−4−n2−3n−4=−n2+4n，从而表示出S△PCA=S△PCQ+S△PAQ=−2n−22+8，根据二次函数的性质即可得到答案；
（4）分三种情况讨论：①当−14时，x=32，y有最小值−254，x=m，y有最大值m2−3m−4；即可得到答案．
【详解】（1）解：令x=0，则y=−4，
∴ C0，−4，
∴ OC=4，
∵ OA=OC，
∴ AO=4，
∴ A4，0，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴ 4k+b=0b=−4，
解得k=1b=−4，
∴ y=x−4；
（2）解：∵ OC=4OB，
∴ OB=1，
∴ B−1，0，
将A4，0，B−1，0代入y=ax2+bx−4，
∴16a+4b−4=0a−b−4=0，
解得a=1b=−3，
∴ y=x2−3x−4，
∵y=x2−3x−4=x−322−254，a=1>0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=32，
∴函数值y随x的增大而减小时x的取值范围为x<32；
（3）解：过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，

∵点P的横坐标为n，
∴ Pn，n2−3n−4，则Qn，n−4，
∴ PQ=n−4−n2−3n−4=−n2+4n，
由（1）得A4，0，C0，−4，
∴ S△PCA=S△PCQ+S△PAQ
=12QPxP−xC+12QPxA−xP
=12QPxP−xC+xA−xP
=12QPxA−xC
=12×4×−n2+4n
=−2n−22+8，
∵ 0∴当n=2时，△PCA的面积有最大值，此时P2，−6；
（4）解：当32≤m≤4时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，
∵ y=x2−3x−4=x−322−254，
∴抛物线的对称轴为直线x=32，
①当−1∴ 0−m2−3m−4=−m2+3m+4，此时二次函数的最大值与最小值的差随m的变化而变化；
②当32≤m≤4时，x=32，y有最小值−254，x=−1，y有最大值0，
∴ 0−−254=254，此时二次函数的最大值与最小值的差是一个定值；
③当m>4时，x=32，y有最小值−254，x=m，y有最大值m2−3m−4，
∴ m2−4m−4+254=m2−3m+94，此时二次函数的最大值与最小值的差随m的变化而变化；
综上所述：32≤m≤4时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数综合—面积问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键．x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
－3
－4
－3
0
5
…
x
⋯
−4
−3
−2
−32
−1
0
1
32
2
3
4
⋯
y
⋯
−5
0
3
154
4
3
4
154
m
0
−5
⋯
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
－3
－4
－3
0
5
…
x
⋯
−4
−3
−2
−32
−1
0
1
32
2
3
4
⋯
y
⋯
−5
0
3
154
4
3
4
154
m
0
−5
⋯