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初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆课后复习题
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这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆课后复习题，共56页。
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对求与圆有关的阴影部分的面积的技巧五大题型的理解！
【题型1 直接法】
1．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，以点A为圆心，AD长为半径画弧分别交AB，AC于点E，F，过点E作EG⊥AC于点G，交AD于点H，若AB=6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9π2−932B．9π4−934C．9π−932D．9π2−934
2．（2023·云南临沧·统考三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π3B．2π5C．3π10D．3π5
3．（2023春·云南德宏·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A=80°，⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，交⊙O于点D、E，已知OD=3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4πB．13π4C．3πD．15π4
4．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以B，E为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为12π，则正六边形的边长为（ ）
A．3B．9C．32D．18
5．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，点D是BC的中点，将AD绕点A按逆时针方向旋转90°得AD'．那么图中阴影部分的面积为 ．
6．（2023春·河南南阳·九年级淅川县第一初级中学校联考期中）如图，在半径为43的扇形OAB中，∠AOB=90°，D为OB的中点，过点D作DE∥OA交AB于点E，连接OE，则图中阴影部分的面积为 ．
7．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则：
（1）图中阴影部分的面积为 ；
（2）直线DF与圆A的位置关系是 .
8．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，∠A=90°，⊙O与∠A的一边相切于点P，与另一边相交于B，C两点，且AB=1，BC=2，则扇形BC的面积为
【题型2 和差法】
1．（2023秋·云南昆明·九年级昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）如图，点D在⊙O的直径AB上，DE⊥弦BC于点E，点F为AB延长线上一点，∠BDE=∠BCF．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若∠F=∠BDE，BF=3，求阴影部分的面积．
2．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，已知点D为等腰Rt△ABC的斜边AC的中点，连接BD，以点B为圆心，BD为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F，若AB=22，请求出图中阴影部分的面积．（结果保留π）
3．（2023·福建福州·校考三模）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，DC∥AB，BC∥AD．
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
5．（2023秋·安徽芜湖·九年级统考期末）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
(1)求证：∠CAD=∠ECB；
(2)如图2．若CE是⊙O的切线，∠CAD=30°，连接OC．如图2，当AB=2时，求图中阴影部分面积．
6．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，切点为B，AC与⊙O相交于点D，点E是AD上任一点．
(1)求证：∠BED=∠DBC．
(2)已知AD=CD=3，求阴影部分的面积．（结果保留π）
7．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，点P在BC上，以点C为圆心，PC为半径画弧交边AC于点D，以点B为圆心，PB为半径画弧交边AB于点E．设PB=x，图中阴影部分的面积为y．（π取3）
(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当点P在什么位置时，y有最大值？最大值是多少？
8．（2023秋·浙江·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、D三个点在⊙O上，CD与⊙O交于点F，连结BO并延长交边AD于点E，点E恰好是AD的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若AE=1，∠BAD=75°，
①求BE的长．
②求阴影部分的面积．
【题型3 割补法】
1．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）如图，正方形的边AB=2，弧BD和弧AC都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ）
A．π2−1B．1−π4C．π3−1D．2π−4
2．（2023秋·江苏南通·九年级统考期中）德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件，下面是高斯正十七边形作法的一部分：已知AB是⊙O的直径．分别以A，B为圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点C，D两点．…若设AB长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．53π−23B．83π−23C．53π−3D．83π−43
3．（2023秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图，有一圆形纸片圆心为O，直径AB的长为2，BC//AD，将纸片沿BC、AD折叠，交于点O，那么阴影部分面积为（ ）
A．2π3−12B．π3+34C．π2−32D．2π3−32
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为半径OA的中点，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D．点E为弧AB的中点，连接CE、DE．若OA=4，则阴影部分的面积为 ．
5．（2023秋·重庆武隆·九年级校考期末）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，以A为圆心AD为半径作弧与BC交于点E，再以C为圆心，CD为半径作弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
6．（2023·重庆巴南·统考一模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=43，以点C为圆心，AC的长为半径画弧，分别交AB，BC于点D，E，以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交AB于点F，交AE于点G，则图中阴影部分的面积为 ．
7．（2023秋·浙江·九年级期中）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
（1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若在⊙O上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_______个．
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD．
①当∠A=140°时，求∠BDC的度数；
②如图3，当∠A=120°，AB=3时，求阴影部分的面积．
8．（2023秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，E为边AC的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AC=2，求阴影部分的面积．
【题型4 整体法】
1.（2023秋·北京西城·九年级校考期中）如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则其阴影部分的面积之和为________(结果保留π)．
2.（2023·山东烟台·九年级统考期末）如图，一块四边形绿化园地，四角都有半径为r的圆形喷水池，则这四个喷水池(阴影部分)的占地面积为 (结果保留π).
3.（2023秋·湖北武汉·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以B、C为圆心的两个等圆外切，两圆的半径都为2cm，则图中阴影部分的面积为______cm2．
4.（2023秋·陕西渭南·九年级校考期中）如图，在⊙O中，OA⊥OB，CD=DE= 2，∠CDE=90°，则图中阴影部分的面积为______．
5.（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，一个大圆和四个面积相等的小圆，已知大圆半径等于小圆直径，小圆半径为a厘米，那么阴影部分的面积为_____平方厘米．
6．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=40°，BC=3，分别以点B，C为圆心，BC长为半径在BC右侧画弧，两弧交于点D，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，则阴影部分的面积和为（ ）
A．3π2B．5π2C．5π3D．2π
7．（2023秋·河北承德·九年级承德市民族中学校考开学考试）求下图中阴影部分的面积．（结果保留π）
8．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【题型5 等面积变形法】
1.（2023秋·浙江宁波·九年级宁波市海曙外国语学校校考期中）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C为圆心，BC为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，BE为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为( )
A. π−1B. π−3C. π−2D. 4−π
2.（2023秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，在⊙O中，OA⊥OB，CD=DE= 2，∠CDE=90°，则图中阴影部分的面积为( )
A. π4−12
B. π4
C. π2−12
D. π2−1
3.（2023秋·福建福州·九年级校考期中）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=
，则图中阴影部分的面积是______
4.（2023秋·北京西城·九年级校考期中）如图，AB为半圆的直径，其中AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到点A'的位置，则图中阴影部分的面积是_______(结果保留π)．
5.（2023秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，扇形AOB的圆心角为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、AB上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分
的面积为______．
6.（2023秋·浙江宁波·九年级宁波市海曙外国语学校校考期中）如图，△ABC是边长为1的正三角形，AB与AC所对的圆心角均为120∘，则图中阴影部分的面积为 ．
7．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考模拟预测）如图，已知半圆O的直径AB＝4，C为⊙O上的点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，延长ED交BA延长线于点F．
（1）试判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若FDDE=21，求图中阴影部分的面积．
8．（2023秋·福建福州·九年级统考期中）如图，以BC为直径，在半径为2，圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，求图中阴影部分的面积．
专题24.10 求与圆有关的阴影部分的面积的技巧五大题型
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对求与圆有关的阴影部分的面积的技巧五大题型的理解！
【题型1 直接法】
1．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，以点A为圆心，AD长为半径画弧分别交AB，AC于点E，F，过点E作EG⊥AC于点G，交AD于点H，若AB=6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9π2−932B．9π4−934C．9π−932D．9π2−934
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC=BC=6，再利用AD是BC边上的中线得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=30°，BD=CD=3，则AD=33，易证得△AEF是等边三角形，H是等边三角形ΔAEF重心，然后根据扇形面积公式，用一个扇形的面积减去23△AEF的面积可得到图中阴影部分的面积．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC=BC=6，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=30°，BD=CD=3，
∴AD=33，
∵AE=AF=AD=33，
∴△AEF是等边三角形，
∵EG⊥AC于点G，
∴EG是∠AEF的角平分线，EG=32AE=92，
∴H是△AEF是重心，
∴S△AEF=12AF⋅EG=12×33×92=2734，
∴图中阴影部分的面积=60π×332360−23×2734=9π2−932．
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等边三角形的性质．
2．（2023·云南临沧·统考三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π3B．2π5C．3π10D．3π5
【答案】C
【分析】连接OA、OB、OC，求出∠AOF，再利用扇形公式进行计算．
【详解】解：连接OA、OB、OC，
∵正五边形ABCDE，
∴∠AOB=∠BOC=360°÷5=72°，
OB=OC，
∵ OF⊥BC，
∴∠BOF=12∠BOC=36°，
∴∠AOF=108°，
∴S=108°×π360°=3π10，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握扇形面积公式和求出AC所对的圆心角度数是解题的关键．
3．（2023春·云南德宏·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A=80°，⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，交⊙O于点D、E，已知OD=3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4πB．13π4C．3πD．15π4
【答案】B
【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，求得圆心角DOE的度数，然后根据扇形的面积公式即可解答．
【详解】解：∵∠A=80°，⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DOE=180°−12∠ABC+∠ACB=180°−12180°−∠A=130°，
∴S△DOE=130π×32360=134πcm2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题的关键．
4．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以B，E为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为12π，则正六边形的边长为（ ）
A．3B．9C．32D．18
【答案】C
【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵正六边形的内角是6−2×180°6=120°，阴影部分的面积为12π，
设正六边形的边长为r，
∴120π⋅r2360×2=12π，
解得r=32．
则正六边形的边长为32．
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算．本题的关键是根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角．
5．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，点D是BC的中点，将AD绕点A按逆时针方向旋转90°得AD'．那么图中阴影部分的面积为 ．
【答案】9π4
【分析】先根据直角三角形的性质求出AD的长，再由扇形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，点D是BC的中点，
∴AD=12BC=3，
∴S扇形ADD'=90°π×32360°=9π4，
故答案为：9π4．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
6．（2023春·河南南阳·九年级淅川县第一初级中学校联考期中）如图，在半径为43的扇形OAB中，∠AOB=90°，D为OB的中点，过点D作DE∥OA交AB于点E，连接OE，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】4π
【分析】解直角三角形求得∠DEO=30°，根据平行线的性质得到∠AOE=∠DEO=30°，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵DE∥OA，∠AOB=90°，
∴∠ODE=90°，
∵OE=OB，D为OB的中点，
∴OE=2OD，
∴∠DEO=30°，
∴∠AOE=∠DEO=30°，
∴阴影部分的面积为30π×432360=4π．
故答案为：4π．
【点睛】本题考查了平行线的性质，扇形面积的计算，求得∠AOE=30°是解题的关键．
7．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则：
（1）图中阴影部分的面积为 ；
（2）直线DF与圆A的位置关系是 .
【答案】 12π 相切
【分析】（1）根据正多边形内角和公式求出∠FAB，利用扇形面积公式求出阴影部分的面积即可；
（2）连接DF，由六边形ABCDEF是正六边形得到∠AFE=∠FED=120°，EF=DE，则 ∠EFD=∠EDF=12180−∠FED=30°，则∠AFD=90°，即AF⊥DF，即可得到结论.
【详解】（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB=6−2×180°6=120°，AB=6，
∴阴影部分的面积=120π×62360=12π，
故答案为：12π
（2）连接DF，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AFE=∠FED=6−2×180°6=120°，EF=DE，
∴∠EFD=∠EDF=12180−∠FED=30°，
∴∠AFD=∠AFE−∠EFD=120°−30°=90°，
∴AF⊥DF，
∵AF是圆A的半径，
∴DF是圆A的切线，
∴直线DF与圆A的位置关系是相切
故答案为：相切
【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算、切线的判定定理等知识，掌握扇形面积公式和切线的判定定理是解题的关键．
8．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，∠A=90°，⊙O与∠A的一边相切于点P，与另一边相交于B，C两点，且AB=1，BC=2，则扇形BC的面积为
【答案】2π3
【分析】连接OP，过O点作OE⊥BC于点E，作BF⊥OP于点F，利用垂径定理的内容得出BE=CE=12BC=1，再证明四边形OEBF、四边形PABF是矩形，即有OP=PF+OF=2，进而有OP=OB=OC=2，从而得出△OBC是等边三角形，即∠BOC=60°，利用扇形面积公式求出即可．
【详解】连接OP，过O点作OE⊥BC于点E，作BF⊥OP于点F，如图，
∵OE⊥BC，BC=2，
∴BE=CE=12BC=1，
∵⊙O与∠A的一边相切于点P，
∴AP⊥PO，
∵OE⊥BC，BF⊥OP，∠A=90°，
∴可得四边形OEBF、四边形PABF是矩形，
∵AB=1，BC=2，
∴AB=1=PF，BE=OF=1，
∴OP=PF+OF=2，
∴OP=OB=OC=2，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴S扇形BOC=60°360°×π×OP2=23π，
故答案为：23π．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定方法以及扇形的面积求法等知识，利用已知得出OP=PF+OF=2是解决问题的关键.
【题型2 和差法】
1．（2023秋·云南昆明·九年级昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）如图，点D在⊙O的直径AB上，DE⊥弦BC于点E，点F为AB延长线上一点，∠BDE=∠BCF．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若∠F=∠BDE，BF=3，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)93−3π2
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，垂直的定义以及三角形内角和定理得出∠OCF是直角即可；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及切线的性质可得出∠OCB=60°，进而求出扇形OBC所对应的圆心角的度数以及半径，再由S阴影部分=S△OCF−S扇形OBC进行计算即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∴∠BDE+∠DBE=90°，
又∵∠BDE=∠BCF，
∴∠OCB+∠BCF=90°，
即OC⊥CF，
∵OC是半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠F=∠BDE，∠BCF=∠BDE，
∴∠F=∠BCF，
∵∠OBC=∠OCB=∠F+∠BCF，
∴∠OCB=2∠BCF，
∵∠OCF=90°，
∴∠OCB=23∠OCF=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，OB=OC=BC=BF=3，
在Rt△COF中，OC=3，OF=OB+BF=6，
∴FC=OF2−OC2=33，
∴S阴影部分=S△OCF−S扇形OBC
=12×3×33−60π×32360
=932−3π2
=93−3π2．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提．
2．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，已知点D为等腰Rt△ABC的斜边AC的中点，连接BD，以点B为圆心，BD为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F，若AB=22，请求出图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】4−π
【分析】先求解BC=AB=22，AC=4，可得S△ABC=4，证明BD=12AC=2，再求解扇形面积，从而利用面积之差可得答案．
【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，AB=22，
∴BC=AB=22，AC=4，
∴S△ABC=12×22×22=4．
∵点D为AC的中点，
∴BD=12AC=2，
∴S扇形BEF=90°360°×π×22=π，
∴S阴影=S△ABC−S扇形BEF=4−π．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，扇形面积的计算，熟练的利用割补法求解阴影部分的面积是解本题的关键．
3．（2023·福建福州·校考三模）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，DC∥AB，BC∥AD．
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
(2)32−π4
【分析】（1）连接OD，易知∠DAB=∠ADO=45°，进而可知∠DOB=90°，由CD∥AB可知∠ODC=90°，即可证明结论；
（2）根据已知条件证明四边形ABCD是平行四边形，再利用阴影部分的面积S=S梯形OBCD−S扇形OBD即可求解．
【详解】（1）解：连接OD，
∵OA=OD，∠DAB=45°，
∴∠DAB=∠ADO=45°，
∴∠DOB=90°，
∵CD∥AB，
∴∠ODC=90°，即半径OD⊥CD于D，
∴CD为圆O的切线；
（2）∵⊙O的半径为1，
∴AB=2，
∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，
∴S梯形OBCD=OB+CD×OD2=1+2×12=32，
∴图中阴影部分的面积S=S梯形OBCD−S扇形OBD=32−90π×12360=32−π4．
【点睛】题考查了切线的证明，求扇形面积，平行四边形的性质与判定，求得扇形BOD的圆心角度数是解题的关键．
4．（2023·河北唐山·统考模拟预测）如图，把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在一起，且∠AOB=∠COD，连接AC．
(1)求证：△AOC≌△BOD；
(2)若OA=5cm,OC=3cm，弧AB的长为3πcm，弧CD的长为1.8πcm，求阴影部分的面积；
(3)在（2）的条件下求由扇形OAB围成的圆锥的高．
【答案】(1)见解析
(2)245πcm2
(3)912cm
【分析】（1）先证得∠AOC=∠BOD，即可利用SAS证明△AOC≌△BOD；
（2）根据S阴影=S扇形AOB+S△AOC−S扇形COD−S△BOD =S扇形AOB−S扇形COD代入计算即可；
（3）求出圆锥底面圆的半径长，利用勾股定理求出圆锥的高．
【详解】（1）证明：∵∠COD=∠AOB，
∴∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OC=OD∠AOC=∠BODOA=OB，
∴△AOC≌△BODSAS；
（2）S阴影=S扇形AOB+S△AOC−S扇形COD−S△BOD
=S扇形AOB−S扇形COD
=12×5×3π−12×3×1.8π
=245π
答：阴影部分的面积是245πcm2．
（3）圆锥底面圆的半径为3π2π=1.5cm，母线长为5cm，
∴圆锥的高=52−1.52=912cm．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和扇形的面积，勾股定理， 正确掌握扇形的面积公式是解题的关键．
5．（2023秋·安徽芜湖·九年级统考期末）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
(1)求证：∠CAD=∠ECB；
(2)如图2．若CE是⊙O的切线，∠CAD=30°，连接OC．如图2，当AB=2时，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)S阴影=3+23π
【分析】（1）先判断出∠CBE=∠D，再用等角的余角相等，即可得出结论；
（2）先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是菱形，求出AC，BC，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE=∠D，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∴∠CBE+∠CAD=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE；
（2）解：∵∠CAD=30°，
∴∠COD=2∠CAD=60°，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵CE⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠DAB=∠COD=60°，
由（1）知，∠CBE+∠CAD=90°，
∴∠CBE=90°−∠CAD=60°=∠DAB，
∴BC∥OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴▱ABCO是菱形；
∴OA=OC=AB=2，
∴AD=2OA=4，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴CD=2，AC=23，
∴S阴影=S△AOC+S扇形COD=12×12×2×23+60π×22360=3+2π3．
【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的判定、扇形的面积公式，判断出BC∥OA是解本题的关键．
6．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，切点为B，AC与⊙O相交于点D，点E是AD上任一点．
(1)求证：∠BED=∠DBC．
(2)已知AD=CD=3，求阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】(1)见解析
(2)9π−188
【分析】(1)利用圆周角定理得到∠A+∠ABD=90°，再根据切线的性质得∠DBC+∠ABD=90°，再根据圆周角定理可证得结论；
(2)连接OD，首先利用直角三角形斜边上的中线性质得到BD=AD=CD=3，可证得△ABD为等腰直角三角形，根据勾股定理可求得AB=32，∠A=45°，再利用圆周角定理可得到∠BOD=90°，然后根据扇形面积公式，利用S阴=S扇形BOD−SRt△BOD进行计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵BC与⊙O相切，切点为B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
∴∠A=∠DBC，
∵∠A=∠BED，
∴∠BED=∠DBC；
（2）解：如图：连接OD，
∵AD=CD=3，
∴BD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴BD=AD=CD=3，
又∵∠ADB=90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=AB2+BD2=32+32=32，∠A=45°，
∴∠BOD=2∠A=90°，OB=12AB=322，
∴S阴=S扇形BOD−SRt△BOD
=90π⋅OB2360−12OB⋅OD
=90π×3222360−12×3222
=9π−188
故阴影部分的面积为9π−188．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式，得到△ABD为等腰直角三角形是解决本题的关键．
7．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，点P在BC上，以点C为圆心，PC为半径画弧交边AC于点D，以点B为圆心，PB为半径画弧交边AB于点E．设PB=x，图中阴影部分的面积为y．（π取3）
(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当点P在什么位置时，y有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)y=−34x2+32x−122−2≤x≤2；
(2)当PB=1时，即为BC的中点，y有最大值，最大值为1．
【分析】（1）利用扇形面积以及等腰直角三角形的性质得出面积即可，利用三角形边长得出自变量x的取值范围；
（2）利用（1）中所求求出面积最值即可．
【详解】（1）解：（1）∵AB=AC=2，
∴BC=2，
∵设PB=x，
∴PC=2−x，
∴y=12×2×2−45π•x2360−45π•2−x2360
=1−πx26−π2−x26=1−π2−2x+x24≈−34x2+32x−12
∵以B为圆心、PB为半径画弧交边AB于E，
∴CP=2−x，BP=x，
则0≤2−x≤20≤x≤2，
∴2−2≤x≤2；
（2）解：∵y=−34x2+32x−12=−34x−12+14，
∴当x=1时，y最大=14，
当PB=1时，即为BC的中点，y有最大值，最大值为1．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及扇形面积求法和二次函数的最值求法，根据已知得出y与x的函数关系是解题关键．
8．（2023秋·浙江·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、D三个点在⊙O上，CD与⊙O交于点F，连结BO并延长交边AD于点E，点E恰好是AD的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若AE=1，∠BAD=75°，
①求BE的长．
②求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①BE=2+3，②1+3−23π
【分析】（1）根据垂径定理可得BE⊥AD，再结合平行四边形的性质推出BE⊥BC，即可得证；
（2）①由平行四边形的性质以及垂径定理可推出∠BAO=∠ABO=15°，∠AOE=30°，然后在Rt△AOE中分别求出AO，OE，从而得出结论；②连接OD，OF，BF，然后根据S阴影=S梯形BCDE−S△DOE−S△DOF−S扇形BOF求解即可．
【详解】（1）由题意，根据垂径定理BE⊥AD，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD//BC，
∴BE⊥BC，
∵OB为半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图，连接AO，
∵AD//BC，∠BAD=75°，
∴∠ABC=105°，
∵∠OBC=90°，
∴∠ABO=105°−90°=15°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=15°，
∴∠OAE=75°−15°=60°，
∴在Rt△AOE中，∠AOE=30°，
∴AO=2AE=2，OE=3AE=3，
∴BO=AO=2，
∴BE=BO+OE=2+3，
∴BE=2+3；
②如图，连接OD，OF，BF，
由题意，∠ADC=105°，
由①可知，∠ODE=60°，∠DOE=30°，
∴∠ODF=45°，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD=45°，
∴∠DOF=90°,△ODF为等腰直角三角形，
∴∠BOF=60°，
∴S阴影=S梯形BCDE−S△DOE−S△DOF−S扇形BOF，
由①可知，ED=AE=1，BC=AD=2，
∴S梯形BCDE=12ED+BC·BE=12×1+2×2+3=3+332，
S△DOE=12ED·OE=12×1×3=32，
S△DOF=12DO·OF=12×2×2=2，
S扇形BOF=60π×22360=2π3，
∴S阴影=3+332−32−2−2π3=1+3−2π3，
∴阴影部分的面积S=1+3−23π．
【点睛】本题考查证明圆的切线，垂径定理，以及与扇形相关的阴影部分面积计算问题，掌握证明切线的方法，熟记扇形的面积计算是解题关键．
【题型3 割补法】
1．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）如图，正方形的边AB=2，弧BD和弧AC都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ）
A．π2−1B．1−π4C．π3−1D．2π−4
【答案】D
【分析】设弧BD和弧AC的交点为E,连接DE、AE,作EF⊥AD.先求出S△ADE，再求出S扇形ADE，即可得到S拱形DE.再根据S空白ADE =S扇形ADE+S拱形AE即可得到空白ADE的面积.再根据S阴影DCE=S扇形DCE−S拱形DE即可得到得到阴影DCE的面积，再用S空白BCE=S正方形ABCD−S扇形ABD−S阴影DCE即可得到空白BCE的面积，最后用S空白ADE−S空白BCE即可得到图中空白两部分的面积之差.
【详解】设弧BD和弧AC的交点为E,连接DE、AE,则△ADE是等边三角形
作EF⊥AD，则DF=1,DE=2
EF=22−12=3
∴S△ADE=12×2×3=3
S扇形ADE=60360⋅π⋅22=23π
∴S拱形DE=23π−3
∴S拱形AE=23π−3
∴S空白ADE =S扇形ADE+S拱形AE=23π+(23π−3)=43π−3
S阴影DCE=S扇形DCE−S拱形DE
=30360⋅π⋅22−(23π−3)
=3−π3
S空白BCE=S正方形ABCD−S扇形ABD−S阴影DCE
=22−14⋅π⋅22−(3−π3)
=4−2π3−3
∴S空白ADE−S空白BCE=43π−3−(4−2π3−3)=2π−4
故选：D
【点睛】本题主要考查了圆中求不规则图形的面积，熟练掌握扇形的面积公式及拱形面积的计算方法是解题的关键
2．（2023秋·江苏南通·九年级统考期中）德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件，下面是高斯正十七边形作法的一部分：已知AB是⊙O的直径．分别以A，B为圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点C，D两点．…若设AB长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．53π−23B．83π−23C．53π−3D．83π−43
【答案】A
【分析】利用作法得到BC=BA=AC=BD=AD，则△ACB和△ADB都是等边三角形，所以∠ABC=∠ABD=60°，然后根据扇形的面积公式求出扇形面积，再减去三角形的面积求出弓形的面积再减圆的面积可求出阴影的面积．
【详解】解：连接AC、BC、DA、DB，如图，
由作法得BC=BA=AC=BD=AD=2，
∴△ACB和△ADB都是等边三角形，
∴∠ABC=∠ABD=60°，
∴∠CAD=120°，
∴S扇形CAD =120π×22360=43π
∴S△CAD =23×12=3
∴S阴影 =2（S扇形CAD - S△CAD -12S圆）=2（43π-3-12 π）
=83π-23-π
=53π−23
故选A．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了扇形的面积公式．
3．（2023秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图，有一圆形纸片圆心为O，直径AB的长为2，BC//AD，将纸片沿BC、AD折叠，交于点O，那么阴影部分面积为（ ）
A．2π3−12B．π3+34C．π2−32D．2π3−32
【答案】D
【分析】如图，过点O作OG⊥BC于G，延长交⊙O于E，反向延长GO交AD于H，连接OC、OD，由折叠得OG=GE=12，利用OC=1，求出∠OCG=30°，CG=OC2−OG2=32，得到BC=2CG=3，∠BOC=120°，同理：AD=3，证明△BOG≌△AOH，推出OG=OH，得到弓形BC与弓形AD的面积相等，利用阴影的面积=2（S扇形BOC-S△BOC）代入数值计算即可．
【详解】如图，过点O作OG⊥BC于G，延长交⊙O于E，反向延长GO交AD于H，连接OC、OD，
由折叠得OG=GE，
∵OG⊥BC，
∴∠OGC=90°，CG=BG，
∵OG=12OE=12，OC=1，
∴∠OCG=30°，CG=OC2−OG2=32，
∴BC=2CG=3，∠BOC=120°，
同理：AD=3，
∵AD∥BC，
∴∠OBC=∠OAD，OH⊥AD，
∵OA=OB，
∴△BOG≌△AOH，
∴OG=OH，
∴弓形BC与弓形AD的面积相等，
∴阴影的面积=2（S扇形BOC-S△BOC）=2×(120π×12360−12×3×12)=2π3−32，
故选：D．
．
【点睛】此题考查折叠的性质，同圆的半径相等，垂径定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行线的性质，扇形面积计算公式，全等三角形的判定及性质，熟记各部分知识并综合运用是解题的关键．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为半径OA的中点，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D．点E为弧AB的中点，连接CE、DE．若OA=4，则阴影部分的面积为 ．
【答案】π+22/22+π
【分析】连接CD，OE，OE交CD于J，如图所示，证明CD⊥OE，求出四边形OCED的面积，进而得到阴影部分BDE面积和阴影部分CDE面积，求和即可解决问题．
【详解】解：连接CD，OE，OE交CD于J，如图所示：
由点C为半径OA的中点可知OC=AC，
∴由圆的性质可知OD=OC,OB=OA，即OD=DB，
∵点E为弧AB的中点，即AE=EB，
∴∠AOE=∠BOE，
在等腰Rt△COD中，OD=OC，∠COD=90°，由等腰三角形“三线合一”可知CD⊥OE，
∵ OA=4，点C为半径OA的中点，
∴OC=AC=OD=12OA=2，
在等腰Rt△COD中，∠COD=90°，CD=OC2+OD2=22+22=22，
∴CJ=OJ=JD=2，
∴S四边形OCED=12⋅CD⋅OE=42，则S阴影CDE=S四边形OCED−S扇形COD=42−14π×22=42−π；
由圆的对称性可知，ACE面积等于阴影部分BDE，
∴S阴影BDE=12S扇形AOB−S四边形OCED=12×14⋅π⋅42−42=2π−22，
S阴影=42−π+2π−22=π+22，
故答案为：π+22．
【点睛】本题考查扇形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，从图中将不规则图形转化为规则图形的面积来表示．
5．（2023秋·重庆武隆·九年级校考期末）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，以A为圆心AD为半径作弧与BC交于点E，再以C为圆心，CD为半径作弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】4−32−7π12
【分析】连接AE，根据矩形的性质得出∠A=∠C=∠B=90°，AD=BC=2，AB=CD=1，AD∥BC，求出∠DAE=∠AEB=30°，根据勾股定理求出BE，根据图形得出阴影部分的面积S=（S矩形ABCD−S扇形DAE−S△ABE）+（S矩形ABCD−S扇形DCF），再求出答案即可．
【详解】解：如图，连接AE，则AD=AE=2，
∵四边形ABCD是矩形，AB=1，
∴∠A=∠C=∠B=90°，AD=BC=2，AB=CD=1，AD∥BC，
∴AB=12AE，
∴∠AEB=30°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=30°，
由勾股定理得：BE=AE2−AB2=22−12=3，
∴阴影部分的面积S=（S矩形ABCD−S扇形DAE−S△ABE）+（S矩形ABCD−S扇形DCF）
=（1×2− 30π×22360−12×1×3）+（1×2−90π×12360）
=4−32−7π12；
故答案为：4−32−7π12．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理和扇形面积的计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：已知扇形的圆心角是n°，半径是r，那么这个扇形的面积=nπr2360．
6．（2023·重庆巴南·统考一模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=43，以点C为圆心，AC的长为半径画弧，分别交AB，BC于点D，E，以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交AB于点F，交AE于点G，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】4π−43
【分析】连接CG,EG，则阴影部分的面积为S扇形CEG−S△CEG+S扇形DCG，计算即可.
【详解】如图，连接CG,EG，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，BC=43，
∴AC=CG=CD=CE=EG=4，∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，△CEG是等边三角形，
∴∠GCD=∠DCE =30°，∠GCE=60°，
∴阴影部分的面积为：
S扇形CEG−S△CEG+S扇形DCG
=60×π×42360−12×4×4×32+30×π×42360
=4π−43.
故答案为：4π−43.
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，拱形的面积，熟练运用扇形的面积公式，正确进行图形面积的分割是解题的关键.
7．（2023秋·浙江·九年级期中）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
（1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若在⊙O上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_______个．
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD．
①当∠A=140°时，求∠BDC的度数；
②如图3，当∠A=120°，AB=3时，求阴影部分的面积．
【答案】（1）4个；（2）①40°或70°或100°；②3π-934
【分析】(1)根据等腰三角形的画法画图即可判断；
(2) ①求出∠C的度数，再分类讨论，求∠BCD即可；②连结OA、OB、OC，得出△BCD是等边三角形，求出圆心角和半径，运用公式求出扇形面积和三角形面积即可．
【详解】（1）如图，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到4个，
故答案为：4
（2）①∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠A=140°
∴∠C=180°−∠A=40°
当BC=BD时，∠BDC=∠C=40°；
当BD=DC时，∠BDC=180°−2∠C=100°；
当BC=CD时，∠BDC=180°−∠C2=70°
②连结OA、OB、OC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠DAB=120°，
∴∠BCD=180°−∠DAB=60°，
∵△BCD是圆等三角形，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BOC=2∠BDC=120°，
∵AB=AD，
∴∠AOB=12∠BOD=∠BCD=60°，
∵BO=AO，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=3，
过点O作OE⊥BC，
∴∠BOE=60°，
∴OE=1.5，BE=1.53，
S△BOC=12×33×32=934，
∴扇形BOC的面积为：120⋅π⋅32360=3π，
阴影部分面积为：3π-934．
【点睛】本题考查了圆周角的定理和等腰三角形的性质，求扇形面积，解题关键是准确理解题意，熟练运用圆的有关知识、等腰三角形的性质进行解题．
8．（2023秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，E为边AC的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AC=2，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）33−π2．
【分析】（1）分别连结OD，CD，可证得 △ACD 是直角三角形，根据点 E 是斜边 AC 的中点，得到 ∠ECD=∠EDC ，由∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°得∠EDC+∠ODC=∠ODE=90° ，从而证得直线 DE与 ⊙O 的切线；
（2）由（1）已证∠ODF=90°，根据∠B=30°，可得∠DOF=60°，得到∠F=30°，在 RtΔABC 中，可求得BC长，从而得到OD长，在 RtΔODF 中，可求得DF长，所以阴影部分面积=△ODF的面积-扇形OCD的面积 .
【详解】（1）证明：连接OD，CD．
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．
又∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴△ACD是直角三角形．
又∵E是AC的中点，
∴EC=ED，
∴∠ECD=∠EDC．
又∵∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°，
∴∠EDC+∠ODC=∠ODE=90°，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）由（1）可知∠ODF=90°．
∵∠B=30°，
∴∠DOF=60°，
∴∠F=30°．
在Rt△ABC中，AC=2，∠B=30°，
∴AB=4，
∴BC=AB2−AC2=23，
∴OD=3．
在Rt△ODF中，∠F=30°，
∴OF=2OD=23，
∴DF=OF2−OD2=3，
∴阴影部分的面积为12×3×3−60×π×(3)2360=33−π2．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的性质及解直角三角形等知识. 正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
【题型4 整体法】
1.（2023秋·北京西城·九年级校考期中）如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则其阴影部分的面积之和为________(结果保留π)．
【答案】2π
【解析】【分析】
此题考查的是圆的对称性，利用图形特点把阴影部分的面积整体计算．结合图形，不难发现阴影部分的面积是圆面积的一半．
【解答】
解：∵大圆的面积=π×22=4π，
∴阴影部分面积=12×4π=2π．
故答案为2π．
2.（2023·山东烟台·九年级统考期末）如图，一块四边形绿化园地，四角都有半径为r的圆形喷水池，则这四个喷水池(阴影部分)的占地面积为 (结果保留π).
【答案】 3πr2
【解析】【分析】此题考查了四边形的内角和与扇形的面积公式．此题比较简单，注意数形结合思想与整体思想的应用．由四边形的内角和等于360°，然后利用扇形的面积公式求解即可求得答案．
【解答】解：因为四边形的内角和为360∘，所以这四个喷水池的圆心角的和是4×360∘−360∘=1080∘，而1080∘÷360∘=3，因此这四个喷水池(阴影部分)的占地面积为3个整圆的面积，即3πr2．
3.（2023秋·湖北武汉·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以B、C为圆心的两个等圆外切，两圆的半径都为2cm，则图中阴影部分的面积为______cm2．
【答案】π
【解析】解：∵∠A=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴阴影部分的面积=90π×4360=π(cm2).
根据两扇形的圆心角的度数和为90°，半径为2，结合扇形的面积公式进行计算．
此题注意计算两个扇形的面积的时候，要运用提公因式法，整体把扇形所在的两个圆心角的和代入计算．
4.（2023秋·陕西渭南·九年级校考期中）如图，在⊙O中，OA⊥OB，CD=DE= 2，∠CDE=90°，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】π4−12
【解析】解：连接OC、OD、OE，设OA交CD于点M，OB交DE于点N，
∵∠CDE=90°，
∴CE是⊙O的直径，
∵OD=OE，CD=DE，
∴∠DOE=90°，
∵OD=OE，
∴∠EDO=∠DEO=45°，
∴∠ODC=45°，
∴∠ODC=∠DEO，
∵OA⊥OB，
∴∠MON=90°，
∴∠MON−∠DON=∠DOE−∠DON，即∠MOD=∠NOE，
∵OD=OE，
∴△ODM≌△OEN(ASA)，
∴S扇形AOD−S△ODM=S扇形BOE−S△OEN，即S阴影=S弓形CD=S弓形DE
∵DE= 2，
∴OD=OE=1，
∴S阴影=90⋅π×12360−12×1×1=π4−12．
故答案为：π4−12．
根据题意，通过和差法将两部分阴影图形转化为一个整体弓形DE，进而求弓形面积即可．
本题主要考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，阴影部分面积的求法，熟练掌握割补法是解决此类题目的关键．
5.（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，一个大圆和四个面积相等的小圆，已知大圆半径等于小圆直径，小圆半径为a厘米，那么阴影部分的面积为_____平方厘米．
【答案】πa2
【解析】【分析】
此题主要考查圆的面积公式的计算应用.观察阴影部分面积与大圆面积的关系，运用整体思想解决问题．
【解答】
解：由图形不难看出，阴影部分面积占大圆面积的14，
又∵大圆半径等于小圆直径，小圆半径为a厘米，
∴大圆半径=2a，
∴阴影部分面积=14π(2a)2=πa2(平方厘米)．
故答案为πa2．
6．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=40°，BC=3，分别以点B，C为圆心，BC长为半径在BC右侧画弧，两弧交于点D，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，则阴影部分的面积和为（ ）
A．3π2B．5π2C．5π3D．2π
【答案】B
【分析】利用三角形内角和求得∠ABC+∠ACB的度数和，再根据△BCD为等边三角形，求得∠EBD和∠DCF的度数和，再根据扇形面积公式即可解答．
【详解】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°，
根据题意，可得BC=BD=CD，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BDC+∠DCB=60°+60°=120°，
∴∠EBD+∠DCF=360°−∠ABC+∠ACB−∠BDC+∠DCB=100°，
∴阴影部分的面积为100°360°×32×π=5π2，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定和性质，三角形内角和，能够利用上述性质求得∠EBD和∠DCF的度数和是解题的关键．
7．（2023秋·河北承德·九年级承德市民族中学校考开学考试）求下图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】π2cm2
【分析】根据阴影部分的面积等于3个扇形面积之和计算即可．
【详解】解：π×12360×180=π2cm2．
【点睛】本题考查了阴影部分的面积之和，解题的关键是掌握阴影部分的面积等于3个扇形面积之和，注意三角形的内角和180°．
8．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【答案】32π
【分析】将阴影部分合并即可得到扇形的面积,利用扇形面积公式计算即可.
【详解】解：∵ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=3，
∴S阴影=60°π×32360°=32π，
故答案为：32π.
【点睛】本题考查扇形面积计算,关键在于记住扇形的面积公式.
【题型5 等面积变形法】
1.（2023秋·浙江宁波·九年级宁波市海曙外国语学校校考期中）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C为圆心，BC为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，BE为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为( )
A. π−1B. π−3C. π−2D. 4−π
【答案】C
【解析】解：连接BD，EF，如图，
∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，
由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴FD=FO=EO=EB=1，
∴OB=OD，OB=OD．
∴弓形OB=弓形OD．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴S阴影=S扇形CBD−S△CBD=90π×22360−12×2×2=π−2．
故选：C．
连接BD，EF，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBD的面积之差．
本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键．
2.（2023秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，在⊙O中，OA⊥OB，CD=DE= 2，∠CDE=90°，则图中阴影部分的面积为( )
A. π4−12
B. π4
C. π2−12
D. π2−1
【答案】A
【解析】解：连接OC、OD、OE，设OA交CD于点M，OB交DE于点N，
∵∠CDE=90°，
∴CE是⊙O的直径，
∵OD=OE，CD=DE，
∴∠DOE=90°，
∵OD=OE，
∴∠EDO=∠DEO=45°，
∴∠ODC=45°，
∴∠ODC=∠DEO，
∵OA⊥OB，
∴∠MON=90°，
∴∠MON−∠DON=∠DOE−∠DON，即∠MOD=∠NOE，
∵OD=OE，
∴△ODM≌△OEN(ASA)，
∴S扇形AOD−S△ODM=S扇形BOE−S△OEN，即S阴影=S弓形CD=S弓形DE
∵DE= 2，
∴OD=OE=1，
∴S阴影=90°360∘π×12−12×1×1=π4−12．
故选：A．
根据题意，通过和差法将两部分阴影图形转化为一个整体弓形DE，进而求弓形面积即可．
本题主要考查了阴影部分面积的求法，熟练掌握割补法是解决此类题目的关键．
3.（2023秋·福建福州·九年级校考期中）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=
，则图中阴影部分的面积是______
【答案】π4
【解析】【分析】
本题考查了扇形面积的计算．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．先利用圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
【解答】
解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC= 2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
∴S△AOC=S△BOC，OA= 22AC=1，
∴S阴影部分=S扇形AOC=90·π·12360=π4．
故答案为π4．
4.（2023秋·北京西城·九年级校考期中）如图，AB为半圆的直径，其中AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到点A'的位置，则图中阴影部分的面积是_______(结果保留π)．
【答案】2π
【解析】【分析】
本题考查了扇形面积计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=360nπR2或S扇形=12lR(其中l为扇形的弧长).求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．
根据旋转的性质得S半圆AB=S半圆A'B，∠ABA'=45°，由于S阴影部分+S半圆AB=S半圆A'B，+S扇形ABA'，则S阴影部分=S扇形ABA'，然后根据扇形面积公式求解．
【解答】
解：∵半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A'的位置，
∴S半圆AB=S半圆A'B，∠ABA'=45°，
∴S阴影部分+S半圆AB=S半圆A'B，+S扇形ABA'，
∴S阴影部分=S扇形ABA'=45⋅π⋅42360=2π．
故答案为2π．
5.（2023秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，扇形AOB的圆心角为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、AB上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分
的面积为______．
【答案】 2−1
【解析】解：连接OD，
则OD= 2=OA
根据题意可知，阴影部分的面积=长方形ACDF的面积．
∴S阴影=SACDF=AC⋅CD=(OA−OC)CD= 2−1．
故答案为： 2−1．
从图中可看出阴影部分的面积=扇形面积−正方形的面积．然后依面积公式计算即可．
主要考查了利用割补法把不规则图形转化成规则图形求解的能力．本题的解题关键是要利用圆的半径相等和勾股定理求出半径的长，再把阴影部分的面积转化为长方形ACDF的面积求解．
6.（2023秋·浙江宁波·九年级宁波市海曙外国语学校校考期中）如图，△ABC是边长为1的正三角形，AB与AC所对的圆心角均为120∘，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】 312
【解析】【分析】
本题考查了运用割补法求阴影部分面积，涉及到勾股定理，三角形面积和弓形面积的求法.解题关键是把阴影部分便合并成△OBC，它的面积等于△ABC面积的三分之一.解题时，设AB与AC相交于点O，连接OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针方向绕点O旋转120∘后，阴影部分便合并成△OBC，它的面积等于△ABC面积的三分之一.运用勾股定理求出△ABC的BC边上的高，即可求出阴影部分的面积．
【解答】
解：如图，设AB与AC相交于点O，连接OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针方向绕点O旋转120∘后，阴影部分便合并成△OBC，它的面积等于△ABC面积的三分之一，∵△ABC的BC边上的高为 12−(12)2= 32，∴S阴影=13×12×1× 32= 312．
7．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考模拟预测）如图，已知半圆O的直径AB＝4，C为⊙O上的点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，延长ED交BA延长线于点F．
（1）试判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若FDDE=21，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）23π．
【分析】（1）连接OD，由BD平分∠ABC，得∠OBD＝∠EBD，又OB＝OC，∠OBD＝∠ODB，所以∠ODB＝∠EBD，再由∠EBD+∠EDB＝90°，得到∠ODB+∠EDB＝90°，即∠ODE＝90°，OD⊥EF，因此EF是⊙O的切线；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到DFDE＝OFOB＝21，求得AF＝2，得到∠F＝30°，推出△OCB为等边三角形，∠COB＝60°，∠DOC＝60°根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）EF与⊙O的位置关系：相切，理由如下：
连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠EBD，
∵OB＝OC，
∴∠OBD＝∠ODB，
∠ODB＝∠EBD，
∵DE⊥BC，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∴∠ODB+∠EDB＝90°，
即∠ODE＝90°，OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵OD⊥EF，BE⊥EF，
∴OD∥BE，
∴DFDE＝OFOB＝21，
∵AB＝4，
∴OA＝OB＝2，
∴OF＝4，
∴AF＝2，
∴sinF＝ODOF＝12，
∴∠F＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠EBA＝60°，∠DOB＝120°，
∵OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，∠COB＝60°，∠DOC＝60°
∴S阴影＝S扇形ODB﹣S△ODB﹣（S扇形OCB﹣S△OCB）
＝S扇形ODB﹣S△ODB﹣S扇形OCB+S△OCB
＝S扇形ODC
＝60360π×22
＝23π．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
8．（2023秋·福建福州·九年级统考期中）如图，以BC为直径，在半径为2，圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，求图中阴影部分的面积．
【答案】π﹣1
【分析】首先根据圆周角定理以及等腰直角三角形的性质得出S阴影＝S弓形ACB+S△BCD＝S扇形ACB﹣S△ACD＝S扇形ACB﹣12S△ABC进而得出即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠CBD＝45°，
又∵BC是直径，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∴DC＝DB，
∴S弓形CD＝S弓形BD，
∴S阴影＝S弓形ACB+S△BCD
＝S扇形ACB﹣S△ACD
＝S扇形ACB﹣12S△ABC
＝14π×22﹣12×12×2×2
＝π﹣1．
【点睛】此题主要考查了扇形面积公式以及阴影部分面积求法，正确转化阴影图形的形状是解题关键．
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对求与圆有关的阴影部分的面积的技巧五大题型的理解！
【题型1 直接法】
1．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，以点A为圆心，AD长为半径画弧分别交AB，AC于点E，F，过点E作EG⊥AC于点G，交AD于点H，若AB=6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9π2−932B．9π4−934C．9π−932D．9π2−934
2．（2023·云南临沧·统考三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π3B．2π5C．3π10D．3π5
3．（2023春·云南德宏·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A=80°，⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，交⊙O于点D、E，已知OD=3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4πB．13π4C．3πD．15π4
4．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以B，E为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为12π，则正六边形的边长为（ ）
A．3B．9C．32D．18
5．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，点D是BC的中点，将AD绕点A按逆时针方向旋转90°得AD'．那么图中阴影部分的面积为 ．
6．（2023春·河南南阳·九年级淅川县第一初级中学校联考期中）如图，在半径为43的扇形OAB中，∠AOB=90°，D为OB的中点，过点D作DE∥OA交AB于点E，连接OE，则图中阴影部分的面积为 ．
7．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则：
（1）图中阴影部分的面积为 ；
（2）直线DF与圆A的位置关系是 .
8．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，∠A=90°，⊙O与∠A的一边相切于点P，与另一边相交于B，C两点，且AB=1，BC=2，则扇形BC的面积为
【题型2 和差法】
1．（2023秋·云南昆明·九年级昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）如图，点D在⊙O的直径AB上，DE⊥弦BC于点E，点F为AB延长线上一点，∠BDE=∠BCF．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若∠F=∠BDE，BF=3，求阴影部分的面积．
2．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，已知点D为等腰Rt△ABC的斜边AC的中点，连接BD，以点B为圆心，BD为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F，若AB=22，请求出图中阴影部分的面积．（结果保留π）
3．（2023·福建福州·校考三模）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，DC∥AB，BC∥AD．
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
5．（2023秋·安徽芜湖·九年级统考期末）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
(1)求证：∠CAD=∠ECB；
(2)如图2．若CE是⊙O的切线，∠CAD=30°，连接OC．如图2，当AB=2时，求图中阴影部分面积．
6．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，切点为B，AC与⊙O相交于点D，点E是AD上任一点．
(1)求证：∠BED=∠DBC．
(2)已知AD=CD=3，求阴影部分的面积．（结果保留π）
7．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，点P在BC上，以点C为圆心，PC为半径画弧交边AC于点D，以点B为圆心，PB为半径画弧交边AB于点E．设PB=x，图中阴影部分的面积为y．（π取3）
(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当点P在什么位置时，y有最大值？最大值是多少？
8．（2023秋·浙江·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、D三个点在⊙O上，CD与⊙O交于点F，连结BO并延长交边AD于点E，点E恰好是AD的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若AE=1，∠BAD=75°，
①求BE的长．
②求阴影部分的面积．
【题型3 割补法】
1．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）如图，正方形的边AB=2，弧BD和弧AC都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ）
A．π2−1B．1−π4C．π3−1D．2π−4
2．（2023秋·江苏南通·九年级统考期中）德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件，下面是高斯正十七边形作法的一部分：已知AB是⊙O的直径．分别以A，B为圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点C，D两点．…若设AB长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．53π−23B．83π−23C．53π−3D．83π−43
3．（2023秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图，有一圆形纸片圆心为O，直径AB的长为2，BC//AD，将纸片沿BC、AD折叠，交于点O，那么阴影部分面积为（ ）
A．2π3−12B．π3+34C．π2−32D．2π3−32
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为半径OA的中点，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D．点E为弧AB的中点，连接CE、DE．若OA=4，则阴影部分的面积为 ．
5．（2023秋·重庆武隆·九年级校考期末）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，以A为圆心AD为半径作弧与BC交于点E，再以C为圆心，CD为半径作弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
6．（2023·重庆巴南·统考一模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=43，以点C为圆心，AC的长为半径画弧，分别交AB，BC于点D，E，以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交AB于点F，交AE于点G，则图中阴影部分的面积为 ．
7．（2023秋·浙江·九年级期中）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
（1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若在⊙O上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_______个．
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD．
①当∠A=140°时，求∠BDC的度数；
②如图3，当∠A=120°，AB=3时，求阴影部分的面积．
8．（2023秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，E为边AC的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AC=2，求阴影部分的面积．
【题型4 整体法】
1.（2023秋·北京西城·九年级校考期中）如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则其阴影部分的面积之和为________(结果保留π)．
2.（2023·山东烟台·九年级统考期末）如图，一块四边形绿化园地，四角都有半径为r的圆形喷水池，则这四个喷水池(阴影部分)的占地面积为 (结果保留π).
3.（2023秋·湖北武汉·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以B、C为圆心的两个等圆外切，两圆的半径都为2cm，则图中阴影部分的面积为______cm2．
4.（2023秋·陕西渭南·九年级校考期中）如图，在⊙O中，OA⊥OB，CD=DE= 2，∠CDE=90°，则图中阴影部分的面积为______．
5.（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，一个大圆和四个面积相等的小圆，已知大圆半径等于小圆直径，小圆半径为a厘米，那么阴影部分的面积为_____平方厘米．
6．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=40°，BC=3，分别以点B，C为圆心，BC长为半径在BC右侧画弧，两弧交于点D，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，则阴影部分的面积和为（ ）
A．3π2B．5π2C．5π3D．2π
7．（2023秋·河北承德·九年级承德市民族中学校考开学考试）求下图中阴影部分的面积．（结果保留π）
8．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【题型5 等面积变形法】
1.（2023秋·浙江宁波·九年级宁波市海曙外国语学校校考期中）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C为圆心，BC为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，BE为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为( )
A. π−1B. π−3C. π−2D. 4−π
2.（2023秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，在⊙O中，OA⊥OB，CD=DE= 2，∠CDE=90°，则图中阴影部分的面积为( )
A. π4−12
B. π4
C. π2−12
D. π2−1
3.（2023秋·福建福州·九年级校考期中）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=
，则图中阴影部分的面积是______
4.（2023秋·北京西城·九年级校考期中）如图，AB为半圆的直径，其中AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到点A'的位置，则图中阴影部分的面积是_______(结果保留π)．
5.（2023秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，扇形AOB的圆心角为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、AB上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分
的面积为______．
6.（2023秋·浙江宁波·九年级宁波市海曙外国语学校校考期中）如图，△ABC是边长为1的正三角形，AB与AC所对的圆心角均为120∘，则图中阴影部分的面积为 ．
7．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考模拟预测）如图，已知半圆O的直径AB＝4，C为⊙O上的点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，延长ED交BA延长线于点F．
（1）试判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若FDDE=21，求图中阴影部分的面积．
8．（2023秋·福建福州·九年级统考期中）如图，以BC为直径，在半径为2，圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，求图中阴影部分的面积．
专题24.10 求与圆有关的阴影部分的面积的技巧五大题型
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对求与圆有关的阴影部分的面积的技巧五大题型的理解！
【题型1 直接法】
1．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，以点A为圆心，AD长为半径画弧分别交AB，AC于点E，F，过点E作EG⊥AC于点G，交AD于点H，若AB=6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9π2−932B．9π4−934C．9π−932D．9π2−934
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC=BC=6，再利用AD是BC边上的中线得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=30°，BD=CD=3，则AD=33，易证得△AEF是等边三角形，H是等边三角形ΔAEF重心，然后根据扇形面积公式，用一个扇形的面积减去23△AEF的面积可得到图中阴影部分的面积．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC=BC=6，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=30°，BD=CD=3，
∴AD=33，
∵AE=AF=AD=33，
∴△AEF是等边三角形，
∵EG⊥AC于点G，
∴EG是∠AEF的角平分线，EG=32AE=92，
∴H是△AEF是重心，
∴S△AEF=12AF⋅EG=12×33×92=2734，
∴图中阴影部分的面积=60π×332360−23×2734=9π2−932．
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等边三角形的性质．
2．（2023·云南临沧·统考三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π3B．2π5C．3π10D．3π5
【答案】C
【分析】连接OA、OB、OC，求出∠AOF，再利用扇形公式进行计算．
【详解】解：连接OA、OB、OC，
∵正五边形ABCDE，
∴∠AOB=∠BOC=360°÷5=72°，
OB=OC，
∵ OF⊥BC，
∴∠BOF=12∠BOC=36°，
∴∠AOF=108°，
∴S=108°×π360°=3π10，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握扇形面积公式和求出AC所对的圆心角度数是解题的关键．
3．（2023春·云南德宏·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A=80°，⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，交⊙O于点D、E，已知OD=3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4πB．13π4C．3πD．15π4
【答案】B
【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，求得圆心角DOE的度数，然后根据扇形的面积公式即可解答．
【详解】解：∵∠A=80°，⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DOE=180°−12∠ABC+∠ACB=180°−12180°−∠A=130°，
∴S△DOE=130π×32360=134πcm2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题的关键．
4．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以B，E为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为12π，则正六边形的边长为（ ）
A．3B．9C．32D．18
【答案】C
【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵正六边形的内角是6−2×180°6=120°，阴影部分的面积为12π，
设正六边形的边长为r，
∴120π⋅r2360×2=12π，
解得r=32．
则正六边形的边长为32．
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算．本题的关键是根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角．
5．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，点D是BC的中点，将AD绕点A按逆时针方向旋转90°得AD'．那么图中阴影部分的面积为 ．
【答案】9π4
【分析】先根据直角三角形的性质求出AD的长，再由扇形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，点D是BC的中点，
∴AD=12BC=3，
∴S扇形ADD'=90°π×32360°=9π4，
故答案为：9π4．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
6．（2023春·河南南阳·九年级淅川县第一初级中学校联考期中）如图，在半径为43的扇形OAB中，∠AOB=90°，D为OB的中点，过点D作DE∥OA交AB于点E，连接OE，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】4π
【分析】解直角三角形求得∠DEO=30°，根据平行线的性质得到∠AOE=∠DEO=30°，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵DE∥OA，∠AOB=90°，
∴∠ODE=90°，
∵OE=OB，D为OB的中点，
∴OE=2OD，
∴∠DEO=30°，
∴∠AOE=∠DEO=30°，
∴阴影部分的面积为30π×432360=4π．
故答案为：4π．
【点睛】本题考查了平行线的性质，扇形面积的计算，求得∠AOE=30°是解题的关键．
7．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则：
（1）图中阴影部分的面积为 ；
（2）直线DF与圆A的位置关系是 .
【答案】 12π 相切
【分析】（1）根据正多边形内角和公式求出∠FAB，利用扇形面积公式求出阴影部分的面积即可；
（2）连接DF，由六边形ABCDEF是正六边形得到∠AFE=∠FED=120°，EF=DE，则 ∠EFD=∠EDF=12180−∠FED=30°，则∠AFD=90°，即AF⊥DF，即可得到结论.
【详解】（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB=6−2×180°6=120°，AB=6，
∴阴影部分的面积=120π×62360=12π，
故答案为：12π
（2）连接DF，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AFE=∠FED=6−2×180°6=120°，EF=DE，
∴∠EFD=∠EDF=12180−∠FED=30°，
∴∠AFD=∠AFE−∠EFD=120°−30°=90°，
∴AF⊥DF，
∵AF是圆A的半径，
∴DF是圆A的切线，
∴直线DF与圆A的位置关系是相切
故答案为：相切
【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算、切线的判定定理等知识，掌握扇形面积公式和切线的判定定理是解题的关键．
8．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，∠A=90°，⊙O与∠A的一边相切于点P，与另一边相交于B，C两点，且AB=1，BC=2，则扇形BC的面积为
【答案】2π3
【分析】连接OP，过O点作OE⊥BC于点E，作BF⊥OP于点F，利用垂径定理的内容得出BE=CE=12BC=1，再证明四边形OEBF、四边形PABF是矩形，即有OP=PF+OF=2，进而有OP=OB=OC=2，从而得出△OBC是等边三角形，即∠BOC=60°，利用扇形面积公式求出即可．
【详解】连接OP，过O点作OE⊥BC于点E，作BF⊥OP于点F，如图，
∵OE⊥BC，BC=2，
∴BE=CE=12BC=1，
∵⊙O与∠A的一边相切于点P，
∴AP⊥PO，
∵OE⊥BC，BF⊥OP，∠A=90°，
∴可得四边形OEBF、四边形PABF是矩形，
∵AB=1，BC=2，
∴AB=1=PF，BE=OF=1，
∴OP=PF+OF=2，
∴OP=OB=OC=2，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴S扇形BOC=60°360°×π×OP2=23π，
故答案为：23π．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定方法以及扇形的面积求法等知识，利用已知得出OP=PF+OF=2是解决问题的关键.
【题型2 和差法】
1．（2023秋·云南昆明·九年级昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）如图，点D在⊙O的直径AB上，DE⊥弦BC于点E，点F为AB延长线上一点，∠BDE=∠BCF．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若∠F=∠BDE，BF=3，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)93−3π2
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，垂直的定义以及三角形内角和定理得出∠OCF是直角即可；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及切线的性质可得出∠OCB=60°，进而求出扇形OBC所对应的圆心角的度数以及半径，再由S阴影部分=S△OCF−S扇形OBC进行计算即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∴∠BDE+∠DBE=90°，
又∵∠BDE=∠BCF，
∴∠OCB+∠BCF=90°，
即OC⊥CF，
∵OC是半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠F=∠BDE，∠BCF=∠BDE，
∴∠F=∠BCF，
∵∠OBC=∠OCB=∠F+∠BCF，
∴∠OCB=2∠BCF，
∵∠OCF=90°，
∴∠OCB=23∠OCF=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，OB=OC=BC=BF=3，
在Rt△COF中，OC=3，OF=OB+BF=6，
∴FC=OF2−OC2=33，
∴S阴影部分=S△OCF−S扇形OBC
=12×3×33−60π×32360
=932−3π2
=93−3π2．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提．
2．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，已知点D为等腰Rt△ABC的斜边AC的中点，连接BD，以点B为圆心，BD为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F，若AB=22，请求出图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】4−π
【分析】先求解BC=AB=22，AC=4，可得S△ABC=4，证明BD=12AC=2，再求解扇形面积，从而利用面积之差可得答案．
【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，AB=22，
∴BC=AB=22，AC=4，
∴S△ABC=12×22×22=4．
∵点D为AC的中点，
∴BD=12AC=2，
∴S扇形BEF=90°360°×π×22=π，
∴S阴影=S△ABC−S扇形BEF=4−π．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，扇形面积的计算，熟练的利用割补法求解阴影部分的面积是解本题的关键．
3．（2023·福建福州·校考三模）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，DC∥AB，BC∥AD．
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
(2)32−π4
【分析】（1）连接OD，易知∠DAB=∠ADO=45°，进而可知∠DOB=90°，由CD∥AB可知∠ODC=90°，即可证明结论；
（2）根据已知条件证明四边形ABCD是平行四边形，再利用阴影部分的面积S=S梯形OBCD−S扇形OBD即可求解．
【详解】（1）解：连接OD，
∵OA=OD，∠DAB=45°，
∴∠DAB=∠ADO=45°，
∴∠DOB=90°，
∵CD∥AB，
∴∠ODC=90°，即半径OD⊥CD于D，
∴CD为圆O的切线；
（2）∵⊙O的半径为1，
∴AB=2，
∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，
∴S梯形OBCD=OB+CD×OD2=1+2×12=32，
∴图中阴影部分的面积S=S梯形OBCD−S扇形OBD=32−90π×12360=32−π4．
【点睛】题考查了切线的证明，求扇形面积，平行四边形的性质与判定，求得扇形BOD的圆心角度数是解题的关键．
4．（2023·河北唐山·统考模拟预测）如图，把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在一起，且∠AOB=∠COD，连接AC．
(1)求证：△AOC≌△BOD；
(2)若OA=5cm,OC=3cm，弧AB的长为3πcm，弧CD的长为1.8πcm，求阴影部分的面积；
(3)在（2）的条件下求由扇形OAB围成的圆锥的高．
【答案】(1)见解析
(2)245πcm2
(3)912cm
【分析】（1）先证得∠AOC=∠BOD，即可利用SAS证明△AOC≌△BOD；
（2）根据S阴影=S扇形AOB+S△AOC−S扇形COD−S△BOD =S扇形AOB−S扇形COD代入计算即可；
（3）求出圆锥底面圆的半径长，利用勾股定理求出圆锥的高．
【详解】（1）证明：∵∠COD=∠AOB，
∴∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OC=OD∠AOC=∠BODOA=OB，
∴△AOC≌△BODSAS；
（2）S阴影=S扇形AOB+S△AOC−S扇形COD−S△BOD
=S扇形AOB−S扇形COD
=12×5×3π−12×3×1.8π
=245π
答：阴影部分的面积是245πcm2．
（3）圆锥底面圆的半径为3π2π=1.5cm，母线长为5cm，
∴圆锥的高=52−1.52=912cm．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和扇形的面积，勾股定理， 正确掌握扇形的面积公式是解题的关键．
5．（2023秋·安徽芜湖·九年级统考期末）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
(1)求证：∠CAD=∠ECB；
(2)如图2．若CE是⊙O的切线，∠CAD=30°，连接OC．如图2，当AB=2时，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)S阴影=3+23π
【分析】（1）先判断出∠CBE=∠D，再用等角的余角相等，即可得出结论；
（2）先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是菱形，求出AC，BC，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE=∠D，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∴∠CBE+∠CAD=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE；
（2）解：∵∠CAD=30°，
∴∠COD=2∠CAD=60°，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵CE⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠DAB=∠COD=60°，
由（1）知，∠CBE+∠CAD=90°，
∴∠CBE=90°−∠CAD=60°=∠DAB，
∴BC∥OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴▱ABCO是菱形；
∴OA=OC=AB=2，
∴AD=2OA=4，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴CD=2，AC=23，
∴S阴影=S△AOC+S扇形COD=12×12×2×23+60π×22360=3+2π3．
【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的判定、扇形的面积公式，判断出BC∥OA是解本题的关键．
6．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，切点为B，AC与⊙O相交于点D，点E是AD上任一点．
(1)求证：∠BED=∠DBC．
(2)已知AD=CD=3，求阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】(1)见解析
(2)9π−188
【分析】(1)利用圆周角定理得到∠A+∠ABD=90°，再根据切线的性质得∠DBC+∠ABD=90°，再根据圆周角定理可证得结论；
(2)连接OD，首先利用直角三角形斜边上的中线性质得到BD=AD=CD=3，可证得△ABD为等腰直角三角形，根据勾股定理可求得AB=32，∠A=45°，再利用圆周角定理可得到∠BOD=90°，然后根据扇形面积公式，利用S阴=S扇形BOD−SRt△BOD进行计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵BC与⊙O相切，切点为B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
∴∠A=∠DBC，
∵∠A=∠BED，
∴∠BED=∠DBC；
（2）解：如图：连接OD，
∵AD=CD=3，
∴BD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴BD=AD=CD=3，
又∵∠ADB=90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=AB2+BD2=32+32=32，∠A=45°，
∴∠BOD=2∠A=90°，OB=12AB=322，
∴S阴=S扇形BOD−SRt△BOD
=90π⋅OB2360−12OB⋅OD
=90π×3222360−12×3222
=9π−188
故阴影部分的面积为9π−188．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式，得到△ABD为等腰直角三角形是解决本题的关键．
7．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，点P在BC上，以点C为圆心，PC为半径画弧交边AC于点D，以点B为圆心，PB为半径画弧交边AB于点E．设PB=x，图中阴影部分的面积为y．（π取3）
(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当点P在什么位置时，y有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)y=−34x2+32x−122−2≤x≤2；
(2)当PB=1时，即为BC的中点，y有最大值，最大值为1．
【分析】（1）利用扇形面积以及等腰直角三角形的性质得出面积即可，利用三角形边长得出自变量x的取值范围；
（2）利用（1）中所求求出面积最值即可．
【详解】（1）解：（1）∵AB=AC=2，
∴BC=2，
∵设PB=x，
∴PC=2−x，
∴y=12×2×2−45π•x2360−45π•2−x2360
=1−πx26−π2−x26=1−π2−2x+x24≈−34x2+32x−12
∵以B为圆心、PB为半径画弧交边AB于E，
∴CP=2−x，BP=x，
则0≤2−x≤20≤x≤2，
∴2−2≤x≤2；
（2）解：∵y=−34x2+32x−12=−34x−12+14，
∴当x=1时，y最大=14，
当PB=1时，即为BC的中点，y有最大值，最大值为1．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及扇形面积求法和二次函数的最值求法，根据已知得出y与x的函数关系是解题关键．
8．（2023秋·浙江·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、D三个点在⊙O上，CD与⊙O交于点F，连结BO并延长交边AD于点E，点E恰好是AD的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若AE=1，∠BAD=75°，
①求BE的长．
②求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①BE=2+3，②1+3−23π
【分析】（1）根据垂径定理可得BE⊥AD，再结合平行四边形的性质推出BE⊥BC，即可得证；
（2）①由平行四边形的性质以及垂径定理可推出∠BAO=∠ABO=15°，∠AOE=30°，然后在Rt△AOE中分别求出AO，OE，从而得出结论；②连接OD，OF，BF，然后根据S阴影=S梯形BCDE−S△DOE−S△DOF−S扇形BOF求解即可．
【详解】（1）由题意，根据垂径定理BE⊥AD，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD//BC，
∴BE⊥BC，
∵OB为半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图，连接AO，
∵AD//BC，∠BAD=75°，
∴∠ABC=105°，
∵∠OBC=90°，
∴∠ABO=105°−90°=15°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=15°，
∴∠OAE=75°−15°=60°，
∴在Rt△AOE中，∠AOE=30°，
∴AO=2AE=2，OE=3AE=3，
∴BO=AO=2，
∴BE=BO+OE=2+3，
∴BE=2+3；
②如图，连接OD，OF，BF，
由题意，∠ADC=105°，
由①可知，∠ODE=60°，∠DOE=30°，
∴∠ODF=45°，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD=45°，
∴∠DOF=90°,△ODF为等腰直角三角形，
∴∠BOF=60°，
∴S阴影=S梯形BCDE−S△DOE−S△DOF−S扇形BOF，
由①可知，ED=AE=1，BC=AD=2，
∴S梯形BCDE=12ED+BC·BE=12×1+2×2+3=3+332，
S△DOE=12ED·OE=12×1×3=32，
S△DOF=12DO·OF=12×2×2=2，
S扇形BOF=60π×22360=2π3，
∴S阴影=3+332−32−2−2π3=1+3−2π3，
∴阴影部分的面积S=1+3−23π．
【点睛】本题考查证明圆的切线，垂径定理，以及与扇形相关的阴影部分面积计算问题，掌握证明切线的方法，熟记扇形的面积计算是解题关键．
【题型3 割补法】
1．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）如图，正方形的边AB=2，弧BD和弧AC都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ）
A．π2−1B．1−π4C．π3−1D．2π−4
【答案】D
【分析】设弧BD和弧AC的交点为E,连接DE、AE,作EF⊥AD.先求出S△ADE，再求出S扇形ADE，即可得到S拱形DE.再根据S空白ADE =S扇形ADE+S拱形AE即可得到空白ADE的面积.再根据S阴影DCE=S扇形DCE−S拱形DE即可得到得到阴影DCE的面积，再用S空白BCE=S正方形ABCD−S扇形ABD−S阴影DCE即可得到空白BCE的面积，最后用S空白ADE−S空白BCE即可得到图中空白两部分的面积之差.
【详解】设弧BD和弧AC的交点为E,连接DE、AE,则△ADE是等边三角形
作EF⊥AD，则DF=1,DE=2
EF=22−12=3
∴S△ADE=12×2×3=3
S扇形ADE=60360⋅π⋅22=23π
∴S拱形DE=23π−3
∴S拱形AE=23π−3
∴S空白ADE =S扇形ADE+S拱形AE=23π+(23π−3)=43π−3
S阴影DCE=S扇形DCE−S拱形DE
=30360⋅π⋅22−(23π−3)
=3−π3
S空白BCE=S正方形ABCD−S扇形ABD−S阴影DCE
=22−14⋅π⋅22−(3−π3)
=4−2π3−3
∴S空白ADE−S空白BCE=43π−3−(4−2π3−3)=2π−4
故选：D
【点睛】本题主要考查了圆中求不规则图形的面积，熟练掌握扇形的面积公式及拱形面积的计算方法是解题的关键
2．（2023秋·江苏南通·九年级统考期中）德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件，下面是高斯正十七边形作法的一部分：已知AB是⊙O的直径．分别以A，B为圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点C，D两点．…若设AB长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．53π−23B．83π−23C．53π−3D．83π−43
【答案】A
【分析】利用作法得到BC=BA=AC=BD=AD，则△ACB和△ADB都是等边三角形，所以∠ABC=∠ABD=60°，然后根据扇形的面积公式求出扇形面积，再减去三角形的面积求出弓形的面积再减圆的面积可求出阴影的面积．
【详解】解：连接AC、BC、DA、DB，如图，
由作法得BC=BA=AC=BD=AD=2，
∴△ACB和△ADB都是等边三角形，
∴∠ABC=∠ABD=60°，
∴∠CAD=120°，
∴S扇形CAD =120π×22360=43π
∴S△CAD =23×12=3
∴S阴影 =2（S扇形CAD - S△CAD -12S圆）=2（43π-3-12 π）
=83π-23-π
=53π−23
故选A．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了扇形的面积公式．
3．（2023秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图，有一圆形纸片圆心为O，直径AB的长为2，BC//AD，将纸片沿BC、AD折叠，交于点O，那么阴影部分面积为（ ）
A．2π3−12B．π3+34C．π2−32D．2π3−32
【答案】D
【分析】如图，过点O作OG⊥BC于G，延长交⊙O于E，反向延长GO交AD于H，连接OC、OD，由折叠得OG=GE=12，利用OC=1，求出∠OCG=30°，CG=OC2−OG2=32，得到BC=2CG=3，∠BOC=120°，同理：AD=3，证明△BOG≌△AOH，推出OG=OH，得到弓形BC与弓形AD的面积相等，利用阴影的面积=2（S扇形BOC-S△BOC）代入数值计算即可．
【详解】如图，过点O作OG⊥BC于G，延长交⊙O于E，反向延长GO交AD于H，连接OC、OD，
由折叠得OG=GE，
∵OG⊥BC，
∴∠OGC=90°，CG=BG，
∵OG=12OE=12，OC=1，
∴∠OCG=30°，CG=OC2−OG2=32，
∴BC=2CG=3，∠BOC=120°，
同理：AD=3，
∵AD∥BC，
∴∠OBC=∠OAD，OH⊥AD，
∵OA=OB，
∴△BOG≌△AOH，
∴OG=OH，
∴弓形BC与弓形AD的面积相等，
∴阴影的面积=2（S扇形BOC-S△BOC）=2×(120π×12360−12×3×12)=2π3−32，
故选：D．
．
【点睛】此题考查折叠的性质，同圆的半径相等，垂径定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行线的性质，扇形面积计算公式，全等三角形的判定及性质，熟记各部分知识并综合运用是解题的关键．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为半径OA的中点，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D．点E为弧AB的中点，连接CE、DE．若OA=4，则阴影部分的面积为 ．
【答案】π+22/22+π
【分析】连接CD，OE，OE交CD于J，如图所示，证明CD⊥OE，求出四边形OCED的面积，进而得到阴影部分BDE面积和阴影部分CDE面积，求和即可解决问题．
【详解】解：连接CD，OE，OE交CD于J，如图所示：
由点C为半径OA的中点可知OC=AC，
∴由圆的性质可知OD=OC,OB=OA，即OD=DB，
∵点E为弧AB的中点，即AE=EB，
∴∠AOE=∠BOE，
在等腰Rt△COD中，OD=OC，∠COD=90°，由等腰三角形“三线合一”可知CD⊥OE，
∵ OA=4，点C为半径OA的中点，
∴OC=AC=OD=12OA=2，
在等腰Rt△COD中，∠COD=90°，CD=OC2+OD2=22+22=22，
∴CJ=OJ=JD=2，
∴S四边形OCED=12⋅CD⋅OE=42，则S阴影CDE=S四边形OCED−S扇形COD=42−14π×22=42−π；
由圆的对称性可知，ACE面积等于阴影部分BDE，
∴S阴影BDE=12S扇形AOB−S四边形OCED=12×14⋅π⋅42−42=2π−22，
S阴影=42−π+2π−22=π+22，
故答案为：π+22．
【点睛】本题考查扇形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，从图中将不规则图形转化为规则图形的面积来表示．
5．（2023秋·重庆武隆·九年级校考期末）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，以A为圆心AD为半径作弧与BC交于点E，再以C为圆心，CD为半径作弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】4−32−7π12
【分析】连接AE，根据矩形的性质得出∠A=∠C=∠B=90°，AD=BC=2，AB=CD=1，AD∥BC，求出∠DAE=∠AEB=30°，根据勾股定理求出BE，根据图形得出阴影部分的面积S=（S矩形ABCD−S扇形DAE−S△ABE）+（S矩形ABCD−S扇形DCF），再求出答案即可．
【详解】解：如图，连接AE，则AD=AE=2，
∵四边形ABCD是矩形，AB=1，
∴∠A=∠C=∠B=90°，AD=BC=2，AB=CD=1，AD∥BC，
∴AB=12AE，
∴∠AEB=30°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=30°，
由勾股定理得：BE=AE2−AB2=22−12=3，
∴阴影部分的面积S=（S矩形ABCD−S扇形DAE−S△ABE）+（S矩形ABCD−S扇形DCF）
=（1×2− 30π×22360−12×1×3）+（1×2−90π×12360）
=4−32−7π12；
故答案为：4−32−7π12．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理和扇形面积的计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：已知扇形的圆心角是n°，半径是r，那么这个扇形的面积=nπr2360．
6．（2023·重庆巴南·统考一模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=43，以点C为圆心，AC的长为半径画弧，分别交AB，BC于点D，E，以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交AB于点F，交AE于点G，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】4π−43
【分析】连接CG,EG，则阴影部分的面积为S扇形CEG−S△CEG+S扇形DCG，计算即可.
【详解】如图，连接CG,EG，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，BC=43，
∴AC=CG=CD=CE=EG=4，∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，△CEG是等边三角形，
∴∠GCD=∠DCE =30°，∠GCE=60°，
∴阴影部分的面积为：
S扇形CEG−S△CEG+S扇形DCG
=60×π×42360−12×4×4×32+30×π×42360
=4π−43.
故答案为：4π−43.
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，拱形的面积，熟练运用扇形的面积公式，正确进行图形面积的分割是解题的关键.
7．（2023秋·浙江·九年级期中）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
（1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若在⊙O上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_______个．
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD．
①当∠A=140°时，求∠BDC的度数；
②如图3，当∠A=120°，AB=3时，求阴影部分的面积．
【答案】（1）4个；（2）①40°或70°或100°；②3π-934
【分析】(1)根据等腰三角形的画法画图即可判断；
(2) ①求出∠C的度数，再分类讨论，求∠BCD即可；②连结OA、OB、OC，得出△BCD是等边三角形，求出圆心角和半径，运用公式求出扇形面积和三角形面积即可．
【详解】（1）如图，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到4个，
故答案为：4
（2）①∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠A=140°
∴∠C=180°−∠A=40°
当BC=BD时，∠BDC=∠C=40°；
当BD=DC时，∠BDC=180°−2∠C=100°；
当BC=CD时，∠BDC=180°−∠C2=70°
②连结OA、OB、OC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠DAB=120°，
∴∠BCD=180°−∠DAB=60°，
∵△BCD是圆等三角形，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BOC=2∠BDC=120°，
∵AB=AD，
∴∠AOB=12∠BOD=∠BCD=60°，
∵BO=AO，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=3，
过点O作OE⊥BC，
∴∠BOE=60°，
∴OE=1.5，BE=1.53，
S△BOC=12×33×32=934，
∴扇形BOC的面积为：120⋅π⋅32360=3π，
阴影部分面积为：3π-934．
【点睛】本题考查了圆周角的定理和等腰三角形的性质，求扇形面积，解题关键是准确理解题意，熟练运用圆的有关知识、等腰三角形的性质进行解题．
8．（2023秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，E为边AC的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AC=2，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）33−π2．
【分析】（1）分别连结OD，CD，可证得 △ACD 是直角三角形，根据点 E 是斜边 AC 的中点，得到 ∠ECD=∠EDC ，由∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°得∠EDC+∠ODC=∠ODE=90° ，从而证得直线 DE与 ⊙O 的切线；
（2）由（1）已证∠ODF=90°，根据∠B=30°，可得∠DOF=60°，得到∠F=30°，在 RtΔABC 中，可求得BC长，从而得到OD长，在 RtΔODF 中，可求得DF长，所以阴影部分面积=△ODF的面积-扇形OCD的面积 .
【详解】（1）证明：连接OD，CD．
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．
又∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴△ACD是直角三角形．
又∵E是AC的中点，
∴EC=ED，
∴∠ECD=∠EDC．
又∵∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°，
∴∠EDC+∠ODC=∠ODE=90°，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）由（1）可知∠ODF=90°．
∵∠B=30°，
∴∠DOF=60°，
∴∠F=30°．
在Rt△ABC中，AC=2，∠B=30°，
∴AB=4，
∴BC=AB2−AC2=23，
∴OD=3．
在Rt△ODF中，∠F=30°，
∴OF=2OD=23，
∴DF=OF2−OD2=3，
∴阴影部分的面积为12×3×3−60×π×(3)2360=33−π2．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的性质及解直角三角形等知识. 正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
【题型4 整体法】
1.（2023秋·北京西城·九年级校考期中）如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则其阴影部分的面积之和为________(结果保留π)．
【答案】2π
【解析】【分析】
此题考查的是圆的对称性，利用图形特点把阴影部分的面积整体计算．结合图形，不难发现阴影部分的面积是圆面积的一半．
【解答】
解：∵大圆的面积=π×22=4π，
∴阴影部分面积=12×4π=2π．
故答案为2π．
2.（2023·山东烟台·九年级统考期末）如图，一块四边形绿化园地，四角都有半径为r的圆形喷水池，则这四个喷水池(阴影部分)的占地面积为 (结果保留π).
【答案】 3πr2
【解析】【分析】此题考查了四边形的内角和与扇形的面积公式．此题比较简单，注意数形结合思想与整体思想的应用．由四边形的内角和等于360°，然后利用扇形的面积公式求解即可求得答案．
【解答】解：因为四边形的内角和为360∘，所以这四个喷水池的圆心角的和是4×360∘−360∘=1080∘，而1080∘÷360∘=3，因此这四个喷水池(阴影部分)的占地面积为3个整圆的面积，即3πr2．
3.（2023秋·湖北武汉·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以B、C为圆心的两个等圆外切，两圆的半径都为2cm，则图中阴影部分的面积为______cm2．
【答案】π
【解析】解：∵∠A=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴阴影部分的面积=90π×4360=π(cm2).
根据两扇形的圆心角的度数和为90°，半径为2，结合扇形的面积公式进行计算．
此题注意计算两个扇形的面积的时候，要运用提公因式法，整体把扇形所在的两个圆心角的和代入计算．
4.（2023秋·陕西渭南·九年级校考期中）如图，在⊙O中，OA⊥OB，CD=DE= 2，∠CDE=90°，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】π4−12
【解析】解：连接OC、OD、OE，设OA交CD于点M，OB交DE于点N，
∵∠CDE=90°，
∴CE是⊙O的直径，
∵OD=OE，CD=DE，
∴∠DOE=90°，
∵OD=OE，
∴∠EDO=∠DEO=45°，
∴∠ODC=45°，
∴∠ODC=∠DEO，
∵OA⊥OB，
∴∠MON=90°，
∴∠MON−∠DON=∠DOE−∠DON，即∠MOD=∠NOE，
∵OD=OE，
∴△ODM≌△OEN(ASA)，
∴S扇形AOD−S△ODM=S扇形BOE−S△OEN，即S阴影=S弓形CD=S弓形DE
∵DE= 2，
∴OD=OE=1，
∴S阴影=90⋅π×12360−12×1×1=π4−12．
故答案为：π4−12．
根据题意，通过和差法将两部分阴影图形转化为一个整体弓形DE，进而求弓形面积即可．
本题主要考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，阴影部分面积的求法，熟练掌握割补法是解决此类题目的关键．
5.（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，一个大圆和四个面积相等的小圆，已知大圆半径等于小圆直径，小圆半径为a厘米，那么阴影部分的面积为_____平方厘米．
【答案】πa2
【解析】【分析】
此题主要考查圆的面积公式的计算应用.观察阴影部分面积与大圆面积的关系，运用整体思想解决问题．
【解答】
解：由图形不难看出，阴影部分面积占大圆面积的14，
又∵大圆半径等于小圆直径，小圆半径为a厘米，
∴大圆半径=2a，
∴阴影部分面积=14π(2a)2=πa2(平方厘米)．
故答案为πa2．
6．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠A=40°，BC=3，分别以点B，C为圆心，BC长为半径在BC右侧画弧，两弧交于点D，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，则阴影部分的面积和为（ ）
A．3π2B．5π2C．5π3D．2π
【答案】B
【分析】利用三角形内角和求得∠ABC+∠ACB的度数和，再根据△BCD为等边三角形，求得∠EBD和∠DCF的度数和，再根据扇形面积公式即可解答．
【详解】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°，
根据题意，可得BC=BD=CD，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BDC+∠DCB=60°+60°=120°，
∴∠EBD+∠DCF=360°−∠ABC+∠ACB−∠BDC+∠DCB=100°，
∴阴影部分的面积为100°360°×32×π=5π2，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定和性质，三角形内角和，能够利用上述性质求得∠EBD和∠DCF的度数和是解题的关键．
7．（2023秋·河北承德·九年级承德市民族中学校考开学考试）求下图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】π2cm2
【分析】根据阴影部分的面积等于3个扇形面积之和计算即可．
【详解】解：π×12360×180=π2cm2．
【点睛】本题考查了阴影部分的面积之和，解题的关键是掌握阴影部分的面积等于3个扇形面积之和，注意三角形的内角和180°．
8．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【答案】32π
【分析】将阴影部分合并即可得到扇形的面积,利用扇形面积公式计算即可.
【详解】解：∵ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=3，
∴S阴影=60°π×32360°=32π，
故答案为：32π.
【点睛】本题考查扇形面积计算,关键在于记住扇形的面积公式.
【题型5 等面积变形法】
1.（2023秋·浙江宁波·九年级宁波市海曙外国语学校校考期中）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C为圆心，BC为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，BE为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为( )
A. π−1B. π−3C. π−2D. 4−π
【答案】C
【解析】解：连接BD，EF，如图，
∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，
由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴FD=FO=EO=EB=1，
∴OB=OD，OB=OD．
∴弓形OB=弓形OD．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴S阴影=S扇形CBD−S△CBD=90π×22360−12×2×2=π−2．
故选：C．
连接BD，EF，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBD的面积之差．
本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键．
2.（2023秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，在⊙O中，OA⊥OB，CD=DE= 2，∠CDE=90°，则图中阴影部分的面积为( )
A. π4−12
B. π4
C. π2−12
D. π2−1
【答案】A
【解析】解：连接OC、OD、OE，设OA交CD于点M，OB交DE于点N，
∵∠CDE=90°，
∴CE是⊙O的直径，
∵OD=OE，CD=DE，
∴∠DOE=90°，
∵OD=OE，
∴∠EDO=∠DEO=45°，
∴∠ODC=45°，
∴∠ODC=∠DEO，
∵OA⊥OB，
∴∠MON=90°，
∴∠MON−∠DON=∠DOE−∠DON，即∠MOD=∠NOE，
∵OD=OE，
∴△ODM≌△OEN(ASA)，
∴S扇形AOD−S△ODM=S扇形BOE−S△OEN，即S阴影=S弓形CD=S弓形DE
∵DE= 2，
∴OD=OE=1，
∴S阴影=90°360∘π×12−12×1×1=π4−12．
故选：A．
根据题意，通过和差法将两部分阴影图形转化为一个整体弓形DE，进而求弓形面积即可．
本题主要考查了阴影部分面积的求法，熟练掌握割补法是解决此类题目的关键．
3.（2023秋·福建福州·九年级校考期中）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=
，则图中阴影部分的面积是______
【答案】π4
【解析】【分析】
本题考查了扇形面积的计算．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．先利用圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
【解答】
解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC= 2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
∴S△AOC=S△BOC，OA= 22AC=1，
∴S阴影部分=S扇形AOC=90·π·12360=π4．
故答案为π4．
4.（2023秋·北京西城·九年级校考期中）如图，AB为半圆的直径，其中AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到点A'的位置，则图中阴影部分的面积是_______(结果保留π)．
【答案】2π
【解析】【分析】
本题考查了扇形面积计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=360nπR2或S扇形=12lR(其中l为扇形的弧长).求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．
根据旋转的性质得S半圆AB=S半圆A'B，∠ABA'=45°，由于S阴影部分+S半圆AB=S半圆A'B，+S扇形ABA'，则S阴影部分=S扇形ABA'，然后根据扇形面积公式求解．
【解答】
解：∵半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A'的位置，
∴S半圆AB=S半圆A'B，∠ABA'=45°，
∴S阴影部分+S半圆AB=S半圆A'B，+S扇形ABA'，
∴S阴影部分=S扇形ABA'=45⋅π⋅42360=2π．
故答案为2π．
5.（2023秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，扇形AOB的圆心角为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、AB上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分
的面积为______．
【答案】 2−1
【解析】解：连接OD，
则OD= 2=OA
根据题意可知，阴影部分的面积=长方形ACDF的面积．
∴S阴影=SACDF=AC⋅CD=(OA−OC)CD= 2−1．
故答案为： 2−1．
从图中可看出阴影部分的面积=扇形面积−正方形的面积．然后依面积公式计算即可．
主要考查了利用割补法把不规则图形转化成规则图形求解的能力．本题的解题关键是要利用圆的半径相等和勾股定理求出半径的长，再把阴影部分的面积转化为长方形ACDF的面积求解．
6.（2023秋·浙江宁波·九年级宁波市海曙外国语学校校考期中）如图，△ABC是边长为1的正三角形，AB与AC所对的圆心角均为120∘，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】 312
【解析】【分析】
本题考查了运用割补法求阴影部分面积，涉及到勾股定理，三角形面积和弓形面积的求法.解题关键是把阴影部分便合并成△OBC，它的面积等于△ABC面积的三分之一.解题时，设AB与AC相交于点O，连接OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针方向绕点O旋转120∘后，阴影部分便合并成△OBC，它的面积等于△ABC面积的三分之一.运用勾股定理求出△ABC的BC边上的高，即可求出阴影部分的面积．
【解答】
解：如图，设AB与AC相交于点O，连接OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针方向绕点O旋转120∘后，阴影部分便合并成△OBC，它的面积等于△ABC面积的三分之一，∵△ABC的BC边上的高为 12−(12)2= 32，∴S阴影=13×12×1× 32= 312．
7．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考模拟预测）如图，已知半圆O的直径AB＝4，C为⊙O上的点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，延长ED交BA延长线于点F．
（1）试判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若FDDE=21，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）23π．
【分析】（1）连接OD，由BD平分∠ABC，得∠OBD＝∠EBD，又OB＝OC，∠OBD＝∠ODB，所以∠ODB＝∠EBD，再由∠EBD+∠EDB＝90°，得到∠ODB+∠EDB＝90°，即∠ODE＝90°，OD⊥EF，因此EF是⊙O的切线；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到DFDE＝OFOB＝21，求得AF＝2，得到∠F＝30°，推出△OCB为等边三角形，∠COB＝60°，∠DOC＝60°根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）EF与⊙O的位置关系：相切，理由如下：
连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠EBD，
∵OB＝OC，
∴∠OBD＝∠ODB，
∠ODB＝∠EBD，
∵DE⊥BC，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∴∠ODB+∠EDB＝90°，
即∠ODE＝90°，OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵OD⊥EF，BE⊥EF，
∴OD∥BE，
∴DFDE＝OFOB＝21，
∵AB＝4，
∴OA＝OB＝2，
∴OF＝4，
∴AF＝2，
∴sinF＝ODOF＝12，
∴∠F＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠EBA＝60°，∠DOB＝120°，
∵OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，∠COB＝60°，∠DOC＝60°
∴S阴影＝S扇形ODB﹣S△ODB﹣（S扇形OCB﹣S△OCB）
＝S扇形ODB﹣S△ODB﹣S扇形OCB+S△OCB
＝S扇形ODC
＝60360π×22
＝23π．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
8．（2023秋·福建福州·九年级统考期中）如图，以BC为直径，在半径为2，圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，求图中阴影部分的面积．
【答案】π﹣1
【分析】首先根据圆周角定理以及等腰直角三角形的性质得出S阴影＝S弓形ACB+S△BCD＝S扇形ACB﹣S△ACD＝S扇形ACB﹣12S△ABC进而得出即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠CBD＝45°，
又∵BC是直径，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∴DC＝DB，
∴S弓形CD＝S弓形BD，
∴S阴影＝S弓形ACB+S△BCD
＝S扇形ACB﹣S△ACD
＝S扇形ACB﹣12S△ABC
＝14π×22﹣12×12×2×2
＝π﹣1．
【点睛】此题主要考查了扇形面积公式以及阴影部分面积求法，正确转化阴影图形的形状是解题关键．
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