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初中数学25.1.2 概率测试题
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这是一份初中数学25.1.2 概率测试题，共60页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20365" 【题型1 事件的分类】 PAGEREF _Tc20365 \h 1
\l "_Tc8124" 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 PAGEREF _Tc8124 \h 2
\l "_Tc3900" 【题型3 根据概率公式计算概率】 PAGEREF _Tc3900 \h 3
\l "_Tc24704" 【题型4 几何概率】 PAGEREF _Tc24704 \h 4
\l "_Tc3486" 【题型5 游戏的公平性】 PAGEREF _Tc3486 \h 5
\l "_Tc25335" 【题型6 概率在比赛中的应用】 PAGEREF _Tc25335 \h 6
\l "_Tc20093" 【题型7 概率在电路问题中的应用】 PAGEREF _Tc20093 \h 6
\l "_Tc1062" 【题型8 概率在转盘抽奖中的应用】 PAGEREF _Tc1062 \h 8
\l "_Tc2478" 【题型9 概率在摸球试验中的应用】 PAGEREF _Tc2478 \h 9
\l "_Tc6144" 【题型10 概率中的其他应用】 PAGEREF _Tc6144 \h 10
\l "_Tc6394" 【题型11 概率与统计的综合】 PAGEREF _Tc6394 \h 11
\l "_Tc14379" 【题型12 用频率估计概率】 PAGEREF _Tc14379 \h 13
【知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件】
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。
必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。
【题型1 事件的分类】
【例1】（2023春·江苏连云港·九年级统考期末）数轴上表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧，下列事件是随机事件的是（ ）
A．a−b>0B．a+b>0C．ab<0D．ab>0
【变式1-1】（2023春·广东梅州·九年级统考期末）下列成语，是必然事件的是（ ）
A．画饼充饥B．不期而遇C．水中捞月D．旭日东升
【变式1-2】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）下列事件：
①掷一次骰子，向上一面的点数是3；
②从一个只装有黑色球的袋子摸出一个球，摸到的是白球；
③14个人中至少有两个人的生日是在同一个月份；
④射击运动员射击一次命中靶心．
其中是确定事件的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2023春·江苏镇江·九年级统考期末）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是 （填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）．
【知识点2 事件发生的可能性的大小】
必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
【题型2 判断事件发生的可能性的大小】
【例2】（2023春·全国·九年级期末）在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．杭州五一节当天的最高温度为35℃
D．用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形
【变式2-1】（2023春·山东临沂·九年级统考期末）小明连续抛一枚质量均匀的硬币5次，都是正面朝上，若他再抛一次，则朝上的一面（ ）
A．一定是正面B．是正面的可能性较大
C．一定是反面D．是正面或反面的可能性一样大
【变式2-2】（2023春·江苏扬州·九年级统考期末）在质地均匀的小立方体中，有一个面上标有数字1，有两个面上标有数字2，有三个面上标有数字3，抛掷这个小立方体，则向上一面的数字可能性最大的是 ．
【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级统考期末）一个袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 球的可能性最大．
【知识点3 概率】
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=mn。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤mn≤1，因此0≤P（A）≤1、
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.
【题型3 根据概率公式计算概率】
【例3】（2023春·四川广元·九年级统考期末）在一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同.搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为12，应在该盒子中再添加红球（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【变式3-1】（2023春·辽宁铁岭·九年级统考期末）四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率为（ ）
A．14B．12C．34D．1
【变式3-2】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是（ ）
A．摸到黄球、红球的概率均为12
B．摸到黄球的概率是23，摸到红球、白球的概率均为13
C．摸到黄球、红球、白球的概率分别为12、13、16
D．摸到黄球、红球、白球的概率都是13
【变式3-3】（2023春·四川泸州·九年级统考期末）九年级学生李明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为29，那么他遇到绿灯的概率为（ ）
A．19B．29C．49D．59
【知识点4 用列表法、树状图法求概率】
列表法：当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现的次数与方式，以及某一事件发生的可能的次数与方式，并求出概率的方法。
树状图法：当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。
（1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。
（2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。
【题型4 几何概率】
【例4】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（ ）
A．23B．12C．13D．16
【变式4-1】（2023·广西河池·九年级统考期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为2分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（ ）
A．2πB．π2C．12πD．2π
【变式4-2】（2023春·河北唐山·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AD为中线，点E，F，G为AD的四等分点，在△ABC内任意抛一粒豆子，豆子落在阴影部分的概率为 ．
【变式4-3】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是 ．
【题型5 游戏的公平性】
【例5】（2023春·四川雅安·九年级统考期末）一个不透明的布袋里装有20个除颜色外均相同的小球，其中白球有x个，红球有2x个，其他均为黄球．现从布袋中随机摸出一个球，若是红球则甲同学获胜，若为黄球，则乙同学获胜．
(1)当x=5时，谁获胜的可能性大？
(2)要使游戏对甲乙双方是公平的，x应取何值？
【变式5-1】（2023春·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期末）有3张背面相同的纸牌A，B，C，其正面分别画有三个不同的图形（如图），将这3张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．
(1)随机地摸出一张，求摸出牌面图形是轴对称图形的概率；
(2)小华和小明玩游戏，规则是：随机地摸出一张，放回洗匀后再摸一张．若摸出两张牌面图形都是轴对称图形的纸牌，则小华赢；否则，小明赢．你认为该游戏公平吗？请用画树状图或列表法说明理由．（纸牌可用A，B，C表示）
【变式5-2】（2023·北京海淀·九年级期末）在一只不透明的袋中，装着标有数字4，5，7，9的质地、大小均相同的四个小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于13时小明获胜，反之小东获胜．
(1)请用列表的方法，求小明获胜的概率；
(2)这个游戏公平吗？请说明理由．
【变式5-3】（2023春·黑龙江黑河·九年级统考期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．
(1)请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．
(2)请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．(列出一种即可)
【题型6 概率在比赛中的应用】
【例6】（2023春·陕西榆林·九年级统考期中）某校将举办“齐学二十大，共筑中国梦”的主题演讲比赛，九年级通过预赛确定出两名男生和两名女生，共4名同学作为推荐人选．
(1)若从中随机选一名同学参加学校比赛，则选中女生的概率为______；
(2)若从中随机选两名同学组成一组选手参加比赛，请用树状图（或列表法）求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【变式6-1】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）为让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某中学组织了一次黑板报比赛，每个班从A．“天宫空间站”；B．“5G时代”：C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个主题，每一个主题被选择的可能性相同，小明和小雨在不同的班级
(1)小明所在的班级选择“天宫空间站”的概率为___________；
(2)请用列表法或画树状图法，求小明和小丽所在的班级选择相同主题的概率
【变式6-2】（2023春·辽宁大连·九年级统考期中）为庆祝二十大胜利召开，中山区教育系统拔河比赛于2022年10月26日至11月2日在东港第一中学成功举办．本次比赛共进行三场，分别为：A．10月26日初赛，B．10月28日半决赛，C．11月2日决赛．李老师和张老师都是裁判员，他们被随机分配到这三场比赛中的任意一场进行裁判的可能性相同．
(1)求李老师被分配到C做裁判员的概率；
(2)利用画树状图或列表的方法，求李老师和张老师同时被分配到同一场比赛做裁判员的概率．
【变式6-3】（2023春·陕西商洛·九年级校考期末）为庆祝党的二十大胜利召开，某学校举行作文比赛，题目有“伟大的中国共产党”“科技托起中国梦”“家乡的新变化”“时代赋予我们的使命”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个题目）．比赛时，将A，B，C，D这四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片，进行比赛．试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小青和小云抽中不同题目的概率．
【题型7 概率在电路问题中的应用】
【例7】（2023·陕西榆林·统考三模）如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中S₁、S₂、S₃、S₄分别表示四个可开闭的开关，“⊗”表示小灯泡，“|I”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关S₁、S₂、S₃中任意一个，再闭合开关S₄时，小灯泡发光，按要求完成下列问题：
(1)当开关S₁闭合时，再随机闭合开关S₂或S₃或S₄其中一个，小灯泡发光的概率为 ；
(2)当随机闭合开关S₁、S₂、S₃、S₄中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．
【变式7-1】（2023春·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图所示的电路中，当随机闭合开关 S1，S2，S3 中的两个时，能够让灯泡不发光的概率是 ．
【变式7-2】（2023·河南新乡·统考三模）如图，电路上有编号①②③④共4个开关和1个小灯泡，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为 ．
【变式7-3】（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图．
(1)如图1所示的电路图中，三个开关并联成一个开关组A，闭合其中任何一个开关，可以使灯泡发亮的概率是________；
(2)如图2，在图1的电路图中，新增一个开关组B，在A、B两个开关组中各闭合一个开关，用树状图或列表法求小灯泡发亮的概率．
(3)小明同学观察图2后提出：“若将开关S5或S6去掉，则在A、B两个开关组中各闭合一个开关，小灯泡一定会发亮．”你认为小明同学的说法是否正确？试简要说明理由．
【题型8 概率在转盘抽奖中的应用】
【例8】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒．
(1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______；
(2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好．
【变式8-1】（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费200元（含200元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）某顾客正好消费220元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？
（2）某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费168元，请问他消费所购物品的原价应为多少元．
【变式8-2】（2023春·辽宁丹东·九年级校考期中）九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为x，按表格要求确定奖项．
（1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率；
（2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？
【变式8-3】（2023春·河南三门峡·九年级统考期末）某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有4个标号分别为1，2，3，4的质地、大小相同的小球，顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8”是一等奖，数字之和为“6”是二等奖，数字之和为其他数字则是三等奖，请用列举法分别求出顾客抽中一、二、三等奖的概率．
【题型9 概率在摸球试验中的应用】
【例9】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期末）阅读材料，回答问题：
材料
题1：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率
题2：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题1：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球.
问题：
（1）事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？
（2）设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2，请简要说明你的方案
（3）请直接写出题2的结果．
【变式9-1】（2023春·辽宁锦州·九年级校考期末）在用摸球试验来模拟6人中有2人生肖相同的概率的过程中，有如下不同的观点，其中正确的是（ ）
A．摸出的球不能放回B．摸出的球一定要放回
C．可放回，可不放回D．不能用摸球试验来模拟此事件
【变式9-2】（2023春·四川达州·九年级校考期末）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，篮球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12．
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分（每次摸后放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．
【变式9-3】（2023春·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考期中）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：
1．抽奖方案有以下两种：
方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；
方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．
2．抽奖条件是：
顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）．
已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元．
(1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；
(2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由．
【题型10 概率中的其他应用】
【例10】（2023春·陕西渭南·九年级统考期中）琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和好朋友分享糖果．
(1)若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是______；
(2)若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或画树状图法打开的两盒都是巧克力味的概率．
【变式10-1】（2023春·湖南长沙·九年级长沙市湘郡培粹实验中学校考阶段练习）笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（ ）种不同的可能？
A．12B．6C．5D．2
【变式10-2】（2023春·浙江·九年级专题练习）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．现在学校需在东门、南门和西门分别增加一人测温，甲、乙、丙三人被随机增派到三个校门测温．小明每天走东门进校，小丽每天走西门进校．请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出甲、乙、丙被分配到三个校门测温的所有可能结果；
（2）小明、小丽两人中，进校时谁遇到甲的可能性大？请说明理由．
【变式10-3】（2023春·广西南宁·九年级广西大学附属中学校考期中）“垃圾分类，从我做起”，为改善群众生活环境，提升全民文明素养，垃圾分类已经在武威市普及开来．垃圾一般可分为可回收垃圾（A），厨余垃圾（B），有害垃圾（C），其它垃圾（D）四类．市民甲拿了一袋有害垃圾，乙拿了一袋厨余垃圾，随机扔进并排的4个垃圾桶A，B，C，D．
(1)甲扔对垃圾的概率为_________；
(2)用列表法或树状图求出甲、乙两人同时扔对垃圾的概率．
【题型11 概率与统计的综合】
【例11】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）“茶颜悦色”是长沙的地标美食名片之一，某“茶颜悦色”分店为了了解该地青年朋友对去年销量较好的“三季虫”（A）、“人间烟火”（B）、“声声乌龙”（C）、“幽兰拿铁”（D）四种不同口味的喜爱情况，对该地青年进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题．
(1)a=______，b=______；
(2)请将条形统计图补充完整，并计算表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为______；
(3)某“茶颜悦色”分店决定从A、B、C、D四种口味中，随机选取两种口味作为门店特色口味推销给消费者，请用列表法或画树状图法，求A、B两种口味同时被选中的概率．
【变式11-1】（2023春·江苏苏州·九年级统考期末）某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果(A:特别好;B:好;C:一般;D:较差)绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图;
(2)扇形统计图中，D类所占圆心角为 ;
(3)学校想从被调查的A类(1名男生、2名女生)和D类(男、女生各占一半)中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率.
【变式11-2】（2023春·山东济南·九年级统考期中）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次调查一共随机采访了_____名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为____度；
(2)若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
(3)李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
【变式11-3】（2023春·广东东莞·九年级虎门五中校考期中）我校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图.
请解答下列问题：
(1)在这次调查中，该校一共抽样调查了______ 名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是______ °；请补全条形统计图；
(2)若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数；
(3)若随机从“篮球、足球、乒乓球”三项中抽取两个项目成立球类体育社团，其中“篮球”被选中的概率是多少？(请用画树状图或列表等方法说明理由)
【题型12 用频率估计概率】
【例12】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下：
表格中的数据x=______；
（2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是14%．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由．
（3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？
【变式12-1】（2023春·云南昆明·九年级统考期末）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面四个推断中正确的是（ ）
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．
A．①②B．①③C．②③D．②④
【变式12-2】（2023春·陕西榆林·九年级统考期末）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共 10 个, 这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀, 从盒子里随机摸出一个球记下颜色后, 再把球放回盒子, 不断重复上述过程．下表是 多次摸球试验中的一组统计数据:
(1)请估计: 当 n 很大时, 摸到白球的频率将会接近 ; (精确到 0.1 )
(2)若从盒子里随机摸出一个球, 求摸到白球的概率的估计值．(精确到 0.1 )
【变式12-3】（2023春·浙江衢州·九年级统考期末）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子，不断重复上述过程．下表是多次摸球试验中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；
(2)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是______；
(3)小明用转盘来代替摸球做试验．下面是一个可以自由转动的转盘，小明将转盘分为红色、白色2个扇形区域，转动转盘，当转盘停止后，指针落在白色区域的概率与摸球试验中摸到白球的概率相同．请你在转盘上用文字“红色”、“白色”注明两个区域的颜色，并求出白色区域的扇形的圆心角的度数．
专题25.1 概率初步【十二大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20365" 【题型1 事件的分类】 PAGEREF _Tc20365 \h 1
\l "_Tc8124" 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 PAGEREF _Tc8124 \h 3
\l "_Tc3900" 【题型3 根据概率公式计算概率】 PAGEREF _Tc3900 \h 5
\l "_Tc24704" 【题型4 几何概率】 PAGEREF _Tc24704 \h 7
\l "_Tc3486" 【题型5 游戏的公平性】 PAGEREF _Tc3486 \h 11
\l "_Tc25335" 【题型6 概率在比赛中的应用】 PAGEREF _Tc25335 \h 14
\l "_Tc20093" 【题型7 概率在电路问题中的应用】 PAGEREF _Tc20093 \h 18
\l "_Tc1062" 【题型8 概率在转盘抽奖中的应用】 PAGEREF _Tc1062 \h 22
\l "_Tc2478" 【题型9 概率在摸球试验中的应用】 PAGEREF _Tc2478 \h 26
\l "_Tc6144" 【题型10 概率中的其他应用】 PAGEREF _Tc6144 \h 30
\l "_Tc6394" 【题型11 概率与统计的综合】 PAGEREF _Tc6394 \h 33
\l "_Tc14379" 【题型12 用频率估计概率】 PAGEREF _Tc14379 \h 40
【知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件】
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。
必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。
【题型1 事件的分类】
【例1】（2023春·江苏连云港·九年级统考期末）数轴上表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧，下列事件是随机事件的是（ ）
A．a−b>0B．a+b>0C．ab<0D．ab>0
【答案】B
【分析】根据题意可得a<0，b>0，然后根据有理数的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可．
【详解】解：∵数轴上表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧，
∴a<0，b>0，
∴a−b<0，a+b无法确定和的正负，ab<0，ab<0，
A、a−b>0是不可能事件，故A不符合题意；
B、a+b>0是随机事件，故B符合题意；
C、ab<0是必然事件，故C不符合题意；
D、ab>0是不可能事件，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件，数轴，有理数的加法，减法，乘法，除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·广东梅州·九年级统考期末）下列成语，是必然事件的是（ ）
A．画饼充饥B．不期而遇C．水中捞月D．旭日东升
【答案】D
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可区别各类事件．
【详解】解：A、画饼充饥是不可能事件，不符合题意；
B、不期而遇是随机事件，不符合题意；
C、水中捞月是不可能事件，不符合题意；
D、旭日东升是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【变式1-2】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）下列事件：
①掷一次骰子，向上一面的点数是3；
②从一个只装有黑色球的袋子摸出一个球，摸到的是白球；
③14个人中至少有两个人的生日是在同一个月份；
④射击运动员射击一次命中靶心．
其中是确定事件的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据事件分类的相关定义进行解答即可．事件分为随机事件、不可能事件、必然事件，其中不可能事件和必然事件统称为确定事件．在一定条件下；可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；必然发生的事件称为必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件．
【详解】解：①掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意；
②从一个只装有黑色球的袋子摸出一个球，摸到的是白球，是不可能事件，属于确定事件，符合题意；
③14个人中至少有两个人的生日是在同一个月份，是必然事件，属于确定事件，符合题意；
④射击运动员射击一次命中靶心，是随机事件，不符合题意；
综上分析可知，是确定事件的有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查的是事件的分类，掌握相关概念是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·江苏镇江·九年级统考期末）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是 （填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）．
【答案】随机事件
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，
意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，说的是随机事件．
故答案为：随机事件．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
【知识点2 事件发生的可能性的大小】
必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
【题型2 判断事件发生的可能性的大小】
【例2】（2023春·全国·九年级期末）在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．杭州五一节当天的最高温度为35℃
D．用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件类型，即可得到答案．
【详解】解：A、在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下，是必然事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；
C、杭州五一节当天的最高温度为35℃，是随机事件，不符合题意；
D、用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形，是不可能事件，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，一般必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0~1之间．
【变式2-1】（2023春·山东临沂·九年级统考期末）小明连续抛一枚质量均匀的硬币5次，都是正面朝上，若他再抛一次，则朝上的一面（ ）
A．一定是正面B．是正面的可能性较大
C．一定是反面D．是正面或反面的可能性一样大
【答案】D
【分析】根据实际情况可知，硬币有2面，正面和反面；
投掷一次，正面与反面的可能性是一样的，据此解答.
【详解】解：小明连续抛一枚硬币，前5次都是正面朝上， 抛第6次正面朝上和反面朝上的可能性一样大．
故选D.
【点睛】本题考查的是可能性的运用,较为简单.
【变式2-2】（2023春·江苏扬州·九年级统考期末）在质地均匀的小立方体中，有一个面上标有数字1，有两个面上标有数字2，有三个面上标有数字3，抛掷这个小立方体，则向上一面的数字可能性最大的是 ．
【答案】3
【分析】根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：∵小立方体的一个面上标有数字1，两个面上标有数字2，三个面上标有数字3，
∴向上一面的数字可能性最大的是3；
故答案为：3．
【点睛】此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级统考期末）一个袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 球的可能性最大．
【答案】黄
【分析】利用概率公式分别计算出摸到红球、黄球、白球的概率，然后利用概率的大小判断可能性的大小．
【详解】解：∵袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，
∴总球数是：3+5+3=11个，
∴摸到红球的概率是311；
摸到黄球的概率是511；
摸到白球的概率是311；
∴摸出黄球的可能性最大．
故答案为：黄．
【点睛】本题主要考查了可能性的大小，解题的关键是计算每种颜色球摸到的概率．
【知识点3 概率】
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=mn。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤mn≤1，因此0≤P（A）≤1、
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.
【题型3 根据概率公式计算概率】
【例3】（2023春·四川广元·九年级统考期末）在一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同.搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为12，应在该盒子中再添加红球（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【答案】D
【分析】首先设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得x+1x+1+2＝12，解此分式方程即可求得答案．
【详解】解：设应在该盒子中再添加红球x个，
根据题意得：x+1x+1+2＝12，
解得：x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解．
故选：D．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式3-1】（2023春·辽宁铁岭·九年级统考期末）四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率为（ ）
A．14B．12C．34D．1
【答案】C
【分析】首先由等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形中是轴对称图形的有等边三角形、菱形、正五边形，再直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵等边三角形、平行四边形、、菱形、正五边形中是轴对称图形的有等边三角形、菱形、正五边形，
∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是轴对称图形的概率是：34，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率公式，轴对称图形的识别，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【变式3-2】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是（ ）
A．摸到黄球、红球的概率均为12
B．摸到黄球的概率是23，摸到红球、白球的概率均为13
C．摸到黄球、红球、白球的概率分别为12、13、16
D．摸到黄球、红球、白球的概率都是13
【答案】B
【分析】分析各个选项中的概率之和即可选出不成功的选项．
【详解】A.P摸到黄球+P摸到红球=12+12=1；
B.P摸到黄球+P摸到红球+P摸到b白球=23+13+13>1，不成立；
C.P摸到黄球+P摸到红球+P摸到b白球=12+13+16=1;
D.P摸到黄球+P摸到红球+P摸到b白球=13+13+13=1;
故选：B．
【点睛】本题考查简单事件的概率．一次试验中有n种等可能的结果，每种结果出现的概率之和为1．
【变式3-3】（2023春·四川泸州·九年级统考期末）九年级学生李明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为29，那么他遇到绿灯的概率为（ ）
A．19B．29C．49D．59
【答案】C
【分析】利用十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，遇到每种信号灯的概率之和为1，进而求出即可．
【详解】解：∵十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为29，
∴他遇到绿灯的概率为： 1−13−29=49．
故选：C．
【点睛】本题考查了概率公式，掌握遇到每种信号灯的概率之和为1是关键．
【知识点4 用列表法、树状图法求概率】
列表法：当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现的次数与方式，以及某一事件发生的可能的次数与方式，并求出概率的方法。
树状图法：当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。
（1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。
（2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。
【题型4 几何概率】
【例4】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（ ）
A．23B．12C．13D．16
【答案】C
【分析】设每小格的面积为1，易得整个方砖的面积为9，阴影区域的面积3，然后根据概率的定义计算即可．
【详解】解：设每小格的面积为1，
∴整个方砖的面积为9，
阴影区域的面积为3，
∴最终停在阴影区域上的概率为：39=13．
故选：C．
【点睛】本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n,再计算出其中某个区域的几何图形的面积m,然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率=mn．
【变式4-1】（2023·广西河池·九年级统考期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为2分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（ ）
A．2πB．π2C．12πD．2π
【答案】A
【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可.
【详解】因为⊙O的直径为2分米，则半径为22分米，⊙O的面积为π222=π2平方分米；
正方形的边长为222+222=1分米，面积为1平方分米；
因为豆子落在圆内每一个地方是均等的，
所以P（豆子落在正方形ABCD内）=1π2=2π．
故答案为A．
【点睛】此题主要考查几何概率的意义：一般地，如果试验的基本事件为m，随机事件A所包含的基本事件数为n，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）=nm，熟记概率公式是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·河北唐山·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AD为中线，点E，F，G为AD的四等分点，在△ABC内任意抛一粒豆子，豆子落在阴影部分的概率为 ．
【答案】38
【分析】先求出阴影部分的面积与总面积的关系，再根据概率=相应的面积与总面积之比即可求出答案．
【详解】解：∵在△ABC中，AD为中线，
∴S△ADC=12S△ABC，S△ADC=S△ADB，
∵点E、F、G为AD的四等分点，
∴S△EDC=34S△ADC，S△CGF=14S△ADC，S△BGF=14S△ADB，
∴，S△EDC=34×12S△ABC=38S△ABC，
∴S阴影部分=38S△ABC，
∴豆子落在阴影部分的概率为38．
故答案为：38．
【点睛】此题考查了几何概率，关键是求出阴影部分的面积与总面积的关系，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
【变式4-3】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是 ．
【答案】316
【分析】设正方形的边长为4，将△BIC的面积和▱GHEF的面积计算出来，再用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求出此点取自黑色部分的概率.
【详解】设正方形ABDF的边长为4，
则S正方形ABDF=42=16,且BC=CD=DE=EF=2
∵△BIC是等腰直角三角形
∴∠IBC=45°
∴IC=BCsin45°=2×22=2
∴BI=2
∴S△BIC=12×2×2=1
∵Rt△CDE中，CD=2,∠ECD=45°
∴CE=2CD=22
∴HE=12CE=2
OH=IC=2
∴S▱GHEF=HE⋅OH=2×2=2
∴S阴影=S△BIC+SGHEF▱=1+2=3
∴此点取自黑色部分的概率是S阴影S正方形ABDF=316
【点睛】本题主要考查了几何概率的求法，解题的关键是正确计算出阴影部分的面积.
【题型5 游戏的公平性】
【例5】（2023春·四川雅安·九年级统考期末）一个不透明的布袋里装有20个除颜色外均相同的小球，其中白球有x个，红球有2x个，其他均为黄球．现从布袋中随机摸出一个球，若是红球则甲同学获胜，若为黄球，则乙同学获胜．
(1)当x=5时，谁获胜的可能性大？
(2)要使游戏对甲乙双方是公平的，x应取何值？
【答案】(1)摸到红球的可能性更大
(2)x=4
【分析】（1）根据x=5时，红球的个数多于黄球的个数，即可得出结论；
（2）根据概率相等时，游戏公平，列式求解即可．
【详解】（1）解：当x=5时，则红球有10个，黄球有5个，
∵红球的个数多于黄球的个数，
∴摸到红球的可能性更大，
∴当x=5时，甲同学获胜可能性大；
（2）要使游戏对甲乙双方公平，必须有：2x20=20−3x20
解得x=4；
∴当x=4时，游戏对甲乙双方是公平的．
【点睛】本题考查利用概率解决游戏公平性．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期末）有3张背面相同的纸牌A，B，C，其正面分别画有三个不同的图形（如图），将这3张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．
(1)随机地摸出一张，求摸出牌面图形是轴对称图形的概率；
(2)小华和小明玩游戏，规则是：随机地摸出一张，放回洗匀后再摸一张．若摸出两张牌面图形都是轴对称图形的纸牌，则小华赢；否则，小明赢．你认为该游戏公平吗？请用画树状图或列表法说明理由．（纸牌可用A，B，C表示）
【答案】(1)23
(2)不公平，理由见解析
【分析】（1）随机地摸出一张共有3种等可能的结果，其中摸出牌面图形是轴对称图形的结果有2种，再利用概率公式计算即可得；
（2）先画出树状图，从而可得摸出两张牌的所有等可能的结果，再找出摸出两张牌面图形都是轴对称图形的结果，然后利用概率公式求出摸出两张牌面图形都是轴对称图形、摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的概率，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意，随机地摸出一张共有3种等可能的结果，其中摸出牌面图形是轴对称图形的结果有纸牌A,B，共2种，
则摸出牌面图形是轴对称图形的概率为P=23．
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，摸出两张牌共有9种等可能的结果，其中摸出两张牌面图形都是轴对称图形的结果有4种、摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的结果有5种，
则摸出两张牌面图形都是轴对称图形的概率是49，摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的概率是59，
因为49≠59，
所以这个游戏不公平．
【点睛】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
【变式5-2】（2023·北京海淀·九年级期末）在一只不透明的袋中，装着标有数字4，5，7，9的质地、大小均相同的四个小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于13时小明获胜，反之小东获胜．
(1)请用列表的方法，求小明获胜的概率；
(2)这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)12；
(2)游戏公平，理由如下．
【分析】（1）根据题意以小明为横排，小东为竖列，列出所有情况，找到和小于13时的情况及大于或等于13的情况，根据P(m)=mn即可得到答案；
（2）比较小东、小明的概率即可得到公平性．
【详解】（1）解：由题意可得，以小明为横排，小东为竖列，列表如下：
根据表可知：总共有12种情况，小于13的有6种，大于或等于13的有6种，
∴P(小明)=612=12 ；
（2）解：这个游戏公平，理由如下，
由（1）得，
P(小东)=612=12，
∴P(小明)=P(小东)=12
∴这个游戏公平．
【点睛】本题考查用列表法求概率及判断游戏公平性，解题的关键是，列出表格，找到所有情况及小于13的情况．
【变式5-3】（2023春·黑龙江黑河·九年级统考期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．
(1)请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．
(2)请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．(列出一种即可)
【答案】(1)此游戏不公平，见解析
(2)点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于8，明明赢
【分析】（1）画树状图求出淘淘和明明获胜的概率，再比较概率即可判定游戏是否公平；
（2）设计一个两人获胜概率一样的游戏规则即可．
【详解】（1）解：画树状图：
由图可知，点数之和共有36种可能的结果，其中6出现5次，7出现6次，
故P(和为6)=536，P(和为7)=636．
P(和为6)∴明明获胜的概率大，此游戏不公平；
（2）解：如：“点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于8，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．”（答案不唯一）
由（1）树状图可知：点数之和等于6出现5次，点数之和等于8也出现5次，
∴P(和为6)=536，P(和为8) =536，
∴P(和为6)= P(和为8)，
故游戏公平．
【点睛】本题考查用列表法或画树状图法求概率，游戏公平性问题，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率是解题的关键．
【题型6 概率在比赛中的应用】
【例6】（2023春·陕西榆林·九年级统考期中）某校将举办“齐学二十大，共筑中国梦”的主题演讲比赛，九年级通过预赛确定出两名男生和两名女生，共4名同学作为推荐人选．
(1)若从中随机选一名同学参加学校比赛，则选中女生的概率为______；
(2)若从中随机选两名同学组成一组选手参加比赛，请用树状图（或列表法）求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)12
(2)23
【分析】（1）画出树状图，找出所有情况及可能情况，根据P(m)=mn直接求解即可得到答案；
（2）画出树状图，找出所有情况及可能情况，根据P(m)=mn直接求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，树状图如下所示，
，
共有4种等可能出现的结果，其中选中女生的有2种，
∴选中女生的概率为P=24=12；
（2）解：由题意可得，树状图如下所示，
共有12种等可能出现的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的有8种，
∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为P=812=23；
【点睛】本题考查树状图法求概率，解题的关键是正确化出树状图．
【变式6-1】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）为让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某中学组织了一次黑板报比赛，每个班从A．“天宫空间站”；B．“5G时代”：C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个主题，每一个主题被选择的可能性相同，小明和小雨在不同的班级
(1)小明所在的班级选择“天宫空间站”的概率为___________；
(2)请用列表法或画树状图法，求小明和小丽所在的班级选择相同主题的概率
【答案】(1)14
(2)14
【分析】（1）用概率公式即可计算出概率；
（2）画出树状图，再用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
一共有4种选择，明所在的班级选择“天宫空间站”的概率为14；
故答案为：14．
（2）画树状图如下：
由树状图知共有16种等可能结果，其中小明和小丽所在的班级选择相同主题的有4种结果，
所以小明和小丽所在的班级选择相同主题的概率为416=14．
【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式6-2】（2023春·辽宁大连·九年级统考期中）为庆祝二十大胜利召开，中山区教育系统拔河比赛于2022年10月26日至11月2日在东港第一中学成功举办．本次比赛共进行三场，分别为：A．10月26日初赛，B．10月28日半决赛，C．11月2日决赛．李老师和张老师都是裁判员，他们被随机分配到这三场比赛中的任意一场进行裁判的可能性相同．
(1)求李老师被分配到C做裁判员的概率；
(2)利用画树状图或列表的方法，求李老师和张老师同时被分配到同一场比赛做裁判员的概率．
【答案】(1)李老师被分配到C做裁判员的概率是13
(2)李老师和张老师同时被分配到同一场比赛作裁判的概率是13
【分析】（1）这是求简单事件的概率，求得所有可能的结果数及事件发生的结果数，再由概率计算公式进行计算即可；
（2）利用列表法，可得所有可能的结果数及事件发生的结果数，再由概率计算公式进行计算即可．
【详解】（1）李老师被分配到三场比赛作裁判员的可能性有三种，并且可能性相等．被分到C的可能性只有一种．
∴P(C)=13．
（2）列表如下：
由表可以看出，所有可能出现的结果有9种，并且出现的可能性相等．两人同时被分配到同一场比赛做裁判的可能性有3种，即A,A，B,B，C,C．
∴李老师和张老师同时被分配到同一场比赛作裁判的概率P=39=13．
【点睛】本题考查了求简单事件的概率及稍复杂事件的概率，对于稍复杂事件的概率，运用列表法或树状图解决，无论哪种求概率，都要求出所有可能的结果数及事件发生的结果数，再由概率计算公式进行计算．
【变式6-3】（2023春·陕西商洛·九年级校考期末）为庆祝党的二十大胜利召开，某学校举行作文比赛，题目有“伟大的中国共产党”“科技托起中国梦”“家乡的新变化”“时代赋予我们的使命”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个题目）．比赛时，将A，B，C，D这四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片，进行比赛．试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小青和小云抽中不同题目的概率．
【答案】34
【分析】列表法求概率即可．
【详解】解：由题意，列表如下：
共有16种等可能的结果，其中小青和小云抽中不同题目的结果有12种，
∴P=1216=34．
【点睛】本题考查列表法求概率．熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
【题型7 概率在电路问题中的应用】
【例7】（2023·陕西榆林·统考三模）如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中S₁、S₂、S₃、S₄分别表示四个可开闭的开关，“⊗”表示小灯泡，“|I”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关S₁、S₂、S₃中任意一个，再闭合开关S₄时，小灯泡发光，按要求完成下列问题：
(1)当开关S₁闭合时，再随机闭合开关S₂或S₃或S₄其中一个，小灯泡发光的概率为 ；
(2)当随机闭合开关S₁、S₂、S₃、S₄中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．
【答案】(1)13
(2)12
【分析】（1）据概率公式直接填空即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出小灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：当开关S₁闭合时，再随机闭合开关S₂或S₃或S₄其中一个，三种情况中小灯泡会发光的只有闭合开关S₄一种情况，故小灯泡发光的概率为13，
故答案为：13；
（2）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，
∴小灯泡发光的概率为612=12.
【点睛】题主要考查概率的求法．是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，掌握根据题意正确画出树状图或列表法以及概率的计算方法是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图所示的电路中，当随机闭合开关 S1，S2，S3 中的两个时，能够让灯泡不发光的概率是 ．
【答案】13
【分析】根据概率计算方法解答即可；
【详解】当闭合开关S1，S2时，灯泡发光；当闭合开关S1，S3时，灯泡发光；当闭合开关S2，S3时，灯泡不发光；总共有三种可能情况，一种情况灯泡不发光，故概率为13；
故答案为13
【点睛】该题考查了概率的计算，能够正确的写出所有的可能情况，清楚概率的计算方法是解答该题的关键．
【变式7-2】（2023·河南新乡·统考三模）如图，电路上有编号①②③④共4个开关和1个小灯泡，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为 ．
【答案】13
【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出能够“点亮灯泡”的情况数，进而求出概率．
【详解】解：列表如下：
∴一共有12种情况，能使小灯泡发光的有4种情况，
∴小灯泡发光的的概率为：412=13．
故答案为：13．
【点睛】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
【变式7-3】（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图．
(1)如图1所示的电路图中，三个开关并联成一个开关组A，闭合其中任何一个开关，可以使灯泡发亮的概率是________；
(2)如图2，在图1的电路图中，新增一个开关组B，在A、B两个开关组中各闭合一个开关，用树状图或列表法求小灯泡发亮的概率．
(3)小明同学观察图2后提出：“若将开关S5或S6去掉，则在A、B两个开关组中各闭合一个开关，小灯泡一定会发亮．”你认为小明同学的说法是否正确？试简要说明理由．
【答案】(1)1
(2)13
(3)小明同学的说法正确，理由见解析
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到能使小灯泡发亮的结果数，最后依据概率计算公式求解即可；
（3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到能使小灯泡发亮的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由并联电路的特点可知，闭合三个开关中的任何一个开关都能使灯泡发亮，
∴闭合其中任何一个开关，可以使灯泡发亮的概率是1，
故答案为：1；
（2）解：设用A，B，C表示S1，S2，S3，用D，E，F表示S4，S5，S6，
列表如下：
由表格可知一共有18种等可能性的结果数，其中能使小灯泡发亮（AD、BD、CD、DA、DB、DC）的结果数有6种，
∴能使小灯泡发亮的概率为618=13；
（3）解：小明同学的说法正确，理由如下：
列表如下：设用A，B，C表示S1，S2，S3，用D表示S4，
由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中能使小灯泡发亮（AD、BD、CD、DA、DB、DC）的结果数有6种，
∴能使小灯泡发亮的概率为66=1，
∴若将开关S5或S6去掉，则在A、B两个开关组中各闭合一个开关，小灯泡一定会发亮，
∴小明同学的说法正确．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确理解题意列出表格或画出树状图是解题的关键．
【题型8 概率在转盘抽奖中的应用】
【例8】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒．
(1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______；
(2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好．
【答案】(1)14
(2)李同学应该买一个小盲盒好，理由见解析
【分析】（1）用列表法展示12种等可能的结果数，找出张同学购买的第1个小盲盒里藏有数字4的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）先分别计算出李同学购买一个小盲盒和两个小盲盒后最终在手上的钱的平均值，然后再比较即可判断．
【详解】（1）解：列表得：
共有12种等可能情况，记购买的第1个小盲盒里藏有数字4为事件A，共3种情况，
∴PA=312=14．
故答案为：14．
（2）若李同学购买1个小盲盒，花去3元，还有4元，
则可兑换4元的概率为14，兑换2元的概率为14，兑换1元的概率为24=12，
因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：4+4×14+2×14+1×12=6（元）；
若李同学购买2个小盲盒，花去6元，还有1元，
由（1）可知，
可兑换6元的概率为212=16，
可兑换5元的概率为412=13，
可兑换3元的概率为412=13，
可兑换2元的概率为212=16，
因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：1+6×16+5×13+3×13+2×16=5（元）；
∵6>5，
∴李同学应该买一个小盲盒好．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率和概率的应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．理解和掌握概率公式的应用是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费200元（含200元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）某顾客正好消费220元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？
（2）某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费168元，请问他消费所购物品的原价应为多少元．
【答案】（1）12，13，16；（2）210元或240元
【分析】（1）由圆盘可知，七折圆心角为30°，八折圆心角为60°，九折圆心角为90°，利用它们所占圆的百分比即可算出概率；
（2）对于实际花费的168元进行三种情况的计算，即可得到答案．
【详解】（1）获得九折的概率为90°×2360°=12
获得八折的概率为60°×2360°=13，
获得七折的概率为30°×2360°=16，
（2）∵200×0.9=180>168
∴他没有获得九折优惠．
∵200×0.8=160<168
∴168÷0.8=210 ，
∵200×0.7=140<168
∴168÷0.7=240
答：他消费所购物品的原价应为210元或240元．
【点睛】本题考查了用扇形统计图计算概率，解题的关键是掌握概率的计算，以及实际问题的应用情况．
【变式8-2】（2023春·辽宁丹东·九年级校考期中）九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为x，按表格要求确定奖项．
（1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率；
（2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？
【答案】（1）110（2）不一定
【分析】（1）画出树状图，找出符合条件的情况，求出其概率即可．
（2）根据题意分析不满足条件的情况并找出即可求是否存在不中奖的情况．
【详解】解： （1）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，甲同学获得一等奖的有2种情况，
∴甲同学获得一等奖的概率为：220=110；
（2）不是，当两张牌都是3时，|x|=0，不会有奖．
【变式8-3】（2023春·河南三门峡·九年级统考期末）某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有4个标号分别为1，2，3，4的质地、大小相同的小球，顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8”是一等奖，数字之和为“6”是二等奖，数字之和为其他数字则是三等奖，请用列举法分别求出顾客抽中一、二、三等奖的概率．
【答案】P（一等奖）=116 P（二等奖）=316 P（三等奖）=34
【详解】试题分析：列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
试题解析：列表：
所以一等奖的概率为116；二等奖的概率为316；三等奖的概率为34．
考点：列表法与树状图法．
【题型9 概率在摸球试验中的应用】
【例9】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期末）阅读材料，回答问题：
材料
题1：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率
题2：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题1：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球.
问题：
（1）事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？
（2）设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2，请简要说明你的方案
（3）请直接写出题2的结果．
【答案】题1.727；题2.(1)至少摸出两个绿球；(2)方案详见解析；(3)13.
【详解】试题分析：题1：因为此题需要三步完成，所以画出树状图求解即可，注意要做到不重不漏；
题2：根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率；
问题：
（1）绿球代表左转，所以为：至少摸出两个绿球；
（2）写出方案；
（3）直接写结果即可．
试题解析：题1：画树状图得：
∴一共有27种等可能的情况；
至少有两辆车向左转的有7种：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，
则至少有两辆车向左转的概率为：727．
题2：列表得：
所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，
则P=26=13．
问题：
（1）至少摸出两个绿球；
（2）一口袋中放红色和黑色的小球各一个，分别表示不同的锁；另一口袋中放红色、黑色和绿色的小球各一个，分别表示不同的钥匙；其中同颜色的球表示一套锁和钥匙．“随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率”，相当于，“从两个口袋中各随机摸出一个球，两球颜色一样的概率”；
（3）13．
考点：随机事件．
【变式9-1】（2023春·辽宁锦州·九年级校考期末）在用摸球试验来模拟6人中有2人生肖相同的概率的过程中，有如下不同的观点，其中正确的是（ ）
A．摸出的球不能放回B．摸出的球一定要放回
C．可放回，可不放回D．不能用摸球试验来模拟此事件
【答案】B
【分析】一年有365天，6个人中有两个人生肖相同即从365天中任意取出6个数，其中有相同的概率，可以结合摸球实验来进行设计．
【详解】解：方案：有从1到365共365个球，这些球除数字不同外，其它都相同，从中任摸一球，放回，然后混合均匀以后再任意摸出一个，如此循环6次，则6次摸到的球有两个的数字相同的概率．故选：B
【点睛】本题考查了模拟实验求概率，通过模拟实验可以便于实验，容易实验．
【变式9-2】（2023春·四川达州·九年级校考期末）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，篮球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12．
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分（每次摸后放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．
【答案】(1)黄球有1个；(2)16；(3)34.
【分析】（1）首先设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：22+1+x=12，解此方程即可求得答案．
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
（3）由若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：（1）设口袋中黄球的个数为x个，
根据题意得：22+1+x=12，解得：x=1．
经检验：x=1是原分式方程的解．
∴口袋中黄球的个数为1个．
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，
∴两次摸出都是红球的概率为：212=16．
（3）∵摸到红球得5分，摸到黄球得3分，而乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，
∴乙同学已经得了7分．
∴若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；
∴若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率为：34．
【变式9-3】（2023春·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考期中）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：
1．抽奖方案有以下两种：
方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；
方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．
2．抽奖条件是：
顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）．
已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元．
(1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；
(2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由．
【答案】(1)49；
(2)选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由见解析
【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可；
（2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分别求出各种情况下获得奖金的平均值即可．
【详解】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元，
从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下：
共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种，
所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为49；
（2）解：①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为49，获得30元（2次都是红球）的概率为19，两次都不获奖的概率为49，
所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×49+30×19=10（元），
②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为23，因此获得奖金的平均值为：10×23≈6.7（元），
③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×13+10×23≈11.7（元），
因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．
【题型10 概率中的其他应用】
【例10】（2023春·陕西渭南·九年级统考期中）琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和好朋友分享糖果．
(1)若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是______；
(2)若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或画树状图法打开的两盒都是巧克力味的概率．
【答案】(1)14
(2)16
【分析】（1）4盒外包装完全相同的糖果中有1盒牛奶味的，随机打开1盒糖果恰巧是牛奶味的概率，用1除以4，即得；
（2）从4盒外包装完全相同的糖果中随机挑选两盒打开，列表写出共12种等可能结果，其中两盒都是巧克力味的结果有2种，随机挑选两盒糖果都是巧克力味的概率，用2除以12，即得．
【详解】（1）P(牛奶味)=1÷4=14；
故答案为：14；
（2）用Q1 、Q2表示巧克力味的，N表示牛奶味的，S表示水果味的，列表如下：
共12种等可能结果，其中两盒都是巧克力味的结果有2种，随机挑选两盒都是巧克力味的概率为：P(两盒巧克力味)=212=16．
【点睛】本题主要考查了求概率，解决问题的关键是熟练掌握概率的定义，简单概率的计算，用列表法或树状图法求概率．
【变式10-1】（2023春·湖南长沙·九年级长沙市湘郡培粹实验中学校考阶段练习）笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（ ）种不同的可能？
A．12B．6C．5D．2
【答案】B
【分析】解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况，然后再进行组合得到打开两道门的方法，这类题要读懂题意，从中找出组合的规律进行求解，本题不同的是首先分析每道门的情况数，然后整体进行组合即可得解．
【详解】解：因为第一道门有A、B、C三个出口，所以出第一道门有三种选择；又因第二道门有两个出口，故出第二道门有D、E两种选择，因此小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE．
故选：B．
【点睛】本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径．
【变式10-2】（2023春·浙江·九年级专题练习）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．现在学校需在东门、南门和西门分别增加一人测温，甲、乙、丙三人被随机增派到三个校门测温．小明每天走东门进校，小丽每天走西门进校．请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出甲、乙、丙被分配到三个校门测温的所有可能结果；
（2）小明、小丽两人中，进校时谁遇到甲的可能性大？请说明理由．
【答案】（1）有6种，见解析；（2）一样大，见解析．
【分析】（1）画树状图，计算判断；（2）计算各自的概率，比较大小判断即可．
【详解】解：（1）画树状图如图：
共有6个等可能的结果；
（2）小明、小丽两人中，进校时遇到甲的可能性一样大，理由如下：
由（1）可知，共有6个等可能的结果，其中甲分配在东门的结果有2个，甲分配在西门的结果有2个，
∴小明进校时谁遇到甲的概率为26=13，
小丽进校时谁遇到甲的概率为26=13，
∴小明、小丽两人中，进校时遇到甲的可能性一样大．
【点睛】本题考查了画树状图确定等可能性，判断游戏的公平性，准确画树状图，并用概率公式计算事件的概率是解题的关键．
【变式10-3】（2023春·广西南宁·九年级广西大学附属中学校考期中）“垃圾分类，从我做起”，为改善群众生活环境，提升全民文明素养，垃圾分类已经在武威市普及开来．垃圾一般可分为可回收垃圾（A），厨余垃圾（B），有害垃圾（C），其它垃圾（D）四类．市民甲拿了一袋有害垃圾，乙拿了一袋厨余垃圾，随机扔进并排的4个垃圾桶A，B，C，D．
(1)甲扔对垃圾的概率为_________；
(2)用列表法或树状图求出甲、乙两人同时扔对垃圾的概率．
【答案】(1)14
(2)树状图见解析，116
【分析】（1）根据一步概率的求解公式P(A)=事件A结果数事件总的结果数直接求解即可；
（2）采用树状图或列表求解两步概率问题，画出树状图即可求解．
【详解】（1）解：甲扔对垃圾的概率为14；
（2）解：画树状图为：
由树状图可知共有16种等可能的结果，其中甲、乙两个人同时扔对垃圾的结果为CB．
所以甲，乙两人同时扔对垃圾的概率=116．
【点睛】本题考查了概率求解，对于一步概率问题，直接利用公式求解；两步概率问题列表法或树状图法求解，对于利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
【题型11 概率与统计的综合】
【例11】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）“茶颜悦色”是长沙的地标美食名片之一，某“茶颜悦色”分店为了了解该地青年朋友对去年销量较好的“三季虫”（A）、“人间烟火”（B）、“声声乌龙”（C）、“幽兰拿铁”（D）四种不同口味的喜爱情况，对该地青年进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题．
(1)a=______，b=______；
(2)请将条形统计图补充完整，并计算表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为______；
(3)某“茶颜悦色”分店决定从A、B、C、D四种口味中，随机选取两种口味作为门店特色口味推销给消费者，请用列表法或画树状图法，求A、B两种口味同时被选中的概率．
【答案】(1)2，45
(2)图见解析，72°
(3)16
【分析】（1）根据条形图形中A的数量，扇形图中A的百分比可求出样本容量，再根据B,D的信息即可求出a,b的值；
（2）根据样本容量和圆心角的计算公式即可求解；
（3）画树状图表示所有可能的结果，再根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，A的人数是12人，A的百分比是30%，
∴抽取的总人数为12÷30%=40（人），
∵D的百分比为5%，
∴D的人数是40×5%=2（人），
∴a=2，
∵B的人数为40−12−8−2=18（人），
∴B的百分比为1840×100%=45%，
∴b=45，
故答案为：2,45．
（2）解：由（2）可知，B的人数为40−12−8−2=18（人），
∴补全条形图如下，
∵C的人数是8人，
∴C的圆心角为840×360°=72°．
（3）解：树状图如下，
共有12种等可能的结果，其中A、B两种口味同时被选中的结果数为2，
∴A、B两种口味同时被选中的概率为212=16．
【点睛】本题主要考查调查与统计的相关概念，画树状图求概率，掌握样本容量的计算方法，圆心角的计算方法，列表或画树状图求随机事件的概率是解题的关键．
【变式11-1】（2023春·江苏苏州·九年级统考期末）某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果(A:特别好;B:好;C:一般;D:较差)绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图;
(2)扇形统计图中，D类所占圆心角为 ;
(3)学校想从被调查的A类(1名男生、2名女生)和D类(男、女生各占一半)中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率.
【答案】(1)补图见解析；(2)36°；(3)12.
【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图，可求得C，D的人数，继而补全统计图；
（2）可求出D所占百分比，进而求得扇形统计图中，D类所占圆心角；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选的两位同学恰好是男一女的情况再利用概率公式即可求得答.
【详解】解：(1)补全条形统计图:
(2)36°;
(3)树状图如下：
所选的两位同学恰好是一男一女的概率为12.
【变式11-2】（2023春·山东济南·九年级统考期中）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次调查一共随机采访了_____名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为____度；
(2)若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
(3)李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
【答案】(1)200，198
(2)估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为288人
(3)16
【分析】（1）利用选择蓝色的学生人数除以所占的百分比，求出总人数，利用360°×“灰”所占的比例，进行求解即可；
（2）用全校的人数乘以样本中“红”所占的比例，进行求解即可；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：此次调查一共随机采访学生44÷22%=200（名），
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为360°×110200=198°，
故答案为：200；198；
（2）3600×16200=288（人）；
估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为288人；
（3）列表如下：
由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的结果有2种，
∴恰好抽中A，B两人的概率为212=16．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
【变式11-3】（2023春·广东东莞·九年级虎门五中校考期中）我校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图.
请解答下列问题：
(1)在这次调查中，该校一共抽样调查了______ 名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是______ °；请补全条形统计图；
(2)若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数；
(3)若随机从“篮球、足球、乒乓球”三项中抽取两个项目成立球类体育社团，其中“篮球”被选中的概率是多少？(请用画树状图或列表等方法说明理由)
【答案】(1)200，72°，补图见解析
(2)180
(3)画树状见解析，23，理由见解析
【分析】（1）用选择乒乓球的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用360°乘以选择跑步的人数所占的百分比得到扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数，然后计算出选择足球的人数后补全条形统计图；
（2）用1200乘以样本中选择篮球的人数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有种等可能的结果，再找出抽取两个项目中至少一项是“篮球”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：调查的总人数为60÷30%=200（名），
扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数为360°×40200=72°，
选择“足球”的人数为200−30−60−20−40=50（名），
补全条形统计图为：
故答案为：200，72；
（2）解：1200×30200=180（名），
所以估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数为180名；
（3）解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中抽取两个项目中至少一项是“篮球”的结果数为4，
所以抽取两个项目中至少一项是“篮球”的概率为：46=23．
【点睛】本题考查了用样本估计总体、求扇形统计图的圆心角、概率公式、列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率.也考查了统计图．
【题型12 用频率估计概率】
【例12】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下：
表格中的数据x=______；
（2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是14%．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由．
（3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？
【答案】（1）23；（2）不正确，理由见解析；（3）60个
【分析】（1）直接加减运算即可；
（2）根据概率的定义，判断即可；
（3）根据频率估计概率，直接列方程求解即可．
【详解】（1）由题意得：x=150−19−28−27−32−21=23，
故答案为：23；
（2）数学学习小组的结论不正确，因为5点朝上的频率为14%，不能说明5点朝上这一事件发生的概率就是14%，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率；
（3）设盒子中大约有白球x个，根据题意得：4040+x=0.4，
解得：x=60，经检验x=60是原方程的解，
答：估计盒子中大约有白球60个．
【点睛】此题考查频率与概率，解题关键是理解用频率估计概率，前提是需要实验的次数足够多才行．
【变式12-1】（2023春·云南昆明·九年级统考期末）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面四个推断中正确的是（ ）
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】C
【分析】根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率接近0.33，故本选项推理错误；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35，故本选项推理正确；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球20×0.35=7（个），故本选项推理正确；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率也是0.35，故本选项推理错误．
所以，正确的推断是②③．
故选：C
【点睛】此题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
【变式12-2】（2023春·陕西榆林·九年级统考期末）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共 10 个, 这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀, 从盒子里随机摸出一个球记下颜色后, 再把球放回盒子, 不断重复上述过程．下表是 多次摸球试验中的一组统计数据:
(1)请估计: 当 n 很大时, 摸到白球的频率将会接近 ; (精确到 0.1 )
(2)若从盒子里随机摸出一个球, 求摸到白球的概率的估计值．(精确到 0.1 )
【答案】(1)0.6
(2)0.6
【分析】（1）观察表格找到逐渐稳定到的常数即可；
（2）根据概率接近于（1）得到的频率即可求解。
（1）
解：∵当n=1000时，摸到白球的频率约为0.6，当n=3000时，摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（2）
解：∵当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
∴若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.6；
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，掌握概率的定义是解题的关键．
【变式12-3】（2023春·浙江衢州·九年级统考期末）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子，不断重复上述过程．下表是多次摸球试验中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；
(2)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是______；
(3)小明用转盘来代替摸球做试验．下面是一个可以自由转动的转盘，小明将转盘分为红色、白色2个扇形区域，转动转盘，当转盘停止后，指针落在白色区域的概率与摸球试验中摸到白球的概率相同．请你在转盘上用文字“红色”、“白色”注明两个区域的颜色，并求出白色区域的扇形的圆心角的度数．
【答案】(1)0.6
(2)0.6
(3)见解析，216°
【分析】（1）根据表中的数据，估计得出摸到白球的频率；
（2）由表中数据即可得；
（3）根据摸到白球的频率即可得到转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数．
【详解】（1）解：∵摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率约为0.6，
故答案为：0.6；
（2）解：∵摸到白球的频率约为0.6，
∴从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是0.6，
故答案为：0.6；
（3）解：∵摸到白球的频率约为0.6，
∴转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数为360°×0.6=216°，
如图所示：
．
【点睛】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
19
28
27
32
21
x
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
64
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率mn
0.64
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的频数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率mn
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
李老师
张老师
A
B
C
A
A,A
B,A
C,A
B
A,B
B,B
C,B
C
A,C
B,C
C,C
A
B
C
D
A
A，A
A，B
A，C
A，D
B
B，A
B，B
B，C
B，D
C
C，A
C，B
C，C
C，D
D
D，A
D，B
D，C
D，D
①
②
③
④
①
(①,②)
(①,③)
(①,④)
②
(②,①)
(②,③)
(②,④)
③
(③,①)
(③,②)
(③,④)
④
(④,①)
(④,②)
(④,③)
A
B
C
D
E
F
A
（A，D）
（A，E）
（A，F）
B
（B，D）
（B，E）
（B，F）
C
（C，D）
（C，E）
（C，F）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
F
（F，A）
（F，B）
（F，C）
A
B
C
D
A
（A，D）
B
（B，D）
C
（C，D）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
4
2
1
1
4
/
4,2
4,1
4,1
2
2,4
/
2,1
2,1
1
1,4
1,2
/
1,1
1
1,4
1,2
1,1
/
锁1
锁2
钥匙1
（锁1，钥匙1）
（锁2，钥匙1）
钥匙2
（锁1，钥匙2）
（锁2，钥匙2）
钥匙3
（锁1，钥匙3）
（锁2，钥匙3）
糖果味道
Q1
Q2
N
S
Q1
——————
Q1Q2
Q1N
Q1S
Q2
Q2Q1
——————
Q2N
Q2S
N
NQ1
NQ2
——————
NS
S
SQ1
SQ2
SN
——————
A
B
C
D
A
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
19
28
27
32
21
x
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
64
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率mn
0.64
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的频数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率mn
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20365" 【题型1 事件的分类】 PAGEREF _Tc20365 \h 1
\l "_Tc8124" 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 PAGEREF _Tc8124 \h 2
\l "_Tc3900" 【题型3 根据概率公式计算概率】 PAGEREF _Tc3900 \h 3
\l "_Tc24704" 【题型4 几何概率】 PAGEREF _Tc24704 \h 4
\l "_Tc3486" 【题型5 游戏的公平性】 PAGEREF _Tc3486 \h 5
\l "_Tc25335" 【题型6 概率在比赛中的应用】 PAGEREF _Tc25335 \h 6
\l "_Tc20093" 【题型7 概率在电路问题中的应用】 PAGEREF _Tc20093 \h 6
\l "_Tc1062" 【题型8 概率在转盘抽奖中的应用】 PAGEREF _Tc1062 \h 8
\l "_Tc2478" 【题型9 概率在摸球试验中的应用】 PAGEREF _Tc2478 \h 9
\l "_Tc6144" 【题型10 概率中的其他应用】 PAGEREF _Tc6144 \h 10
\l "_Tc6394" 【题型11 概率与统计的综合】 PAGEREF _Tc6394 \h 11
\l "_Tc14379" 【题型12 用频率估计概率】 PAGEREF _Tc14379 \h 13
【知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件】
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。
必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。
【题型1 事件的分类】
【例1】（2023春·江苏连云港·九年级统考期末）数轴上表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧，下列事件是随机事件的是（ ）
A．a−b>0B．a+b>0C．ab<0D．ab>0
【变式1-1】（2023春·广东梅州·九年级统考期末）下列成语，是必然事件的是（ ）
A．画饼充饥B．不期而遇C．水中捞月D．旭日东升
【变式1-2】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）下列事件：
①掷一次骰子，向上一面的点数是3；
②从一个只装有黑色球的袋子摸出一个球，摸到的是白球；
③14个人中至少有两个人的生日是在同一个月份；
④射击运动员射击一次命中靶心．
其中是确定事件的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2023春·江苏镇江·九年级统考期末）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是 （填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）．
【知识点2 事件发生的可能性的大小】
必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
【题型2 判断事件发生的可能性的大小】
【例2】（2023春·全国·九年级期末）在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．杭州五一节当天的最高温度为35℃
D．用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形
【变式2-1】（2023春·山东临沂·九年级统考期末）小明连续抛一枚质量均匀的硬币5次，都是正面朝上，若他再抛一次，则朝上的一面（ ）
A．一定是正面B．是正面的可能性较大
C．一定是反面D．是正面或反面的可能性一样大
【变式2-2】（2023春·江苏扬州·九年级统考期末）在质地均匀的小立方体中，有一个面上标有数字1，有两个面上标有数字2，有三个面上标有数字3，抛掷这个小立方体，则向上一面的数字可能性最大的是 ．
【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级统考期末）一个袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 球的可能性最大．
【知识点3 概率】
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=mn。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤mn≤1，因此0≤P（A）≤1、
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.
【题型3 根据概率公式计算概率】
【例3】（2023春·四川广元·九年级统考期末）在一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同.搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为12，应在该盒子中再添加红球（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【变式3-1】（2023春·辽宁铁岭·九年级统考期末）四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率为（ ）
A．14B．12C．34D．1
【变式3-2】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是（ ）
A．摸到黄球、红球的概率均为12
B．摸到黄球的概率是23，摸到红球、白球的概率均为13
C．摸到黄球、红球、白球的概率分别为12、13、16
D．摸到黄球、红球、白球的概率都是13
【变式3-3】（2023春·四川泸州·九年级统考期末）九年级学生李明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为29，那么他遇到绿灯的概率为（ ）
A．19B．29C．49D．59
【知识点4 用列表法、树状图法求概率】
列表法：当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现的次数与方式，以及某一事件发生的可能的次数与方式，并求出概率的方法。
树状图法：当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。
（1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。
（2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。
【题型4 几何概率】
【例4】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（ ）
A．23B．12C．13D．16
【变式4-1】（2023·广西河池·九年级统考期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为2分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（ ）
A．2πB．π2C．12πD．2π
【变式4-2】（2023春·河北唐山·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AD为中线，点E，F，G为AD的四等分点，在△ABC内任意抛一粒豆子，豆子落在阴影部分的概率为 ．
【变式4-3】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是 ．
【题型5 游戏的公平性】
【例5】（2023春·四川雅安·九年级统考期末）一个不透明的布袋里装有20个除颜色外均相同的小球，其中白球有x个，红球有2x个，其他均为黄球．现从布袋中随机摸出一个球，若是红球则甲同学获胜，若为黄球，则乙同学获胜．
(1)当x=5时，谁获胜的可能性大？
(2)要使游戏对甲乙双方是公平的，x应取何值？
【变式5-1】（2023春·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期末）有3张背面相同的纸牌A，B，C，其正面分别画有三个不同的图形（如图），将这3张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．
(1)随机地摸出一张，求摸出牌面图形是轴对称图形的概率；
(2)小华和小明玩游戏，规则是：随机地摸出一张，放回洗匀后再摸一张．若摸出两张牌面图形都是轴对称图形的纸牌，则小华赢；否则，小明赢．你认为该游戏公平吗？请用画树状图或列表法说明理由．（纸牌可用A，B，C表示）
【变式5-2】（2023·北京海淀·九年级期末）在一只不透明的袋中，装着标有数字4，5，7，9的质地、大小均相同的四个小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于13时小明获胜，反之小东获胜．
(1)请用列表的方法，求小明获胜的概率；
(2)这个游戏公平吗？请说明理由．
【变式5-3】（2023春·黑龙江黑河·九年级统考期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．
(1)请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．
(2)请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．(列出一种即可)
【题型6 概率在比赛中的应用】
【例6】（2023春·陕西榆林·九年级统考期中）某校将举办“齐学二十大，共筑中国梦”的主题演讲比赛，九年级通过预赛确定出两名男生和两名女生，共4名同学作为推荐人选．
(1)若从中随机选一名同学参加学校比赛，则选中女生的概率为______；
(2)若从中随机选两名同学组成一组选手参加比赛，请用树状图（或列表法）求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【变式6-1】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）为让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某中学组织了一次黑板报比赛，每个班从A．“天宫空间站”；B．“5G时代”：C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个主题，每一个主题被选择的可能性相同，小明和小雨在不同的班级
(1)小明所在的班级选择“天宫空间站”的概率为___________；
(2)请用列表法或画树状图法，求小明和小丽所在的班级选择相同主题的概率
【变式6-2】（2023春·辽宁大连·九年级统考期中）为庆祝二十大胜利召开，中山区教育系统拔河比赛于2022年10月26日至11月2日在东港第一中学成功举办．本次比赛共进行三场，分别为：A．10月26日初赛，B．10月28日半决赛，C．11月2日决赛．李老师和张老师都是裁判员，他们被随机分配到这三场比赛中的任意一场进行裁判的可能性相同．
(1)求李老师被分配到C做裁判员的概率；
(2)利用画树状图或列表的方法，求李老师和张老师同时被分配到同一场比赛做裁判员的概率．
【变式6-3】（2023春·陕西商洛·九年级校考期末）为庆祝党的二十大胜利召开，某学校举行作文比赛，题目有“伟大的中国共产党”“科技托起中国梦”“家乡的新变化”“时代赋予我们的使命”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个题目）．比赛时，将A，B，C，D这四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片，进行比赛．试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小青和小云抽中不同题目的概率．
【题型7 概率在电路问题中的应用】
【例7】（2023·陕西榆林·统考三模）如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中S₁、S₂、S₃、S₄分别表示四个可开闭的开关，“⊗”表示小灯泡，“|I”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关S₁、S₂、S₃中任意一个，再闭合开关S₄时，小灯泡发光，按要求完成下列问题：
(1)当开关S₁闭合时，再随机闭合开关S₂或S₃或S₄其中一个，小灯泡发光的概率为 ；
(2)当随机闭合开关S₁、S₂、S₃、S₄中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．
【变式7-1】（2023春·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图所示的电路中，当随机闭合开关 S1，S2，S3 中的两个时，能够让灯泡不发光的概率是 ．
【变式7-2】（2023·河南新乡·统考三模）如图，电路上有编号①②③④共4个开关和1个小灯泡，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为 ．
【变式7-3】（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图．
(1)如图1所示的电路图中，三个开关并联成一个开关组A，闭合其中任何一个开关，可以使灯泡发亮的概率是________；
(2)如图2，在图1的电路图中，新增一个开关组B，在A、B两个开关组中各闭合一个开关，用树状图或列表法求小灯泡发亮的概率．
(3)小明同学观察图2后提出：“若将开关S5或S6去掉，则在A、B两个开关组中各闭合一个开关，小灯泡一定会发亮．”你认为小明同学的说法是否正确？试简要说明理由．
【题型8 概率在转盘抽奖中的应用】
【例8】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒．
(1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______；
(2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好．
【变式8-1】（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费200元（含200元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）某顾客正好消费220元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？
（2）某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费168元，请问他消费所购物品的原价应为多少元．
【变式8-2】（2023春·辽宁丹东·九年级校考期中）九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为x，按表格要求确定奖项．
（1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率；
（2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？
【变式8-3】（2023春·河南三门峡·九年级统考期末）某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有4个标号分别为1，2，3，4的质地、大小相同的小球，顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8”是一等奖，数字之和为“6”是二等奖，数字之和为其他数字则是三等奖，请用列举法分别求出顾客抽中一、二、三等奖的概率．
【题型9 概率在摸球试验中的应用】
【例9】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期末）阅读材料，回答问题：
材料
题1：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率
题2：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题1：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球.
问题：
（1）事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？
（2）设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2，请简要说明你的方案
（3）请直接写出题2的结果．
【变式9-1】（2023春·辽宁锦州·九年级校考期末）在用摸球试验来模拟6人中有2人生肖相同的概率的过程中，有如下不同的观点，其中正确的是（ ）
A．摸出的球不能放回B．摸出的球一定要放回
C．可放回，可不放回D．不能用摸球试验来模拟此事件
【变式9-2】（2023春·四川达州·九年级校考期末）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，篮球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12．
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分（每次摸后放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．
【变式9-3】（2023春·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考期中）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：
1．抽奖方案有以下两种：
方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；
方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．
2．抽奖条件是：
顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）．
已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元．
(1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；
(2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由．
【题型10 概率中的其他应用】
【例10】（2023春·陕西渭南·九年级统考期中）琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和好朋友分享糖果．
(1)若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是______；
(2)若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或画树状图法打开的两盒都是巧克力味的概率．
【变式10-1】（2023春·湖南长沙·九年级长沙市湘郡培粹实验中学校考阶段练习）笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（ ）种不同的可能？
A．12B．6C．5D．2
【变式10-2】（2023春·浙江·九年级专题练习）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．现在学校需在东门、南门和西门分别增加一人测温，甲、乙、丙三人被随机增派到三个校门测温．小明每天走东门进校，小丽每天走西门进校．请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出甲、乙、丙被分配到三个校门测温的所有可能结果；
（2）小明、小丽两人中，进校时谁遇到甲的可能性大？请说明理由．
【变式10-3】（2023春·广西南宁·九年级广西大学附属中学校考期中）“垃圾分类，从我做起”，为改善群众生活环境，提升全民文明素养，垃圾分类已经在武威市普及开来．垃圾一般可分为可回收垃圾（A），厨余垃圾（B），有害垃圾（C），其它垃圾（D）四类．市民甲拿了一袋有害垃圾，乙拿了一袋厨余垃圾，随机扔进并排的4个垃圾桶A，B，C，D．
(1)甲扔对垃圾的概率为_________；
(2)用列表法或树状图求出甲、乙两人同时扔对垃圾的概率．
【题型11 概率与统计的综合】
【例11】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）“茶颜悦色”是长沙的地标美食名片之一，某“茶颜悦色”分店为了了解该地青年朋友对去年销量较好的“三季虫”（A）、“人间烟火”（B）、“声声乌龙”（C）、“幽兰拿铁”（D）四种不同口味的喜爱情况，对该地青年进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题．
(1)a=______，b=______；
(2)请将条形统计图补充完整，并计算表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为______；
(3)某“茶颜悦色”分店决定从A、B、C、D四种口味中，随机选取两种口味作为门店特色口味推销给消费者，请用列表法或画树状图法，求A、B两种口味同时被选中的概率．
【变式11-1】（2023春·江苏苏州·九年级统考期末）某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果(A:特别好;B:好;C:一般;D:较差)绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图;
(2)扇形统计图中，D类所占圆心角为 ;
(3)学校想从被调查的A类(1名男生、2名女生)和D类(男、女生各占一半)中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率.
【变式11-2】（2023春·山东济南·九年级统考期中）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次调查一共随机采访了_____名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为____度；
(2)若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
(3)李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
【变式11-3】（2023春·广东东莞·九年级虎门五中校考期中）我校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图.
请解答下列问题：
(1)在这次调查中，该校一共抽样调查了______ 名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是______ °；请补全条形统计图；
(2)若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数；
(3)若随机从“篮球、足球、乒乓球”三项中抽取两个项目成立球类体育社团，其中“篮球”被选中的概率是多少？(请用画树状图或列表等方法说明理由)
【题型12 用频率估计概率】
【例12】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下：
表格中的数据x=______；
（2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是14%．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由．
（3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？
【变式12-1】（2023春·云南昆明·九年级统考期末）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面四个推断中正确的是（ ）
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．
A．①②B．①③C．②③D．②④
【变式12-2】（2023春·陕西榆林·九年级统考期末）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共 10 个, 这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀, 从盒子里随机摸出一个球记下颜色后, 再把球放回盒子, 不断重复上述过程．下表是 多次摸球试验中的一组统计数据:
(1)请估计: 当 n 很大时, 摸到白球的频率将会接近 ; (精确到 0.1 )
(2)若从盒子里随机摸出一个球, 求摸到白球的概率的估计值．(精确到 0.1 )
【变式12-3】（2023春·浙江衢州·九年级统考期末）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子，不断重复上述过程．下表是多次摸球试验中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；
(2)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是______；
(3)小明用转盘来代替摸球做试验．下面是一个可以自由转动的转盘，小明将转盘分为红色、白色2个扇形区域，转动转盘，当转盘停止后，指针落在白色区域的概率与摸球试验中摸到白球的概率相同．请你在转盘上用文字“红色”、“白色”注明两个区域的颜色，并求出白色区域的扇形的圆心角的度数．
专题25.1 概率初步【十二大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20365" 【题型1 事件的分类】 PAGEREF _Tc20365 \h 1
\l "_Tc8124" 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 PAGEREF _Tc8124 \h 3
\l "_Tc3900" 【题型3 根据概率公式计算概率】 PAGEREF _Tc3900 \h 5
\l "_Tc24704" 【题型4 几何概率】 PAGEREF _Tc24704 \h 7
\l "_Tc3486" 【题型5 游戏的公平性】 PAGEREF _Tc3486 \h 11
\l "_Tc25335" 【题型6 概率在比赛中的应用】 PAGEREF _Tc25335 \h 14
\l "_Tc20093" 【题型7 概率在电路问题中的应用】 PAGEREF _Tc20093 \h 18
\l "_Tc1062" 【题型8 概率在转盘抽奖中的应用】 PAGEREF _Tc1062 \h 22
\l "_Tc2478" 【题型9 概率在摸球试验中的应用】 PAGEREF _Tc2478 \h 26
\l "_Tc6144" 【题型10 概率中的其他应用】 PAGEREF _Tc6144 \h 30
\l "_Tc6394" 【题型11 概率与统计的综合】 PAGEREF _Tc6394 \h 33
\l "_Tc14379" 【题型12 用频率估计概率】 PAGEREF _Tc14379 \h 40
【知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件】
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。
必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。
【题型1 事件的分类】
【例1】（2023春·江苏连云港·九年级统考期末）数轴上表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧，下列事件是随机事件的是（ ）
A．a−b>0B．a+b>0C．ab<0D．ab>0
【答案】B
【分析】根据题意可得a<0，b>0，然后根据有理数的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可．
【详解】解：∵数轴上表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧，
∴a<0，b>0，
∴a−b<0，a+b无法确定和的正负，ab<0，ab<0，
A、a−b>0是不可能事件，故A不符合题意；
B、a+b>0是随机事件，故B符合题意；
C、ab<0是必然事件，故C不符合题意；
D、ab>0是不可能事件，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件，数轴，有理数的加法，减法，乘法，除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·广东梅州·九年级统考期末）下列成语，是必然事件的是（ ）
A．画饼充饥B．不期而遇C．水中捞月D．旭日东升
【答案】D
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可区别各类事件．
【详解】解：A、画饼充饥是不可能事件，不符合题意；
B、不期而遇是随机事件，不符合题意；
C、水中捞月是不可能事件，不符合题意；
D、旭日东升是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【变式1-2】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）下列事件：
①掷一次骰子，向上一面的点数是3；
②从一个只装有黑色球的袋子摸出一个球，摸到的是白球；
③14个人中至少有两个人的生日是在同一个月份；
④射击运动员射击一次命中靶心．
其中是确定事件的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据事件分类的相关定义进行解答即可．事件分为随机事件、不可能事件、必然事件，其中不可能事件和必然事件统称为确定事件．在一定条件下；可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；必然发生的事件称为必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件．
【详解】解：①掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意；
②从一个只装有黑色球的袋子摸出一个球，摸到的是白球，是不可能事件，属于确定事件，符合题意；
③14个人中至少有两个人的生日是在同一个月份，是必然事件，属于确定事件，符合题意；
④射击运动员射击一次命中靶心，是随机事件，不符合题意；
综上分析可知，是确定事件的有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查的是事件的分类，掌握相关概念是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·江苏镇江·九年级统考期末）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是 （填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）．
【答案】随机事件
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，
意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，说的是随机事件．
故答案为：随机事件．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
【知识点2 事件发生的可能性的大小】
必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
【题型2 判断事件发生的可能性的大小】
【例2】（2023春·全国·九年级期末）在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．杭州五一节当天的最高温度为35℃
D．用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件类型，即可得到答案．
【详解】解：A、在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下，是必然事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；
C、杭州五一节当天的最高温度为35℃，是随机事件，不符合题意；
D、用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形，是不可能事件，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，一般必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0~1之间．
【变式2-1】（2023春·山东临沂·九年级统考期末）小明连续抛一枚质量均匀的硬币5次，都是正面朝上，若他再抛一次，则朝上的一面（ ）
A．一定是正面B．是正面的可能性较大
C．一定是反面D．是正面或反面的可能性一样大
【答案】D
【分析】根据实际情况可知，硬币有2面，正面和反面；
投掷一次，正面与反面的可能性是一样的，据此解答.
【详解】解：小明连续抛一枚硬币，前5次都是正面朝上， 抛第6次正面朝上和反面朝上的可能性一样大．
故选D.
【点睛】本题考查的是可能性的运用,较为简单.
【变式2-2】（2023春·江苏扬州·九年级统考期末）在质地均匀的小立方体中，有一个面上标有数字1，有两个面上标有数字2，有三个面上标有数字3，抛掷这个小立方体，则向上一面的数字可能性最大的是 ．
【答案】3
【分析】根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：∵小立方体的一个面上标有数字1，两个面上标有数字2，三个面上标有数字3，
∴向上一面的数字可能性最大的是3；
故答案为：3．
【点睛】此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级统考期末）一个袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 球的可能性最大．
【答案】黄
【分析】利用概率公式分别计算出摸到红球、黄球、白球的概率，然后利用概率的大小判断可能性的大小．
【详解】解：∵袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，
∴总球数是：3+5+3=11个，
∴摸到红球的概率是311；
摸到黄球的概率是511；
摸到白球的概率是311；
∴摸出黄球的可能性最大．
故答案为：黄．
【点睛】本题主要考查了可能性的大小，解题的关键是计算每种颜色球摸到的概率．
【知识点3 概率】
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=mn。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤mn≤1，因此0≤P（A）≤1、
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.
【题型3 根据概率公式计算概率】
【例3】（2023春·四川广元·九年级统考期末）在一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同.搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为12，应在该盒子中再添加红球（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【答案】D
【分析】首先设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得x+1x+1+2＝12，解此分式方程即可求得答案．
【详解】解：设应在该盒子中再添加红球x个，
根据题意得：x+1x+1+2＝12，
解得：x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解．
故选：D．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式3-1】（2023春·辽宁铁岭·九年级统考期末）四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率为（ ）
A．14B．12C．34D．1
【答案】C
【分析】首先由等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形中是轴对称图形的有等边三角形、菱形、正五边形，再直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵等边三角形、平行四边形、、菱形、正五边形中是轴对称图形的有等边三角形、菱形、正五边形，
∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是轴对称图形的概率是：34，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率公式，轴对称图形的识别，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【变式3-2】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是（ ）
A．摸到黄球、红球的概率均为12
B．摸到黄球的概率是23，摸到红球、白球的概率均为13
C．摸到黄球、红球、白球的概率分别为12、13、16
D．摸到黄球、红球、白球的概率都是13
【答案】B
【分析】分析各个选项中的概率之和即可选出不成功的选项．
【详解】A.P摸到黄球+P摸到红球=12+12=1；
B.P摸到黄球+P摸到红球+P摸到b白球=23+13+13>1，不成立；
C.P摸到黄球+P摸到红球+P摸到b白球=12+13+16=1;
D.P摸到黄球+P摸到红球+P摸到b白球=13+13+13=1;
故选：B．
【点睛】本题考查简单事件的概率．一次试验中有n种等可能的结果，每种结果出现的概率之和为1．
【变式3-3】（2023春·四川泸州·九年级统考期末）九年级学生李明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为29，那么他遇到绿灯的概率为（ ）
A．19B．29C．49D．59
【答案】C
【分析】利用十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，遇到每种信号灯的概率之和为1，进而求出即可．
【详解】解：∵十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为29，
∴他遇到绿灯的概率为： 1−13−29=49．
故选：C．
【点睛】本题考查了概率公式，掌握遇到每种信号灯的概率之和为1是关键．
【知识点4 用列表法、树状图法求概率】
列表法：当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现的次数与方式，以及某一事件发生的可能的次数与方式，并求出概率的方法。
树状图法：当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。
（1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。
（2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。
【题型4 几何概率】
【例4】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（ ）
A．23B．12C．13D．16
【答案】C
【分析】设每小格的面积为1，易得整个方砖的面积为9，阴影区域的面积3，然后根据概率的定义计算即可．
【详解】解：设每小格的面积为1，
∴整个方砖的面积为9，
阴影区域的面积为3，
∴最终停在阴影区域上的概率为：39=13．
故选：C．
【点睛】本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n,再计算出其中某个区域的几何图形的面积m,然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率=mn．
【变式4-1】（2023·广西河池·九年级统考期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为2分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（ ）
A．2πB．π2C．12πD．2π
【答案】A
【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可.
【详解】因为⊙O的直径为2分米，则半径为22分米，⊙O的面积为π222=π2平方分米；
正方形的边长为222+222=1分米，面积为1平方分米；
因为豆子落在圆内每一个地方是均等的，
所以P（豆子落在正方形ABCD内）=1π2=2π．
故答案为A．
【点睛】此题主要考查几何概率的意义：一般地，如果试验的基本事件为m，随机事件A所包含的基本事件数为n，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）=nm，熟记概率公式是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·河北唐山·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AD为中线，点E，F，G为AD的四等分点，在△ABC内任意抛一粒豆子，豆子落在阴影部分的概率为 ．
【答案】38
【分析】先求出阴影部分的面积与总面积的关系，再根据概率=相应的面积与总面积之比即可求出答案．
【详解】解：∵在△ABC中，AD为中线，
∴S△ADC=12S△ABC，S△ADC=S△ADB，
∵点E、F、G为AD的四等分点，
∴S△EDC=34S△ADC，S△CGF=14S△ADC，S△BGF=14S△ADB，
∴，S△EDC=34×12S△ABC=38S△ABC，
∴S阴影部分=38S△ABC，
∴豆子落在阴影部分的概率为38．
故答案为：38．
【点睛】此题考查了几何概率，关键是求出阴影部分的面积与总面积的关系，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
【变式4-3】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是 ．
【答案】316
【分析】设正方形的边长为4，将△BIC的面积和▱GHEF的面积计算出来，再用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求出此点取自黑色部分的概率.
【详解】设正方形ABDF的边长为4，
则S正方形ABDF=42=16,且BC=CD=DE=EF=2
∵△BIC是等腰直角三角形
∴∠IBC=45°
∴IC=BCsin45°=2×22=2
∴BI=2
∴S△BIC=12×2×2=1
∵Rt△CDE中，CD=2,∠ECD=45°
∴CE=2CD=22
∴HE=12CE=2
OH=IC=2
∴S▱GHEF=HE⋅OH=2×2=2
∴S阴影=S△BIC+SGHEF▱=1+2=3
∴此点取自黑色部分的概率是S阴影S正方形ABDF=316
【点睛】本题主要考查了几何概率的求法，解题的关键是正确计算出阴影部分的面积.
【题型5 游戏的公平性】
【例5】（2023春·四川雅安·九年级统考期末）一个不透明的布袋里装有20个除颜色外均相同的小球，其中白球有x个，红球有2x个，其他均为黄球．现从布袋中随机摸出一个球，若是红球则甲同学获胜，若为黄球，则乙同学获胜．
(1)当x=5时，谁获胜的可能性大？
(2)要使游戏对甲乙双方是公平的，x应取何值？
【答案】(1)摸到红球的可能性更大
(2)x=4
【分析】（1）根据x=5时，红球的个数多于黄球的个数，即可得出结论；
（2）根据概率相等时，游戏公平，列式求解即可．
【详解】（1）解：当x=5时，则红球有10个，黄球有5个，
∵红球的个数多于黄球的个数，
∴摸到红球的可能性更大，
∴当x=5时，甲同学获胜可能性大；
（2）要使游戏对甲乙双方公平，必须有：2x20=20−3x20
解得x=4；
∴当x=4时，游戏对甲乙双方是公平的．
【点睛】本题考查利用概率解决游戏公平性．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期末）有3张背面相同的纸牌A，B，C，其正面分别画有三个不同的图形（如图），将这3张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．
(1)随机地摸出一张，求摸出牌面图形是轴对称图形的概率；
(2)小华和小明玩游戏，规则是：随机地摸出一张，放回洗匀后再摸一张．若摸出两张牌面图形都是轴对称图形的纸牌，则小华赢；否则，小明赢．你认为该游戏公平吗？请用画树状图或列表法说明理由．（纸牌可用A，B，C表示）
【答案】(1)23
(2)不公平，理由见解析
【分析】（1）随机地摸出一张共有3种等可能的结果，其中摸出牌面图形是轴对称图形的结果有2种，再利用概率公式计算即可得；
（2）先画出树状图，从而可得摸出两张牌的所有等可能的结果，再找出摸出两张牌面图形都是轴对称图形的结果，然后利用概率公式求出摸出两张牌面图形都是轴对称图形、摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的概率，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意，随机地摸出一张共有3种等可能的结果，其中摸出牌面图形是轴对称图形的结果有纸牌A,B，共2种，
则摸出牌面图形是轴对称图形的概率为P=23．
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，摸出两张牌共有9种等可能的结果，其中摸出两张牌面图形都是轴对称图形的结果有4种、摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的结果有5种，
则摸出两张牌面图形都是轴对称图形的概率是49，摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的概率是59，
因为49≠59，
所以这个游戏不公平．
【点睛】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
【变式5-2】（2023·北京海淀·九年级期末）在一只不透明的袋中，装着标有数字4，5，7，9的质地、大小均相同的四个小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于13时小明获胜，反之小东获胜．
(1)请用列表的方法，求小明获胜的概率；
(2)这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)12；
(2)游戏公平，理由如下．
【分析】（1）根据题意以小明为横排，小东为竖列，列出所有情况，找到和小于13时的情况及大于或等于13的情况，根据P(m)=mn即可得到答案；
（2）比较小东、小明的概率即可得到公平性．
【详解】（1）解：由题意可得，以小明为横排，小东为竖列，列表如下：
根据表可知：总共有12种情况，小于13的有6种，大于或等于13的有6种，
∴P(小明)=612=12 ；
（2）解：这个游戏公平，理由如下，
由（1）得，
P(小东)=612=12，
∴P(小明)=P(小东)=12
∴这个游戏公平．
【点睛】本题考查用列表法求概率及判断游戏公平性，解题的关键是，列出表格，找到所有情况及小于13的情况．
【变式5-3】（2023春·黑龙江黑河·九年级统考期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．
(1)请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．
(2)请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．(列出一种即可)
【答案】(1)此游戏不公平，见解析
(2)点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于8，明明赢
【分析】（1）画树状图求出淘淘和明明获胜的概率，再比较概率即可判定游戏是否公平；
（2）设计一个两人获胜概率一样的游戏规则即可．
【详解】（1）解：画树状图：
由图可知，点数之和共有36种可能的结果，其中6出现5次，7出现6次，
故P(和为6)=536，P(和为7)=636．
P(和为6)
（2）解：如：“点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于8，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．”（答案不唯一）
由（1）树状图可知：点数之和等于6出现5次，点数之和等于8也出现5次，
∴P(和为6)=536，P(和为8) =536，
∴P(和为6)= P(和为8)，
故游戏公平．
【点睛】本题考查用列表法或画树状图法求概率，游戏公平性问题，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率是解题的关键．
【题型6 概率在比赛中的应用】
【例6】（2023春·陕西榆林·九年级统考期中）某校将举办“齐学二十大，共筑中国梦”的主题演讲比赛，九年级通过预赛确定出两名男生和两名女生，共4名同学作为推荐人选．
(1)若从中随机选一名同学参加学校比赛，则选中女生的概率为______；
(2)若从中随机选两名同学组成一组选手参加比赛，请用树状图（或列表法）求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)12
(2)23
【分析】（1）画出树状图，找出所有情况及可能情况，根据P(m)=mn直接求解即可得到答案；
（2）画出树状图，找出所有情况及可能情况，根据P(m)=mn直接求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，树状图如下所示，
，
共有4种等可能出现的结果，其中选中女生的有2种，
∴选中女生的概率为P=24=12；
（2）解：由题意可得，树状图如下所示，
共有12种等可能出现的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的有8种，
∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为P=812=23；
【点睛】本题考查树状图法求概率，解题的关键是正确化出树状图．
【变式6-1】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）为让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某中学组织了一次黑板报比赛，每个班从A．“天宫空间站”；B．“5G时代”：C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个主题，每一个主题被选择的可能性相同，小明和小雨在不同的班级
(1)小明所在的班级选择“天宫空间站”的概率为___________；
(2)请用列表法或画树状图法，求小明和小丽所在的班级选择相同主题的概率
【答案】(1)14
(2)14
【分析】（1）用概率公式即可计算出概率；
（2）画出树状图，再用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
一共有4种选择，明所在的班级选择“天宫空间站”的概率为14；
故答案为：14．
（2）画树状图如下：
由树状图知共有16种等可能结果，其中小明和小丽所在的班级选择相同主题的有4种结果，
所以小明和小丽所在的班级选择相同主题的概率为416=14．
【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式6-2】（2023春·辽宁大连·九年级统考期中）为庆祝二十大胜利召开，中山区教育系统拔河比赛于2022年10月26日至11月2日在东港第一中学成功举办．本次比赛共进行三场，分别为：A．10月26日初赛，B．10月28日半决赛，C．11月2日决赛．李老师和张老师都是裁判员，他们被随机分配到这三场比赛中的任意一场进行裁判的可能性相同．
(1)求李老师被分配到C做裁判员的概率；
(2)利用画树状图或列表的方法，求李老师和张老师同时被分配到同一场比赛做裁判员的概率．
【答案】(1)李老师被分配到C做裁判员的概率是13
(2)李老师和张老师同时被分配到同一场比赛作裁判的概率是13
【分析】（1）这是求简单事件的概率，求得所有可能的结果数及事件发生的结果数，再由概率计算公式进行计算即可；
（2）利用列表法，可得所有可能的结果数及事件发生的结果数，再由概率计算公式进行计算即可．
【详解】（1）李老师被分配到三场比赛作裁判员的可能性有三种，并且可能性相等．被分到C的可能性只有一种．
∴P(C)=13．
（2）列表如下：
由表可以看出，所有可能出现的结果有9种，并且出现的可能性相等．两人同时被分配到同一场比赛做裁判的可能性有3种，即A,A，B,B，C,C．
∴李老师和张老师同时被分配到同一场比赛作裁判的概率P=39=13．
【点睛】本题考查了求简单事件的概率及稍复杂事件的概率，对于稍复杂事件的概率，运用列表法或树状图解决，无论哪种求概率，都要求出所有可能的结果数及事件发生的结果数，再由概率计算公式进行计算．
【变式6-3】（2023春·陕西商洛·九年级校考期末）为庆祝党的二十大胜利召开，某学校举行作文比赛，题目有“伟大的中国共产党”“科技托起中国梦”“家乡的新变化”“时代赋予我们的使命”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个题目）．比赛时，将A，B，C，D这四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片，进行比赛．试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小青和小云抽中不同题目的概率．
【答案】34
【分析】列表法求概率即可．
【详解】解：由题意，列表如下：
共有16种等可能的结果，其中小青和小云抽中不同题目的结果有12种，
∴P=1216=34．
【点睛】本题考查列表法求概率．熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
【题型7 概率在电路问题中的应用】
【例7】（2023·陕西榆林·统考三模）如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中S₁、S₂、S₃、S₄分别表示四个可开闭的开关，“⊗”表示小灯泡，“|I”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关S₁、S₂、S₃中任意一个，再闭合开关S₄时，小灯泡发光，按要求完成下列问题：
(1)当开关S₁闭合时，再随机闭合开关S₂或S₃或S₄其中一个，小灯泡发光的概率为 ；
(2)当随机闭合开关S₁、S₂、S₃、S₄中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．
【答案】(1)13
(2)12
【分析】（1）据概率公式直接填空即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出小灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：当开关S₁闭合时，再随机闭合开关S₂或S₃或S₄其中一个，三种情况中小灯泡会发光的只有闭合开关S₄一种情况，故小灯泡发光的概率为13，
故答案为：13；
（2）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，
∴小灯泡发光的概率为612=12.
【点睛】题主要考查概率的求法．是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，掌握根据题意正确画出树状图或列表法以及概率的计算方法是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图所示的电路中，当随机闭合开关 S1，S2，S3 中的两个时，能够让灯泡不发光的概率是 ．
【答案】13
【分析】根据概率计算方法解答即可；
【详解】当闭合开关S1，S2时，灯泡发光；当闭合开关S1，S3时，灯泡发光；当闭合开关S2，S3时，灯泡不发光；总共有三种可能情况，一种情况灯泡不发光，故概率为13；
故答案为13
【点睛】该题考查了概率的计算，能够正确的写出所有的可能情况，清楚概率的计算方法是解答该题的关键．
【变式7-2】（2023·河南新乡·统考三模）如图，电路上有编号①②③④共4个开关和1个小灯泡，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为 ．
【答案】13
【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出能够“点亮灯泡”的情况数，进而求出概率．
【详解】解：列表如下：
∴一共有12种情况，能使小灯泡发光的有4种情况，
∴小灯泡发光的的概率为：412=13．
故答案为：13．
【点睛】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
【变式7-3】（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图．
(1)如图1所示的电路图中，三个开关并联成一个开关组A，闭合其中任何一个开关，可以使灯泡发亮的概率是________；
(2)如图2，在图1的电路图中，新增一个开关组B，在A、B两个开关组中各闭合一个开关，用树状图或列表法求小灯泡发亮的概率．
(3)小明同学观察图2后提出：“若将开关S5或S6去掉，则在A、B两个开关组中各闭合一个开关，小灯泡一定会发亮．”你认为小明同学的说法是否正确？试简要说明理由．
【答案】(1)1
(2)13
(3)小明同学的说法正确，理由见解析
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到能使小灯泡发亮的结果数，最后依据概率计算公式求解即可；
（3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到能使小灯泡发亮的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由并联电路的特点可知，闭合三个开关中的任何一个开关都能使灯泡发亮，
∴闭合其中任何一个开关，可以使灯泡发亮的概率是1，
故答案为：1；
（2）解：设用A，B，C表示S1，S2，S3，用D，E，F表示S4，S5，S6，
列表如下：
由表格可知一共有18种等可能性的结果数，其中能使小灯泡发亮（AD、BD、CD、DA、DB、DC）的结果数有6种，
∴能使小灯泡发亮的概率为618=13；
（3）解：小明同学的说法正确，理由如下：
列表如下：设用A，B，C表示S1，S2，S3，用D表示S4，
由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中能使小灯泡发亮（AD、BD、CD、DA、DB、DC）的结果数有6种，
∴能使小灯泡发亮的概率为66=1，
∴若将开关S5或S6去掉，则在A、B两个开关组中各闭合一个开关，小灯泡一定会发亮，
∴小明同学的说法正确．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确理解题意列出表格或画出树状图是解题的关键．
【题型8 概率在转盘抽奖中的应用】
【例8】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒．
(1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______；
(2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好．
【答案】(1)14
(2)李同学应该买一个小盲盒好，理由见解析
【分析】（1）用列表法展示12种等可能的结果数，找出张同学购买的第1个小盲盒里藏有数字4的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）先分别计算出李同学购买一个小盲盒和两个小盲盒后最终在手上的钱的平均值，然后再比较即可判断．
【详解】（1）解：列表得：
共有12种等可能情况，记购买的第1个小盲盒里藏有数字4为事件A，共3种情况，
∴PA=312=14．
故答案为：14．
（2）若李同学购买1个小盲盒，花去3元，还有4元，
则可兑换4元的概率为14，兑换2元的概率为14，兑换1元的概率为24=12，
因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：4+4×14+2×14+1×12=6（元）；
若李同学购买2个小盲盒，花去6元，还有1元，
由（1）可知，
可兑换6元的概率为212=16，
可兑换5元的概率为412=13，
可兑换3元的概率为412=13，
可兑换2元的概率为212=16，
因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：1+6×16+5×13+3×13+2×16=5（元）；
∵6>5，
∴李同学应该买一个小盲盒好．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率和概率的应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．理解和掌握概率公式的应用是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费200元（含200元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）某顾客正好消费220元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？
（2）某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费168元，请问他消费所购物品的原价应为多少元．
【答案】（1）12，13，16；（2）210元或240元
【分析】（1）由圆盘可知，七折圆心角为30°，八折圆心角为60°，九折圆心角为90°，利用它们所占圆的百分比即可算出概率；
（2）对于实际花费的168元进行三种情况的计算，即可得到答案．
【详解】（1）获得九折的概率为90°×2360°=12
获得八折的概率为60°×2360°=13，
获得七折的概率为30°×2360°=16，
（2）∵200×0.9=180>168
∴他没有获得九折优惠．
∵200×0.8=160<168
∴168÷0.8=210 ，
∵200×0.7=140<168
∴168÷0.7=240
答：他消费所购物品的原价应为210元或240元．
【点睛】本题考查了用扇形统计图计算概率，解题的关键是掌握概率的计算，以及实际问题的应用情况．
【变式8-2】（2023春·辽宁丹东·九年级校考期中）九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为x，按表格要求确定奖项．
（1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率；
（2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？
【答案】（1）110（2）不一定
【分析】（1）画出树状图，找出符合条件的情况，求出其概率即可．
（2）根据题意分析不满足条件的情况并找出即可求是否存在不中奖的情况．
【详解】解： （1）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，甲同学获得一等奖的有2种情况，
∴甲同学获得一等奖的概率为：220=110；
（2）不是，当两张牌都是3时，|x|=0，不会有奖．
【变式8-3】（2023春·河南三门峡·九年级统考期末）某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有4个标号分别为1，2，3，4的质地、大小相同的小球，顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8”是一等奖，数字之和为“6”是二等奖，数字之和为其他数字则是三等奖，请用列举法分别求出顾客抽中一、二、三等奖的概率．
【答案】P（一等奖）=116 P（二等奖）=316 P（三等奖）=34
【详解】试题分析：列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
试题解析：列表：
所以一等奖的概率为116；二等奖的概率为316；三等奖的概率为34．
考点：列表法与树状图法．
【题型9 概率在摸球试验中的应用】
【例9】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期末）阅读材料，回答问题：
材料
题1：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率
题2：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题1：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球.
问题：
（1）事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？
（2）设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2，请简要说明你的方案
（3）请直接写出题2的结果．
【答案】题1.727；题2.(1)至少摸出两个绿球；(2)方案详见解析；(3)13.
【详解】试题分析：题1：因为此题需要三步完成，所以画出树状图求解即可，注意要做到不重不漏；
题2：根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率；
问题：
（1）绿球代表左转，所以为：至少摸出两个绿球；
（2）写出方案；
（3）直接写结果即可．
试题解析：题1：画树状图得：
∴一共有27种等可能的情况；
至少有两辆车向左转的有7种：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，
则至少有两辆车向左转的概率为：727．
题2：列表得：
所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，
则P=26=13．
问题：
（1）至少摸出两个绿球；
（2）一口袋中放红色和黑色的小球各一个，分别表示不同的锁；另一口袋中放红色、黑色和绿色的小球各一个，分别表示不同的钥匙；其中同颜色的球表示一套锁和钥匙．“随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率”，相当于，“从两个口袋中各随机摸出一个球，两球颜色一样的概率”；
（3）13．
考点：随机事件．
【变式9-1】（2023春·辽宁锦州·九年级校考期末）在用摸球试验来模拟6人中有2人生肖相同的概率的过程中，有如下不同的观点，其中正确的是（ ）
A．摸出的球不能放回B．摸出的球一定要放回
C．可放回，可不放回D．不能用摸球试验来模拟此事件
【答案】B
【分析】一年有365天，6个人中有两个人生肖相同即从365天中任意取出6个数，其中有相同的概率，可以结合摸球实验来进行设计．
【详解】解：方案：有从1到365共365个球，这些球除数字不同外，其它都相同，从中任摸一球，放回，然后混合均匀以后再任意摸出一个，如此循环6次，则6次摸到的球有两个的数字相同的概率．故选：B
【点睛】本题考查了模拟实验求概率，通过模拟实验可以便于实验，容易实验．
【变式9-2】（2023春·四川达州·九年级校考期末）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，篮球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12．
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分（每次摸后放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．
【答案】(1)黄球有1个；(2)16；(3)34.
【分析】（1）首先设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：22+1+x=12，解此方程即可求得答案．
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
（3）由若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：（1）设口袋中黄球的个数为x个，
根据题意得：22+1+x=12，解得：x=1．
经检验：x=1是原分式方程的解．
∴口袋中黄球的个数为1个．
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，
∴两次摸出都是红球的概率为：212=16．
（3）∵摸到红球得5分，摸到黄球得3分，而乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，
∴乙同学已经得了7分．
∴若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；
∴若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率为：34．
【变式9-3】（2023春·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考期中）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：
1．抽奖方案有以下两种：
方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；
方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．
2．抽奖条件是：
顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）．
已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元．
(1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；
(2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由．
【答案】(1)49；
(2)选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由见解析
【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可；
（2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分别求出各种情况下获得奖金的平均值即可．
【详解】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元，
从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下：
共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种，
所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为49；
（2）解：①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为49，获得30元（2次都是红球）的概率为19，两次都不获奖的概率为49，
所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×49+30×19=10（元），
②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为23，因此获得奖金的平均值为：10×23≈6.7（元），
③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×13+10×23≈11.7（元），
因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．
【题型10 概率中的其他应用】
【例10】（2023春·陕西渭南·九年级统考期中）琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和好朋友分享糖果．
(1)若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是______；
(2)若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或画树状图法打开的两盒都是巧克力味的概率．
【答案】(1)14
(2)16
【分析】（1）4盒外包装完全相同的糖果中有1盒牛奶味的，随机打开1盒糖果恰巧是牛奶味的概率，用1除以4，即得；
（2）从4盒外包装完全相同的糖果中随机挑选两盒打开，列表写出共12种等可能结果，其中两盒都是巧克力味的结果有2种，随机挑选两盒糖果都是巧克力味的概率，用2除以12，即得．
【详解】（1）P(牛奶味)=1÷4=14；
故答案为：14；
（2）用Q1 、Q2表示巧克力味的，N表示牛奶味的，S表示水果味的，列表如下：
共12种等可能结果，其中两盒都是巧克力味的结果有2种，随机挑选两盒都是巧克力味的概率为：P(两盒巧克力味)=212=16．
【点睛】本题主要考查了求概率，解决问题的关键是熟练掌握概率的定义，简单概率的计算，用列表法或树状图法求概率．
【变式10-1】（2023春·湖南长沙·九年级长沙市湘郡培粹实验中学校考阶段练习）笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（ ）种不同的可能？
A．12B．6C．5D．2
【答案】B
【分析】解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况，然后再进行组合得到打开两道门的方法，这类题要读懂题意，从中找出组合的规律进行求解，本题不同的是首先分析每道门的情况数，然后整体进行组合即可得解．
【详解】解：因为第一道门有A、B、C三个出口，所以出第一道门有三种选择；又因第二道门有两个出口，故出第二道门有D、E两种选择，因此小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE．
故选：B．
【点睛】本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径．
【变式10-2】（2023春·浙江·九年级专题练习）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．现在学校需在东门、南门和西门分别增加一人测温，甲、乙、丙三人被随机增派到三个校门测温．小明每天走东门进校，小丽每天走西门进校．请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出甲、乙、丙被分配到三个校门测温的所有可能结果；
（2）小明、小丽两人中，进校时谁遇到甲的可能性大？请说明理由．
【答案】（1）有6种，见解析；（2）一样大，见解析．
【分析】（1）画树状图，计算判断；（2）计算各自的概率，比较大小判断即可．
【详解】解：（1）画树状图如图：
共有6个等可能的结果；
（2）小明、小丽两人中，进校时遇到甲的可能性一样大，理由如下：
由（1）可知，共有6个等可能的结果，其中甲分配在东门的结果有2个，甲分配在西门的结果有2个，
∴小明进校时谁遇到甲的概率为26=13，
小丽进校时谁遇到甲的概率为26=13，
∴小明、小丽两人中，进校时遇到甲的可能性一样大．
【点睛】本题考查了画树状图确定等可能性，判断游戏的公平性，准确画树状图，并用概率公式计算事件的概率是解题的关键．
【变式10-3】（2023春·广西南宁·九年级广西大学附属中学校考期中）“垃圾分类，从我做起”，为改善群众生活环境，提升全民文明素养，垃圾分类已经在武威市普及开来．垃圾一般可分为可回收垃圾（A），厨余垃圾（B），有害垃圾（C），其它垃圾（D）四类．市民甲拿了一袋有害垃圾，乙拿了一袋厨余垃圾，随机扔进并排的4个垃圾桶A，B，C，D．
(1)甲扔对垃圾的概率为_________；
(2)用列表法或树状图求出甲、乙两人同时扔对垃圾的概率．
【答案】(1)14
(2)树状图见解析，116
【分析】（1）根据一步概率的求解公式P(A)=事件A结果数事件总的结果数直接求解即可；
（2）采用树状图或列表求解两步概率问题，画出树状图即可求解．
【详解】（1）解：甲扔对垃圾的概率为14；
（2）解：画树状图为：
由树状图可知共有16种等可能的结果，其中甲、乙两个人同时扔对垃圾的结果为CB．
所以甲，乙两人同时扔对垃圾的概率=116．
【点睛】本题考查了概率求解，对于一步概率问题，直接利用公式求解；两步概率问题列表法或树状图法求解，对于利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
【题型11 概率与统计的综合】
【例11】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）“茶颜悦色”是长沙的地标美食名片之一，某“茶颜悦色”分店为了了解该地青年朋友对去年销量较好的“三季虫”（A）、“人间烟火”（B）、“声声乌龙”（C）、“幽兰拿铁”（D）四种不同口味的喜爱情况，对该地青年进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题．
(1)a=______，b=______；
(2)请将条形统计图补充完整，并计算表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为______；
(3)某“茶颜悦色”分店决定从A、B、C、D四种口味中，随机选取两种口味作为门店特色口味推销给消费者，请用列表法或画树状图法，求A、B两种口味同时被选中的概率．
【答案】(1)2，45
(2)图见解析，72°
(3)16
【分析】（1）根据条形图形中A的数量，扇形图中A的百分比可求出样本容量，再根据B,D的信息即可求出a,b的值；
（2）根据样本容量和圆心角的计算公式即可求解；
（3）画树状图表示所有可能的结果，再根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，A的人数是12人，A的百分比是30%，
∴抽取的总人数为12÷30%=40（人），
∵D的百分比为5%，
∴D的人数是40×5%=2（人），
∴a=2，
∵B的人数为40−12−8−2=18（人），
∴B的百分比为1840×100%=45%，
∴b=45，
故答案为：2,45．
（2）解：由（2）可知，B的人数为40−12−8−2=18（人），
∴补全条形图如下，
∵C的人数是8人，
∴C的圆心角为840×360°=72°．
（3）解：树状图如下，
共有12种等可能的结果，其中A、B两种口味同时被选中的结果数为2，
∴A、B两种口味同时被选中的概率为212=16．
【点睛】本题主要考查调查与统计的相关概念，画树状图求概率，掌握样本容量的计算方法，圆心角的计算方法，列表或画树状图求随机事件的概率是解题的关键．
【变式11-1】（2023春·江苏苏州·九年级统考期末）某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果(A:特别好;B:好;C:一般;D:较差)绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图;
(2)扇形统计图中，D类所占圆心角为 ;
(3)学校想从被调查的A类(1名男生、2名女生)和D类(男、女生各占一半)中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率.
【答案】(1)补图见解析；(2)36°；(3)12.
【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图，可求得C，D的人数，继而补全统计图；
（2）可求出D所占百分比，进而求得扇形统计图中，D类所占圆心角；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选的两位同学恰好是男一女的情况再利用概率公式即可求得答.
【详解】解：(1)补全条形统计图:
(2)36°;
(3)树状图如下：
所选的两位同学恰好是一男一女的概率为12.
【变式11-2】（2023春·山东济南·九年级统考期中）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次调查一共随机采访了_____名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为____度；
(2)若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
(3)李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
【答案】(1)200，198
(2)估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为288人
(3)16
【分析】（1）利用选择蓝色的学生人数除以所占的百分比，求出总人数，利用360°×“灰”所占的比例，进行求解即可；
（2）用全校的人数乘以样本中“红”所占的比例，进行求解即可；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：此次调查一共随机采访学生44÷22%=200（名），
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为360°×110200=198°，
故答案为：200；198；
（2）3600×16200=288（人）；
估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为288人；
（3）列表如下：
由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的结果有2种，
∴恰好抽中A，B两人的概率为212=16．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
【变式11-3】（2023春·广东东莞·九年级虎门五中校考期中）我校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图.
请解答下列问题：
(1)在这次调查中，该校一共抽样调查了______ 名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是______ °；请补全条形统计图；
(2)若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数；
(3)若随机从“篮球、足球、乒乓球”三项中抽取两个项目成立球类体育社团，其中“篮球”被选中的概率是多少？(请用画树状图或列表等方法说明理由)
【答案】(1)200，72°，补图见解析
(2)180
(3)画树状见解析，23，理由见解析
【分析】（1）用选择乒乓球的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用360°乘以选择跑步的人数所占的百分比得到扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数，然后计算出选择足球的人数后补全条形统计图；
（2）用1200乘以样本中选择篮球的人数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有种等可能的结果，再找出抽取两个项目中至少一项是“篮球”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：调查的总人数为60÷30%=200（名），
扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数为360°×40200=72°，
选择“足球”的人数为200−30−60−20−40=50（名），
补全条形统计图为：
故答案为：200，72；
（2）解：1200×30200=180（名），
所以估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数为180名；
（3）解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中抽取两个项目中至少一项是“篮球”的结果数为4，
所以抽取两个项目中至少一项是“篮球”的概率为：46=23．
【点睛】本题考查了用样本估计总体、求扇形统计图的圆心角、概率公式、列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率.也考查了统计图．
【题型12 用频率估计概率】
【例12】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下：
表格中的数据x=______；
（2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是14%．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由．
（3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？
【答案】（1）23；（2）不正确，理由见解析；（3）60个
【分析】（1）直接加减运算即可；
（2）根据概率的定义，判断即可；
（3）根据频率估计概率，直接列方程求解即可．
【详解】（1）由题意得：x=150−19−28−27−32−21=23，
故答案为：23；
（2）数学学习小组的结论不正确，因为5点朝上的频率为14%，不能说明5点朝上这一事件发生的概率就是14%，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率；
（3）设盒子中大约有白球x个，根据题意得：4040+x=0.4，
解得：x=60，经检验x=60是原方程的解，
答：估计盒子中大约有白球60个．
【点睛】此题考查频率与概率，解题关键是理解用频率估计概率，前提是需要实验的次数足够多才行．
【变式12-1】（2023春·云南昆明·九年级统考期末）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面四个推断中正确的是（ ）
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】C
【分析】根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率接近0.33，故本选项推理错误；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35，故本选项推理正确；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球20×0.35=7（个），故本选项推理正确；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率也是0.35，故本选项推理错误．
所以，正确的推断是②③．
故选：C
【点睛】此题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
【变式12-2】（2023春·陕西榆林·九年级统考期末）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共 10 个, 这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀, 从盒子里随机摸出一个球记下颜色后, 再把球放回盒子, 不断重复上述过程．下表是 多次摸球试验中的一组统计数据:
(1)请估计: 当 n 很大时, 摸到白球的频率将会接近 ; (精确到 0.1 )
(2)若从盒子里随机摸出一个球, 求摸到白球的概率的估计值．(精确到 0.1 )
【答案】(1)0.6
(2)0.6
【分析】（1）观察表格找到逐渐稳定到的常数即可；
（2）根据概率接近于（1）得到的频率即可求解。
（1）
解：∵当n=1000时，摸到白球的频率约为0.6，当n=3000时，摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（2）
解：∵当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
∴若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.6；
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，掌握概率的定义是解题的关键．
【变式12-3】（2023春·浙江衢州·九年级统考期末）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子，不断重复上述过程．下表是多次摸球试验中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；
(2)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是______；
(3)小明用转盘来代替摸球做试验．下面是一个可以自由转动的转盘，小明将转盘分为红色、白色2个扇形区域，转动转盘，当转盘停止后，指针落在白色区域的概率与摸球试验中摸到白球的概率相同．请你在转盘上用文字“红色”、“白色”注明两个区域的颜色，并求出白色区域的扇形的圆心角的度数．
【答案】(1)0.6
(2)0.6
(3)见解析，216°
【分析】（1）根据表中的数据，估计得出摸到白球的频率；
（2）由表中数据即可得；
（3）根据摸到白球的频率即可得到转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数．
【详解】（1）解：∵摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率约为0.6，
故答案为：0.6；
（2）解：∵摸到白球的频率约为0.6，
∴从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是0.6，
故答案为：0.6；
（3）解：∵摸到白球的频率约为0.6，
∴转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数为360°×0.6=216°，
如图所示：
．
【点睛】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
19
28
27
32
21
x
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
64
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率mn
0.64
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的频数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率mn
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
李老师
张老师
A
B
C
A
A,A
B,A
C,A
B
A,B
B,B
C,B
C
A,C
B,C
C,C
A
B
C
D
A
A，A
A，B
A，C
A，D
B
B，A
B，B
B，C
B，D
C
C，A
C，B
C，C
C，D
D
D，A
D，B
D，C
D，D
①
②
③
④
①
(①,②)
(①,③)
(①,④)
②
(②,①)
(②,③)
(②,④)
③
(③,①)
(③,②)
(③,④)
④
(④,①)
(④,②)
(④,③)
A
B
C
D
E
F
A
（A，D）
（A，E）
（A，F）
B
（B，D）
（B，E）
（B，F）
C
（C，D）
（C，E）
（C，F）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
F
（F，A）
（F，B）
（F，C）
A
B
C
D
A
（A，D）
B
（B，D）
C
（C，D）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
4
2
1
1
4
/
4,2
4,1
4,1
2
2,4
/
2,1
2,1
1
1,4
1,2
/
1,1
1
1,4
1,2
1,1
/
锁1
锁2
钥匙1
（锁1，钥匙1）
（锁2，钥匙1）
钥匙2
（锁1，钥匙2）
（锁2，钥匙2）
钥匙3
（锁1，钥匙3）
（锁2，钥匙3）
糖果味道
Q1
Q2
N
S
Q1
——————
Q1Q2
Q1N
Q1S
Q2
Q2Q1
——————
Q2N
Q2S
N
NQ1
NQ2
——————
NS
S
SQ1
SQ2
SN
——————
A
B
C
D
A
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
19
28
27
32
21
x
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
64
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率mn
0.64
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的频数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率mn
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
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