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人教版（2024）九年级上册第二十五章 概率初步25.1 随机事件与概率25.1.2 概率同步测试题
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这是一份人教版（2024）九年级上册第二十五章 概率初步25.1 随机事件与概率25.1.2 概率同步测试题，共28页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·河北保定·九年级期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋子中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则摸到绿球的概率约为（ ）
A．0.2B．0.5C．0.6D．0.8
2．（3分）（2023春·安徽合肥九年级期末）从1，2，−5三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（ ）
A．0B．13C．23D．1
3．（3分）（2023春·重庆九年级期末）布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A．49B．29C．23D．13
4．（3分）（2023春·安徽安庆九年级期末）用如图中的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（ ）
A．14B．34C．13D．12
5．（3分）（2023春·上海九年级期末）在“石头、剪子、布”的游戏中，当你出“石头”时，对手与你打平的概率为（ ）
A．12B．13C．23D．14
6．（3分）（2023春·苏州九年级期末）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和6个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有（ ）
A．2个B．4个C．14个D．18个
7．（3分）（2023春·武汉九年级期末）4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是（ ）
A．16B．13C．12D．23
8．（3分）（2023春·浙江温州·九年级期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同，如果连续投掷一枚质地均匀的硬币3次，那么3次投掷中恰好有2次正面朝上的概率是（ ）
A．16B．23C．58D．38
9．（3分）（2023春·陕西西安·九年级西安市第三中学校考期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为8m，宽为5m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（ ）
A．12m2B．14m2C．16m2D．18m2
10．（3分）（2023春·北京海淀·九年级期末）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为（ ）
A．1936B．12C．1736D．1732
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·河北唐山·九年级期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：
那么这种油菜籽发芽的概率是 （结果精确到0.01）
12．（3分）（2023春·浙江温州·九年级期末）在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个．
13．（3分）（2023春·河北保定·九年级期末）现有一枚质地均匀的正方体骰子，连续投掷两次骰子，把朝上一面的点数相加，若和大于5，则小刚得1分，否则小明得1分，该游戏规则对 更有利一些．
14．（3分）（2023春·九年级期末）如图所示，一只蚂蚁从A点出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都等可能的随机选择一条向左下或右下的路径（比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口）．那么，蚂蚁从A出发到达E处的概率是 ．
15．（3分）（2023春·河北保定·九年级期末）如图，有A、B、C三类长方形（或正方形）卡片（a＞b），其中甲同学持有A、B类卡片各一张，乙同学持有B、C类卡片各一张，丙同学持有A、C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是 ．
16．（3分）（2023春·浙江温州·九年级期末）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·九年级期末）五一期间，甲、乙两人在附近的景点游玩，甲从A、B两个景点中任意选择一个游玩，乙从A、B、C三个景点中任意选择一个游玩．
（1）乙恰好游玩A景点的概率为 ．
（2）用列表或画树状图的方法列出甲、乙恰好游玩同一景点的所有等可能的结果．并求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．
18．（6分）（2023春·河北保定·九年级期末）一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字2、3、4、x．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如表：
解答下列问题：
(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为7”的概率是___________；
(2)当x=5时，请用列表法或树状图法计算“和为7”的概率．
19．（8分）（2023春·九年级期末）如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有数−1，1，2，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，则当作指向右边的扇形）．
(1)若小静转动转盘一次，求得到负数的概率．
(2)小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“英雄所见略同”．用列表法（或树状图法）求两人“英雄所见略同”的概率．
20．（8分）（2023春·浙江温州·九年级期末）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在25．
（1）估计摸到黑球的概率是 ；
（2）如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在23，求n的值．
21．（8分）（2023春·九年级期末）如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：
（1）若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ；
（2）若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．
22．（8分）（2023春·河北保定·九年级期末）某中学为了解本校中考体育情况，随机抽取了部分学生的体育成绩进行统计分析，发现最低分为 45 分，且成绩为45分的学生占抽查人数的10%，现将抽查结果绘制成了如下不完整的折线统计图，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）此次抽查的学生人数为________人，抽查的学生体育考试成绩的中位数是_______分，抽查的女生体育考试成绩的平均数是_______分；
（2）补全折线统计图；
（3）为了今后中考体育取得更好的成绩，学校决定分别从成绩为50分的生和女生中各选一名参加“经验座谈会”，若成绩为50分的男、女生中各有两名体育特长生，请用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率．
23．（8分）（2023春·河北保定·九年级校考期末）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾天气了解程度的统计表
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有______人，n=______；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平．
第25章 概率初步章末拔尖卷
【人教版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·九年级期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋子中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则摸到绿球的概率约为（ ）
A．0.2B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】A
【分析】根据用频率估算概率的方法即可求解．
【详解】解：根据题意，设绿球有x个，
∴x8+x=0.2，解得，x=2，即有2个绿球，
∴根据概率的计算公式得，210=0.2，即试验频率稳定于随件事件的理论概率，
故选：A．
【点睛】本题主要考查用频率估算概率，理解并掌握运用频率估算随件事件的概率的方法是解题的关键．
2．（3分）（2023春·九年级期末）从1，2，−5三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（ ）
A．0B．13C．23D．1
【答案】B
【分析】首先列出所有等可能的结果与积是正数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】随机抽取两个数相乘，共有3种情况：1×2，2×−5，1×−5，其中积为正数的只有1×2，故概率为13，
故选：B．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件 有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率PA=mn．
3．（3分）（2023春·九年级期末）布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A．49B．29C．23D．13
【答案】A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，
∴两次都摸到白球的概率为49．
故选A．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．（3分）（2023春·九年级期末）用如图中的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（ ）
A．14B．34C．13D．12
【答案】D
【分析】以45°为一份，把转盘2的红色分为3份，蓝色分为5份，再运用列表法把所有等可能结果表示出来，根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：根据题意，转盘2中红色的圆心角为135°，
∴蓝色的圆心角为360°−135°=225°，
以45°为一份，则红色分为135°÷45°=3（份），即红1，红2，红3；蓝色分为225°÷45°=5（份），即蓝1，蓝2，蓝3，蓝4，蓝5，
∴列表表示所有等可能结果如下，
共有16种等可能结果，其中可配成紫色的结果有8种，
∴可配成紫色的概率是816=12，
故选：D．
【点睛】本题主要考查列表法或画树状图求概率，掌握列表法或树状图求概率的方法是解题的关键．
5．（3分）（2023春·九年级期末）在“石头、剪子、布”的游戏中，当你出“石头”时，对手与你打平的概率为（ ）
A．12B．13C．23D．14
【答案】B
【分析】运用列举法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的公式即可求解．
【详解】解：用列举法把所有等可能结果表示出来为，对手可能出现的结果有：石头，剪刀，布3种等可能结果，平手的结果是(石头，石头)，
∴当你出“石头”时，对手与你打平的概率为13，
故选：B．
【点睛】本题主要考查概率的计算，理解并掌握概率的计算方法是解题的关键．
6．（3分）（2023春·九年级期末）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和6个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有（ ）
A．2个B．4个C．14个D．18个
【答案】A
【分析】设袋中白球有x个，根据题意用黄球数除以白球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出白球数．
【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意，得
6x+6=0.75，
解得x=2，
经检验x=2是列方程的解，
所以袋中白球有2个．
故选：A．
【点睛】本题考查了频率与频数，弄清题意，熟练掌握频数、频率、总数间的关系是解决本题的关键．
7．（3分）（2023春·九年级期末）4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是（ ）
A．16B．13C．12D．23
【答案】D
【分析】设合格的两件产品分别用A、B表示，不合格的两件产品用C、D表示，然后列表先找出所有等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设合格的两件产品分别用A、B表示，不合格的两件产品用C、D表示，
列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽到一件产品合格一件产品不合格的结果数有8种，
∴抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是812=23，
故选D．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．
8．（3分）（2023春·九年级期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同，如果连续投掷一枚质地均匀的硬币3次，那么3次投掷中恰好有2次正面朝上的概率是（ ）
A．16B．23C．58D．38
【答案】D
【分析】利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求解即可.
【详解】解：列树状图得：
共有8种情况，出现“一次正面，两次反面”的有3种情况，所以概率是38，故选D．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
9．（3分）（2023春·陕西西安·九年级西安市第三中学校考期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为8m，宽为5m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（ ）
A．12m2B．14m2C．16m2D．18m2
【答案】B
【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积．
【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率．
设不规则图案的面积为xcm2，则有x8×5=0.35
解得：x=14
即不规则图案的面积为14cm2．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．
10．（3分）（2023春·北京海淀·九年级期末）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为（ ）
A．1936B．12C．1736D．1732
【答案】A
【分析】设正方形ABCD的边长为a，根据正方形的性质∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝2a，再利用四边形BEOF为正方形易得CF＝OF＝BF＝12a，则S正方形BEOF＝14a2，设正方形MNGH的边长为x，易得CM＝AN＝MN＝x，即3x＝2a，解得x＝23x，则S正方形MNGH＝29a2，然后根据几何概率的意义，用两个小正方形的面积和除以正方形ABCD的面积即可得到小鸟落在花圃上的概率，从而得到小鸟不落在花圃上的概率．
【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝2a，
∵四边形BEOF为正方形，
∴CF＝OF＝BF，
∴S正方形BEOF＝（12a）2＝14a2，
设正方形MNGH的边长为x，
∵△ANG和△CMH都是等腰直角三角形，
∴CM＝AN＝MN＝x，
∴3x＝2a，解得x＝23a，
∴S正方形MNGH＝23a2＝29a2，
∴小鸟不落在花圃上的概率＝1﹣14a2+29a2a2＝1936
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质与概率的计算，求出正方形MNGH的面积是解题的关键.
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·九年级期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：
那么这种油菜籽发芽的概率是 （结果精确到0.01）
【答案】0.95
【分析】对于不同批次的某种菜籽的发芽率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法．
【详解】解： x=96+284+380+571+948+1902+2848÷100+300+400+600+1000+2000+3000
=7209÷7400
=0.94986…
≈0.95
故答案是：0.95．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）（2023春·九年级期末）在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个．
【答案】12
【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【详解】解：设袋中红球有x个，
根据题意，得：xx+3=0.8，
解得：x=12，
经检验：x=12是分式方程的解，
所以袋中红球有12个，
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键．
13．（3分）（2023春·九年级期末）现有一枚质地均匀的正方体骰子，连续投掷两次骰子，把朝上一面的点数相加，若和大于5，则小刚得1分，否则小明得1分，该游戏规则对 更有利一些．
【答案】小刚
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出之和大于5的情况数，求出小刚获胜的概率，继而求出小明获胜的概率，比较大小即可做出判断．
【详解】解：列表如下：
得出所有等可能的情况有36种，其中朝上的一面的数字相加和大于5的情况有26种，
∴P(小刚获胜)=2636=1318，P(小明获胜)=1−1318=518，
∵1318>518，
∴游戏规则对小刚更有利一些．
故答案为：小刚．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
14．（3分）（2023春·九年级期末）如图所示，一只蚂蚁从A点出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都等可能的随机选择一条向左下或右下的路径（比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口）．那么，蚂蚁从A出发到达E处的概率是 ．
【答案】12
【详解】试题分析：如图所示,一只蚂蚁从点出发后有ABD、ABE、ACE、ACF四条路，所以蚂蚁从出发到达处的概率是.
考点：概率.
15．（3分）（2023春·九年级期末）如图，有A、B、C三类长方形（或正方形）卡片（a＞b），其中甲同学持有A、B类卡片各一张，乙同学持有B、C类卡片各一张，丙同学持有A、C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是 ．
【答案】13
【分析】依据选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为（a+b）的正方形，可得能拼成一个正方形的概率为13．
【详解】解：由题可得：随机选取两位同学，可能的结果如下：
甲乙、甲丙、乙丙．
∵a2+2ab+b2=（a+b）2，∴选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为（a+b）的正方形，∴能拼成一个正方形的概率为13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了列举法求概率、完全平方公式的运用，当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
16．（3分）（2023春·浙江温州·九年级期末）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率为 ．
【答案】727
【分析】运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可．.
【详解】解：如图：三辆车经过十字路口的情况有27种，至少有两辆车向左转的情况数为7种，
所以概率为：727．
故答案为727．
【点睛】本题考查的是运用树状图求概率的公式，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·九年级期末）五一期间，甲、乙两人在附近的景点游玩，甲从A、B两个景点中任意选择一个游玩，乙从A、B、C三个景点中任意选择一个游玩．
（1）乙恰好游玩A景点的概率为 ．
（2）用列表或画树状图的方法列出甲、乙恰好游玩同一景点的所有等可能的结果．并求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．
【答案】（1）13；（2）列表或画树状图见解析；13
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）列表或画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出甲、乙恰好游玩同一景点的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）∵乙从A、B、C三个景点中任意选择一个游玩，且选择任意景点的可能性相同，
∴乙恰好游玩A景点的概率为13，
故答案为：13；
（2）方法一：画树状图如下：
由树状图可得：共有6种结果，分别为：AA、AB、AC、BA、BB、BC且每种结果的可能性都相同，其中甲、乙恰好游玩同一景点的所有等可能的结果为：AA和BB共2种，
所以甲、乙恰好游玩同一景点的概率=26=13；
方法二：列表如下：
由列表可得：共有6种结果，分别为：AA、AB、AC、BA、BB、BC且每种结果的可能性都相同，其中甲、乙恰好游玩同一景点的所有等可能的结果为：AA和BB共2种，
所以甲、乙恰好游玩同一景点的概率=26=13．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A的概率=mn．
18．（6分）（2023春·九年级期末）一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字2、3、4、x．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如表：
解答下列问题：
(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为7”的概率是___________；
(2)当x=5时，请用列表法或树状图法计算“和为7”的概率．
【答案】(1)0.33
(2)见解析，13
【分析】（1）由频率估计概率可得答案；
（2）先画树状图，得到所有等可能的结果，再得到符合条件的结果数，利用概率公式进行计算即可.
【详解】（1）利用图表得出：实验次数越大越接近实际概率，所以出现“和为7”的概率是0.33；
（2）当x=5时，如图，
共有12种情况，和是7的情况共4种，“和为7”的概率=412=13.
【点睛】本题考查的利用频率估计概率，利用画树状图求解随机事件的概率，熟练的画树状图得到所有的等可能的结果数与符合条件的结果数是解本题的关键.
19．（8分）（2023春·九年级期末）如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有数−1，1，2，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，则当作指向右边的扇形）．
(1)若小静转动转盘一次，求得到负数的概率．
(2)小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“英雄所见略同”．用列表法（或树状图法）求两人“英雄所见略同”的概率．
【答案】(1)13
(2)13
【分析】（1）根据概率公式，用负数的情况数除以总情况数，即可求解；
（2）根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：得到负数的概率=13．
（2）解：列表如下：
由表可知共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，两人得到的数相同的结果有3种，故两人“英雄所见略同”的概率=39=13．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）（2023春·九年级期末）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在25．
（1）估计摸到黑球的概率是 ；
（2）如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在23，求n的值．
【答案】（1）35；（2）n＝6
【分析】（1）取出黑球的概率＝1﹣取出红球的概率；
（2）首先根据红球的个数和摸出红球的概率求得黑球的个数，然后根据概率公式列式求解即可．
【详解】解：（1）P（取出黑球）＝1﹣P（取出红球）＝1﹣25＝35；
故答案为：35；
（2）设袋子中原有黑球x个，
根据题意得：1212+x＝25，
解得：x＝18，
经检验x＝18是原方程的根，
所以黑球有18个，
∵又放入了n个黑球，
根据题意得：18+n18+12+n=23，
解得：n＝6．
经检验：符合题意
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
21．（8分）（2023春·九年级期末）如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：
（1）若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ；
（2）若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．
【答案】（1）14；（2）16．
【分析】（1）既是中心对称图形又是轴对称图形只有圆一个图形，然后根据概率的意义解答即可；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【详解】解：（1）∵正三角形、平行四边形、圆、正五边形中只有圆既是中心对称图形又是轴对称图形，
∴抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是14；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的是B、C共有2种情况，
所以，P（抽出的两张卡片的图形是中心对称图形）212=16．
【点睛】本题考查了列表法和树状图法，解题的关键是掌握知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）（2023春·九年级期末）某中学为了解本校中考体育情况，随机抽取了部分学生的体育成绩进行统计分析，发现最低分为 45 分，且成绩为45分的学生占抽查人数的10%，现将抽查结果绘制成了如下不完整的折线统计图，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）此次抽查的学生人数为________人，抽查的学生体育考试成绩的中位数是_______分，抽查的女生体育考试成绩的平均数是_______分；
（2）补全折线统计图；
（3）为了今后中考体育取得更好的成绩，学校决定分别从成绩为50分的生和女生中各选一名参加“经验座谈会”，若成绩为50分的男、女生中各有两名体育特长生，请用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率．
【答案】（1）50；48.5；48；（2）补全折线统计图见解析；（3）所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率为310．
【分析】（1）根据得分为45分的学生人数与所占的百分比列式计算即可求出被抽查的学生人数为50；根据中位数的定义找出第25、26两个人的得分，然后求平均数即可；先求出的50分的女生人数是5，再根据算术平均数的求法列式计算即可得解；
（2）根据得50分的女生人数为5，补全折线图即可；
（3）列出图表，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【详解】解：（1）抽查的学生人数为：(3+2)÷10%=50人；
由图可知，得分为45分的人数为：3+2=5，
得分为46分的人数为：2+4=6，
得分为47分的人数为：4+3=7，
得分为48分的人数为：3+4=7，
得分为49分的人数为：9+7=16，
所以，第25人的得分为48分，第26人的得分为49分，
中位数为48+492=48.5；
得分50分的女生人数为：50−5−6−7−7−16−4=50−45=5人．
所以，女生成绩的平均数为：45×2+46×4+47×3+48×4+49×7+50×52+4+3+4+7+5=120025=48；
故答案为：50，48.5，48；
（2）女生得分50分的有5人，所以补全图形如图；
（3）设得分50分的男生分别为男1、男2、男3、男4，其中男1、男2是体育特长生，
得分50分的女生分别为女1、女2、女3、女4、女5，其中女1、女2是体育特长生，
列表如下：
由表可知，一共有20种等可能情况，其中都不是体育特长生的有6种情况，
所以，P（都不是体育特长生）=620=310．
【点睛】本题考查了折线统计图，中位数的定义，算术平均数的求解，用列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）（2023春·河北保定·九年级校考期末）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾天气了解程度的统计表
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有______人，n=______；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平．
【答案】（1）400,35%；（2）条形统计图见解析；（3）不公平．
【分析】（1）用A等级的人数除以它所占的百分比可得调查的总人数，然后用1减去其它等级的百分比即可求得n的值；
（3）先计算出D等级的人数，然后补全条形统计图即可；
（4）通过树状图可确定12种等可能的结果，再找出和为奇数的结果有8种，再确定出为奇数的概率，再确定小明去和小刚去的概率，最后比较即可解答．
【详解】解：（1）由统计图可知：A等级的人数为20，所占的百分比为5%
则本次参与调查的学生共有20÷5%=400人；
１-5%-15%-45%=35%；
（2）由统计图可知：A等级的人数所占的百分比为45%
D等级的人数为400×35%=140（人）
补全条形统计图如下：
（3）根据题意画出树状图如下：
可发现共有12种等可能的结果且和为奇数的结果有8种
所以小明去的概率为：812=23
小刚去的概率为：12−812=13．
由23＞13．
所以这个游戏规则不公平．
【点睛】本题考查了游戏的公平性，先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，这是解答游戏公平性题目的关键．每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的频数m
96
284
380
571
948
1902
2848
摸球总次数
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为7”出现的频数
10
13
24
30
37
58
82
110
150
“和为7”出现的频率
0.50
0.43
0.40
0.33
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
对雾霾天气了解程度
百分比
A．非常了解
5％
B．比较了解
15％
C．基本了解
45％
D．不了解
n
转盘1
转盘2
红
蓝
红1
(红，红1)
(蓝，红1)
红2
(红，红2)
(蓝，红2)
红3
(红，红3)
(蓝，红3)
蓝1
(红，蓝1)
(蓝，蓝1)
蓝2
(红，蓝2)
(蓝，蓝2)
蓝3
(红，蓝3)
(蓝，蓝2)
蓝4
(红，蓝4)
(蓝，蓝4)
蓝5
(红，蓝5)
(蓝，蓝5)
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的频数m
96
284
380
571
948
1902
2848
和
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
摸球总次数
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为7”出现的频数
10
13
24
30
37
58
82
110
150
“和为7”出现的频率
0.50
0.43
0.40
0.33
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
小静
小宇
−1
1
2
−1
−1,−1
−1,1
−1,2
1
1,−1
1,1
1,2
2
2,−1
2,1
2,2
对雾霾天气了解程度
百分比
A．非常了解
5％
B．比较了解
15％
C．基本了解
45％
D．不了解
n
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·河北保定·九年级期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋子中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则摸到绿球的概率约为（ ）
A．0.2B．0.5C．0.6D．0.8
2．（3分）（2023春·安徽合肥九年级期末）从1，2，−5三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（ ）
A．0B．13C．23D．1
3．（3分）（2023春·重庆九年级期末）布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A．49B．29C．23D．13
4．（3分）（2023春·安徽安庆九年级期末）用如图中的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（ ）
A．14B．34C．13D．12
5．（3分）（2023春·上海九年级期末）在“石头、剪子、布”的游戏中，当你出“石头”时，对手与你打平的概率为（ ）
A．12B．13C．23D．14
6．（3分）（2023春·苏州九年级期末）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和6个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有（ ）
A．2个B．4个C．14个D．18个
7．（3分）（2023春·武汉九年级期末）4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是（ ）
A．16B．13C．12D．23
8．（3分）（2023春·浙江温州·九年级期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同，如果连续投掷一枚质地均匀的硬币3次，那么3次投掷中恰好有2次正面朝上的概率是（ ）
A．16B．23C．58D．38
9．（3分）（2023春·陕西西安·九年级西安市第三中学校考期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为8m，宽为5m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（ ）
A．12m2B．14m2C．16m2D．18m2
10．（3分）（2023春·北京海淀·九年级期末）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为（ ）
A．1936B．12C．1736D．1732
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·河北唐山·九年级期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：
那么这种油菜籽发芽的概率是 （结果精确到0.01）
12．（3分）（2023春·浙江温州·九年级期末）在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个．
13．（3分）（2023春·河北保定·九年级期末）现有一枚质地均匀的正方体骰子，连续投掷两次骰子，把朝上一面的点数相加，若和大于5，则小刚得1分，否则小明得1分，该游戏规则对 更有利一些．
14．（3分）（2023春·九年级期末）如图所示，一只蚂蚁从A点出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都等可能的随机选择一条向左下或右下的路径（比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口）．那么，蚂蚁从A出发到达E处的概率是 ．
15．（3分）（2023春·河北保定·九年级期末）如图，有A、B、C三类长方形（或正方形）卡片（a＞b），其中甲同学持有A、B类卡片各一张，乙同学持有B、C类卡片各一张，丙同学持有A、C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是 ．
16．（3分）（2023春·浙江温州·九年级期末）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·九年级期末）五一期间，甲、乙两人在附近的景点游玩，甲从A、B两个景点中任意选择一个游玩，乙从A、B、C三个景点中任意选择一个游玩．
（1）乙恰好游玩A景点的概率为 ．
（2）用列表或画树状图的方法列出甲、乙恰好游玩同一景点的所有等可能的结果．并求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．
18．（6分）（2023春·河北保定·九年级期末）一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字2、3、4、x．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如表：
解答下列问题：
(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为7”的概率是___________；
(2)当x=5时，请用列表法或树状图法计算“和为7”的概率．
19．（8分）（2023春·九年级期末）如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有数−1，1，2，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，则当作指向右边的扇形）．
(1)若小静转动转盘一次，求得到负数的概率．
(2)小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“英雄所见略同”．用列表法（或树状图法）求两人“英雄所见略同”的概率．
20．（8分）（2023春·浙江温州·九年级期末）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在25．
（1）估计摸到黑球的概率是 ；
（2）如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在23，求n的值．
21．（8分）（2023春·九年级期末）如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：
（1）若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ；
（2）若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．
22．（8分）（2023春·河北保定·九年级期末）某中学为了解本校中考体育情况，随机抽取了部分学生的体育成绩进行统计分析，发现最低分为 45 分，且成绩为45分的学生占抽查人数的10%，现将抽查结果绘制成了如下不完整的折线统计图，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）此次抽查的学生人数为________人，抽查的学生体育考试成绩的中位数是_______分，抽查的女生体育考试成绩的平均数是_______分；
（2）补全折线统计图；
（3）为了今后中考体育取得更好的成绩，学校决定分别从成绩为50分的生和女生中各选一名参加“经验座谈会”，若成绩为50分的男、女生中各有两名体育特长生，请用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率．
23．（8分）（2023春·河北保定·九年级校考期末）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾天气了解程度的统计表
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有______人，n=______；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平．
第25章 概率初步章末拔尖卷
【人教版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·九年级期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋子中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则摸到绿球的概率约为（ ）
A．0.2B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】A
【分析】根据用频率估算概率的方法即可求解．
【详解】解：根据题意，设绿球有x个，
∴x8+x=0.2，解得，x=2，即有2个绿球，
∴根据概率的计算公式得，210=0.2，即试验频率稳定于随件事件的理论概率，
故选：A．
【点睛】本题主要考查用频率估算概率，理解并掌握运用频率估算随件事件的概率的方法是解题的关键．
2．（3分）（2023春·九年级期末）从1，2，−5三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（ ）
A．0B．13C．23D．1
【答案】B
【分析】首先列出所有等可能的结果与积是正数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】随机抽取两个数相乘，共有3种情况：1×2，2×−5，1×−5，其中积为正数的只有1×2，故概率为13，
故选：B．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件 有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率PA=mn．
3．（3分）（2023春·九年级期末）布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A．49B．29C．23D．13
【答案】A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，
∴两次都摸到白球的概率为49．
故选A．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．（3分）（2023春·九年级期末）用如图中的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（ ）
A．14B．34C．13D．12
【答案】D
【分析】以45°为一份，把转盘2的红色分为3份，蓝色分为5份，再运用列表法把所有等可能结果表示出来，根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：根据题意，转盘2中红色的圆心角为135°，
∴蓝色的圆心角为360°−135°=225°，
以45°为一份，则红色分为135°÷45°=3（份），即红1，红2，红3；蓝色分为225°÷45°=5（份），即蓝1，蓝2，蓝3，蓝4，蓝5，
∴列表表示所有等可能结果如下，
共有16种等可能结果，其中可配成紫色的结果有8种，
∴可配成紫色的概率是816=12，
故选：D．
【点睛】本题主要考查列表法或画树状图求概率，掌握列表法或树状图求概率的方法是解题的关键．
5．（3分）（2023春·九年级期末）在“石头、剪子、布”的游戏中，当你出“石头”时，对手与你打平的概率为（ ）
A．12B．13C．23D．14
【答案】B
【分析】运用列举法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的公式即可求解．
【详解】解：用列举法把所有等可能结果表示出来为，对手可能出现的结果有：石头，剪刀，布3种等可能结果，平手的结果是(石头，石头)，
∴当你出“石头”时，对手与你打平的概率为13，
故选：B．
【点睛】本题主要考查概率的计算，理解并掌握概率的计算方法是解题的关键．
6．（3分）（2023春·九年级期末）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和6个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有（ ）
A．2个B．4个C．14个D．18个
【答案】A
【分析】设袋中白球有x个，根据题意用黄球数除以白球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出白球数．
【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意，得
6x+6=0.75，
解得x=2，
经检验x=2是列方程的解，
所以袋中白球有2个．
故选：A．
【点睛】本题考查了频率与频数，弄清题意，熟练掌握频数、频率、总数间的关系是解决本题的关键．
7．（3分）（2023春·九年级期末）4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是（ ）
A．16B．13C．12D．23
【答案】D
【分析】设合格的两件产品分别用A、B表示，不合格的两件产品用C、D表示，然后列表先找出所有等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设合格的两件产品分别用A、B表示，不合格的两件产品用C、D表示，
列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽到一件产品合格一件产品不合格的结果数有8种，
∴抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是812=23，
故选D．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．
8．（3分）（2023春·九年级期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同，如果连续投掷一枚质地均匀的硬币3次，那么3次投掷中恰好有2次正面朝上的概率是（ ）
A．16B．23C．58D．38
【答案】D
【分析】利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求解即可.
【详解】解：列树状图得：
共有8种情况，出现“一次正面，两次反面”的有3种情况，所以概率是38，故选D．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
9．（3分）（2023春·陕西西安·九年级西安市第三中学校考期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为8m，宽为5m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（ ）
A．12m2B．14m2C．16m2D．18m2
【答案】B
【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积．
【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率．
设不规则图案的面积为xcm2，则有x8×5=0.35
解得：x=14
即不规则图案的面积为14cm2．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．
10．（3分）（2023春·北京海淀·九年级期末）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为（ ）
A．1936B．12C．1736D．1732
【答案】A
【分析】设正方形ABCD的边长为a，根据正方形的性质∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝2a，再利用四边形BEOF为正方形易得CF＝OF＝BF＝12a，则S正方形BEOF＝14a2，设正方形MNGH的边长为x，易得CM＝AN＝MN＝x，即3x＝2a，解得x＝23x，则S正方形MNGH＝29a2，然后根据几何概率的意义，用两个小正方形的面积和除以正方形ABCD的面积即可得到小鸟落在花圃上的概率，从而得到小鸟不落在花圃上的概率．
【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝2a，
∵四边形BEOF为正方形，
∴CF＝OF＝BF，
∴S正方形BEOF＝（12a）2＝14a2，
设正方形MNGH的边长为x，
∵△ANG和△CMH都是等腰直角三角形，
∴CM＝AN＝MN＝x，
∴3x＝2a，解得x＝23a，
∴S正方形MNGH＝23a2＝29a2，
∴小鸟不落在花圃上的概率＝1﹣14a2+29a2a2＝1936
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质与概率的计算，求出正方形MNGH的面积是解题的关键.
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·九年级期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：
那么这种油菜籽发芽的概率是 （结果精确到0.01）
【答案】0.95
【分析】对于不同批次的某种菜籽的发芽率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法．
【详解】解： x=96+284+380+571+948+1902+2848÷100+300+400+600+1000+2000+3000
=7209÷7400
=0.94986…
≈0.95
故答案是：0.95．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）（2023春·九年级期末）在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个．
【答案】12
【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【详解】解：设袋中红球有x个，
根据题意，得：xx+3=0.8，
解得：x=12，
经检验：x=12是分式方程的解，
所以袋中红球有12个，
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键．
13．（3分）（2023春·九年级期末）现有一枚质地均匀的正方体骰子，连续投掷两次骰子，把朝上一面的点数相加，若和大于5，则小刚得1分，否则小明得1分，该游戏规则对 更有利一些．
【答案】小刚
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出之和大于5的情况数，求出小刚获胜的概率，继而求出小明获胜的概率，比较大小即可做出判断．
【详解】解：列表如下：
得出所有等可能的情况有36种，其中朝上的一面的数字相加和大于5的情况有26种，
∴P(小刚获胜)=2636=1318，P(小明获胜)=1−1318=518，
∵1318>518，
∴游戏规则对小刚更有利一些．
故答案为：小刚．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
14．（3分）（2023春·九年级期末）如图所示，一只蚂蚁从A点出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都等可能的随机选择一条向左下或右下的路径（比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口）．那么，蚂蚁从A出发到达E处的概率是 ．
【答案】12
【详解】试题分析：如图所示,一只蚂蚁从点出发后有ABD、ABE、ACE、ACF四条路，所以蚂蚁从出发到达处的概率是.
考点：概率.
15．（3分）（2023春·九年级期末）如图，有A、B、C三类长方形（或正方形）卡片（a＞b），其中甲同学持有A、B类卡片各一张，乙同学持有B、C类卡片各一张，丙同学持有A、C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是 ．
【答案】13
【分析】依据选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为（a+b）的正方形，可得能拼成一个正方形的概率为13．
【详解】解：由题可得：随机选取两位同学，可能的结果如下：
甲乙、甲丙、乙丙．
∵a2+2ab+b2=（a+b）2，∴选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为（a+b）的正方形，∴能拼成一个正方形的概率为13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了列举法求概率、完全平方公式的运用，当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
16．（3分）（2023春·浙江温州·九年级期末）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率为 ．
【答案】727
【分析】运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可．.
【详解】解：如图：三辆车经过十字路口的情况有27种，至少有两辆车向左转的情况数为7种，
所以概率为：727．
故答案为727．
【点睛】本题考查的是运用树状图求概率的公式，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·九年级期末）五一期间，甲、乙两人在附近的景点游玩，甲从A、B两个景点中任意选择一个游玩，乙从A、B、C三个景点中任意选择一个游玩．
（1）乙恰好游玩A景点的概率为 ．
（2）用列表或画树状图的方法列出甲、乙恰好游玩同一景点的所有等可能的结果．并求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．
【答案】（1）13；（2）列表或画树状图见解析；13
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）列表或画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出甲、乙恰好游玩同一景点的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）∵乙从A、B、C三个景点中任意选择一个游玩，且选择任意景点的可能性相同，
∴乙恰好游玩A景点的概率为13，
故答案为：13；
（2）方法一：画树状图如下：
由树状图可得：共有6种结果，分别为：AA、AB、AC、BA、BB、BC且每种结果的可能性都相同，其中甲、乙恰好游玩同一景点的所有等可能的结果为：AA和BB共2种，
所以甲、乙恰好游玩同一景点的概率=26=13；
方法二：列表如下：
由列表可得：共有6种结果，分别为：AA、AB、AC、BA、BB、BC且每种结果的可能性都相同，其中甲、乙恰好游玩同一景点的所有等可能的结果为：AA和BB共2种，
所以甲、乙恰好游玩同一景点的概率=26=13．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A的概率=mn．
18．（6分）（2023春·九年级期末）一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字2、3、4、x．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如表：
解答下列问题：
(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为7”的概率是___________；
(2)当x=5时，请用列表法或树状图法计算“和为7”的概率．
【答案】(1)0.33
(2)见解析，13
【分析】（1）由频率估计概率可得答案；
（2）先画树状图，得到所有等可能的结果，再得到符合条件的结果数，利用概率公式进行计算即可.
【详解】（1）利用图表得出：实验次数越大越接近实际概率，所以出现“和为7”的概率是0.33；
（2）当x=5时，如图，
共有12种情况，和是7的情况共4种，“和为7”的概率=412=13.
【点睛】本题考查的利用频率估计概率，利用画树状图求解随机事件的概率，熟练的画树状图得到所有的等可能的结果数与符合条件的结果数是解本题的关键.
19．（8分）（2023春·九年级期末）如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有数−1，1，2，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，则当作指向右边的扇形）．
(1)若小静转动转盘一次，求得到负数的概率．
(2)小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“英雄所见略同”．用列表法（或树状图法）求两人“英雄所见略同”的概率．
【答案】(1)13
(2)13
【分析】（1）根据概率公式，用负数的情况数除以总情况数，即可求解；
（2）根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：得到负数的概率=13．
（2）解：列表如下：
由表可知共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，两人得到的数相同的结果有3种，故两人“英雄所见略同”的概率=39=13．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）（2023春·九年级期末）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在25．
（1）估计摸到黑球的概率是 ；
（2）如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在23，求n的值．
【答案】（1）35；（2）n＝6
【分析】（1）取出黑球的概率＝1﹣取出红球的概率；
（2）首先根据红球的个数和摸出红球的概率求得黑球的个数，然后根据概率公式列式求解即可．
【详解】解：（1）P（取出黑球）＝1﹣P（取出红球）＝1﹣25＝35；
故答案为：35；
（2）设袋子中原有黑球x个，
根据题意得：1212+x＝25，
解得：x＝18，
经检验x＝18是原方程的根，
所以黑球有18个，
∵又放入了n个黑球，
根据题意得：18+n18+12+n=23，
解得：n＝6．
经检验：符合题意
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
21．（8分）（2023春·九年级期末）如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：
（1）若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ；
（2）若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．
【答案】（1）14；（2）16．
【分析】（1）既是中心对称图形又是轴对称图形只有圆一个图形，然后根据概率的意义解答即可；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【详解】解：（1）∵正三角形、平行四边形、圆、正五边形中只有圆既是中心对称图形又是轴对称图形，
∴抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是14；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的是B、C共有2种情况，
所以，P（抽出的两张卡片的图形是中心对称图形）212=16．
【点睛】本题考查了列表法和树状图法，解题的关键是掌握知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）（2023春·九年级期末）某中学为了解本校中考体育情况，随机抽取了部分学生的体育成绩进行统计分析，发现最低分为 45 分，且成绩为45分的学生占抽查人数的10%，现将抽查结果绘制成了如下不完整的折线统计图，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）此次抽查的学生人数为________人，抽查的学生体育考试成绩的中位数是_______分，抽查的女生体育考试成绩的平均数是_______分；
（2）补全折线统计图；
（3）为了今后中考体育取得更好的成绩，学校决定分别从成绩为50分的生和女生中各选一名参加“经验座谈会”，若成绩为50分的男、女生中各有两名体育特长生，请用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率．
【答案】（1）50；48.5；48；（2）补全折线统计图见解析；（3）所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率为310．
【分析】（1）根据得分为45分的学生人数与所占的百分比列式计算即可求出被抽查的学生人数为50；根据中位数的定义找出第25、26两个人的得分，然后求平均数即可；先求出的50分的女生人数是5，再根据算术平均数的求法列式计算即可得解；
（2）根据得50分的女生人数为5，补全折线图即可；
（3）列出图表，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【详解】解：（1）抽查的学生人数为：(3+2)÷10%=50人；
由图可知，得分为45分的人数为：3+2=5，
得分为46分的人数为：2+4=6，
得分为47分的人数为：4+3=7，
得分为48分的人数为：3+4=7，
得分为49分的人数为：9+7=16，
所以，第25人的得分为48分，第26人的得分为49分，
中位数为48+492=48.5；
得分50分的女生人数为：50−5−6−7−7−16−4=50−45=5人．
所以，女生成绩的平均数为：45×2+46×4+47×3+48×4+49×7+50×52+4+3+4+7+5=120025=48；
故答案为：50，48.5，48；
（2）女生得分50分的有5人，所以补全图形如图；
（3）设得分50分的男生分别为男1、男2、男3、男4，其中男1、男2是体育特长生，
得分50分的女生分别为女1、女2、女3、女4、女5，其中女1、女2是体育特长生，
列表如下：
由表可知，一共有20种等可能情况，其中都不是体育特长生的有6种情况，
所以，P（都不是体育特长生）=620=310．
【点睛】本题考查了折线统计图，中位数的定义，算术平均数的求解，用列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）（2023春·河北保定·九年级校考期末）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾天气了解程度的统计表
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有______人，n=______；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个游戏规则是否公平．
【答案】（1）400,35%；（2）条形统计图见解析；（3）不公平．
【分析】（1）用A等级的人数除以它所占的百分比可得调查的总人数，然后用1减去其它等级的百分比即可求得n的值；
（3）先计算出D等级的人数，然后补全条形统计图即可；
（4）通过树状图可确定12种等可能的结果，再找出和为奇数的结果有8种，再确定出为奇数的概率，再确定小明去和小刚去的概率，最后比较即可解答．
【详解】解：（1）由统计图可知：A等级的人数为20，所占的百分比为5%
则本次参与调查的学生共有20÷5%=400人；
１-5%-15%-45%=35%；
（2）由统计图可知：A等级的人数所占的百分比为45%
D等级的人数为400×35%=140（人）
补全条形统计图如下：
（3）根据题意画出树状图如下：
可发现共有12种等可能的结果且和为奇数的结果有8种
所以小明去的概率为：812=23
小刚去的概率为：12−812=13．
由23＞13．
所以这个游戏规则不公平．
【点睛】本题考查了游戏的公平性，先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，这是解答游戏公平性题目的关键．每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的频数m
96
284
380
571
948
1902
2848
摸球总次数
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为7”出现的频数
10
13
24
30
37
58
82
110
150
“和为7”出现的频率
0.50
0.43
0.40
0.33
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
对雾霾天气了解程度
百分比
A．非常了解
5％
B．比较了解
15％
C．基本了解
45％
D．不了解
n
转盘1
转盘2
红
蓝
红1
(红，红1)
(蓝，红1)
红2
(红，红2)
(蓝，红2)
红3
(红，红3)
(蓝，红3)
蓝1
(红，蓝1)
(蓝，蓝1)
蓝2
(红，蓝2)
(蓝，蓝2)
蓝3
(红，蓝3)
(蓝，蓝2)
蓝4
(红，蓝4)
(蓝，蓝4)
蓝5
(红，蓝5)
(蓝，蓝5)
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的频数m
96
284
380
571
948
1902
2848
和
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
摸球总次数
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为7”出现的频数
10
13
24
30
37
58
82
110
150
“和为7”出现的频率
0.50
0.43
0.40
0.33
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
小静
小宇
−1
1
2
−1
−1,−1
−1,1
−1,2
1
1,−1
1,1
1,2
2
2,−1
2,1
2,2
对雾霾天气了解程度
百分比
A．非常了解
5％
B．比较了解
15％
C．基本了解
45％
D．不了解
n
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