广东省肇庆市第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

这是一份广东省肇庆市第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．0,1D．2,3
2．复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．2
3．已知命题：，使得 成立为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，则不等式的解集是 （ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若，则（ ）
A．B．1C．-5D．5
7．已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在R上的函数，若函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9．下列说法正确的有（ ）
A．不等式的解集是
B．“，”是“”成立的充分条件
C．命题：，，则：，
D．“”是“”的必要条件
10．已知，且，则（ ）
A．的最小值是B．最小值为
C．的最大值是D．的最小值是
11．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数关于直线对称
B．4是函数的周期
C．
D．方程恰有4不同的根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．计算：的值是 ．
13．已知函数，函数为一次函数，若，则 .
14．若函数，则使得成立的的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)已知函数．
(1) 求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2) 求函数在区间上的最小值．
16．(15分)已知函数，其中．
(1) 若关于x的方程有两实数根，且两实数根之积等于1，求k的值；
(2) 解关子x的不等式．
17．(15分)已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
18．(17分)已知函数 是定义域为上的奇函数.
（1）求的值；
（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；
（3）若在上的最小值为，求的值.
19．(17分)已知函数.
(1) 讨论的单调性；
(2) 当时，求证：；
(3) 若有两个零点，求的取值范围．
答案
1.【答案】A【详解】因为，，
所以，
所以，
即图中阴影部分表示的集合为.故选：A
2.【答案】D
【分析】根据复数的除法运算和复数的虚部概念即可.
【详解】，故该复数的虚部为2.
故选：D.
3．B
【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当时，命题为真命题，当时，需，最后综合讨论结果，可得答案．
【详解】命题为真命题等价于不等式有解．
当时，不等式变形为，则，符合题意；
当时，，解得；
当时，总存在，使得；
综上可得实数的取值范围为．
故选：B
4．【答案】D
【分析】参变分离，转化为求的最小值问题，变形为，利用对勾函数性质求解可得.
【详解】分离参数得，
要使对任意，不等式恒成立，只需.
又因为，令，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
所以，所以.
故选：D
5．A
【详解】依题意得，选A．
6．A
【分析】构造函数，证明其为偶函数，据此可得解.
【详解】设，
则，
所以，即，
所以.
因为，所以.
故选：A
7．C
【分析】由fx为幂函数，可求出，即得到，再利用零点存在定理从而可求解.
【详解】由为幂函数，所以，得，所以，
对A：当时，，，故A错误；
对B：，，故B错误；
对C：，，故C正确；
对D：，，故D错误；
故选：C.
8.【答案】B
【分析】函数恰有2个零点，转化为直线与的图象有两个交点，作出函数的图象及直线观察它们交点个数，对函数要分类讨论，求在原点处或过原点的切线斜率．
【详解】如图，数形结合，观察直线与曲线的位置关系.
当，
故在处的切线方程为.
当，同理可得在处的切线方程为.
当，
设切点为，其中，则过该点的切线方程为，
代入，得，故过的切线方程为.
可得当时，有两个交点，即函数恰有两个零点.
此时
故选：B
【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题关键是转化为直线与函数图象交点个数，通过数形结合思想求解．
9．【答案】BD
【分析】对A：利用分式不等式得解法解出即可得；对B：利用充分条件定义判断即可得；对C：借助全称命题的否定即可得；对D：利用必要条件定义判断即可得.
【详解】对A：，
解得，即其解集为，故A错误；
对B：若，，则，
故“，”是“”成立的充分条件，故B正确；
对C：，的否定为，，故C错误；
对D：由“”可得“”，故“”是“”的必要条件，故D正确.
故选：BD.
10．【答案】BC
【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D.
【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确；
对于B，∵，∴，，
所以，故B正确；
对于C，∵，且，∴，即
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，∵，
即时，等号成立，
所以的最小值是，故D错误．
故选：BC．
11．ABD
【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为是偶函数，
所以，即
所以关于对称，故A正确.
对于B：因为，
所以，
所以，即周期，故B正确
对于C：
所以，故C错误；
对于D：因为，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，根据对称性，可作出上的图象，
又的周期，
作出图象与图象，如下图所示：
所以与有4个交点，故D正确.
故选： ABD
12.【答案】5
【分析】根据分数指数幂的运算法则和对数运算法则计算即可得解.
【详解】原式
.
故答案为：5.
13．
【分析】设出函数的解析式，利用待定系数法转化求解即可．
【详解】由题意，函数为一次函数,
由待定系数法，设（），
所以，
由对应系数相等，得，，
故.
故答案为：
14．
【分析】由题知函数为偶函数且在单调递增，由此抽象出不等式，解出即可
【详解】由函数的定义域为,
所以函数为偶函数
当时，与为单调递增函数
所以在单调递增
所以
所以
解得：
故答案为：
15.【答案】(1) (2)
【分析】（1）先确定切点，再求切线斜率，利用点斜式可得切线方程.
（2）分析函数的单调性，可得函数的最小值.
【详解】（1）因为：，所以切点坐标为：，
又，，即为所求切线的斜率.
所以切线方程为：，化简得：
（2），（）
由f'x>0；由f'x