广东省深圳市南实集团南海中学2024-2025学年上学期九年级开学考数学试卷

这是一份广东省深圳市南实集团南海中学2024-2025学年上学期九年级开学考数学试卷，共21页。试卷主要包含了一元二次方程的根的情况是，已知三个实数，，满足，，则等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（每题3分，共24分）
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是
A．B．C．D．
2．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是
A．B．
C．D．
3．一元二次方程的根的情况是
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根D．没有实数根
4．某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下：
根据以上信息求的值，则下列方程正确的是
A．B．
C．D．
5．如图，的对角线，交于点，已知，，△的周长为14，则的长为
A．3B．4C．5D．6
6．如图，在中，，为中线，为的中点，交于点．若，，则的长为
A．2B．4C．3D．2.5
7．如图所示，在正方形中，是对角线、的交点，过作，分别交、于、，若，，则的长为
A．3B．4C．5D．6
8．已知三个实数，，满足，，则
A．，B．，
C．，D．，
二．填空题（每题3分，共15分）
9．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养，两种菌苗，已知种菌苗生长的适宜温度的范围是，种菌苗生长的适宜温度的范围是，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ．
10．已知，是一元二次方程的两个根，则－ ．
11．已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则正多边形的每个内角的度数为 ．
12．如图，，平分，于，交于．若，则 ， ．
13．如图，矩形中，，，点是矩形内一个动点，且满足，点是内一个点，则的最小值为 ．
三．解答题（共61分）
14．（6分）解不等式组：，并写出它的正整数解．
15．（10分）计算：
（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解方程．．
16．（6分）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△，请画出△（其中，，的对应点分别为，，；
（2）再将线段绕点顺时针旋转得到线段，请画出线段；
（3）在网格内描出两个格点，，请画出直线，使得直线垂直平分线段．
17．（8分）如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为48．
（1）求证：；
（2）过点作于点，若，求的面积．
18．（9分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用720元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买6本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元；
（2）为筹备“国际数学节3月14日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按九折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少．
19．（10分）根据下列素材，探索完成任务．
20．（12分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边中，是边上一点（不含端点，，是的外角的平分线上一点，且．求证：．
（1）点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，请完成剩余证明过程；
（2）拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，，是正方形的外角的平分线上一点，且，求证：．
（3）思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明、（2）中证明是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知，、选项中的图形是轴对称图形，选项中的图形既不是轴对称也不是中心对称图形，选项是中心对称图形，
故选：．
2．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、不是因式分解，故本选项不符合题意；
、不是因式分解，故本选项不符合题意；
、不是因式分解，故本选项不符合题意；
、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
3．一元二次方程的根的情况是
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根D．没有实数根
【解答】解：△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
4．某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下：
根据以上信息求的值，则下列方程正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：依题意得，，
故选：．
5．如图，的对角线，交于点，已知，，△的周长为14，则的长为
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：的对角线，交于点，，，
，，，
又△的周长为14，
，
，
故选：．
6．如图，在中，，为中线，为的中点，交于点．若，，则的长为
A．2B．4C．3D．2.5
【解答】解：为中线，，
，
在中，，
，为的中点，
，
，为的中点，
，
故选：．
7．如图所示，在正方形中，是对角线、的交点，过作，分别交、于、，若，，则的长为
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：四边形是正方形，
，，，
又，
，
，
△△，
，
又，
，
△中，．
故选：．
8．已知三个实数，，满足，，则
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
二．填空题（共5小题）
9．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养，两种菌苗，已知种菌苗生长的适宜温度的范围是，种菌苗生长的适宜温度的范围是，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ．
【解答】解：种菌苗生长的适宜温度的范围是，种菌苗生长的适宜温度的范围是，
温箱里的温度应该设定的范围为：．故答案为：．
10．已知，是一元二次方程的两个根，则－ 1 ．
【解答】解：，是一元二次方程的两个根，
，．∴－2-1=1．
故答案为：1．
11．已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则正多边形的每个内角的度数为 120 ．
【解答】解：设这个多边形的边数为，
则，解得：，
则，
即正多边形的每个内角的度数为，
故答案为：120．
12．如图，，平分，于，交于．若，则 10 ， ．
【解答】解：平分，
，
，，，
，
，，
过作于点，
，平分，，
，
在△中，，，
故答案为：10，5．
13．如图，矩形中，，，点是矩形内一个动点，且满足，点是内一个点，则的最小值为 ．
【解答】解：如图，作交于点，
由题意得：，
，
点在与平行，且距离为2的直线上运动，
将绕点逆时针旋转得△，连接，
则是等边三角形，
，，
当、、、共线，且时，最小，其值为的长，
设交于点，
，，
，
，
最小值为，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
14．解不等式组：，并写出它的正整数解．
【解答】解：解不等式得，
．
解不等式得，
，
所以不等式组的解集为：．
正整数解为：1，2，3．
15．计算：（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解方程：．
【解答】解：（1）原式
；
当时，
原式．
（2），
去分母，得：
，
去括号，得：
，
移项、合并同类项，得：
，
经检验，是原方程的增根，
故原方程无解．
16．如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△，请画出△（其中，，的对应点分别为，，；
（2）再将线段绕点顺时针旋转得到线段，请画出线段；
（3）在网格内描出两个格点，，请画出直线，使得直线垂直平分线段．
【解答】解：（1）如图，△即为所求；
（2）如图，线段即为所求；
（3）如图，直线即为所求．
17．如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为48．
（1）求证：；
（2）过点作于点，若，求的面积．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
、分别平分、，
，，
，
又，
，
；
（2）解：如图，过点作于，
平分，，，
，
平行四边形的周长为48，
，
．
18．中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用720元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买6本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元；
（2）为筹备“国际数学节3月14日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按九折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少．
【解答】解：（1）设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
（2）设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，
根据题意得：，
解得：．
设购买这两种图书共花费元，则，
，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，此时．
答：当购买106本《孙子算经》、54本《周髀算经》时，总费用最少．
19．
【解答】（1）解：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域，
则图1中的四角裁去小正方形的边长为，
则收纳盒的宽小正方形的边长，
由图2知，设小正方形的边长为 ，
由题意可得：，
解得：，
体积为，
答：储物盒的容积为6552立方厘米；
（2）设小长方形的宽为 ，，长为，
由题意可得：，
解得：
小长方形的宽为
当，之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为，
玩具机械狗也不能完全放入该储物；
综上所述：玩具机械狗不能完全放入该储物．
答：玩具机械狗不能完全放入该储物．
20．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边中，是边上一点（不含端点，，是的外角的平分线上一点，且．求证：．
（1）点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，请完成剩余证明过程；
（2）拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，，是正方形的外角的平分线上一点，且，求证：．
（3）思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明、（2）中证明是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明．
【解答】（1）证明：，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图③，延长到，使，连接、，
，，
△是等腰直角三角形，
，
是正方形的外角的平分线上一点，
，
、、三点共线，
，，，
△△，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：选（1），证明如下：
由等边三角形的性质，外角平分线，可得，，
如图①，延长到，使，连接，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
．工程队
每天施工面积（单位：
施工总面积（单位：
施工时间（单位：天）
甲
1800
两个工程队同时完成工作任务
乙
1200
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1
如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．
素材2
如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为 长方形纸板．
长方形纸板①
长方形纸板②


小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式
长方形纸板②制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．
将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标1
熟悉材料
熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽的为 ．
目标2
利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用
按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
储物收纳
按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
工程队
每天施工面积（单位：
施工总面积（单位：
施工时间（单位：天）
甲
1800
两个工程队同时完成工作任务
乙
1200
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1
如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．
素材2
如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为 长方形纸板．
长方形纸板①
长方形纸板②


小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式
长方形纸板②制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．
将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标1
熟悉材料
熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽的为 40 ．
目标2
利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用
按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
储物收纳
按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．