安徽省鼎尖教育联考2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（Word版附解析）

这是一份安徽省鼎尖教育联考2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（Word版附解析），共21页。

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知平面向量，，则是的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 腰鼓是中国汉族古老的民族打击乐器，腰鼓为木制鼓身，两端蒙牛皮，腰鼓的鼓身中间粗，两端细．一种腰鼓长为40cm，两侧鼓面直径为20cm，中间最粗处直径为24cm，若将该腰鼓近似看作由两个相同圆台拼接，则腰鼓的体积约为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（ ）
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
8. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于随机事件和事件，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若与互斥，则B. 若与互斥，则
C. 若与相互独立，则D. 若与相互独立，则
10. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值
11. 在菱形中，边长为，，将沿对角线折起得到四面体，记二面角的大小为，则下列结论正确的是（ ）
A. 对任意，都有
B. 存在，使平面
C. 当时，直线与平面所成角为
D. 当时，四面体外接球表面积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，2023年5月至2024年4月，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据的上四分位数是______．
13. 将函数的图象向右平移后得到的图象关于原点对称，则的最小正值为______．
14. 若用表示不大于x的最大整数，用表示不小于x的最小整数，那么方程的最大整数解为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为推动安徽省乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，安徽省实施精品示范工程打造“皖美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设“皖美”乡村新风景，打造全国知名乡村旅游目的地．某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全省范围内调查了100个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照50,60，60,70，，80,90，90,100分组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求的值，并求这100个休闲旅游乡村评分的平均分；
（2）若评分在80分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在80,90为“推荐指数四颗星”，评分在90,100为“推荐指数五颗星”．兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值得推荐的旅游乡村”中抽取7个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这7个乡村中随机抽取2个乡村在校园内做展板宣传，求这2个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率．
16. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正弦值．
17. 的内角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角；
（2）若，．平分交于点，求的长．
18. 如图，在四棱锥中，，，底面是直角梯形，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：；
（3）求平面与平面所成锐二面角的正切值．
19. 已知定义在R上的函数，．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若对，恒成立，求实数m取值范围；
（3）若函数，实数a、b、c满足，，求c的最小值．
（参考公式：如果a、b、c是正实数，那么，当且仅当时，等号成立．）高二数学
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对数的运算可得，再按交集的定义求解即可.
【详解】由，可得，
所以，
所以.
故选：C.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程组，求出、，再计算其模.
【详解】设，因为，
即，即，
所以，解得，即，所以.
故选：B
3. 已知平面向量，，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的数量积的坐标表示公式、平面向量共线的坐标表示公式，结合辅助角公式、正弦的二倍角公式、充分性、必要性的定义进行判断即可.
详解】若，则有
若，则有，或，解得：或，
显然由可以推出，但由不一定能推出，
因此是的充分不必要条件，
故选：A
4. 腰鼓是中国汉族古老的民族打击乐器，腰鼓为木制鼓身，两端蒙牛皮，腰鼓的鼓身中间粗，两端细．一种腰鼓长为40cm，两侧鼓面直径为20cm，中间最粗处直径为24cm，若将该腰鼓近似看作由两个相同圆台拼接，则腰鼓的体积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆台的体积公式计算可得.
【详解】依题意圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，
所以腰鼓的体积.
故选：D
5. 函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数单调性的性质，结合指数函数和二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增，
所以函数在区间上也是单调递增，
因为二次函数的对称轴为，
所以有，即，
故选：A
6. 正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据组合的定义，结合正六边形和等腰梯形的性质、古典概型运算公式进行求解即可.
【详解】正六边形六个顶点中任取四个点，不同方法共有种方法，
在如图所示正六边形中，
显然四边形、、、 、、是等腰梯形，共个，
因此正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是，
故选：D
7. 是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（ ）
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
【答案】C
【解析】
【分析】首先推导出，从而得到，再根据计算可得.
【详解】因为，即，
所以
，
又，所以，
所以.
故选：C
8. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先对式子进行化简求出，再根据二倍角公式即可求解.
【详解】解：，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
又，
解得： ，(舍)，
.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于随机事件和事件，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若与互斥，则B. 若与互斥，则
C. 若与相互独立，则D. 若与相互独立，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.
【详解】对于A：若与互斥，则，故A错误；
对于B：若与互斥，则，故B正确；
对于C：若与相互独立，则，故C正确；
对于D：若与相互独立，
则，故D错误.
故选：BC
10. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D.
【详解】因为正数，满足，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
解得，所以，故的最大值为，故A正确；
，
即，又，所以，
所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确；
由可得，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误；
，当且仅当，即，时等号成立，故D正确.
故选：ABD
11. 在菱形中，边长为，，将沿对角线折起得到四面体，记二面角大小为，则下列结论正确的是（ ）
A. 对任意，都有
B. 存在，使平面
C. 当时，直线与平面所成角为
D. 当时，四面体外接球表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】取的中点，连接、，则，，所以为二面角的平面角，再证明平面，即可判断A；推出矛盾，即可判断B；证明平面平面，则为直线与平面所成角，即可判断C；求出外接球的半径，即可判断D.
【详解】取的中点，连接、，依题意可得，，
则为二面角的平面角，
又，平面，所以平面，又平面，
所以，故A正确；
在菱形中，边长为，，所以，
若平面，平面，则，
所以，与矛盾，故B错误；
因为平面，又平面，
所以平面平面，
所以为直线与平面所成角，
当，则，即当时，直线与平面所成角为，故C正确；

在中，时，取、的外心、，
则，，过、分别作、的垂线交于点，
则为四面体外接球球心，连接，则，
设外接球的半径为，则，
所以四面体外接球的表面积，故D正确.
故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，2023年5月至2024年4月，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据的上四分位数是______．
【答案】
【解析】
【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位计算规则计算可得.
【详解】将数据从小到大排列依次：，，，，，，，，，，，，
又，所以上四分位数是.
故答案为：
13. 将函数的图象向右平移后得到的图象关于原点对称，则的最小正值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】首先求出平移后的函数解析式，再根据余弦函数的性质求出的取值.
【详解】将函数的图象向右平移得到，
又的图象关于原点对称，所以，
解得，
所以的最小正值为.
故答案为：
14. 若用表示不大于x的最大整数，用表示不小于x的最小整数，那么方程的最大整数解为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据整数除以的余数，结合题中定义分类讨论进行求解即可.
【详解】当时，由，
此时方程有正整数解，因此不用讨论是负整数的情况，
当时，由；
当时，由；
当时，由；
当时，由；
当时，由，
由上可知当时，方程的最大整数解为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据的形式分类讨论.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为推动安徽省乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，安徽省实施精品示范工程打造“皖美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设“皖美”乡村新风景，打造全国知名的乡村旅游目的地．某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全省范围内调查了100个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照50,60，60,70，，80,90，90,100分组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求的值，并求这100个休闲旅游乡村评分的平均分；
（2）若评分在80分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在80,90为“推荐指数四颗星”，评分在90,100为“推荐指数五颗星”．兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值得推荐的旅游乡村”中抽取7个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这7个乡村中随机抽取2个乡村在校园内做展板宣传，求这2个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率．
【答案】（1），分
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程求出，再根据平均数计算公式求出平均数；
（2）首先求出“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”各抽取的个数，再由古典概型的概率公式计算可得.
【小问1详解】
由频率分布直方可知，解得；
则这100个休闲旅游乡村评分的平均分为：
；
【小问2详解】
“推荐指数四颗星”乡村数为（个）；
“推荐指数五颗星”乡村数为（个）；
按照分层抽样，可知“推荐指数四颗星” 乡村抽取个，
可知“推荐指数五颗星” 乡村抽取个，
从个乡村中随机抽取个乡村共有种情形，
其中“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个有种情形，
所以“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率.
16. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.
【小问1详解】
连接交于，
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点，
因此有，而平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
由（1）可知：，
因此异面直线与所成角为（或其补角），
因为是正方形，所以，
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，因此有，
在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，
因此有，
由余弦定理可知：，
因此.
17. 的内角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角；
（2）若，．平分交于点，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）首先利用余弦定理求出，再由等面积法计算可得.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理，又，所以；
【小问2详解】
在中，由余弦定理可得，
即，解得或（舍去），
又，，
所以，解得.
18. 如图，在四棱锥中，，，底面是直角梯形，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：；
（3）求平面与平面所成锐二面角正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接、，即可得到，再说明，即可得到平面，从而得证；
（2）由（1）可知，再说明，得到平面，即可得证；
（3）延长与延长线相交于点，连接，过作于点，连接，由面面垂直的性质得到平面，则，即可得到平面，则是二面角的平面角，求出的长度，再由锐角三角函数计算可得.
【小问1详解】
取的中点，连接、，
因为，所以，又，所以，
因为底面是直角梯形，，，
所以，又，所以，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
由（1）可知平面，平面，所以，
在梯形中，，，，
所以，所以，
又，所以，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以；
【小问3详解】
延长与延长线相交于点，连接，过作于点，连接，
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以是二面角的平面角，
因为且，所以为的中点，又为边长为的等边三角形，
所以在中，，，所以，
所以，
又平面，平面，所以，
在中，，
所以平面与平面所成锐二面角的正切值为.
19. 已知定义在R上的函数，．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若对，恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若函数，实数a、b、c满足，，求c的最小值．
（参考公式：如果a、b、c是正实数，那么，当且仅当时，等号成立．）
【答案】（1）奇函数，证明详见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义证得是奇函数.
（2）由分离常数，利用换元法法，结合指数函数以及函数的单调性等知识求得的取值范围.
（3）先求得ℎx，根据已知条件列方程，求得关于的表达式，利用基本不等式求得的最小值.
【小问1详解】
是奇函数，证明如下：
的定义域是，，
所以是奇函数.
【小问2详解】
依题意，对，恒成立，
即对，恒成立，
即对，恒成立，
令，
ℎx在1,2上单调递增，所以，即，
令，则，
所以，根据对钩函数的性质可知，
函数在区间上单调递增，，
所以.
【小问3详解】
，
依题意，，即，
将代入得，
整理得，
当且仅当时等号成立，
由两边取以为底的对数得，
所以的最小值是.
【点睛】判断函数的奇偶性，主要根据奇偶性的定义，由f−x=−fx或f−x=fx来进行求解，求解过程中要注意函数的定义域关于原点对称.求解含参数的不等式恒成立问题，可以考虑利用分离参数法来进行求解.