人教版（2024）七年级下册第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组练习题

这是一份人教版（2024）七年级下册第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组练习题，共32页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4196" 【题型1 二元一次方程（组）的概念辨析】 PAGEREF _Tc4196 \h 1
\l "_Tc20539" 【题型2 根据二元一次方程（组）的解求字母的值】 PAGEREF _Tc20539 \h 2
\l "_Tc30912" 【题型3 二元一次方程组的一般解法】 PAGEREF _Tc30912 \h 3
\l "_Tc30407" 【题型4 换元法解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc30407 \h 4
\l "_Tc18141" 【题型5 判断二元一次方程组的解的情况】 PAGEREF _Tc18141 \h 5
\l "_Tc9550" 【题型6 已知一个方程组的解求另一个方程组的解】 PAGEREF _Tc9550 \h 5
\l "_Tc22096" 【题型7 同解方程组中求字母的值】 PAGEREF _Tc22096 \h 6
\l "_Tc29945" 【题型8 二元一次方程有唯一解】 PAGEREF _Tc29945 \h 6
\l "_Tc32739" 【题型9 二元一次方程组的错解和遮挡问题】 PAGEREF _Tc32739 \h 6
\l "_Tc30372" 【题型10 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】 PAGEREF _Tc30372 \h 7
【知识点1 二元一次方程（组）的概念】
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
【题型1 二元一次方程（组）的概念辨析】
【例1】（2023·上海·七年级期末）下列方程组中，二元一次方程组有（ ）
①4x+y=2x−2y=−3；②2x−y=1y+z=1；③x=3y−5=0；④x−2y2=3x+3y=1．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式1-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）下列方程中，是二元一次方程的为（ ）
A．3x+2=−7B．x+3=5yC．1x−yD．23xy=1
【变式1-2】（2023春·云南楚雄·七年级统考期末）若mx−3y=2x−7是关于x,y的二元一次方程，则m满足的条件是（ ）
A．m≠0B．m≠2C．m≠−1D．m≠3
【变式1-3】（2023春·浙江·七年级专题练习）若方程组x+ya−2=0a−3x+9y=0是二元一次方程组，求a的值．
【知识点2 二元一次方程（组）的解】
二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
【题型2 根据二元一次方程（组）的解求字母的值】
【例2】（2023春·四川泸州·七年级统考期末）若x=3y=2是关于x，y的二元一次方程ax+by=17的解，其中a，b是正整数，则a+b的可能取值为（ ）
A．4B．5C．7D．9
【变式2-1】（2023春·四川南充·七年级校考期末）关于x，y的方程组2x−y=mx+my=n的解是x=1y=3，则m+n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2-2】（2023春·浙江嘉兴·七年级统考期末）若二元一次方程组2x−y=−2018−x+2y=−2017的解为x=ay=b，则a＋b的值为 ．
【变式2-3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期末）若x=ay=b是方程3x+y=1的一个解，则9a+3b+4的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【知识点3 二元一次方程组的解法】
1.代入消元法
①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；
②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值；
⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解.
2.加减消元法
①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等；
②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，
⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解.
【题型3 二元一次方程组的一般解法】
【例3】（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）解方程组：
(1)2x+y=4x=y−1；
(2)3x−y=135x+2y=7．
【变式3-1】（2023春·湖北咸宁·七年级统考期末）解方程组：①x=2y3x−5y=9②4x−2y=73x+2y=10③4x+5y=92x−3y=7④x+y=03x−4y=1比较适宜的方法是（ ）
A．①②用代入法，③④用加减法B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法D．①④用代入法，②③用加减法
【变式3-2】（2023春·山西阳泉·七年级统考期末）下面是小希同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程组：x+3y=1, ①3x+y=−5. ②
现有两种思路，思路一：第一步将①转化为用含y的代数式表示x，得到方程③；第二步将③代入②，可消去未知数x．
思路二：第一步给①×3，得到方程③；第二步用③−②，可消去未知数x．
任务：
(1)我选择思路_____，该思路解二元一次方程组的方法为____________________；
(2)按（1）中选择的思路，完成此方程组的解题过程；
(3)上述解二元一次方程组过程中体现的数学思想是_____________________．
A．转化 B．公理化 C．演绎 D．数形结合
【变式3-3】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）解方程组3x4+2y5=31202x3−3y5=−815
【题型4 换元法解二元一次方程组】
【例4】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）先阅读，再解方程组．
解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②时，可由①得x−y=1③，然后再将③代入②，得4×1−y=5，
解得y=−1，从而进一步得x=0y=−1这种方法被称为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组2x−3y+2=05−2x+3y7+2y=9
【变式4-1】（2023春·山西忻州·七年级统考期末）综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：4x+3y3+6x−y8=84x+3y6+6x−y2=11．
观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体，把(6x−y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设4x+3y=m，6x−y=n，则原方程组可化为__________，解关于m，n的方程组，得m=18n=16，
所以4x+3y=186x−y=16，解方程组，得__________．
探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13．
【变式4-2】（2023春·吉林长春·七年级长春市第五十二中学校考期中）阅读材料：解方程组x−y−5=0①3x−y+2y=9②时，可由①得x−y=5③，然后再将③代入②，得3×5+2y=9，解得y=−3，将y=−3代入①可求得x=2，从而求得方程组的解为x=2y=−3，这种解方程组的方法被称为“整体代入法”．
利用上述方法解方程组：3x+y+1=03x+y−67+2y=7．
【变式4-3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）先阅读下列材料；再解决相关问题：
解方程组a−1+2b+2=62a−1+b+2=6
解：设a−1=x，b+2=y，原方程组可转化为x+2y=62x+y=6
解方程组得x=2y=2，即a−1=2b+2=2，所以a=3b=0．此种解方程组的方法叫换元法．
(1)如果用换元法解方程组：1m+1n=2,1m−1n=7，可以设x=______，y=______，则该方程组可以转化为关于x、y的方程组：______；
(2)用换元法解方程组：2a3−1+3b5+2=7,5a3−1−2b5+2=8
【题型5 判断二元一次方程组的解的情况】
【例5】（2023春·上海浦东新·七年级校考期中）k、b为何值时，关于x、y方程组y=kx+by=3k−1x+2有唯一解？无解？有无数解？
【变式5-1】（2023春·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考阶段练习）如果关于x，y的方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解，那么a,b,c的值应满足的条件是( )
A．a≠bB．b≠cC．a≠cD．a≠c且c≠1
【变式5-2】（2023春·七年级课时练习）若方程组y=kx+by=3k−1x+2有无穷多组解，则2k+b2的值为
【变式5-3】（2023春·浙江·七年级期中）已知关于x、y的二元一次方程组3x+5y=63x+ky=10给出下列结论：当k=5时，此方程组无解；若此方程组的解也是方程6x+15y=16的解，则k=10；无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（x、y均为整数），其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【题型6 已知一个方程组的解求另一个方程组的解】
【例6】（2023春·湖南怀化·七年级溆浦县第一中学校考期中）已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=2y=−1，则关于x，y的方程组a1(x+2022)+b1(y−2022)=c1a2(x+2022)+b2(y−2022)=c2的解是 ．
【变式6-1】（2023春·福建泉州·七年级校联考期中）若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=−6y=4，则关于x，y的方程组3a1x+4b1y=5c13a2x+4b2y=5c2的解是 ．
【变式6-2】（2023春·湖南·七年级期末）若关于x，y的方程组4x+1+3ax−2y=16−bx+1+2x−2y=15（a，b是常数）的解为x=3y=5，则方程组4x+3ay=16−bx+2y=15的解为（ ）
A．x=4y=−7B．x=2y=−7C．x=2y=−4D．x=4y=−4
【变式6-3】（2023春·福建泉州·七年级泉州七中校考期中）已知关于x，y的方程组ax+by=10mx−ny=8的解是x=1y=2，则关于x，y的方程组12ax+y+13bx−y=1012mx+y−13nx−y=8的解为（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=1C．x=4y=−2D．x=3y=2
【题型7 同解方程组中求字母的值】
【例7】（2023春·山东泰安·七年级统考期末）已知方程组5x+y=3px+5y=4和x−2y=55x+qy=1有相同的解，则p，q的值为（ ）
A．p=1q=2B．p=−4q=−6C．p=−6q=2D．p=14q=2
【变式7-1】（2023春·陕西西安·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组ax+3y=74x+y=9和−x+5y=35x+by=8同解，则a+b= ．
【变式7-2】（2023春·湖南常德·七年级统考期中）已知关于x，y的方程组mx+2ny=4x+y=1与x−y=3nx+m−1y=3有相同的解，
(1)求这个相同的解；
(2)求m、n的值；
(3)小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解，这句话对吗？请你说明理由．
【变式7-3】（2023春·四川自贡·七年级统考期末）下列方程中，与方程组x+y=52x−y=4同解的是（ ）
A．x+y=5B．2x−y=4
C．x+y−52+2x−y−4=0D．2x−y−4x+y−5=0
【题型8 二元一次方程有唯一解】
【例8】（2023春·浙江·七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程(a−2)x+(a+1)y+8−a=0．无论a取什么值时，方程都有一个公共的解，则这个公共解是（ ）
A．x=3y=−2B．x=2y=−1C．x=4y=6D．x=4y=−9
【变式8-1】（2023春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的二元一次方程(3a+2)x−(2a−3)y−11−10a=0，无论a取何值，方程都有一个固定的解，则这个固定解为 ．
【变式8-2】（2023春·福建龙岩·七年级校考期中）无论k取何值，等式（2x+3y-1）-2k（-4y+x+16）=0恒成立，则x，y要满足的条件是 ．
【变式8-3】（2023秋·山东枣庄·七年级校考期末）在关于m，n的方程m+2n−8+λ4m+3n−7=0中，能使λ无论取何值时，方程恒成立的m，n的和为 ．
【题型9 二元一次方程组的错解和遮挡问题】
【例9】（2023春·江苏·七年级专题练习）马虎的小李同学在解方程组y=kx+by=2x−1的过程中，错把b看成了8，他的其他解答过程没有错，解得此方程组的解为x=1y=1；而粗心的小杨同学把方程组抄成了y=kx+by=2x+1，他的其他解答过程也没有错，解得此方程组的解为x=3y=7，则题目中的b= ．
【变式9-1】（2023春·河南南阳·七年级统考期中）小刚解出了方程组3x−y=32x+y=Δ的解为x=4y=□．因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组和解中的两个数，则Δ、□分别为 ．
【变式9-2】（2023春·河南洛阳·七年级偃师市实验中学校考期末）已知▲x+•y=1□x−7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=−1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=−2y=1．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．
【变式9-3】（2023春·江西·七年级校考阶段练习）已知方程组2x+my=10 ①nx−2y=−6 ②，小聪由于看错了方程①中的系数m，得到方程组的解为x=26y=42；小明由于看错了方程②中的系数n，得到方程组的解为x=14y=−18；请你根据上述条件求原方程组的解．
【题型10 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】
【例10】（2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）若方程组3x−y=4k−102x+6y=k的解满足x+y=2022，则k等于 ．
【变式10-1】（2023春·广西贵港·七年级统考期中）若关于x、y的方程组2x+y=1−3k①x+2y=2②的解互为相反数，则k的值为（ ）
A．k=−1B．k=0C．k=1D．k=2
【变式10-2】（2023春·陕西咸阳·七年级统考期中）已知关于x,y的方程3x−2y=2k+1和y−2x=4的公共解满足x−y=3，则 k= ．
【变式10-3】（2023春·福建厦门·七年级厦门外国语学校校考期末）如果关于未知数x和y的二元一次方程组ax+by=2ex+fy=1（abef≠0）的解满足：x+2y=5，那么关于未知数x1和y1的二元一次方程组2ax1+by1=42ex1+fy1=2的解满足：x1+y1=（ ）
A．−20B．2C．5D．10
专题8.1 二元一次方程组的解法【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4196" 【题型1 二元一次方程（组）的概念辨析】 PAGEREF _Tc4196 \h 1
\l "_Tc20539" 【题型2 根据二元一次方程（组）的解求字母的值】 PAGEREF _Tc20539 \h 3
\l "_Tc30912" 【题型3 二元一次方程组的一般解法】 PAGEREF _Tc30912 \h 6
\l "_Tc30407" 【题型4 换元法解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc30407 \h 9
\l "_Tc18141" 【题型5 判断二元一次方程组的解的情况】 PAGEREF _Tc18141 \h 12
\l "_Tc9550" 【题型6 已知一个方程组的解求另一个方程组的解】 PAGEREF _Tc9550 \h 14
\l "_Tc22096" 【题型7 同解方程组中求字母的值】 PAGEREF _Tc22096 \h 16
\l "_Tc29945" 【题型8 二元一次方程有唯一解】 PAGEREF _Tc29945 \h 18
\l "_Tc32739" 【题型9 二元一次方程组的错解和遮挡问题】 PAGEREF _Tc32739 \h 20
\l "_Tc30372" 【题型10 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】 PAGEREF _Tc30372 \h 23
【知识点1 二元一次方程（组）的概念】
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
【题型1 二元一次方程（组）的概念辨析】
【例1】（2023·上海·七年级期末）下列方程组中，二元一次方程组有（ ）
①4x+y=2x−2y=−3；②2x−y=1y+z=1；③x=3y−5=0；④x−2y2=3x+3y=1．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意；
②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意；
③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意；
④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
【变式1-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）下列方程中，是二元一次方程的为（ ）
A．3x+2=−7B．x+3=5yC．1x−yD．23xy=1
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
【详解】解：A．3x+2=−7只有一个未知数，故A选项不符合题意；
B．x+3=5y，B选项符合题意；
C．1x不是整式，且没有等号，故C选项不符合题意；
D．23xy的次数是2，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·云南楚雄·七年级统考期末）若mx−3y=2x−7是关于x,y的二元一次方程，则m满足的条件是（ ）
A．m≠0B．m≠2C．m≠−1D．m≠3
【答案】B
【分析】首先把所给的方程化为m−2x−3y+7=0，然后根据二元一次方程的定义可得x和y的系数不为零，即可求得m的取值范围．
【详解】解：∵mx−3y=2x−7，
∴m−2x−3y+7=0，
根据二元一次方程的定义可得：
∴m−2≠0，
∴m≠2，
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·浙江·七年级专题练习）若方程组x+ya−2=0a−3x+9y=0是二元一次方程组，求a的值．
【答案】−3或3或2或−2
【分析】根据二元一次方程组的定义得到a−2=1或a−2=0，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值．
【详解】解：∵方程组是二元一次方程组，
∴a−2=1或a−2=0，
∴a=−3或3或2或−2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
【知识点2 二元一次方程（组）的解】
二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
【题型2 根据二元一次方程（组）的解求字母的值】
【例2】（2023春·四川泸州·七年级统考期末）若x=3y=2是关于x，y的二元一次方程ax+by=17的解，其中a，b是正整数，则a+b的可能取值为（ ）
A．4B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】把x=3y=2代入二元一次方程ax+by=17得3a+2b=17，再根据a，b是正整数，可得a、b值，据此即可解答．
【详解】解：把x=3y=2代入二元一次方程ax+by=17，得
3a+2b=17，
∵a，b是正整数，
∴a=1b=7或a=3b=4或a=5b=1，
∴a+b=8或7或 6，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和求二元一次方程的整数解，理解方程解的意义是解答本题的关键．
【变式2-1】（2023春·四川南充·七年级校考期末）关于x，y的方程组2x−y=mx+my=n的解是x=1y=3，则m+n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】把x与y的值代入方程计算求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：把x=1y=3代入方程组得：2x−y=mx+my=n，
解得：m=−1，n=−2，
则原式=−1−2=−3=3，
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解和绝对值，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
【变式2-2】（2023春·浙江嘉兴·七年级统考期末）若二元一次方程组2x−y=−2018−x+2y=−2017的解为x=ay=b，则a＋b的值为 ．
【答案】-4035
【分析】方程组的两个方程相加，即可得出x+y=-4035，代入求出即可．
【详解】解：2x−y=−2018①−x+2y=−2017②，
①+②得：x+y=-4035，
∵二元一次方程组2x−y=−2018−x+2y=−2017的解为x=ay=b，
∴a+b=-4035，
故答案为：-4035．
【点睛】题考查了解二元一次方程组和二次一次方程组的解，能选择适当的方法解二元一次方程组是解此题的关键．
【变式2-3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期末）若x=ay=b是方程3x+y=1的一个解，则9a+3b+4的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】把方程的解代入得3a+b=1，从而确定9a+3b=3，整体代入计算即可．
【详解】解：∵x=ay=b是方程3x+y=1的一个解，
∴3a+b=1，
∴9a+3b=3，
∴9a+3b+4= 7，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义，即使得二元一次方程左右相等的一组未知数的值，熟练掌握定义，灵活变形计算是解题的关键．
【知识点3 二元一次方程组的解法】
1.代入消元法
①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；
②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值；
⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解.
2.加减消元法
①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等；
②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，
⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解.
【题型3 二元一次方程组的一般解法】
【例3】（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）解方程组：
(1)2x+y=4x=y−1；
(2)3x−y=135x+2y=7．
【答案】(1)x=1y=2
(2)x=3y=−4
【分析】（1）利用代入消元法，把②代入①求出y的值，再将y的值代入②求出x的值即可；
（2）利用加减消元法，①×2得出的式子再加②即可求出x的值，再将x的值代入①求出y的值即可．
【详解】（1）解：2x+y=4①x=y−1②，
把②代入①得：2y−1+y=4，
解得：y=2，
把y=2代入②得：x=2−1=1，
故原方程组的解是：x=1y=2；
（2）3x−y=13①5x+2y=7②，
①×2得：6x−2y=26③，
②+③得：11x=33，
解得：x=3，
把x=3代入①得：9−y=13，
解得：y=−4，
故原方程组的解是：x=3y=−4 ．
【点睛】本题主要考查代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
【变式3-1】（2023春·湖北咸宁·七年级统考期末）解方程组：①x=2y3x−5y=9②4x−2y=73x+2y=10③4x+5y=92x−3y=7④x+y=03x−4y=1比较适宜的方法是（ ）
A．①②用代入法，③④用加减法B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法D．①④用代入法，②③用加减法
【答案】D
【分析】根据代入消元法和加减消元法的特性选择适宜方法，转化一元一次方程，即可解得方程组的解．
【详解】解：①中的第一个方程为x=2y，显然可用代入法；
②中的y的系数互为相反数，显然用加减法；
③中的第二个方程可以乘以2得4x−6y=14，即可用加减法进行消元；
④中的第一个方程可以转化为x=−y，即可用代入法进行消元．
①④用代入法，②③用加减法选第二个答案．
故答案选 D．
【点睛】根据代入消元法和加减消元法的定义，细心观察方程组的特点，灵活选择简便方法是解题的关键．是否熟练掌握代入消元法（即用其中一个未知数表示另一个未知数，再代入其中一个方程，转化为一元一次方程，进而求解）和加减消元法（即将其中一个未知数的系数化为相同或相反时，用加减法即可达到消元的目的，转化为一元一次方程）是解题的重点．
【变式3-2】（2023春·山西阳泉·七年级统考期末）下面是小希同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程组：x+3y=1, ①3x+y=−5. ②
现有两种思路，思路一：第一步将①转化为用含y的代数式表示x，得到方程③；第二步将③代入②，可消去未知数x．
思路二：第一步给①×3，得到方程③；第二步用③−②，可消去未知数x．
任务：
(1)我选择思路_____，该思路解二元一次方程组的方法为____________________；
(2)按（1）中选择的思路，完成此方程组的解题过程；
(3)上述解二元一次方程组过程中体现的数学思想是_____________________．
A．转化 B．公理化 C．演绎 D．数形结合
【答案】(1)一，代入消元法（或二，加减消元法）
(2)见解析
(3)A
【分析】（1）根据自己的意愿选择思路即可；
（2）根据（1）根据中选择的思路解方程组即可；
（3）根据（3）中解方程组的过程即可得出答案．
【详解】（1）解：一，代入消元法（或二，加减消元法）；
（2）解：思路一：由①得：x=1−3y③，
将③代入②得：3(1−3y)+y=−5，
解得：y=1；
将y=1代入③，得x=−2，
所以原方程组的解为x=−2y=1，
思路二：①×3，得3x+9y=3③，
③−②，得8y=8，
解得：y=1，
将y=1代入①，得x=−2，
所以原方程组的解为x=−2y=1；
（3）解：根据（2）中解二元一次方程组中体现的数学思想是转化，
故答案为：A．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）解方程组3x4+2y5=31202x3−3y5=−815
【答案】x=1y=2
【分析】先将原方程组化简，使得含未知数的各项系数均为整数，再将化简后的一个方程进行变形，然后用代入消元法进行求解．
【详解】解：原方程组化简，得15x+8y=31,①10x−9y=−8,②
由①得y=31−15x8，③
把③代入②，得10x−9×31−15x8=−8，
解这个方程，得x＝1，
把x＝1代入③，得y＝2，
所以这个方程组的解是x=1y=2
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，化简原方程组是解题的关键．
【题型4 换元法解二元一次方程组】
【例4】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）先阅读，再解方程组．
解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②时，可由①得x−y=1③，然后再将③代入②，得4×1−y=5，
解得y=−1，从而进一步得x=0y=−1这种方法被称为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组2x−3y+2=05−2x+3y7+2y=9
【答案】x=5y=4
【分析】将①变形为2x−3y=−2③，再整体代入②中，即可求出y的值．再将y的值代入③，即可求出x的值，方程组得解．
【详解】解：2x−3y+2=0①5−2x+3y7+2y=9②
由①得，2x−3y=−2③，
代入②得5+27+2y=9，
解得y=4，
把y=4代入③得，2x−3×4=−2，
解得x=5．
故原方程组的解为x=5y=4．
【点睛】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，掌握“整体代入法”的步骤是解题关键．
【变式4-1】（2023春·山西忻州·七年级统考期末）综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：4x+3y3+6x−y8=84x+3y6+6x−y2=11．
观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体，把(6x−y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设4x+3y=m，6x−y=n，则原方程组可化为__________，解关于m，n的方程组，得m=18n=16，
所以4x+3y=186x−y=16，解方程组，得__________．
探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13．
【答案】（1）m3+n8=8m6+n2=11，x=3y=2；（2）x=3y=2
【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；
【详解】解：（1）设4x+3y=m，6x−y=n，
则原方程组可化为m3+n8=8m6+n2=11，
解关于m，n的方程组，得m=18n=16，
所以4x+3y=186x−y=16，
解方程组，得x=3y=2，
故答案为：m3+n8=8m6+n2=11，x=3y=2；
（2）设2x+y=m，x−2y=n，
则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13，
解关于m，n的方程组，得m=8n=−1，
所以2x+y=8x−2y=−1，
解方程组，得x=3y=2；
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·吉林长春·七年级长春市第五十二中学校考期中）阅读材料：解方程组x−y−5=0①3x−y+2y=9②时，可由①得x−y=5③，然后再将③代入②，得3×5+2y=9，解得y=−3，将y=−3代入①可求得x=2，从而求得方程组的解为x=2y=−3，这种解方程组的方法被称为“整体代入法”．
利用上述方法解方程组：3x+y+1=03x+y−67+2y=7．
【答案】x=−53y=4
【分析】由③得：3x+y=−1，把3x+y=−1代入④可求出y，把y=4代入③即可求出x．
【详解】解：3x+y+1=0③3x+y−67+2y=7④
可由③得：3x+y=−1，
把3x+y=−1代入④得：−1−67+2y=7，解得：y=4，
把y=4代入③得：x=−53，
∴方程的解为x=−53y=4；
【点睛】本题考查新定义下的计算，读懂题意是关键．
【变式4-3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）先阅读下列材料；再解决相关问题：
解方程组a−1+2b+2=62a−1+b+2=6
解：设a−1=x，b+2=y，原方程组可转化为x+2y=62x+y=6
解方程组得x=2y=2，即a−1=2b+2=2，所以a=3b=0．此种解方程组的方法叫换元法．
(1)如果用换元法解方程组：1m+1n=2,1m−1n=7，可以设x=______，y=______，则该方程组可以转化为关于x、y的方程组：______；
(2)用换元法解方程组：2a3−1+3b5+2=7,5a3−1−2b5+2=8
【答案】(1)1m,1n，x+y=2x−y=7
(2)a=9b=−5
【分析】（1）观察方程组的特点，可以设x=1m,y=1n，即可解决问题；
（2）设x=a3−1,y=b5+2，然后根据题目提供的解方程组的方法解答即可．
【详解】（1）解：用换元法解方程组：1m+1n=2,1m−1n=7，可以设x=1m,y=1n，
则该方程组可以转化为关于x、y的方程组x+y=2x−y=7；
故答案为：1m,1n，x+y=2x−y=7；
（2）设x=a3−1,y=b5+2，
则原方程组可以转化为关于x、y的方程组2x+3y=75x−2y=8，
解这个方程组，得x=2y=1，
即a3−1=2b5+2=1，
解得a=9b=−5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的求解，正确理解题意、掌握换元法求解的方法是解题的关键．
【题型5 判断二元一次方程组的解的情况】
【例5】（2023春·上海浦东新·七年级校考期中）k、b为何值时，关于x、y方程组y=kx+by=3k−1x+2有唯一解？无解？有无数解？
【答案】当k≠12时，方程组有唯一解；当k=12，b≠2时，方程组无解；当k=12，b=2时，方程组有无数解．
【分析】两式作差，得到关于x的方程，确定此方程解得情况即可．
【详解】解：y=kx+b ①y=3k−1x+2 ②
①−②可得：kx+b=3k−1x+2，化简可得：2k−1x=b−2
（1）当2k−1≠0时，即k≠12，方程2k−1x=b−2有唯一解，即方程组y=kx+by=3k−1x+2有唯一解；
（2）当2k−1=0，b−2≠0时，即k=12，b≠2，方程2k−1x=b−2无解，即方程组y=kx+by=3k−1x+2无解；
（3）当2k−1=0，b−2=0时，即k=12，b=2，方程2k−1x=b−2有无数解，即方程组y=kx+by=3k−1x+2有无数解；
综上，当k≠12时，方程组有唯一解；当k=12，b≠2时，方程组无解；当k=12，b=2时，方程组有无数解．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解，一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解方法．
【变式5-1】（2023春·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考阶段练习）如果关于x，y的方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解，那么a,b,c的值应满足的条件是( )
A．a≠bB．b≠cC．a≠cD．a≠c且c≠1
【答案】A
【分析】先消去y，得到关于x的方程，因为有唯一解，根据方程可得出a，b，c的值的条件．
【详解】x+y=1①ax+by=c②，
②-①×b得：a−bx=c−b，
∴x=c−ba−b，
要使方程有唯一解，
则a≠b，
故选：A．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组以及解一元一次方程，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式5-2】（2023春·七年级课时练习）若方程组y=kx+by=3k−1x+2有无穷多组解，则2k+b2的值为
【答案】5
【分析】方程组有无数解，则这个方程组包含两个相同方程．
【详解】解：由题意知，方程组包含的两个方程是同一个方程等式，
∴k=3k−1，b=2，解得k=12,b=2，
∴2k+b2=1+4=5，
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，理解方程组有无数解是解题关键．
【变式5-3】（2023春·浙江·七年级期中）已知关于x、y的二元一次方程组3x+5y=63x+ky=10给出下列结论：当k=5时，此方程组无解；若此方程组的解也是方程6x+15y=16的解，则k=10；无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（x、y均为整数），其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】①将k=5代入，得到方程组3x+5y=63x+5y=10，求解即可做出判断；②解方程组3x+5y=63x+10y=10得：x=23y=45，把x=23，y=45代入6x+15y=16，即可做出判断；③解方程组3x+5y=63x+ky=10得：x=2−203k−15y=4k−5，根据k为整数即可作出判断．
【详解】解：∵当k=5时，方程组为3x+5y=63x+5y=10，此时方程组无解；故①正确；
∵解方程组3x+5y=63x+10y=10得：x=23y=45，
把x=23，y=45代入6x+15y=16，方程左右两边相等，故②正确；
∵解方程组3x+5y=63x+ky=10得：x=2−203k−15y=4k−5，
又∵k为整数，若y是整数，则k−5=4，−4，2，−2，1，−1此时x不是整数，
∴x、y不能均为整数，故③正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
【题型6 已知一个方程组的解求另一个方程组的解】
【例6】（2023春·湖南怀化·七年级溆浦县第一中学校考期中）已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=2y=−1，则关于x，y的方程组a1(x+2022)+b1(y−2022)=c1a2(x+2022)+b2(y−2022)=c2的解是 ．
【答案】x=−2020y=2021
【分析】设x+2022=my−2022=n，可得m=2n=−1，即可求解．
【详解】解：设x+2022=my−2022=n，
由a1(x+2022)+b1(y−2022)=c1a2(x+2022)+b2(y−2022)=c2得
a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，
因为方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=2y=−1，
所以m=2n=−1是方程组a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2的解，
所以x+2022=2y−2022=−1，
解得x=−2020y=2021．
故答案：x=−2020y=2021．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握用换元、整体代换方法解方程组是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·福建泉州·七年级校联考期中）若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=−6y=4，则关于x，y的方程组3a1x+4b1y=5c13a2x+4b2y=5c2的解是 ．
【答案】x=−10y=5
【分析】根据已知方程组的解，将所求方程组变形后仿照解的规律求出x与y的值即可．
【详解】解：∵方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=−6y=4，
∴−6a1+4b1=c1−6a2+4b2=c2，
∵3a1x+4b1y=5c13a2x+4b2y=5c2可变形为：35a1x+45b1y=c135a2x+45b2y=c2，
∴35x=−645y=4，
解得：x=−10y=5，
故答案为：x=−10y=5．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
【变式6-2】（2023春·湖南·七年级期末）若关于x，y的方程组4x+1+3ax−2y=16−bx+1+2x−2y=15（a，b是常数）的解为x=3y=5，则方程组4x+3ay=16−bx+2y=15的解为（ ）
A．x=4y=−7B．x=2y=−7C．x=2y=−4D．x=4y=−4
【答案】A
【分析】根据两方程组各方程间的关系，可得出方程组4x+3ay=16−bx+2y=15的解为x=3+1y=3−2×5，进而可得出结论．
【详解】解：∵关于x，y的方程组4x+1+3ax−2y=16−bx+1+2x−2y=15（a，b是常数）的解为x=3y=5，
∴方程组4x+3ay=16−bx+2y=15的解为x=3+1y=3−2×5，即x=4y=−7．
故选：A．
【点睛】本题考查了方程组的解，方程组之间的关系，熟练掌握方程组之间的关系是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·福建泉州·七年级泉州七中校考期中）已知关于x，y的方程组ax+by=10mx−ny=8的解是x=1y=2，则关于x，y的方程组12ax+y+13bx−y=1012mx+y−13nx−y=8的解为（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=1C．x=4y=−2D．x=3y=2
【答案】C
【分析】根据题意，可得：12x+y=113x−y=2，解方程组即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程组ax+by=10mx−ny=8的解是x=1y=2，
∴方程组12ax+y+13bx−y=1012mx+y−13nx−y=8的解为12x+y=113x−y=2，
解得：x=4y=−2；
故选C．
【点睛】本题考查解二元一次方程组．解题的关键是得到12x+y=113x−y=2．
【题型7 同解方程组中求字母的值】
【例7】（2023春·山东泰安·七年级统考期末）已知方程组5x+y=3px+5y=4和x−2y=55x+qy=1有相同的解，则p，q的值为（ ）
A．p=1q=2B．p=−4q=−6C．p=−6q=2D．p=14q=2
【答案】D
【分析】由题意解方程组5x+y=3x−2y=5，把求得的解代入方程组5x+qy=1px+5y=4中，即可求得结果．
【详解】解：解方程组5x+y=3x−2y=5，得：x=1y=−2，
把x=1y=−2代入5x+qy=1px+5y=4中，得5−2q=1p−10=4，
解得：p=14q=2；
故选：D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，充分理解二元一次方程组的解是本题的关键与难点．
【变式7-1】（2023春·陕西西安·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组ax+3y=74x+y=9和−x+5y=35x+by=8同解，则a+b= ．
【答案】0
【分析】由系数已知两方程组成方程组，求解得x=2y=1，分别代入含参数方程，求得参数．
【详解】解：由题意，得4x+y=9−x+5y=3
求解得，x=2y=1，
代入ax+3y=7得，2a+3=7，
解得a=2，
代入5x+by=8得，10+b=8，
解得b=−2，
∴a+b=0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查方程组解的定义，二元一次方程组的求解；理解方程组的定义是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·湖南常德·七年级统考期中）已知关于x，y的方程组mx+2ny=4x+y=1与x−y=3nx+m−1y=3有相同的解，
(1)求这个相同的解；
(2)求m、n的值；
(3)小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解，这句话对吗？请你说明理由．
【答案】(1)x=2y=−1
(2)m=6n=4
(3)对，见解析
【分析】（1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；
（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可；
（3）将（1）所求的解代入(3+a)x+(2a+1)y=5，再化简，即得出5=5，即说明这句话对．
【详解】（1）由题意可得：x+y=1x−y=3，
解得x=2y=−1；
（2）将x=2y=−1代入含有m，n的方程得：2m−2n=42n−m−1=3，
解得：m=6n=4；
（3）将x=2y=−1代入3+ax+2a+1y=5，得：
3+a×2+2a+1×−1=5，
化简得：6+2a−2a−1=5，即5=5．
所以无论a取何值，x=2y=−1都是方程3+ax+2a+1y=3的解．
【点睛】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键．
【变式7-3】（2023春·四川自贡·七年级统考期末）下列方程中，与方程组x+y=52x−y=4同解的是（ ）
A．x+y=5B．2x−y=4
C．x+y−52+2x−y−4=0D．2x−y−4x+y−5=0
【答案】C
【分析】利用方程组的定义，结合非负数的性质，有理数的乘法分别分析即可.
【详解】解：A、x+y=5是二元一次方程，有无数组解，故选项不符合；
B、2x−y=4是二元一次方程，有无数组解，故选项不符合；
C、∵x+y−52+2x−y−4=0，可得：x+y−5=02x−y−4=0，可知与原方程组同解，故选项符合；
D、∵2x−y−4x+y−5=0，∴2x−y−4=0或x+y−5=0，有无数组解，故选项不符合；
故选C.
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义，以及非负数的性质，掌握方程组的解的定义是解题的关键.
【题型8 二元一次方程有唯一解】
【例8】（2023春·浙江·七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程(a−2)x+(a+1)y+8−a=0．无论a取什么值时，方程都有一个公共的解，则这个公共解是（ ）
A．x=3y=−2B．x=2y=−1C．x=4y=6D．x=4y=−9
【答案】A
【分析】如果当a取一个确定的值时就得到一个方程，这些方程有一个公共解，说明无论a取何值，都不影响方程，即含a的项的系数相加为0．
【详解】解：方程整理为ax﹣2x＋ay＋y＋8﹣a＝0，
∴a（x＋y﹣1）﹣2x＋y＋8＝0．
∵无论a取什么值时，方程都有一个公共的解，
∴x+y−1=0−2x+y+8=0，
解得：x=3y=−2．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解与a无关得出方程组是解题关键．
【变式8-1】（2023春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的二元一次方程(3a+2)x−(2a−3)y−11−10a=0，无论a取何值，方程都有一个固定的解，则这个固定解为 ．
【答案】x=4y=1
【分析】根据题意先给a取任意两个值，然后代入，得到关于x、y的二元一次方程组，解之得到x、y的值，再代入原方程验证即可．
【详解】∵无论a取何值，方程都有一个固定的解，
∴a值可任意取两个值，
可取a=0，方程为2x+3y−11=0，
取a=1，方程为5x+y−21=0，
联立两个方程解得x=4,y=1，
将x=4,y=1代入(3a+2)x−(2a−3)y−11−10a=0，得
(3a+2)×4−(2a−3)×1−11−10a=12a+8−2a+3−11−10a=0对任意a值总成立，
所以这个固定解是x=4y=1，
故答案为：x=4y=1．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握带有参数的方程的解法是解答的关键．
【变式8-2】（2023春·福建龙岩·七年级校考期中）无论k取何值，等式（2x+3y-1）-2k（-4y+x+16）=0恒成立，则x，y要满足的条件是 ．
【答案】x=−4y=3
【分析】将等式移项，然后根据等式恒成立得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：∵2x+3y−1−2k−4y+x+16=0，
∴2x+3y−1=2k−4y+x+16，
∵无论k取何值，等式2x+3y−1−2k−4y+x+16=0恒成立，
∴2x+3y−1=0−4y+x+16=0，
解得：x=−4y=3，
故答案为：x=−4y=3．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出关于x，y的二元一次方程组是解答本题的关键．
【变式8-3】（2023秋·山东枣庄·七年级校考期末）在关于m，n的方程m+2n−8+λ4m+3n−7=0中，能使λ无论取何值时，方程恒成立的m，n的和为 ．
【答案】3
【分析】要使λ无论取何值时，方程恒成立，必须满足m+2n−8=0且4m+3n−7=0联立方程组成方程组，解方程组得出m、n即可．
【详解】解：由题意，得：m+2n−8=04m+3n−7=0 ，
解得：m=−2n=5，
∴m＋n＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是掌握方程为0的条件和根据题意正确列出二元一次方程组．
【题型9 二元一次方程组的错解和遮挡问题】
【例9】（2023春·江苏·七年级专题练习）马虎的小李同学在解方程组y=kx+by=2x−1的过程中，错把b看成了8，他的其他解答过程没有错，解得此方程组的解为x=1y=1；而粗心的小杨同学把方程组抄成了y=kx+by=2x+1，他的其他解答过程也没有错，解得此方程组的解为x=3y=7，则题目中的b= ．
【答案】28
【分析】把方程组的解为x=1y=1代入y=kx+8，求出k，把k的值代入y=kx+b中，再把方程组的解为x=3y=7代入即可求出b．
【详解】解：由题意，方程y=kx+8的解为x=1y=1，
∴1=k+8，解得k=-7，
当k=-7时，方程组y=kx+by=2x+1为y=−7x+by=2x+1，
由于该方程组的解为x=3y=7，
所以7=-21+b
∴b=28
故答案为：28．
【点睛】本题考查方程组的解和解一元一次方程．方程组的解是使方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，故可将所得方程组的解代入其中一个方程，依次求出对应的k和b．
【变式9-1】（2023春·河南南阳·七年级统考期中）小刚解出了方程组3x−y=32x+y=Δ的解为x=4y=□．因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组和解中的两个数，则Δ、□分别为 ．
【答案】17，9
【分析】把x=4代入3x−y=3中求出y，再把x，y代入另外一个不等式计算即可；
【详解】将x=4代入3x−y=3，
∴12−y=3，
∴y=9，
将x=4，y=9代入2x+y=△中，
∴△=8+9=17；
故答案是：17，9．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·河南洛阳·七年级偃师市实验中学校考期末）已知▲x+•y=1□x−7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=−1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=−2y=1．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．
【答案】2x+5y=1−2x−7y=1
【分析】设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，利用方程组解的意义列出关于a，b，c的方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】解：设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，
∵这个方程组的解是x=3y=−1，
∴3a−b=13c+7=1，
∴c=−2．
∵看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=−2y=1，
∴−2a+b=1，
∴−2a+b=13a−b=1，
解得：a=2b=5．
∴原方程组为2x+5y=1−2x−7y=1．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解以及解法，熟练掌握二元一次方程组的解的意义是解题的关键．
【变式9-3】（2023春·江西·七年级校考阶段练习）已知方程组2x+my=10 ①nx−2y=−6 ②，小聪由于看错了方程①中的系数m，得到方程组的解为x=26y=42；小明由于看错了方程②中的系数n，得到方程组的解为x=14y=−18；请你根据上述条件求原方程组的解．
【答案】x=2y=6
【分析】根据题意得到关于m、n得二元一次方程组，求出m、n的值，再代入原方程组，然后利用加减消元法解方程组，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，26n−2×42=−62×14−18m=10，
整理得：26n−84=−628−18m=10，
解得：m=1n=3，
∴原方程组为2x+y=10①3x−2y=−6②，
①×2+②得：7x=14，
解得：x=2，
将x=2代入①得：2×2+y=10，
解得：y=6，
∴方程组的解为x=2y=6．
【点睛】本题主要考查的是解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．
【题型10 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】
【例10】（2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）若方程组3x−y=4k−102x+6y=k的解满足x+y=2022，则k等于 ．
【答案】2024
【分析】用整体思想①+②，得5x+5y=5k−10，等是两边都除以5，得x+y=k−2，再根据x+y=2022 ，从而计算出k的值．
【详解】解：3x−y=4k−10①2x+6y=k②，
①+②得5x+5y=5k−10，
∴x+y=k−2．
∵x+y=2022，
∴k−2=2022，
∴k=2024．
故答案为：2024．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
【变式10-1】（2023春·广西贵港·七年级统考期中）若关于x、y的方程组2x+y=1−3k①x+2y=2②的解互为相反数，则k的值为（ ）
A．k=−1B．k=0C．k=1D．k=2
【答案】C
【分析】由①+②得x+y=1−k，由方程组的解互为相反数得x+y=0，进而可求出k=1．
【详解】2x+y=1−3k①x+2y=2②，
①+②，得
3x+3y=3−3k，
∴x+y=1−k，
∵方程组2x+y=1−3k①x+2y=2②的解互为相反数，
∴x+y=0，
∴1−k=0，
∴k=1．
故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
【变式10-2】（2023春·陕西咸阳·七年级统考期中）已知关于x,y的方程3x−2y=2k+1和y−2x=4的公共解满足x−y=3，则 k= ．
【答案】-1.
【分析】先将两个二元一次方程组成一个二元一次方程组，用含k的代数式表示x，y的值，然后将x，y的值代入x-y=3得到一个关于k的一元一次方程，解这个方程即可得出k的值.
【详解】解：由题意，得
3x−2y=2k+1y−2x=4
解得x=−2k−9y=−4k−14
∵x−y=3
∴(-2k-9)-(-4k-14)=3
解得k=-1
故答案为-1.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及一元一次方程的解法.解题的关键是解二元一次方程组时将k看作一个常数.
【变式10-3】（2023春·福建厦门·七年级厦门外国语学校校考期末）如果关于未知数x和y的二元一次方程组ax+by=2ex+fy=1（abef≠0）的解满足：x+2y=5，那么关于未知数x1和y1的二元一次方程组2ax1+by1=42ex1+fy1=2的解满足：x1+y1=（ ）
A．−20B．2C．5D．10
【答案】C
【分析】令x1=x，y1=2y，可利用换元法，将2ax1+by1=42ex1+fy1=2可变为2ax+2by=42ex+2fy=2，进一步变形为ax+by=2ex+fy=1，此时x+2y=5，则x1+y1=5，即可求解 ．
【详解】解：令x1=x，y1=2y，
将2ax1+by1=42ex1+fy1=2可变为2ax+2by=42ex+2fy=2，即ax+by=2ex+fy=1，
∵关于x、y的二元一次方程组ax+by=2ex+fy=1的解满足：x+2y=5 ，
∴x1+y1=x+2y=5 ，
故选：C ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，换元法解二元一次方程组是解题的关键．