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初中数学人教版（2024）八年级下册19.2.2 一次函数达标测试
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这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册19.2.2 一次函数达标测试，共42页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc938" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Tc938 \h 1
\l "_Tc12344" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Tc12344 \h 2
\l "_Tc20080" 【题型3 利润最大问题】 PAGEREF _Tc20080 \h 4
\l "_Tc27537" 【题型4 费用最低问题】 PAGEREF _Tc27537 \h 6
\l "_Tc17025" 【题型5 调运问题】 PAGEREF _Tc17025 \h 7
\l "_Tc12713" 【题型6 体积问题】 PAGEREF _Tc12713 \h 9
\l "_Tc19323" 【题型7 几何图形问题】 PAGEREF _Tc19323 \h 10
\l "_Tc16020" 【题型8 其他问题】 PAGEREF _Tc16020 \h 11
【题型1 行程问题】
【例1】（2022春•大足区期末）甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当乙车到达A地时，甲车距A地 150 千米．
【变式1-1】（2022•前进区校级开学）甲、乙两车从佳木斯出发前往哈尔滨，甲车先出发，1h以后乙车出发，在整个过程中，两车离开佳木斯的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）的对应关系如图所示：
（1）直接写出佳木斯、哈尔滨两城之间距离是多少km？
（2）求乙车出发多长时间追上甲车？
（3）直接写出甲车在行驶过程中经过多长时间，与乙车相距18km．
【变式1-2】（2022秋•舞钢市期末）甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发6分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟；②甲出发30分钟时，两人在C地相遇；③乙到达A地时，甲与A地相距450米，其中正确的说法有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式1-3】（2022春•南川区期末）甲、乙两运动员在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步560米，先到终点的运动员原地休息．已知甲先出发1秒，两运动员之间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系如图所示．给出以下结论：①a＝7；②b＝63；③c＝80．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③C．①②D．①③
【题型2 工程问题】
【例2】（2022•李沧区一模）李沧区海绵工程建设过程中，需要将某小区内两段长度相等的人行道改造为透水人行道，人行道绿篱改造为下沉式绿篱．现分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设人行道的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图象，请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时间段内，y与x的函数关系式；
（2）若甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务，求甲队从开始施工到完成，所铺设的人行道共是多少米．
【变式2-1】（2022春•华容县期末）某乳品公司向某地运输一批牛奶，由铁路运输每千克需运费0.60元，由公路运输，每千克需运费0.30元，另需补助600元．
（1）设该公司运输的这批牛奶为x千克，选择铁路运输时，所需运费为y1元，选择公路运输时，所需运费为y2元，请分别写出y1、y2与x之间的关系式；
（2）若公司只支出运费1500元，则选用哪种运输方式运送的牛奶多？若公司运送1500千克牛奶，则选用哪种运输方式所需用较少？
【变式2-2】（2022春•庐江县期末）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为线段OA，乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为折线BC﹣﹣CD﹣﹣DE，如图所示，从甲队开始工作时计时．
（1）直接写出乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数关系式；
（2）当甲队清理完路面时，乙队还有多少米的路面没有铺设完？
【变式2-3】（2022•无锡模拟）甲，乙两人同时各接受了300个零件的加工任务，甲比乙每小时加工的数量多，两人同时开工，其中一人因机器故障停止加工若干小时后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（小时）之间的函数关系，观察图象解决下列问题：
（1）其中一人因故障，停止加工 小时，C点表示的实际意义是 ．甲每小时加工的零件数量为 个；
（2）求线段BC对应的函数关系式和D点坐标；
（3）乙在加工的过程中，多少小时时比甲少加工75个零件？
（4）为了使乙能与甲同时完成任务，现让丙帮乙加工，直到完成．丙每小时能加工80个零件，并把丙加工的零件数记在乙的名下，问丙应在第多少小时时开始帮助乙？并在图中用虚线画出丙帮助后y与x之间的函数关系的图象．
【题型3 利润最大问题】
【例3】（2022春•遵义期末）钓鱼成为越来越多人休闲娱乐的选择，鱼密度大的鱼塘的门票在300﹣600元不等，这让爱好钓鱼的钓友们喜欢到能回鱼的鱼塘垂钓（回鱼是指钓友钓上的鱼返卖给塘主），如果鱼情和钓鱼技能好的话还能获得一些利润．欢乐鱼塘的门票为450元5小时，回鱼标准为56斤以内为12元/斤，超过56斤的部分7元/斤：云门鱼塘门票为320元5小时，回鱼标准是律按8元/斤．（斤是重量单位，1斤0.5千克），设钓友获得的利润为y元，鱼的重量为x斤．
（1）求在两家鱼塘钓鱼时y欢乐、y云门与x之间的函数关系式；
（2）如图，在平面直角坐标系中，M，N为图象的交点，m，n分别为点M，N的横坐标，写出图中m，n的值分别为 、 ；
（3）钓友会根据自己的钓鱼技能和鱼塘的回鱼标准选择不同的鱼塘垂钓，请帮钓友们分析选择在哪家鱼塘钓鱼更划算？
【变式3-1】（2022春•武汉期末）某商店销售一种产品，该产品成本价为6元/件，售价为8元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．
图中的折线ODE表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件．
（1）第25天的日销量是 件，这天销售利润是 元；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？销售期间日销售最大利润是多少元？
【变式3-2】（2022•济宁二模）某商店购进了A，B两种家用电器，相关信息如下表：
已知用6000元购进的A种电器件数与用5000元购进的B种电器件数相同．
（1）求表中m的值．
（2）由于A，B两种家用电器热销，该商店计划用不超过23000元的资金再购进A，B两种电器总件数共20件，且获利不少于13300元．请问：有几种进货方案？哪一种方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
【变式3-3】（2022•长垣市模拟）某营业厅销售3部A型号手机和2部B型号手机的营业额为10800元，销售4部A型号手机和1部B型号手机的营业额为10400元．
（1）求每部A型号手机和B型号手机的售价；
（2）该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50部，其中B型号手机的进货数量不超过A型号手机数量的3倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元/部和1800元/部，设购进A型号手机a部，这50部手机的销售总利润为W元．
①求W关于a的函数关系式；
②该营业厅购进A型号和B型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多少元？
【题型4 费用最低问题】
【例4】（2022春•前郭县期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10km的出行市场现有A、B品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2．
（1）请求出两个函数关系式．
（2）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，小明家到工厂的距离为6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
（3）直接写出第几分钟，两种收费相差1.5元．
【变式4-1】（2022春•碑林区校级期末）某校张老师寒假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠．”则：
（1）设学生数为x（人），甲旅行社收费为y甲（元），乙旅行社收费为y乙（元），两家旅行社的收费各是多少？
（2）哪家旅行社收费较为优惠？
【变式4-2】（2022春•滦南县期末）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是 元；甲复印社每张收费是 元；
（2）求出乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式，并说明一次项系数的实际意义；
（3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同；
（4）如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？
【变式4-3】（2022春•石河子期末）某种黄金饰品在甲、乙两个商店销售，甲店标价280元/克，按标价出售，不优惠，乙店标价300元/克，但若买的黄金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．
（1）分别写出到甲、乙商店购买该种黄金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系，并写出定义域；
（2）李阿姨要买一条重量不超过10克的此种黄金饰品，到哪个商店购买最合算？请说明理由．
【题型5 调运问题】
【例5】（2022•贺兰县模拟）云南某县境内发生地震，某市积极筹集救灾物资260吨从该市区运往该县甲、乙两地，若用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于132吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
【变式5-1】（2022春•扎鲁特旗期末）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；
（2）试问有无可能一天获得总租金是80050元？若有可能，请写出相应的调运方案；若无可能，请说明理由．
【变式5-2】（2022春•海淀区校级期末）某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾民安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：
（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【变式5-3】（2022春•巴南区月考）某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现要调往A县10辆，调往B县8辆，已知调运一辆农用车的费用如表：
（1）设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式．
（2）若要求总运费不超过900元．共有哪几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
【题型6 体积问题】
【例6】（2022秋•邗江区月考）某水池的容积为90m3，水池中已有水10m3，现按8m3/h的流量向水池注水．
（1）写出水池中水的体积y（m3）与进水时间t（h）之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t＝1时，求y的值；当y＝50时，求t的值．
【变式6-1】（2022春•北京期末）如图，有一个装水的容器，容器内的水面高度是10cm，水面面积是100cm2．现向容器内注水，并同时开始计时．在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加．容器注满水之前，容器内水面的高度h，注水量V随对应的注水时间t的变化而变化，则h与t，V与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，正比例函数关系
B．正比例函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，正比例函数关系
【变式6-2】（2022春•梁子湖区期末）水龙头关闭不严会造成漏水浪费，已知漏水量与漏水时间之间满足一次函数关系，八年级同学进行了以下实验：在漏水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每10分钟记录一次容器中的水量．下表是一位同学的记录结果，老师发现有一组数据记录有较大偏差，它是（ ）
A．第2组B．第3组C．第4组D．第5组
【变式6-3】（2022•宣城模拟）某容器有一个进水管和一个出水管，从某时刻开始的前4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水．已知进水管进水的速度与出水管出水的速度是两个常数，容器内水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示．则每分钟的出水量为（ ）
A．4升B．152升C．154升D．134升
【题型7 几何图形问题】
【例7】（2022春•交城县期末）菜农张大叔要用63米的篱笆围一个矩形的菜地，已知在菜地的一边AB边上留有1米宽的入口．设AB边的长为x，BC边的长为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y=63−2x2B．y=63−2x+12C．y＝63﹣2xD．y=632−12x
【变式7-1】（2022春•阿荣旗期末）已知等腰三角形周长为20
（1）写出底边长y关于腰长x的函数解析式（x为自变量）；
（2）写出自变量的取值范围；
（3）在直角坐标系中，画出函数图象．
【变式7-2】（2022秋•富民县校级期末）如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从A点出发，在正方形的边上由A⇒B⇒C⇒D运动，设运动的时间为t（s），△APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图所示，请回答下列问题：
（1）点P在AB上运动的速度为 ，在CD上运动的速度为 ；
（2）求出点P在CD上时S与t的函数关系式；
（3）t为何值时，△APD的面积为10cm2？
【变式7-3】（2022春•泰和县期末）如图1是一个大型的圆形花坛建筑物（其中AB与CD是一对互相垂直的直径），小川从圆心O出发，按图中箭头所示的方向匀速散步，并保持同一个速度走完下列三条线路：①线段OA、②圆弧A→D→B→C、③线段CO后，回到出发点．记小川所在的位置距离出发点的距离为y（即所在位置与点O之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，（注：圆周率π取近似值3）
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）当t≤2时，试求出y关于t的关系式；
（3）在沿途某处小川遇见了他的好朋友小翔并聊了两分钟的时间，然后继续保持原速回到终点O，请回答下列两小问：
①小川渝小翔的聊天地点位于哪两点之间？并求出此时他距离终点O还有多远；
②求他此行总共花了多少分钟的时间．
【题型8 其他问题】
【例8】（2022春•昌平区期末）某旅客携带x（公斤）的行李乘飞机，登机前，旅客可选择托运或快递行李，托运费y1（元）与行李质量x（公斤）的对应关系由如图所示的一次函数图象确定，下表列出了快递费y2（元）与行李质量x（公斤）的对应关系，
（1）如果旅客选择托运，求可携带的免费行李的最大质量为多少公斤？
（2）如果旅客选择快递，当1≤x≤15时，求快递费y2（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式；
（3）某旅客携带25公斤的行李，设托运m（公斤）行李（10≤m＜24，m为正整数），剩下的行李选择快递，m为何值时，总费用y的值最小，总费用的最小值是多少？
【变式8-1】（2022春•正定县期中）弹簧挂物体会伸长，测得弹簧长度y（cm）（最长为20cm），与所挂物体质量x（kg）之间有下面的关系：
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，x是自变量，y是x的函数
B．所挂物体质量为6kg时，弹簧长度为11cm
C．y与x的函数表达式为y＝8+0.5x
D．挂30kg物体时，弹簧长度一定比原长增加15cm
【变式8-2】（2022秋•和平县期末）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）之间的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，射线CD平行于x轴）．有下列说法：①从开始观察起，60天后该植物停止长高；②直线AC的函数表达式为y=15x+6；③观察第40天时，该植物的高度为14厘米；④该植物最高为15厘米．其中说法正确的是（ ）
A．①②③B．②④C．②③D．①②③④
【变式8-3】（2022•阿城区模拟）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费，设每个家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，下列叙述错误的是（ ）
A．“基础电价”是0.5元/度
B．“提高电价”是0.6元/度
C．小红家5月份用电260度的电费是132元
D．小红家4月份198元电费的用电量是129度家用电器
进价（元/件）
售价（元/件）
A
m+200
1800
B
m
1700
车 型
运往地
甲 地（元/辆）
乙 地（元/辆）
大货车
720
800
小货车
500
650
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800元
1600元
B地区
1600元
1200元
C
D
总计/t
A
200
B
x
300
总计/t
240
260
500
县名
费用
仓库
A
B
甲
40
80
乙
30
50
组别
1
2
3
4
5
时间t（min）
0
10
20
30
40
水量w（ml）
1
2.4
3.8
5.2
6.8
行李的质量x（公斤）
快递费
不超过1公斤
10元
超过1公斤但不超过5公斤的部分
3元/公斤
超过5公斤但不超过15公斤的部分
5元/公斤
x/kg
0
1
2
3
4
…
y/cm
8
8.5
9
9.5
10
…
专题19.5 一次函数的应用【八大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc938" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Tc938 \h 1
\l "_Tc12344" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Tc12344 \h 5
\l "_Tc20080" 【题型3 利润最大问题】 PAGEREF _Tc20080 \h 9
\l "_Tc27537" 【题型4 费用最低问题】 PAGEREF _Tc27537 \h 14
\l "_Tc17025" 【题型5 调运问题】 PAGEREF _Tc17025 \h 19
\l "_Tc12713" 【题型6 体积问题】 PAGEREF _Tc12713 \h 23
\l "_Tc19323" 【题型7 几何图形问题】 PAGEREF _Tc19323 \h 26
\l "_Tc16020" 【题型8 其他问题】 PAGEREF _Tc16020 \h 29
【题型1 行程问题】
【例1】（2022春•大足区期末）甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当乙车到达A地时，甲车距A地 150 千米．
【分析】由图象可知甲车从A地到B地用了4小时，进而可知甲车的速度，得出A、B两地的距离是300千米，进而得出乙车到达A地的时间，进而可得答案．
【解答】解：由图象可知，甲车从A地到B地用了4小时，
∵经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地，
∴甲车从B地到C地用12﹣4＝8（小时），乙从B地到C地用了12小时，
∵A、C两地的距离是300千米，
∴甲车的速度是300÷（8﹣4）＝75（千米/时），
∴A、B两地之间的距离是75×4＝300（千米），
∴乙车从B地到达A地需要122=6（小时），
此时甲的路程为75×6＝450（千米），
∴甲车矩A地450﹣300＝150（千米），
故答案为：150．
【变式1-1】（2022•前进区校级开学）甲、乙两车从佳木斯出发前往哈尔滨，甲车先出发，1h以后乙车出发，在整个过程中，两车离开佳木斯的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）的对应关系如图所示：
（1）直接写出佳木斯、哈尔滨两城之间距离是多少km？
（2）求乙车出发多长时间追上甲车？
（3）直接写出甲车在行驶过程中经过多长时间，与乙车相距18km．
【分析】（1）由图象直接得出结论；
（2）先求出甲、乙车的速度，设乙出发x小时追上甲车，再根据路程相等列出方程，解方程即可；
（3）设甲车出发yh与乙车相距18km，分乙车出发前和出发后两种情况，根据路程差＝18列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由图象可知，佳木斯、哈尔滨两城之间距离是360km；
（2）由图象可知，乙车速度为360÷3＝120（km/h），甲车速度为360÷（4+1）＝72（km/h），
设乙出发x小时追上甲车，
根据题意得：120x＝72（x+1），
解得x=32，
答：乙车出发32小时追上甲车；
（3）设甲车出发yh与乙车相距18km，
①乙车出发前，
由题意得72y＝18，
解得y=14；
②乙车出发后，
由题意得：|72y﹣120（y﹣1）|＝18，
解得：y=238或x=5124，
综上所述，甲车在行驶过程中经过14h或5124h或238h与乙车相距18km．
【变式1-2】（2022秋•舞钢市期末）甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发6分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟；②甲出发30分钟时，两人在C地相遇；③乙到达A地时，甲与A地相距450米，其中正确的说法有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据图象可知A、B两地相距3720米；利用速度＝路程÷时间可求出甲、乙的速度，由二者相遇的时间＝6+A、B两地之间的路程÷二者速度和，可求出二者相遇的时间，再由A、C两地之间的距离＝甲的速度×二者相遇的时间可求出A、C两地之间的距离，由A、C两地之间的距离结合甲、乙的速度，可求出乙到达A地时甲与A地相距的路程．
【解答】解：由图象可知，A、B两地相距3720米，
甲的速度为（3720﹣3360）÷6＝60（米/分钟），
乙的速度为（3360﹣1260）÷（21﹣6）﹣60＝80（米/分钟），故①说法正确；
甲、乙相遇的时间为6+3360÷（60+80）＝30（分钟），故②说法正确；
A、C两地之间的距离为60×30＝1800（米），
乙到达A地时，甲与A地相距的路程为1800﹣1800÷80×60＝450（米）．故③说法正确．
即正确的说法有3个．
故选：D．
【变式1-3】（2022春•南川区期末）甲、乙两运动员在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步560米，先到终点的运动员原地休息．已知甲先出发1秒，两运动员之间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系如图所示．给出以下结论：①a＝7；②b＝63；③c＝80．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③C．①②D．①③
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得a、b、c的值，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象知，甲的速度为7÷1＝7（米/秒），
∵乙出发70秒后到达终点，
∴乙的速度为560÷70＝8（米/秒），
∵乙出发a秒时乙追上甲，
∴8a＝7（a+1），
解得：a＝7，
故①正确；
当乙到达终点时，甲走的路程为7×（70+1）＝497（米），
∴b＝560﹣497＝63（米），
故②正确；
当乙到达终点时，甲还需要走63÷7＝9（秒），
∴c＝70+9＝79（秒），
故③错误．
∴正确的是①②．
故选：C．
【题型2 工程问题】
【例2】（2022•李沧区一模）李沧区海绵工程建设过程中，需要将某小区内两段长度相等的人行道改造为透水人行道，人行道绿篱改造为下沉式绿篱．现分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设人行道的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图象，请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时间段内，y与x的函数关系式；
（2）若甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务，求甲队从开始施工到完成，所铺设的人行道共是多少米．
【分析】（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出函数关系式；
（2）利用待定系数法分别求出甲队在整个改造工程中y与x的函数关系式和乙队在x≥6的时间内y与x的函数关系式，再联立两函数关系式成方程组，解方程组即可求出结论．
【解答】解：（1）设乙队在2≤x≤6的时间段内，y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（2，30）、（6，50）代入y＝kx+b，得：
2k+b=306k+b=50，解得：k=5b=20，
∴乙队在2≤x≤6的时间段内，y与x的函数关系式为y＝5x+20，
（2）设甲队在整个改造工程中，y与x的函数关系式为y＝mx（m≠0），
将（6，60）代入y＝mx，得：
60＝6m，解得：m＝10，
∴甲队在整个改造工程中，y与x的函数关系式为y＝10x；
设乙队在x≥6的时间内，y与x的函数关系式为y＝12x+n，
将（6，50）代入y＝12x+n，得：
50＝12×6+n，解得：n＝﹣22，
∴乙队在x≥6的时间内，y与x的函数关系式为y＝12x﹣22．
联立两函数关系式成方程组，得：
y=10xy=12x−22，解得：x=11y=110．
答：甲队从开始施工到完成，所铺设的人行道共是110米．
【变式2-1】（2022春•华容县期末）某乳品公司向某地运输一批牛奶，由铁路运输每千克需运费0.60元，由公路运输，每千克需运费0.30元，另需补助600元．
（1）设该公司运输的这批牛奶为x千克，选择铁路运输时，所需运费为y1元，选择公路运输时，所需运费为y2元，请分别写出y1、y2与x之间的关系式；
（2）若公司只支出运费1500元，则选用哪种运输方式运送的牛奶多？若公司运送1500千克牛奶，则选用哪种运输方式所需用较少？
【分析】（1）由总价＝单价×数量+其他费用，就可以得出y与x之间的函数关系式；
（2）将y＝1500或x＝1500分别代入（1）的解析式就可以求出结论；
【解答】解：（1）y1＝0.6x，
y2＝0.3x+600．
（2）当y1＝1500时，x＝2500，
当y2＝1500时，x＝3000，
∵3000＞2500，
∴公路运输时运送的牛奶多．
当x＝1500时，y1＝900，y2＝1050，
∵1050＞900，
∴公司运送1500千克牛奶，铁路运输方式便宜．
【变式2-2】（2022春•庐江县期末）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为线段OA，乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为折线BC﹣﹣CD﹣﹣DE，如图所示，从甲队开始工作时计时．
（1）直接写出乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数关系式；
（2）当甲队清理完路面时，乙队还有多少米的路面没有铺设完？
【分析】（1）先求出乙队铺设路面的工作效率，计算出乙队完成需要的时间求出E的坐标，再由待定系数法就可以求出结论．
（2）由（1）的结论求出甲队完成的时间，把时间代入乙的解析式就可以求出结论．
【解答】解：（1）设线段BC所在直线对应的函数关系式为y＝k1x+b1．
∵图象经过（3，0）、（5，50），
∴3k1+b1=05k1+b1=50，
解得：
k1=25b1=−75，
∴线段BC所在直线对应的函数关系式为y＝25x﹣75．
设线段DE所在直线对应的函数关系式为y＝k2x+b2．
∵乙队按停工前的工作效率为：50÷（5﹣3）＝25，
∴乙队剩下的需要的时间为：（160﹣50）÷25=225，
∴E（10.9，160），
∴50=6.5k2+b2160=10.9k2+b2，
解得：k2=25b2=−112.5，
∴线段DE所在直线对应的函数关系式为y＝25x﹣112.5．
乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数关系式为
y=25x−75(3≤x＜5)y=50(5≤x＜6.5)y=25x−112.5(6.5≤x≤10.9)；
（2）由题意，得
甲队每小时清理路面的长为 100÷5＝20，
甲队清理完路面的时间，x＝160÷20＝8．
把x＝8代入y＝25x﹣112.5，得y＝25×8﹣112.5＝87.5．
当甲队清理完路面时，乙队铺设完的路面长为87.5米，
160﹣87.5＝72.5米，
答：当甲队清理完路面时，乙队还有72.5米的路面没有铺设完．
【变式2-3】（2022•无锡模拟）甲，乙两人同时各接受了300个零件的加工任务，甲比乙每小时加工的数量多，两人同时开工，其中一人因机器故障停止加工若干小时后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（小时）之间的函数关系，观察图象解决下列问题：
（1）其中一人因故障，停止加工 1 小时，C点表示的实际意义是 甲工作6小时完成任务 ．甲每小时加工的零件数量为 60 个；
（2）求线段BC对应的函数关系式和D点坐标；
（3）乙在加工的过程中，多少小时时比甲少加工75个零件？
（4）为了使乙能与甲同时完成任务，现让丙帮乙加工，直到完成．丙每小时能加工80个零件，并把丙加工的零件数记在乙的名下，问丙应在第多少小时时开始帮助乙？并在图中用虚线画出丙帮助后y与x之间的函数关系的图象．
【分析】（1）根据函数图象可以解答本题；
（2）根据题意和函数图象可以求得点C的坐标，从而可以求得线段BC对应的函数解析式；
（3）根据题意和图象可知它们相差75个零件在BC段和CD段，从而可以解答本题；
（4）根据题意和图象可以求得丙应在第多少小时时开始帮助乙，并在图中用虚线画出丙帮助后y与x之间的函数关系的图象．
【解答】解：（1）由题意可得，
其中一人因故障，停止加工2﹣1＝1小时，C点表示的实际意义是甲工作6小时完成任务，甲每小时加工的零件数量为：300÷（6﹣1）＝60个，
故答案为：1、甲工作6小时完成任务、60；
（2）设线段BC对应的函数关系式y＝kx+b，
点C的纵坐标是：300﹣60÷2×6＝120，
∴点C的坐标是（6，120）
2k+b=06k+b=120，得k=30b=−60，
即线段BC对应的函数关系式y＝30x﹣60，
点D的横坐标为：300÷（60÷2）＝10，
故点D的坐标为（10，0）；
（3）当y＝75时，75＝30x﹣60，得x＝4.5，
当在CD段时，当乙比甲少加工75个零件时的时间为：（300﹣75）÷30＝7.5（小时），
即当在4.5小时或7.5小时时，乙在加工的过程中，比甲少加工75个零件；
（4）由题意可得，
当x＝6时，y＝30×6﹣60＝120，
120÷80＝1.5，
∴丙应在第4.5小时时开始帮助乙，图象如右图所示．
【题型3 利润最大问题】
【例3】（2022春•遵义期末）钓鱼成为越来越多人休闲娱乐的选择，鱼密度大的鱼塘的门票在300﹣600元不等，这让爱好钓鱼的钓友们喜欢到能回鱼的鱼塘垂钓（回鱼是指钓友钓上的鱼返卖给塘主），如果鱼情和钓鱼技能好的话还能获得一些利润．欢乐鱼塘的门票为450元5小时，回鱼标准为56斤以内为12元/斤，超过56斤的部分7元/斤：云门鱼塘门票为320元5小时，回鱼标准是律按8元/斤．（斤是重量单位，1斤0.5千克），设钓友获得的利润为y元，鱼的重量为x斤．
（1）求在两家鱼塘钓鱼时y欢乐、y云门与x之间的函数关系式；
（2）如图，在平面直角坐标系中，M，N为图象的交点，m，n分别为点M，N的横坐标，写出图中m，n的值分别为 32.5 、 150 ；
（3）钓友会根据自己的钓鱼技能和鱼塘的回鱼标准选择不同的鱼塘垂钓，请帮钓友们分析选择在哪家鱼塘钓鱼更划算？
【分析】（1）根据利润＝回鱼金额﹣门票，结合鱼塘的不同回鱼方式列式即可；
（2）联立函数解析式求出点M、N的坐标即可；
（3）根据点M、N的坐标，结合函数图象判断即可．
【解答】解：（1）由题意得：当0≤x≤56时，y欢乐＝12x﹣450，
当x＞56时，y欢乐＝12×56+7（x﹣56）﹣450＝7x﹣170，
∴y欢乐=12x−450(0≤x≤56)7x−170(x＞56)；
y云门＝8x﹣320；
（2）联立y欢乐=12x−450(0≤x≤56)y云门=8x−320(x≥0)，
解得：x=32.5y=−56；
联立y欢乐=7x−170(x＞56)y云门=8x−320(x≥0)，
解得：x=150y=880，
∴M（32.5，﹣60），N（150，880），
∴m＝32.5，n＝150，
故答案为：32.5，150；
（3）∵M （32.5，﹣60），N （150，880），
∴由函数图象可得：当0≤x＜32.5时，y欢乐＜y云门，即在云门门鱼塘垂钓更划算；
当x＝32.5时，y欢乐＝y云门，即在欢乐鱼塘和云门鱼塘垂钓一样划算；
当32.5＜x＜150时，y欢乐＞y云门，即在欢乐鱼塘垂钓更划算；
当x＝150时，y欢乐＝y云门，即在欢乐鱼塘和云门鱼塘垂钓一样划算；
当x＞150，y欢乐＜y云门，即在云门鱼塘垂钓更划算；
综上，当0≤x＜32.5，x＞150时，在云门鱼塘垂钓更划算；当x＝325，x＝150时，在欢乐鱼塘和云门鱼塘垂钓一样划算；当32.5＜x＜150时，在欢乐鱼塘垂钓更划算．
【变式3-1】（2022春•武汉期末）某商店销售一种产品，该产品成本价为6元/件，售价为8元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．
图中的折线ODE表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件．
（1）第25天的日销量是 325 件，这天销售利润是 650 元；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？销售期间日销售最大利润是多少元？
【分析】（1）由时间每增加1天日销售量减少5件结合第22天的日销售量为340件，即可求出第24天的日销售量，再根据日销售利润＝每件的利润×日销售量，即可求出第24天的日销售利润；
（2）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线OD、DE的函数关系式，联立两函数关系式成方程组可求出点D的坐标，结合点E的横坐标，即可找出y与x之间的函数关系式；
（3）根据日销售量＝日销售利润÷每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入OD、DE的函数关系式中求出x值，将其相减加1即可求出日销售利润不低于640元的天数，再根据点D的坐标结合日销售利润＝每件的利润×日销售量，即可求出日销售最大利润．
【解答】解：（1）340﹣（25﹣22）×5＝325（件），
（8﹣6）×325＝650（元），
故答案为：325；650．
（2）设直线OD的函数关系式为y＝kx，
将（17，340）代入y＝kx，
得：340＝17k，
解得：k＝20．
∴直线OD的函数关系式为y＝20x．
设直线DE的函数关系式为y＝mx+n，
将（22，340）、（25，325）代入y＝mx+n，
22m+n=34025m+n=325，
解得：m=−5n=450，
∴直线DE的函数关系式为y＝﹣5x+450．
联立两函数解析式成方程组，
y=20xy=−5x+450，
解得：x=18y=360，
∴点D的坐标为（18，360）．
∴y与x之间的函数关系式为y=20x(0≤x≤18)−5x+450(18＜x≤30)．
（3）640÷（8﹣6）＝320（件），
当y＝320时，有20x＝320或﹣5x+450＝320，
解得：x＝16或x＝26，
∴26﹣16+1＝11（天），
∴日销售利润不低于640元的天数共有11天．
∵折线ODE的最高点D的坐标为（18，360），360×2＝720（元）．
∴当x＝18时，日销售利润最大，最大利润为720元．
【变式3-2】（2022•济宁二模）某商店购进了A，B两种家用电器，相关信息如下表：
已知用6000元购进的A种电器件数与用5000元购进的B种电器件数相同．
（1）求表中m的值．
（2）由于A，B两种家用电器热销，该商店计划用不超过23000元的资金再购进A，B两种电器总件数共20件，且获利不少于13300元．请问：有几种进货方案？哪一种方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）根据“用6000元购进的A种电器件数与用5000元购进的B种电器件数相同”列分式方程求解可得；
（2）设计划购进A种电器件数为x，根据购进总钱数不超过23000元及获利不少于13300元求得x的范围，依据题意列出总利润y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）由题意可得：
6000m+200=5000m，
解得：m＝1000，
经检验得：m＝1000是原方程的根，
答：m的值为1000；
（2）设计划购进A种电器件数为x，则
1200x+1000(20−x)≤23000600x+700(20−x)≥13300，
解得：x≤7，
则x可取的整数有0、1、2、3、4、5、6、7这8种，
故购进方案有8种，
设所获利润为y，
则y＝600x+700（20﹣x）＝﹣100x+14000，
∵y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，y取得最大值，最大值为14000元，
即进货方案为A种电器0台，B种电器20台时，利润最大，最大利润为14000元．
【变式3-3】（2022•长垣市模拟）某营业厅销售3部A型号手机和2部B型号手机的营业额为10800元，销售4部A型号手机和1部B型号手机的营业额为10400元．
（1）求每部A型号手机和B型号手机的售价；
（2）该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50部，其中B型号手机的进货数量不超过A型号手机数量的3倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元/部和1800元/部，设购进A型号手机a部，这50部手机的销售总利润为W元．
①求W关于a的函数关系式；
②该营业厅购进A型号和B型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多少元？
【分析】（1）根据3部A型号手机和2部B型号手机营业额10800元，4部A型号手机和1部B型号手机营业额10400元，构造二元一次方程组求解即可；
（2）①根据：每类手机利润＝单部手机利润×部数，总利润＝A型手机利润+B型手机利润，得函数关系式．注意a的取值范围．
②根据①的关系式，利用一元函数的性质得出结论．
【解答】解：（1）设每部A型号手机的售价为x元，每部B型号手机的售价为y元．
由题意，得3x+2y=108004x+y=10400
解得x=2000y=2400
（2）①由题意，得w＝（2000﹣1500）a+（2400﹣1800）（50﹣a），
即w＝30000﹣100a，
又∵50﹣a≤3a，
∴a≥252，
∴w关于a的函数关系式为w＝30000﹣100a（a≥252）；
②w关于a的函数关系式为w＝30000﹣100a，
∵k＝﹣100＜0，
∴w随a的增大而减小，
又∵a只能取正整数，
∴当a＝13时，总利润w最大，最大利润w＝30000﹣100×13＝28700
50﹣a＝37
答：该营业厅购进A型号手机13部，B型号手机37部时，销售总利润最大，最大利润为28700元
【题型4 费用最低问题】
【例4】（2022春•前郭县期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10km的出行市场现有A、B品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2．
（1）请求出两个函数关系式．
（2）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，小明家到工厂的距离为6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
（3）直接写出第几分钟，两种收费相差1.5元．
【分析】（1）根据图象设出函数解析式，再根据待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出小明从家到工厂所用时间为18min，再通过图象可知小于18min时选择A品牌电动车更省钱；
（3）分两种情况讨论，|y1﹣y2|＝1.5，分别解方程即可．
【解答】解：（1）设y1＝k1x，
把点（20，4）代入y1＝k1x，
得：k1＝0.2，
∴y1＝0.2x（x≥0）；
由图象可知，当0＜x≤10时，y2＝3，
当x＞10时，设y2＝k2x+b，
把点（10，3）和点（20，4）代入y2＝k2x+b中，
得：10k2+b=320k2+b=4，
解得：k2=0.1b=2，
∴y2＝0.1x+2，
综上所述：y2=3(0≤x≤10)0.1x+2(x＞10)；
（2）6÷20＝0.3（h），0.3h＝18min，
∵18＜20，
由图象可知，当骑行时间不足20min时，y1＜y2，即骑行A品牌的共享电动车更省钱．
∴小明选择A品牌的共享电动车更省钱；
（3）∵当x＝20min时两种收费相同，
∴两种收费相差1.5元分20min前和20min后两种情况，
①当x＜20时，离20min越近收费相差的越少，
当x＝10时，y1＝0.2×10＝2，y2＝3，
y2﹣y1＝3﹣2＝1，
∴要使两种收费相差1.5元，x应小于10，
∴y2﹣y1＝3﹣0.2x＝1.5，
解得：x＝7.5；
②当x＞20时，0.2x﹣（0.1x+2）＝1.5，
解得：x＝35．
∴在7.5分钟或35分钟，两种收费相差1.5元．
【变式4-1】（2022春•碑林区校级期末）某校张老师寒假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠．”则：
（1）设学生数为x（人），甲旅行社收费为y甲（元），乙旅行社收费为y乙（元），两家旅行社的收费各是多少？
（2）哪家旅行社收费较为优惠？
【分析】（1）设我校区级“三好学生”的人数为x人．则选甲旅行社时总费用＝400+400×50%x，选乙旅行社时总费用＝400×60%（x+1）；
（2）当400+400×50%x＜400×60%（x+1）时，甲旅行社较为优惠．反之，乙旅行社优惠，相等时，两旅行社一样．
【解答】解：（1）根据题意得，
甲旅行社时总费用：y甲＝400+400×50%x＝200x+400，
乙旅行社时总费用：y乙＝400×60%（x+1）＝240x+240；
（2）设我校区级“三好学生”的人数为x人，根据题意得：
400+400×50%x＜400×60%（x+1），
解得：x＞4，
当学生人数超过4人，甲旅行社比较优惠，当学生人数4人之内，乙旅行社比较优惠，刚好4人，两个旅行社一样．
【变式4-2】（2022春•滦南县期末）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是 18 元；甲复印社每张收费是 0.2 元；
（2）求出乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式，并说明一次项系数的实际意义；
（3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同；
（4）如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出乙复印社要求客户每月支付的承包费是多少元和甲复印社每张收费；
（2）先设出乙复印社一次函数解析式，用待定系数法可以求得，再说明一次项系数的实际意义；
（3）先求得甲复印社对应的函数关系式，然后令两个解析式的函数值相等，即可求得当复印多少页时，两复印社实际收费相同；
（4）将x＝200代入（2）（3）中的函数解析式，然后比较它们的大小，即可解答本题．
【解答】解：（1）由图可知，
乙复印社要求客户每月支付的承包费是18元；
甲复印社每张收费是10÷50＝0.2（元）．
故答案为：18；0.2；
（2）设乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝kx+b，
把（0，18）和（50，22）代入解析式得：
b=1850k+b=22，
解得：k=0.08b=18，
∴乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝0.08x+18，
一次项系数的实际意义为每张收费0.08元；
（3）由（1）知，甲复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝0.2x，
令0.2x＝0.08x+18，
解得，x＝150，
答：当每月复印150页时，两复印社实际收费相同；
（4）当x＝200时，
甲复印社的费用为：0.2×200＝40（元），
乙复印社的费用为：0.08×200+18＝34（元），
∵40＞34，
∴当x＝200时，选择乙复印社．
【变式4-3】（2022春•石河子期末）某种黄金饰品在甲、乙两个商店销售，甲店标价280元/克，按标价出售，不优惠，乙店标价300元/克，但若买的黄金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．
（1）分别写出到甲、乙商店购买该种黄金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系，并写出定义域；
（2）李阿姨要买一条重量不超过10克的此种黄金饰品，到哪个商店购买最合算？请说明理由．
【分析】（1））根据等量关系“去甲商店购买所需费用＝标价×重量”“去乙商店购买所需费用＝标价×3+标价×0.8×超出3克的重量（x＞3）；当x≤3时，y乙＝530x，”列出函数关系式；
（2）通过比较甲乙两商店费用的大小，得到购买一定重量的黄金饰品去最合算的商店．
【解答】解：（1）到甲商店购买所需费用y和重量x之间的函数关系为：y甲＝280x，（x≥0），
到乙商店购买所需费用y和重量x之间的函数关系：
当0≤x≤3时，y乙＝300x，
当x＞3时，y乙＝300×3+300×0.8×（x﹣3）＝240x+180；
（2）当0＜x≤3时，显然y甲＜y乙，故此时到甲商店购买合算；
①当y甲＝y乙时，即：280x＝240x+180，解得：x＝4.5，
∴当x＝4.5时，到甲、乙两商店购买一样；
②当y甲＜y乙时，即：280x＜240x+180，解得：x＜4.5，
∴当x＜4.5时，到甲商店购买合算；
③当y甲＞y乙时，即：280x＞240x+180，解得：x＞4.5，
∴当x＞4.5时，到乙商店购买合算；
综上，当0＜x＜4.5时，到甲商店购买合算；当x＝4.5时，到两商店购买一样合算；当4.5＜x≤10时，到乙商店购买合算．
【题型5 调运问题】
【例5】（2022•贺兰县模拟）云南某县境内发生地震，某市积极筹集救灾物资260吨从该市区运往该县甲、乙两地，若用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于132吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
【分析】（1）首先设大货车用x辆，则小货车用（20﹣x）辆，利用所运物资为260吨得出等式方程求出即可；
（2）根据安排9辆货车前往甲地，前往甲地的大货车为a辆，得出小货车的辆数，进而得出w与a的函数关系；
（3）根据运往甲地的物资不少于132吨，则16a+10（9﹣a）≥132即可得出a的取值范围，进而得出最佳方案．
【解答】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（20﹣x）辆，根据题意得
16x+10（20﹣x）＝260，
解得：x＝10，
则20﹣x＝10．
答：大货车用10辆，小货车用10辆．
（2）由题意得出：
w＝720a+800（10﹣a）+500（9﹣a）+650[10﹣（9﹣a）]＝70a+13150，
则w＝70a+13150（0≤a≤9且为整数）．
（3）由16a+10（9﹣a）≥132，
解得a≥7．
又∵0≤a≤9，
∴7≤a≤9且为整数．
∵w＝70a+13150，k＝70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a＝7时，w最小，最小值为W＝70×7+13150＝13640．
答：使总运费最少的调配方案是：7辆大货车、2辆小货车前往甲地；3辆大货车、8辆小货车前往乙地．最少运费为13640元．
【变式5-1】（2022春•扎鲁特旗期末）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；
（2）试问有无可能一天获得总租金是80050元？若有可能，请写出相应的调运方案；若无可能，请说明理由．
【分析】（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，则派往B地区x台乙型联合收割机为（30﹣x）台，派往A、B地区的甲型联合收割机分别为（30﹣x）台和（x﹣10）台，然后根据价格表列出y与x之间的函数关系式即可；
（2）将y＝80050代入（1）中所得的函数关系式求得x的值，然后进行判断即可．
【解答】解：（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，则派往B地区乙型联合收割机为（30﹣x）台，派往A、B地区的甲型联合收割机分别为（30﹣x）台和（x﹣10）台，
∴y＝1600x+1200（30﹣x）+1800（30﹣x）+1600（x﹣10）＝200x+74000；
（2）当y＝80050时，
80050＝200x+74000，解得：x＝30.32＞30，不符合题意，
∴不可能使一天获得总租金是80050元．
【变式5-2】（2022春•海淀区校级期末）某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾民安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：
（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【分析】（1）根据题意，用240减x可得需要从A处调运的数量；用200减去（240﹣x）可得从A调研往D处的数量；300减去x即为从B调运往D处的数量；
（2）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得w与x的函数关系，列不等式组可解；
（3本题根据x的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当0＜m＜2时；当m＝2时；当2＜m＜15时．
【解答】解：（1）填表如下：
依题意得：20（240﹣x）+25（x﹣40）＝15x+18（300﹣x）
解得：x＝200
两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值为200．
（2）w与x之间的函数关系为：w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝2x+9200
由题意得：240−x≥0x−40≥0x≥0300−x≥0
∴40≤x≤240
∵在w＝2x+9200中，2＞0
∴w随x的增大而增大
∴当x＝40时，总运费最小
此时调运方案为：
（3）由题意得w＝（2﹣m）x+9200
∴0＜m＜2，（2）中调运方案总费用最小；
m＝2时，在40≤x≤240的前提下调运方案的总费用不变；
2＜m＜15时，x＝240总费用最小，其调运方案如下：
【变式5-3】（2022春•巴南区月考）某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现要调往A县10辆，调往B县8辆，已知调运一辆农用车的费用如表：
（1）设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式．
（2）若要求总运费不超过900元．共有哪几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
【分析】（1）若乙仓库调往A县农用车x辆，那么乙仓库调往B县农用车、甲给A县调农用车、以及甲县给B县调车数量都可表示出来，然后依据各自运费，把总运费表示即可；
（2）若要求总运费不超过900元，则可根据（1）列不等式求解；
（3）在（2）的基础上，求出最低运费即可．
【解答】解：（1）若乙仓库调往A县农用车x辆（x≤6），则乙仓库调往B县农用车6﹣x辆，A县需10辆车，故甲给A县调农用车10﹣x辆，那么甲仓库给B县调车8﹣（6﹣x）＝x+2辆，根据各个调用方式的运费可以列出方程如下：y＝40（10﹣x）+80（x+2）+30x+50（6﹣x），
化简得：y＝20x+860（0≤x≤6）；
（2）总运费不超过900，即y≤900，代入函数关系式得20x+860≤900，
解得x≤2，所以x＝0，1，2，
即如下三种方案：
1、甲往A：10辆；乙往A：0辆甲往B：2辆；乙往B：6辆，
2、甲往A：9；乙往A：1甲往B：3；乙往B：5，
3、甲往A：8；乙往A：2甲往B：4；乙往B：4；
（3）要使得总运费最低，由y＝20x+860（0≤x≤6）知，x＝0时y值最小为860，
即上面（2）的第一种方案：甲往A：10辆；乙往A：0辆；甲往B：2辆；乙往B：6辆，
总运费最少为860元．
【题型6 体积问题】
【例6】（2022秋•邗江区月考）某水池的容积为90m3，水池中已有水10m3，现按8m3/h的流量向水池注水．
（1）写出水池中水的体积y（m3）与进水时间t（h）之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t＝1时，求y的值；当y＝50时，求t的值．
【分析】（1）利用水池中已有水10m3，现按8m3/h的流量向水池注水，进而得出y与t的关系式，再利用水池的容积为90m3，得出t的取值范围；
（2）利用（1）中所求，得出y以及t的值．
【解答】解：（1）由题意可得：
y＝10+8t，（0≤t≤10）；
（2）由（1）得：y＝10+8×1＝18，
当y＝50时，50＝10+8t，
解得：t＝5，
答：y的值为18，t的值为5．
【变式6-1】（2022春•北京期末）如图，有一个装水的容器，容器内的水面高度是10cm，水面面积是100cm2．现向容器内注水，并同时开始计时．在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加．容器注满水之前，容器内水面的高度h，注水量V随对应的注水时间t的变化而变化，则h与t，V与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，正比例函数关系
B．正比例函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，正比例函数关系
【分析】根据题意可得容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系式，进而判断出相应函数类型；根据注水量＝水面面积×水面上升的高度，即可得到V与t满足的函数关系．
【解答】解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：
h＝0.2t+10，
∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．
V＝100×0.2t＝20t，
∴注水量V与对应的注水时间t满足的函数关系是正比例函数关系．
故选：D．
【变式6-2】（2022春•梁子湖区期末）水龙头关闭不严会造成漏水浪费，已知漏水量与漏水时间之间满足一次函数关系，八年级同学进行了以下实验：在漏水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每10分钟记录一次容器中的水量．下表是一位同学的记录结果，老师发现有一组数据记录有较大偏差，它是（ ）
A．第2组B．第3组C．第4组D．第5组
【分析】根据漏水量与漏水时间为一次函数关系，通过分析表中数据即可得出结论．
【解答】解：∵漏水量与漏水时间为一次函数关系，
∴每隔10分钟增加的水量是相同的，即2.4﹣1＝3.8﹣2.4＝5.2﹣3.8≠6.8﹣5.2，
∴第5组数据有偏差，
故选：D．
【变式6-3】（2022•宣城模拟）某容器有一个进水管和一个出水管，从某时刻开始的前4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水．已知进水管进水的速度与出水管出水的速度是两个常数，容器内水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示．则每分钟的出水量为（ ）
A．4升B．152升C．154升D．134升
【分析】根据图象先求出每分钟进水量，然后根据图象求出既出水又进水时，每分钟进水量，即可求出每分钟出水量．
【解答】解：根据图像可知，4分钟进水量为20L，
∴1分钟进水量为：204=5（L），
∵8分钟内既进水又出水时，进水量为10L，
∴这段时间内1分钟进水量为：108=54（L），
∴1分钟出水量为：5−54=154（L），
故选：C．
【题型7 几何图形问题】
【例7】（2022春•交城县期末）菜农张大叔要用63米的篱笆围一个矩形的菜地，已知在菜地的一边AB边上留有1米宽的入口．设AB边的长为x，BC边的长为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y=63−2x2B．y=63−2x+12C．y＝63﹣2xD．y=632−12x
【分析】由于AB边的长为x米，利用2BC＝周长﹣2AB，即得．
【解答】解：AB边的长为x米，则BC边长为y=63−2x+12米，
∴y与x之间的函数关系式为y=63−2x+12．
故选：B．
【变式7-1】（2022春•阿荣旗期末）已知等腰三角形周长为20
（1）写出底边长y关于腰长x的函数解析式（x为自变量）；
（2）写出自变量的取值范围；
（3）在直角坐标系中，画出函数图象．
【分析】根据等腰三角形底边与要的关系，可得函数解析式；
（2）根据两腰的和小于周长，两边之和大于第三边，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（3）根据描点法，可得函数图象．
【解答】解：（1）写出底边长y关于腰长x的函数解析式是 y＝﹣2x+20；
（2）两腰的和小于周长，两边之和大于第三边得2x＜202x＞−2x+20
解得5＜x＜10，
自变量的取值范围是5＜x＜10；
（3）如图：
．
【变式7-2】（2022秋•富民县校级期末）如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从A点出发，在正方形的边上由A⇒B⇒C⇒D运动，设运动的时间为t（s），△APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图所示，请回答下列问题：
（1）点P在AB上运动的速度为 1cm/s ，在CD上运动的速度为 2cm/s ；
（2）求出点P在CD上时S与t的函数关系式；
（3）t为何值时，△APD的面积为10cm2？
【分析】（1）直接根据函数图象上坐标可求出点P在AB上运动的速度为66=1cm/s，在CD上运动的速度为63=2cm/s；
（2）用t表示PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t，代入面积公式可求S＝90﹣6t；
（3）通过图象可知，△APD的面积为10cm2．即S＝10，分别在S＝3t和S＝90﹣6t，上代入即可求得t=103，t=403．
【解答】解：（1）点P在AB上运动的速度为66=1cm/s，在CD上运动的速度为63=2cm/s；
（2）PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t，
S=12AD•PD=12×6×（30﹣2t）＝90﹣6t；
（3）当0≤t≤6时，S＝3t，
△APD的面积为10cm2，即S＝10时，
3t＝10，t=103，
当12≤t≤15时，90﹣6t＝10，t=403，
所以当t为103（s）、403（s）时，△APD的面积为10cm2．
【变式7-3】（2022春•泰和县期末）如图1是一个大型的圆形花坛建筑物（其中AB与CD是一对互相垂直的直径），小川从圆心O出发，按图中箭头所示的方向匀速散步，并保持同一个速度走完下列三条线路：①线段OA、②圆弧A→D→B→C、③线段CO后，回到出发点．记小川所在的位置距离出发点的距离为y（即所在位置与点O之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，（注：圆周率π取近似值3）
（1）a＝ 120 ，b＝ 11 ．
（2）当t≤2时，试求出y关于t的关系式；
（3）在沿途某处小川遇见了他的好朋友小翔并聊了两分钟的时间，然后继续保持原速回到终点O，请回答下列两小问：
①小川渝小翔的聊天地点位于哪两点之间？并求出此时他距离终点O还有多远；
②求他此行总共花了多少分钟的时间．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得a、b的值，从而可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据可以求得当t≤2时，y关于t的关系式；
（3）①根据题意和函数图象可以判断小川与小翔的聊天地点位于哪两个点之间，计算出此时他距离终点O的距离；
②根据图象中的数据可以得到他此行总共花了多少分钟的时间．
【解答】解：（1）由题意可得，
a＝（60÷1）×2＝120，b=2π×12060÷1×34+2=2×3×12060×34+2=11，
故答案为：120，11；
（2）设t≤2时，y关于t的关系式是y＝kt，
k×1＝60，得k＝60，
即t≤2时，y关于t的关系式是y＝60t；
（3）①由函数图象可知，小川与小翔的聊天地点位于CO两点之间，
此时他距离终点O的距离为：120﹣（14.5﹣2﹣11）×60＝120﹣90＝30（米），
即此时他距离终点O的距离为30米；
②由题意可得，
他此行总共花的时间为：11+2+2＝15（分钟），
即他此行总共花了15分钟．
【题型8 其他问题】
【例8】（2022春•昌平区期末）某旅客携带x（公斤）的行李乘飞机，登机前，旅客可选择托运或快递行李，托运费y1（元）与行李质量x（公斤）的对应关系由如图所示的一次函数图象确定，下表列出了快递费y2（元）与行李质量x（公斤）的对应关系，
（1）如果旅客选择托运，求可携带的免费行李的最大质量为多少公斤？
（2）如果旅客选择快递，当1≤x≤15时，求快递费y2（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式；
（3）某旅客携带25公斤的行李，设托运m（公斤）行李（10≤m＜24，m为正整数），剩下的行李选择快递，m为何值时，总费用y的值最小，总费用的最小值是多少？
【分析】（1）观察图象找出两点的坐标，利用待定系数法可求出托运费y1（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式，将y1＝0代入函数关系式中即可得出结论；
（2）根据表格中的数据，分x＝1、1＜x≤5、5＜x≤15三部分找出快递费y2（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式；
（3）分10≤m＜20以及20≤m＜24两种情况找出y关于m的函数关系式，根据一次函数的性质可找出y的取值范围，找出当y取最小值时m的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设托运费y1（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式为y1＝kx+b，
将（30，300）、（50，900）代入y1＝kx+b，
30k+b=30050k+b=900，解得：k=30b=−600，
∴托运费y1（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式为y1＝30x﹣600．
当y1＝30x﹣600＝0时，x＝20．
答：可携带的免费行李的最大质量为20公斤．
（2）根据题意得：当x＝1时，y2＝10；
当1＜x≤5时，y2＝10+3（x﹣1）＝3x+7；
当5＜x≤15时，y2＝10+3×（5﹣1）+5（x﹣5）＝5x﹣3．
综上所述：快递费y2（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式为y2=10(x=1)3x+7(1＜x≤5)5x−3(5＜x≤15)．
（3）当10≤m＜20时，5＜25﹣m≤15，
∴y＝y1+y2＝0+5×（25﹣m）﹣3＝﹣5m+122．
∵10≤m＜20，
∴22＜y≤72；
当20≤m＜24时，1＜25﹣m≤5，
∴y＝y1+y2＝30m﹣600+3×（25﹣m）+7＝27m﹣518．
∵20≤m＜24，
∴22≤y＜130．
综上可知：当m＝20时，总费用y的值最小，最小值为22．
答：当托运20公斤、快递5公斤行李时，总费用最少，最少费用为22元．
【变式8-1】（2022春•正定县期中）弹簧挂物体会伸长，测得弹簧长度y（cm）（最长为20cm），与所挂物体质量x（kg）之间有下面的关系：
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，x是自变量，y是x的函数
B．所挂物体质量为6kg时，弹簧长度为11cm
C．y与x的函数表达式为y＝8+0.5x
D．挂30kg物体时，弹簧长度一定比原长增加15cm
【分析】根据变量、自变量的定义以及表格中的数据即可判断．
【解答】解：A、x与y都是变量，x是自变量，y是x的函数，故A不符合题意；
B、所挂物体为6kg，弹簧长度为8+6×0.5＝11cm，故B不符合题意；
C、物体每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm，
∴y与x的函数表达式为y＝8+0.5x，故C不符合题意；
D、∵弹簧长度最长为20cm
∴“挂30kg物体时，弹簧长度一定比原长增加15cm，”不可能，
故D符合题意
故选：D．
【变式8-2】（2022秋•和平县期末）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）之间的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，射线CD平行于x轴）．有下列说法：①从开始观察起，60天后该植物停止长高；②直线AC的函数表达式为y=15x+6；③观察第40天时，该植物的高度为14厘米；④该植物最高为15厘米．其中说法正确的是（ ）
A．①②③B．②④C．②③D．①②③④
【分析】①根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；
②设线段AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出线段AC线段的解析式，
③把x＝40代入②的结论进行计算即可得解；
③把x＝50代入②的结论进行计算即可得解．
【解答】解：∵CD∥x轴，
∴从第50天开始植物的高度不变，
故①错误；
设线段AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵经过点A（0，6），B（30，12），
∴30k+b=12b=6，
解得k=15b=6，
所以，线段AC的解析式为y=15x+6（0≤x≤50），
故②正确；
当x＝40时，y=15×40+6＝14，
即第40天，该植物的高度为14厘米；
故③正确；
当x＝50时，y=15×50+6＝16，
即第50天，该植物的高度为16厘米；
故④错误．
故选：C．
【变式8-3】（2022•阿城区模拟）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费，设每个家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，下列叙述错误的是（ ）
A．“基础电价”是0.5元/度
B．“提高电价”是0.6元/度
C．小红家5月份用电260度的电费是132元
D．小红家4月份198元电费的用电量是129度
【分析】选项A由用电240度费用为120元即可得出“基础电价”；选项B由（216﹣120）÷（400﹣240）即可得出“提高电价”；选项C根据选项A和选项B的结论计算即可；选项D利用待定系数法求出x＞240时的函数解析式，再把y＝198代入计算即可．
【解答】解：A．“基础电价”是120240=0.5（元/度），故本选项不合题意；
B．“提高电价”是（216﹣120）÷（400﹣240）＝0.6（元/度），故本选项不合题意；
C．小红家5月份用电260度的电费是：120+0.6×（260﹣240）＝132（元），故本选项不合题意；
D．当x＞240时，设y＝kx+b，
由图象可得：240k+b=120400k+b=216，
解得k=0.6b=−24，
∴y＝0.6x﹣24（x＞240），
当y＝198时，0.6x﹣24＝198，
解得x＝370，
即小红家4月份198元电费的用电量是370度，故本选项符合题意．
故选：D．家用电器
进价（元/件）
售价（元/件）
A
m+200
1800
B
m
1700
车 型
运往地
甲 地（元/辆）
乙 地（元/辆）
大货车
720
800
小货车
500
650
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800元
1600元
B地区
1600元
1200元
C
D
总计/t
A
（240﹣x）
（x﹣40）
200
B
x
（300﹣x）
300
总计/t
240
260
500
C
D
总计/t
A
（240﹣x）
（x﹣40）
200
B
x
（300﹣x）
300
总计/t
240
260
500
县名
费用
仓库
A
B
甲
40
80
乙
30
50
组别
1
2
3
4
5
时间t（min）
0
10
20
30
40
水量w（ml）
1
2.4
3.8
5.2
6.8
行李的质量x（公斤）
快递费
不超过1公斤
10元
超过1公斤但不超过5公斤的部分
3元/公斤
超过5公斤但不超过15公斤的部分
5元/公斤
x/kg
0
1
2
3
4
…
y/cm
8
8.5
9
9.5
10
…
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc938" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Tc938 \h 1
\l "_Tc12344" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Tc12344 \h 2
\l "_Tc20080" 【题型3 利润最大问题】 PAGEREF _Tc20080 \h 4
\l "_Tc27537" 【题型4 费用最低问题】 PAGEREF _Tc27537 \h 6
\l "_Tc17025" 【题型5 调运问题】 PAGEREF _Tc17025 \h 7
\l "_Tc12713" 【题型6 体积问题】 PAGEREF _Tc12713 \h 9
\l "_Tc19323" 【题型7 几何图形问题】 PAGEREF _Tc19323 \h 10
\l "_Tc16020" 【题型8 其他问题】 PAGEREF _Tc16020 \h 11
【题型1 行程问题】
【例1】（2022春•大足区期末）甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当乙车到达A地时，甲车距A地 150 千米．
【变式1-1】（2022•前进区校级开学）甲、乙两车从佳木斯出发前往哈尔滨，甲车先出发，1h以后乙车出发，在整个过程中，两车离开佳木斯的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）的对应关系如图所示：
（1）直接写出佳木斯、哈尔滨两城之间距离是多少km？
（2）求乙车出发多长时间追上甲车？
（3）直接写出甲车在行驶过程中经过多长时间，与乙车相距18km．
【变式1-2】（2022秋•舞钢市期末）甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发6分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟；②甲出发30分钟时，两人在C地相遇；③乙到达A地时，甲与A地相距450米，其中正确的说法有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式1-3】（2022春•南川区期末）甲、乙两运动员在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步560米，先到终点的运动员原地休息．已知甲先出发1秒，两运动员之间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系如图所示．给出以下结论：①a＝7；②b＝63；③c＝80．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③C．①②D．①③
【题型2 工程问题】
【例2】（2022•李沧区一模）李沧区海绵工程建设过程中，需要将某小区内两段长度相等的人行道改造为透水人行道，人行道绿篱改造为下沉式绿篱．现分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设人行道的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图象，请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时间段内，y与x的函数关系式；
（2）若甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务，求甲队从开始施工到完成，所铺设的人行道共是多少米．
【变式2-1】（2022春•华容县期末）某乳品公司向某地运输一批牛奶，由铁路运输每千克需运费0.60元，由公路运输，每千克需运费0.30元，另需补助600元．
（1）设该公司运输的这批牛奶为x千克，选择铁路运输时，所需运费为y1元，选择公路运输时，所需运费为y2元，请分别写出y1、y2与x之间的关系式；
（2）若公司只支出运费1500元，则选用哪种运输方式运送的牛奶多？若公司运送1500千克牛奶，则选用哪种运输方式所需用较少？
【变式2-2】（2022春•庐江县期末）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为线段OA，乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为折线BC﹣﹣CD﹣﹣DE，如图所示，从甲队开始工作时计时．
（1）直接写出乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数关系式；
（2）当甲队清理完路面时，乙队还有多少米的路面没有铺设完？
【变式2-3】（2022•无锡模拟）甲，乙两人同时各接受了300个零件的加工任务，甲比乙每小时加工的数量多，两人同时开工，其中一人因机器故障停止加工若干小时后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（小时）之间的函数关系，观察图象解决下列问题：
（1）其中一人因故障，停止加工 小时，C点表示的实际意义是 ．甲每小时加工的零件数量为 个；
（2）求线段BC对应的函数关系式和D点坐标；
（3）乙在加工的过程中，多少小时时比甲少加工75个零件？
（4）为了使乙能与甲同时完成任务，现让丙帮乙加工，直到完成．丙每小时能加工80个零件，并把丙加工的零件数记在乙的名下，问丙应在第多少小时时开始帮助乙？并在图中用虚线画出丙帮助后y与x之间的函数关系的图象．
【题型3 利润最大问题】
【例3】（2022春•遵义期末）钓鱼成为越来越多人休闲娱乐的选择，鱼密度大的鱼塘的门票在300﹣600元不等，这让爱好钓鱼的钓友们喜欢到能回鱼的鱼塘垂钓（回鱼是指钓友钓上的鱼返卖给塘主），如果鱼情和钓鱼技能好的话还能获得一些利润．欢乐鱼塘的门票为450元5小时，回鱼标准为56斤以内为12元/斤，超过56斤的部分7元/斤：云门鱼塘门票为320元5小时，回鱼标准是律按8元/斤．（斤是重量单位，1斤0.5千克），设钓友获得的利润为y元，鱼的重量为x斤．
（1）求在两家鱼塘钓鱼时y欢乐、y云门与x之间的函数关系式；
（2）如图，在平面直角坐标系中，M，N为图象的交点，m，n分别为点M，N的横坐标，写出图中m，n的值分别为 、 ；
（3）钓友会根据自己的钓鱼技能和鱼塘的回鱼标准选择不同的鱼塘垂钓，请帮钓友们分析选择在哪家鱼塘钓鱼更划算？
【变式3-1】（2022春•武汉期末）某商店销售一种产品，该产品成本价为6元/件，售价为8元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．
图中的折线ODE表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件．
（1）第25天的日销量是 件，这天销售利润是 元；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？销售期间日销售最大利润是多少元？
【变式3-2】（2022•济宁二模）某商店购进了A，B两种家用电器，相关信息如下表：
已知用6000元购进的A种电器件数与用5000元购进的B种电器件数相同．
（1）求表中m的值．
（2）由于A，B两种家用电器热销，该商店计划用不超过23000元的资金再购进A，B两种电器总件数共20件，且获利不少于13300元．请问：有几种进货方案？哪一种方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
【变式3-3】（2022•长垣市模拟）某营业厅销售3部A型号手机和2部B型号手机的营业额为10800元，销售4部A型号手机和1部B型号手机的营业额为10400元．
（1）求每部A型号手机和B型号手机的售价；
（2）该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50部，其中B型号手机的进货数量不超过A型号手机数量的3倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元/部和1800元/部，设购进A型号手机a部，这50部手机的销售总利润为W元．
①求W关于a的函数关系式；
②该营业厅购进A型号和B型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多少元？
【题型4 费用最低问题】
【例4】（2022春•前郭县期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10km的出行市场现有A、B品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2．
（1）请求出两个函数关系式．
（2）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，小明家到工厂的距离为6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
（3）直接写出第几分钟，两种收费相差1.5元．
【变式4-1】（2022春•碑林区校级期末）某校张老师寒假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠．”则：
（1）设学生数为x（人），甲旅行社收费为y甲（元），乙旅行社收费为y乙（元），两家旅行社的收费各是多少？
（2）哪家旅行社收费较为优惠？
【变式4-2】（2022春•滦南县期末）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是 元；甲复印社每张收费是 元；
（2）求出乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式，并说明一次项系数的实际意义；
（3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同；
（4）如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？
【变式4-3】（2022春•石河子期末）某种黄金饰品在甲、乙两个商店销售，甲店标价280元/克，按标价出售，不优惠，乙店标价300元/克，但若买的黄金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．
（1）分别写出到甲、乙商店购买该种黄金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系，并写出定义域；
（2）李阿姨要买一条重量不超过10克的此种黄金饰品，到哪个商店购买最合算？请说明理由．
【题型5 调运问题】
【例5】（2022•贺兰县模拟）云南某县境内发生地震，某市积极筹集救灾物资260吨从该市区运往该县甲、乙两地，若用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于132吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
【变式5-1】（2022春•扎鲁特旗期末）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；
（2）试问有无可能一天获得总租金是80050元？若有可能，请写出相应的调运方案；若无可能，请说明理由．
【变式5-2】（2022春•海淀区校级期末）某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾民安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：
（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【变式5-3】（2022春•巴南区月考）某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现要调往A县10辆，调往B县8辆，已知调运一辆农用车的费用如表：
（1）设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式．
（2）若要求总运费不超过900元．共有哪几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
【题型6 体积问题】
【例6】（2022秋•邗江区月考）某水池的容积为90m3，水池中已有水10m3，现按8m3/h的流量向水池注水．
（1）写出水池中水的体积y（m3）与进水时间t（h）之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t＝1时，求y的值；当y＝50时，求t的值．
【变式6-1】（2022春•北京期末）如图，有一个装水的容器，容器内的水面高度是10cm，水面面积是100cm2．现向容器内注水，并同时开始计时．在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加．容器注满水之前，容器内水面的高度h，注水量V随对应的注水时间t的变化而变化，则h与t，V与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，正比例函数关系
B．正比例函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，正比例函数关系
【变式6-2】（2022春•梁子湖区期末）水龙头关闭不严会造成漏水浪费，已知漏水量与漏水时间之间满足一次函数关系，八年级同学进行了以下实验：在漏水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每10分钟记录一次容器中的水量．下表是一位同学的记录结果，老师发现有一组数据记录有较大偏差，它是（ ）
A．第2组B．第3组C．第4组D．第5组
【变式6-3】（2022•宣城模拟）某容器有一个进水管和一个出水管，从某时刻开始的前4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水．已知进水管进水的速度与出水管出水的速度是两个常数，容器内水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示．则每分钟的出水量为（ ）
A．4升B．152升C．154升D．134升
【题型7 几何图形问题】
【例7】（2022春•交城县期末）菜农张大叔要用63米的篱笆围一个矩形的菜地，已知在菜地的一边AB边上留有1米宽的入口．设AB边的长为x，BC边的长为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y=63−2x2B．y=63−2x+12C．y＝63﹣2xD．y=632−12x
【变式7-1】（2022春•阿荣旗期末）已知等腰三角形周长为20
（1）写出底边长y关于腰长x的函数解析式（x为自变量）；
（2）写出自变量的取值范围；
（3）在直角坐标系中，画出函数图象．
【变式7-2】（2022秋•富民县校级期末）如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从A点出发，在正方形的边上由A⇒B⇒C⇒D运动，设运动的时间为t（s），△APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图所示，请回答下列问题：
（1）点P在AB上运动的速度为 ，在CD上运动的速度为 ；
（2）求出点P在CD上时S与t的函数关系式；
（3）t为何值时，△APD的面积为10cm2？
【变式7-3】（2022春•泰和县期末）如图1是一个大型的圆形花坛建筑物（其中AB与CD是一对互相垂直的直径），小川从圆心O出发，按图中箭头所示的方向匀速散步，并保持同一个速度走完下列三条线路：①线段OA、②圆弧A→D→B→C、③线段CO后，回到出发点．记小川所在的位置距离出发点的距离为y（即所在位置与点O之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，（注：圆周率π取近似值3）
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）当t≤2时，试求出y关于t的关系式；
（3）在沿途某处小川遇见了他的好朋友小翔并聊了两分钟的时间，然后继续保持原速回到终点O，请回答下列两小问：
①小川渝小翔的聊天地点位于哪两点之间？并求出此时他距离终点O还有多远；
②求他此行总共花了多少分钟的时间．
【题型8 其他问题】
【例8】（2022春•昌平区期末）某旅客携带x（公斤）的行李乘飞机，登机前，旅客可选择托运或快递行李，托运费y1（元）与行李质量x（公斤）的对应关系由如图所示的一次函数图象确定，下表列出了快递费y2（元）与行李质量x（公斤）的对应关系，
（1）如果旅客选择托运，求可携带的免费行李的最大质量为多少公斤？
（2）如果旅客选择快递，当1≤x≤15时，求快递费y2（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式；
（3）某旅客携带25公斤的行李，设托运m（公斤）行李（10≤m＜24，m为正整数），剩下的行李选择快递，m为何值时，总费用y的值最小，总费用的最小值是多少？
【变式8-1】（2022春•正定县期中）弹簧挂物体会伸长，测得弹簧长度y（cm）（最长为20cm），与所挂物体质量x（kg）之间有下面的关系：
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，x是自变量，y是x的函数
B．所挂物体质量为6kg时，弹簧长度为11cm
C．y与x的函数表达式为y＝8+0.5x
D．挂30kg物体时，弹簧长度一定比原长增加15cm
【变式8-2】（2022秋•和平县期末）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）之间的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，射线CD平行于x轴）．有下列说法：①从开始观察起，60天后该植物停止长高；②直线AC的函数表达式为y=15x+6；③观察第40天时，该植物的高度为14厘米；④该植物最高为15厘米．其中说法正确的是（ ）
A．①②③B．②④C．②③D．①②③④
【变式8-3】（2022•阿城区模拟）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费，设每个家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，下列叙述错误的是（ ）
A．“基础电价”是0.5元/度
B．“提高电价”是0.6元/度
C．小红家5月份用电260度的电费是132元
D．小红家4月份198元电费的用电量是129度家用电器
进价（元/件）
售价（元/件）
A
m+200
1800
B
m
1700
车 型
运往地
甲 地（元/辆）
乙 地（元/辆）
大货车
720
800
小货车
500
650
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800元
1600元
B地区
1600元
1200元
C
D
总计/t
A
200
B
x
300
总计/t
240
260
500
县名
费用
仓库
A
B
甲
40
80
乙
30
50
组别
1
2
3
4
5
时间t（min）
0
10
20
30
40
水量w（ml）
1
2.4
3.8
5.2
6.8
行李的质量x（公斤）
快递费
不超过1公斤
10元
超过1公斤但不超过5公斤的部分
3元/公斤
超过5公斤但不超过15公斤的部分
5元/公斤
x/kg
0
1
2
3
4
…
y/cm
8
8.5
9
9.5
10
…
专题19.5 一次函数的应用【八大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc938" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Tc938 \h 1
\l "_Tc12344" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Tc12344 \h 5
\l "_Tc20080" 【题型3 利润最大问题】 PAGEREF _Tc20080 \h 9
\l "_Tc27537" 【题型4 费用最低问题】 PAGEREF _Tc27537 \h 14
\l "_Tc17025" 【题型5 调运问题】 PAGEREF _Tc17025 \h 19
\l "_Tc12713" 【题型6 体积问题】 PAGEREF _Tc12713 \h 23
\l "_Tc19323" 【题型7 几何图形问题】 PAGEREF _Tc19323 \h 26
\l "_Tc16020" 【题型8 其他问题】 PAGEREF _Tc16020 \h 29
【题型1 行程问题】
【例1】（2022春•大足区期末）甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当乙车到达A地时，甲车距A地 150 千米．
【分析】由图象可知甲车从A地到B地用了4小时，进而可知甲车的速度，得出A、B两地的距离是300千米，进而得出乙车到达A地的时间，进而可得答案．
【解答】解：由图象可知，甲车从A地到B地用了4小时，
∵经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地，
∴甲车从B地到C地用12﹣4＝8（小时），乙从B地到C地用了12小时，
∵A、C两地的距离是300千米，
∴甲车的速度是300÷（8﹣4）＝75（千米/时），
∴A、B两地之间的距离是75×4＝300（千米），
∴乙车从B地到达A地需要122=6（小时），
此时甲的路程为75×6＝450（千米），
∴甲车矩A地450﹣300＝150（千米），
故答案为：150．
【变式1-1】（2022•前进区校级开学）甲、乙两车从佳木斯出发前往哈尔滨，甲车先出发，1h以后乙车出发，在整个过程中，两车离开佳木斯的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）的对应关系如图所示：
（1）直接写出佳木斯、哈尔滨两城之间距离是多少km？
（2）求乙车出发多长时间追上甲车？
（3）直接写出甲车在行驶过程中经过多长时间，与乙车相距18km．
【分析】（1）由图象直接得出结论；
（2）先求出甲、乙车的速度，设乙出发x小时追上甲车，再根据路程相等列出方程，解方程即可；
（3）设甲车出发yh与乙车相距18km，分乙车出发前和出发后两种情况，根据路程差＝18列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由图象可知，佳木斯、哈尔滨两城之间距离是360km；
（2）由图象可知，乙车速度为360÷3＝120（km/h），甲车速度为360÷（4+1）＝72（km/h），
设乙出发x小时追上甲车，
根据题意得：120x＝72（x+1），
解得x=32，
答：乙车出发32小时追上甲车；
（3）设甲车出发yh与乙车相距18km，
①乙车出发前，
由题意得72y＝18，
解得y=14；
②乙车出发后，
由题意得：|72y﹣120（y﹣1）|＝18，
解得：y=238或x=5124，
综上所述，甲车在行驶过程中经过14h或5124h或238h与乙车相距18km．
【变式1-2】（2022秋•舞钢市期末）甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发6分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟；②甲出发30分钟时，两人在C地相遇；③乙到达A地时，甲与A地相距450米，其中正确的说法有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据图象可知A、B两地相距3720米；利用速度＝路程÷时间可求出甲、乙的速度，由二者相遇的时间＝6+A、B两地之间的路程÷二者速度和，可求出二者相遇的时间，再由A、C两地之间的距离＝甲的速度×二者相遇的时间可求出A、C两地之间的距离，由A、C两地之间的距离结合甲、乙的速度，可求出乙到达A地时甲与A地相距的路程．
【解答】解：由图象可知，A、B两地相距3720米，
甲的速度为（3720﹣3360）÷6＝60（米/分钟），
乙的速度为（3360﹣1260）÷（21﹣6）﹣60＝80（米/分钟），故①说法正确；
甲、乙相遇的时间为6+3360÷（60+80）＝30（分钟），故②说法正确；
A、C两地之间的距离为60×30＝1800（米），
乙到达A地时，甲与A地相距的路程为1800﹣1800÷80×60＝450（米）．故③说法正确．
即正确的说法有3个．
故选：D．
【变式1-3】（2022春•南川区期末）甲、乙两运动员在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步560米，先到终点的运动员原地休息．已知甲先出发1秒，两运动员之间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系如图所示．给出以下结论：①a＝7；②b＝63；③c＝80．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③C．①②D．①③
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得a、b、c的值，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象知，甲的速度为7÷1＝7（米/秒），
∵乙出发70秒后到达终点，
∴乙的速度为560÷70＝8（米/秒），
∵乙出发a秒时乙追上甲，
∴8a＝7（a+1），
解得：a＝7，
故①正确；
当乙到达终点时，甲走的路程为7×（70+1）＝497（米），
∴b＝560﹣497＝63（米），
故②正确；
当乙到达终点时，甲还需要走63÷7＝9（秒），
∴c＝70+9＝79（秒），
故③错误．
∴正确的是①②．
故选：C．
【题型2 工程问题】
【例2】（2022•李沧区一模）李沧区海绵工程建设过程中，需要将某小区内两段长度相等的人行道改造为透水人行道，人行道绿篱改造为下沉式绿篱．现分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设人行道的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图象，请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时间段内，y与x的函数关系式；
（2）若甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务，求甲队从开始施工到完成，所铺设的人行道共是多少米．
【分析】（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出函数关系式；
（2）利用待定系数法分别求出甲队在整个改造工程中y与x的函数关系式和乙队在x≥6的时间内y与x的函数关系式，再联立两函数关系式成方程组，解方程组即可求出结论．
【解答】解：（1）设乙队在2≤x≤6的时间段内，y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（2，30）、（6，50）代入y＝kx+b，得：
2k+b=306k+b=50，解得：k=5b=20，
∴乙队在2≤x≤6的时间段内，y与x的函数关系式为y＝5x+20，
（2）设甲队在整个改造工程中，y与x的函数关系式为y＝mx（m≠0），
将（6，60）代入y＝mx，得：
60＝6m，解得：m＝10，
∴甲队在整个改造工程中，y与x的函数关系式为y＝10x；
设乙队在x≥6的时间内，y与x的函数关系式为y＝12x+n，
将（6，50）代入y＝12x+n，得：
50＝12×6+n，解得：n＝﹣22，
∴乙队在x≥6的时间内，y与x的函数关系式为y＝12x﹣22．
联立两函数关系式成方程组，得：
y=10xy=12x−22，解得：x=11y=110．
答：甲队从开始施工到完成，所铺设的人行道共是110米．
【变式2-1】（2022春•华容县期末）某乳品公司向某地运输一批牛奶，由铁路运输每千克需运费0.60元，由公路运输，每千克需运费0.30元，另需补助600元．
（1）设该公司运输的这批牛奶为x千克，选择铁路运输时，所需运费为y1元，选择公路运输时，所需运费为y2元，请分别写出y1、y2与x之间的关系式；
（2）若公司只支出运费1500元，则选用哪种运输方式运送的牛奶多？若公司运送1500千克牛奶，则选用哪种运输方式所需用较少？
【分析】（1）由总价＝单价×数量+其他费用，就可以得出y与x之间的函数关系式；
（2）将y＝1500或x＝1500分别代入（1）的解析式就可以求出结论；
【解答】解：（1）y1＝0.6x，
y2＝0.3x+600．
（2）当y1＝1500时，x＝2500，
当y2＝1500时，x＝3000，
∵3000＞2500，
∴公路运输时运送的牛奶多．
当x＝1500时，y1＝900，y2＝1050，
∵1050＞900，
∴公司运送1500千克牛奶，铁路运输方式便宜．
【变式2-2】（2022春•庐江县期末）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为线段OA，乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为折线BC﹣﹣CD﹣﹣DE，如图所示，从甲队开始工作时计时．
（1）直接写出乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数关系式；
（2）当甲队清理完路面时，乙队还有多少米的路面没有铺设完？
【分析】（1）先求出乙队铺设路面的工作效率，计算出乙队完成需要的时间求出E的坐标，再由待定系数法就可以求出结论．
（2）由（1）的结论求出甲队完成的时间，把时间代入乙的解析式就可以求出结论．
【解答】解：（1）设线段BC所在直线对应的函数关系式为y＝k1x+b1．
∵图象经过（3，0）、（5，50），
∴3k1+b1=05k1+b1=50，
解得：
k1=25b1=−75，
∴线段BC所在直线对应的函数关系式为y＝25x﹣75．
设线段DE所在直线对应的函数关系式为y＝k2x+b2．
∵乙队按停工前的工作效率为：50÷（5﹣3）＝25，
∴乙队剩下的需要的时间为：（160﹣50）÷25=225，
∴E（10.9，160），
∴50=6.5k2+b2160=10.9k2+b2，
解得：k2=25b2=−112.5，
∴线段DE所在直线对应的函数关系式为y＝25x﹣112.5．
乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数关系式为
y=25x−75(3≤x＜5)y=50(5≤x＜6.5)y=25x−112.5(6.5≤x≤10.9)；
（2）由题意，得
甲队每小时清理路面的长为 100÷5＝20，
甲队清理完路面的时间，x＝160÷20＝8．
把x＝8代入y＝25x﹣112.5，得y＝25×8﹣112.5＝87.5．
当甲队清理完路面时，乙队铺设完的路面长为87.5米，
160﹣87.5＝72.5米，
答：当甲队清理完路面时，乙队还有72.5米的路面没有铺设完．
【变式2-3】（2022•无锡模拟）甲，乙两人同时各接受了300个零件的加工任务，甲比乙每小时加工的数量多，两人同时开工，其中一人因机器故障停止加工若干小时后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（小时）之间的函数关系，观察图象解决下列问题：
（1）其中一人因故障，停止加工 1 小时，C点表示的实际意义是 甲工作6小时完成任务 ．甲每小时加工的零件数量为 60 个；
（2）求线段BC对应的函数关系式和D点坐标；
（3）乙在加工的过程中，多少小时时比甲少加工75个零件？
（4）为了使乙能与甲同时完成任务，现让丙帮乙加工，直到完成．丙每小时能加工80个零件，并把丙加工的零件数记在乙的名下，问丙应在第多少小时时开始帮助乙？并在图中用虚线画出丙帮助后y与x之间的函数关系的图象．
【分析】（1）根据函数图象可以解答本题；
（2）根据题意和函数图象可以求得点C的坐标，从而可以求得线段BC对应的函数解析式；
（3）根据题意和图象可知它们相差75个零件在BC段和CD段，从而可以解答本题；
（4）根据题意和图象可以求得丙应在第多少小时时开始帮助乙，并在图中用虚线画出丙帮助后y与x之间的函数关系的图象．
【解答】解：（1）由题意可得，
其中一人因故障，停止加工2﹣1＝1小时，C点表示的实际意义是甲工作6小时完成任务，甲每小时加工的零件数量为：300÷（6﹣1）＝60个，
故答案为：1、甲工作6小时完成任务、60；
（2）设线段BC对应的函数关系式y＝kx+b，
点C的纵坐标是：300﹣60÷2×6＝120，
∴点C的坐标是（6，120）
2k+b=06k+b=120，得k=30b=−60，
即线段BC对应的函数关系式y＝30x﹣60，
点D的横坐标为：300÷（60÷2）＝10，
故点D的坐标为（10，0）；
（3）当y＝75时，75＝30x﹣60，得x＝4.5，
当在CD段时，当乙比甲少加工75个零件时的时间为：（300﹣75）÷30＝7.5（小时），
即当在4.5小时或7.5小时时，乙在加工的过程中，比甲少加工75个零件；
（4）由题意可得，
当x＝6时，y＝30×6﹣60＝120，
120÷80＝1.5，
∴丙应在第4.5小时时开始帮助乙，图象如右图所示．
【题型3 利润最大问题】
【例3】（2022春•遵义期末）钓鱼成为越来越多人休闲娱乐的选择，鱼密度大的鱼塘的门票在300﹣600元不等，这让爱好钓鱼的钓友们喜欢到能回鱼的鱼塘垂钓（回鱼是指钓友钓上的鱼返卖给塘主），如果鱼情和钓鱼技能好的话还能获得一些利润．欢乐鱼塘的门票为450元5小时，回鱼标准为56斤以内为12元/斤，超过56斤的部分7元/斤：云门鱼塘门票为320元5小时，回鱼标准是律按8元/斤．（斤是重量单位，1斤0.5千克），设钓友获得的利润为y元，鱼的重量为x斤．
（1）求在两家鱼塘钓鱼时y欢乐、y云门与x之间的函数关系式；
（2）如图，在平面直角坐标系中，M，N为图象的交点，m，n分别为点M，N的横坐标，写出图中m，n的值分别为 32.5 、 150 ；
（3）钓友会根据自己的钓鱼技能和鱼塘的回鱼标准选择不同的鱼塘垂钓，请帮钓友们分析选择在哪家鱼塘钓鱼更划算？
【分析】（1）根据利润＝回鱼金额﹣门票，结合鱼塘的不同回鱼方式列式即可；
（2）联立函数解析式求出点M、N的坐标即可；
（3）根据点M、N的坐标，结合函数图象判断即可．
【解答】解：（1）由题意得：当0≤x≤56时，y欢乐＝12x﹣450，
当x＞56时，y欢乐＝12×56+7（x﹣56）﹣450＝7x﹣170，
∴y欢乐=12x−450(0≤x≤56)7x−170(x＞56)；
y云门＝8x﹣320；
（2）联立y欢乐=12x−450(0≤x≤56)y云门=8x−320(x≥0)，
解得：x=32.5y=−56；
联立y欢乐=7x−170(x＞56)y云门=8x−320(x≥0)，
解得：x=150y=880，
∴M（32.5，﹣60），N（150，880），
∴m＝32.5，n＝150，
故答案为：32.5，150；
（3）∵M （32.5，﹣60），N （150，880），
∴由函数图象可得：当0≤x＜32.5时，y欢乐＜y云门，即在云门门鱼塘垂钓更划算；
当x＝32.5时，y欢乐＝y云门，即在欢乐鱼塘和云门鱼塘垂钓一样划算；
当32.5＜x＜150时，y欢乐＞y云门，即在欢乐鱼塘垂钓更划算；
当x＝150时，y欢乐＝y云门，即在欢乐鱼塘和云门鱼塘垂钓一样划算；
当x＞150，y欢乐＜y云门，即在云门鱼塘垂钓更划算；
综上，当0≤x＜32.5，x＞150时，在云门鱼塘垂钓更划算；当x＝325，x＝150时，在欢乐鱼塘和云门鱼塘垂钓一样划算；当32.5＜x＜150时，在欢乐鱼塘垂钓更划算．
【变式3-1】（2022春•武汉期末）某商店销售一种产品，该产品成本价为6元/件，售价为8元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．
图中的折线ODE表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件．
（1）第25天的日销量是 325 件，这天销售利润是 650 元；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？销售期间日销售最大利润是多少元？
【分析】（1）由时间每增加1天日销售量减少5件结合第22天的日销售量为340件，即可求出第24天的日销售量，再根据日销售利润＝每件的利润×日销售量，即可求出第24天的日销售利润；
（2）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线OD、DE的函数关系式，联立两函数关系式成方程组可求出点D的坐标，结合点E的横坐标，即可找出y与x之间的函数关系式；
（3）根据日销售量＝日销售利润÷每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入OD、DE的函数关系式中求出x值，将其相减加1即可求出日销售利润不低于640元的天数，再根据点D的坐标结合日销售利润＝每件的利润×日销售量，即可求出日销售最大利润．
【解答】解：（1）340﹣（25﹣22）×5＝325（件），
（8﹣6）×325＝650（元），
故答案为：325；650．
（2）设直线OD的函数关系式为y＝kx，
将（17，340）代入y＝kx，
得：340＝17k，
解得：k＝20．
∴直线OD的函数关系式为y＝20x．
设直线DE的函数关系式为y＝mx+n，
将（22，340）、（25，325）代入y＝mx+n，
22m+n=34025m+n=325，
解得：m=−5n=450，
∴直线DE的函数关系式为y＝﹣5x+450．
联立两函数解析式成方程组，
y=20xy=−5x+450，
解得：x=18y=360，
∴点D的坐标为（18，360）．
∴y与x之间的函数关系式为y=20x(0≤x≤18)−5x+450(18＜x≤30)．
（3）640÷（8﹣6）＝320（件），
当y＝320时，有20x＝320或﹣5x+450＝320，
解得：x＝16或x＝26，
∴26﹣16+1＝11（天），
∴日销售利润不低于640元的天数共有11天．
∵折线ODE的最高点D的坐标为（18，360），360×2＝720（元）．
∴当x＝18时，日销售利润最大，最大利润为720元．
【变式3-2】（2022•济宁二模）某商店购进了A，B两种家用电器，相关信息如下表：
已知用6000元购进的A种电器件数与用5000元购进的B种电器件数相同．
（1）求表中m的值．
（2）由于A，B两种家用电器热销，该商店计划用不超过23000元的资金再购进A，B两种电器总件数共20件，且获利不少于13300元．请问：有几种进货方案？哪一种方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）根据“用6000元购进的A种电器件数与用5000元购进的B种电器件数相同”列分式方程求解可得；
（2）设计划购进A种电器件数为x，根据购进总钱数不超过23000元及获利不少于13300元求得x的范围，依据题意列出总利润y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）由题意可得：
6000m+200=5000m，
解得：m＝1000，
经检验得：m＝1000是原方程的根，
答：m的值为1000；
（2）设计划购进A种电器件数为x，则
1200x+1000(20−x)≤23000600x+700(20−x)≥13300，
解得：x≤7，
则x可取的整数有0、1、2、3、4、5、6、7这8种，
故购进方案有8种，
设所获利润为y，
则y＝600x+700（20﹣x）＝﹣100x+14000，
∵y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，y取得最大值，最大值为14000元，
即进货方案为A种电器0台，B种电器20台时，利润最大，最大利润为14000元．
【变式3-3】（2022•长垣市模拟）某营业厅销售3部A型号手机和2部B型号手机的营业额为10800元，销售4部A型号手机和1部B型号手机的营业额为10400元．
（1）求每部A型号手机和B型号手机的售价；
（2）该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50部，其中B型号手机的进货数量不超过A型号手机数量的3倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元/部和1800元/部，设购进A型号手机a部，这50部手机的销售总利润为W元．
①求W关于a的函数关系式；
②该营业厅购进A型号和B型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多少元？
【分析】（1）根据3部A型号手机和2部B型号手机营业额10800元，4部A型号手机和1部B型号手机营业额10400元，构造二元一次方程组求解即可；
（2）①根据：每类手机利润＝单部手机利润×部数，总利润＝A型手机利润+B型手机利润，得函数关系式．注意a的取值范围．
②根据①的关系式，利用一元函数的性质得出结论．
【解答】解：（1）设每部A型号手机的售价为x元，每部B型号手机的售价为y元．
由题意，得3x+2y=108004x+y=10400
解得x=2000y=2400
（2）①由题意，得w＝（2000﹣1500）a+（2400﹣1800）（50﹣a），
即w＝30000﹣100a，
又∵50﹣a≤3a，
∴a≥252，
∴w关于a的函数关系式为w＝30000﹣100a（a≥252）；
②w关于a的函数关系式为w＝30000﹣100a，
∵k＝﹣100＜0，
∴w随a的增大而减小，
又∵a只能取正整数，
∴当a＝13时，总利润w最大，最大利润w＝30000﹣100×13＝28700
50﹣a＝37
答：该营业厅购进A型号手机13部，B型号手机37部时，销售总利润最大，最大利润为28700元
【题型4 费用最低问题】
【例4】（2022春•前郭县期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10km的出行市场现有A、B品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2．
（1）请求出两个函数关系式．
（2）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，小明家到工厂的距离为6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
（3）直接写出第几分钟，两种收费相差1.5元．
【分析】（1）根据图象设出函数解析式，再根据待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出小明从家到工厂所用时间为18min，再通过图象可知小于18min时选择A品牌电动车更省钱；
（3）分两种情况讨论，|y1﹣y2|＝1.5，分别解方程即可．
【解答】解：（1）设y1＝k1x，
把点（20，4）代入y1＝k1x，
得：k1＝0.2，
∴y1＝0.2x（x≥0）；
由图象可知，当0＜x≤10时，y2＝3，
当x＞10时，设y2＝k2x+b，
把点（10，3）和点（20，4）代入y2＝k2x+b中，
得：10k2+b=320k2+b=4，
解得：k2=0.1b=2，
∴y2＝0.1x+2，
综上所述：y2=3(0≤x≤10)0.1x+2(x＞10)；
（2）6÷20＝0.3（h），0.3h＝18min，
∵18＜20，
由图象可知，当骑行时间不足20min时，y1＜y2，即骑行A品牌的共享电动车更省钱．
∴小明选择A品牌的共享电动车更省钱；
（3）∵当x＝20min时两种收费相同，
∴两种收费相差1.5元分20min前和20min后两种情况，
①当x＜20时，离20min越近收费相差的越少，
当x＝10时，y1＝0.2×10＝2，y2＝3，
y2﹣y1＝3﹣2＝1，
∴要使两种收费相差1.5元，x应小于10，
∴y2﹣y1＝3﹣0.2x＝1.5，
解得：x＝7.5；
②当x＞20时，0.2x﹣（0.1x+2）＝1.5，
解得：x＝35．
∴在7.5分钟或35分钟，两种收费相差1.5元．
【变式4-1】（2022春•碑林区校级期末）某校张老师寒假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠．”则：
（1）设学生数为x（人），甲旅行社收费为y甲（元），乙旅行社收费为y乙（元），两家旅行社的收费各是多少？
（2）哪家旅行社收费较为优惠？
【分析】（1）设我校区级“三好学生”的人数为x人．则选甲旅行社时总费用＝400+400×50%x，选乙旅行社时总费用＝400×60%（x+1）；
（2）当400+400×50%x＜400×60%（x+1）时，甲旅行社较为优惠．反之，乙旅行社优惠，相等时，两旅行社一样．
【解答】解：（1）根据题意得，
甲旅行社时总费用：y甲＝400+400×50%x＝200x+400，
乙旅行社时总费用：y乙＝400×60%（x+1）＝240x+240；
（2）设我校区级“三好学生”的人数为x人，根据题意得：
400+400×50%x＜400×60%（x+1），
解得：x＞4，
当学生人数超过4人，甲旅行社比较优惠，当学生人数4人之内，乙旅行社比较优惠，刚好4人，两个旅行社一样．
【变式4-2】（2022春•滦南县期末）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是 18 元；甲复印社每张收费是 0.2 元；
（2）求出乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式，并说明一次项系数的实际意义；
（3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同；
（4）如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出乙复印社要求客户每月支付的承包费是多少元和甲复印社每张收费；
（2）先设出乙复印社一次函数解析式，用待定系数法可以求得，再说明一次项系数的实际意义；
（3）先求得甲复印社对应的函数关系式，然后令两个解析式的函数值相等，即可求得当复印多少页时，两复印社实际收费相同；
（4）将x＝200代入（2）（3）中的函数解析式，然后比较它们的大小，即可解答本题．
【解答】解：（1）由图可知，
乙复印社要求客户每月支付的承包费是18元；
甲复印社每张收费是10÷50＝0.2（元）．
故答案为：18；0.2；
（2）设乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝kx+b，
把（0，18）和（50，22）代入解析式得：
b=1850k+b=22，
解得：k=0.08b=18，
∴乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝0.08x+18，
一次项系数的实际意义为每张收费0.08元；
（3）由（1）知，甲复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝0.2x，
令0.2x＝0.08x+18，
解得，x＝150，
答：当每月复印150页时，两复印社实际收费相同；
（4）当x＝200时，
甲复印社的费用为：0.2×200＝40（元），
乙复印社的费用为：0.08×200+18＝34（元），
∵40＞34，
∴当x＝200时，选择乙复印社．
【变式4-3】（2022春•石河子期末）某种黄金饰品在甲、乙两个商店销售，甲店标价280元/克，按标价出售，不优惠，乙店标价300元/克，但若买的黄金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．
（1）分别写出到甲、乙商店购买该种黄金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系，并写出定义域；
（2）李阿姨要买一条重量不超过10克的此种黄金饰品，到哪个商店购买最合算？请说明理由．
【分析】（1））根据等量关系“去甲商店购买所需费用＝标价×重量”“去乙商店购买所需费用＝标价×3+标价×0.8×超出3克的重量（x＞3）；当x≤3时，y乙＝530x，”列出函数关系式；
（2）通过比较甲乙两商店费用的大小，得到购买一定重量的黄金饰品去最合算的商店．
【解答】解：（1）到甲商店购买所需费用y和重量x之间的函数关系为：y甲＝280x，（x≥0），
到乙商店购买所需费用y和重量x之间的函数关系：
当0≤x≤3时，y乙＝300x，
当x＞3时，y乙＝300×3+300×0.8×（x﹣3）＝240x+180；
（2）当0＜x≤3时，显然y甲＜y乙，故此时到甲商店购买合算；
①当y甲＝y乙时，即：280x＝240x+180，解得：x＝4.5，
∴当x＝4.5时，到甲、乙两商店购买一样；
②当y甲＜y乙时，即：280x＜240x+180，解得：x＜4.5，
∴当x＜4.5时，到甲商店购买合算；
③当y甲＞y乙时，即：280x＞240x+180，解得：x＞4.5，
∴当x＞4.5时，到乙商店购买合算；
综上，当0＜x＜4.5时，到甲商店购买合算；当x＝4.5时，到两商店购买一样合算；当4.5＜x≤10时，到乙商店购买合算．
【题型5 调运问题】
【例5】（2022•贺兰县模拟）云南某县境内发生地震，某市积极筹集救灾物资260吨从该市区运往该县甲、乙两地，若用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于132吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
【分析】（1）首先设大货车用x辆，则小货车用（20﹣x）辆，利用所运物资为260吨得出等式方程求出即可；
（2）根据安排9辆货车前往甲地，前往甲地的大货车为a辆，得出小货车的辆数，进而得出w与a的函数关系；
（3）根据运往甲地的物资不少于132吨，则16a+10（9﹣a）≥132即可得出a的取值范围，进而得出最佳方案．
【解答】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（20﹣x）辆，根据题意得
16x+10（20﹣x）＝260，
解得：x＝10，
则20﹣x＝10．
答：大货车用10辆，小货车用10辆．
（2）由题意得出：
w＝720a+800（10﹣a）+500（9﹣a）+650[10﹣（9﹣a）]＝70a+13150，
则w＝70a+13150（0≤a≤9且为整数）．
（3）由16a+10（9﹣a）≥132，
解得a≥7．
又∵0≤a≤9，
∴7≤a≤9且为整数．
∵w＝70a+13150，k＝70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a＝7时，w最小，最小值为W＝70×7+13150＝13640．
答：使总运费最少的调配方案是：7辆大货车、2辆小货车前往甲地；3辆大货车、8辆小货车前往乙地．最少运费为13640元．
【变式5-1】（2022春•扎鲁特旗期末）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；
（2）试问有无可能一天获得总租金是80050元？若有可能，请写出相应的调运方案；若无可能，请说明理由．
【分析】（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，则派往B地区x台乙型联合收割机为（30﹣x）台，派往A、B地区的甲型联合收割机分别为（30﹣x）台和（x﹣10）台，然后根据价格表列出y与x之间的函数关系式即可；
（2）将y＝80050代入（1）中所得的函数关系式求得x的值，然后进行判断即可．
【解答】解：（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，则派往B地区乙型联合收割机为（30﹣x）台，派往A、B地区的甲型联合收割机分别为（30﹣x）台和（x﹣10）台，
∴y＝1600x+1200（30﹣x）+1800（30﹣x）+1600（x﹣10）＝200x+74000；
（2）当y＝80050时，
80050＝200x+74000，解得：x＝30.32＞30，不符合题意，
∴不可能使一天获得总租金是80050元．
【变式5-2】（2022春•海淀区校级期末）某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾民安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：
（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【分析】（1）根据题意，用240减x可得需要从A处调运的数量；用200减去（240﹣x）可得从A调研往D处的数量；300减去x即为从B调运往D处的数量；
（2）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得w与x的函数关系，列不等式组可解；
（3本题根据x的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当0＜m＜2时；当m＝2时；当2＜m＜15时．
【解答】解：（1）填表如下：
依题意得：20（240﹣x）+25（x﹣40）＝15x+18（300﹣x）
解得：x＝200
两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值为200．
（2）w与x之间的函数关系为：w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝2x+9200
由题意得：240−x≥0x−40≥0x≥0300−x≥0
∴40≤x≤240
∵在w＝2x+9200中，2＞0
∴w随x的增大而增大
∴当x＝40时，总运费最小
此时调运方案为：
（3）由题意得w＝（2﹣m）x+9200
∴0＜m＜2，（2）中调运方案总费用最小；
m＝2时，在40≤x≤240的前提下调运方案的总费用不变；
2＜m＜15时，x＝240总费用最小，其调运方案如下：
【变式5-3】（2022春•巴南区月考）某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现要调往A县10辆，调往B县8辆，已知调运一辆农用车的费用如表：
（1）设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式．
（2）若要求总运费不超过900元．共有哪几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
【分析】（1）若乙仓库调往A县农用车x辆，那么乙仓库调往B县农用车、甲给A县调农用车、以及甲县给B县调车数量都可表示出来，然后依据各自运费，把总运费表示即可；
（2）若要求总运费不超过900元，则可根据（1）列不等式求解；
（3）在（2）的基础上，求出最低运费即可．
【解答】解：（1）若乙仓库调往A县农用车x辆（x≤6），则乙仓库调往B县农用车6﹣x辆，A县需10辆车，故甲给A县调农用车10﹣x辆，那么甲仓库给B县调车8﹣（6﹣x）＝x+2辆，根据各个调用方式的运费可以列出方程如下：y＝40（10﹣x）+80（x+2）+30x+50（6﹣x），
化简得：y＝20x+860（0≤x≤6）；
（2）总运费不超过900，即y≤900，代入函数关系式得20x+860≤900，
解得x≤2，所以x＝0，1，2，
即如下三种方案：
1、甲往A：10辆；乙往A：0辆甲往B：2辆；乙往B：6辆，
2、甲往A：9；乙往A：1甲往B：3；乙往B：5，
3、甲往A：8；乙往A：2甲往B：4；乙往B：4；
（3）要使得总运费最低，由y＝20x+860（0≤x≤6）知，x＝0时y值最小为860，
即上面（2）的第一种方案：甲往A：10辆；乙往A：0辆；甲往B：2辆；乙往B：6辆，
总运费最少为860元．
【题型6 体积问题】
【例6】（2022秋•邗江区月考）某水池的容积为90m3，水池中已有水10m3，现按8m3/h的流量向水池注水．
（1）写出水池中水的体积y（m3）与进水时间t（h）之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t＝1时，求y的值；当y＝50时，求t的值．
【分析】（1）利用水池中已有水10m3，现按8m3/h的流量向水池注水，进而得出y与t的关系式，再利用水池的容积为90m3，得出t的取值范围；
（2）利用（1）中所求，得出y以及t的值．
【解答】解：（1）由题意可得：
y＝10+8t，（0≤t≤10）；
（2）由（1）得：y＝10+8×1＝18，
当y＝50时，50＝10+8t，
解得：t＝5，
答：y的值为18，t的值为5．
【变式6-1】（2022春•北京期末）如图，有一个装水的容器，容器内的水面高度是10cm，水面面积是100cm2．现向容器内注水，并同时开始计时．在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加．容器注满水之前，容器内水面的高度h，注水量V随对应的注水时间t的变化而变化，则h与t，V与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，正比例函数关系
B．正比例函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，正比例函数关系
【分析】根据题意可得容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系式，进而判断出相应函数类型；根据注水量＝水面面积×水面上升的高度，即可得到V与t满足的函数关系．
【解答】解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：
h＝0.2t+10，
∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．
V＝100×0.2t＝20t，
∴注水量V与对应的注水时间t满足的函数关系是正比例函数关系．
故选：D．
【变式6-2】（2022春•梁子湖区期末）水龙头关闭不严会造成漏水浪费，已知漏水量与漏水时间之间满足一次函数关系，八年级同学进行了以下实验：在漏水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每10分钟记录一次容器中的水量．下表是一位同学的记录结果，老师发现有一组数据记录有较大偏差，它是（ ）
A．第2组B．第3组C．第4组D．第5组
【分析】根据漏水量与漏水时间为一次函数关系，通过分析表中数据即可得出结论．
【解答】解：∵漏水量与漏水时间为一次函数关系，
∴每隔10分钟增加的水量是相同的，即2.4﹣1＝3.8﹣2.4＝5.2﹣3.8≠6.8﹣5.2，
∴第5组数据有偏差，
故选：D．
【变式6-3】（2022•宣城模拟）某容器有一个进水管和一个出水管，从某时刻开始的前4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水．已知进水管进水的速度与出水管出水的速度是两个常数，容器内水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示．则每分钟的出水量为（ ）
A．4升B．152升C．154升D．134升
【分析】根据图象先求出每分钟进水量，然后根据图象求出既出水又进水时，每分钟进水量，即可求出每分钟出水量．
【解答】解：根据图像可知，4分钟进水量为20L，
∴1分钟进水量为：204=5（L），
∵8分钟内既进水又出水时，进水量为10L，
∴这段时间内1分钟进水量为：108=54（L），
∴1分钟出水量为：5−54=154（L），
故选：C．
【题型7 几何图形问题】
【例7】（2022春•交城县期末）菜农张大叔要用63米的篱笆围一个矩形的菜地，已知在菜地的一边AB边上留有1米宽的入口．设AB边的长为x，BC边的长为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y=63−2x2B．y=63−2x+12C．y＝63﹣2xD．y=632−12x
【分析】由于AB边的长为x米，利用2BC＝周长﹣2AB，即得．
【解答】解：AB边的长为x米，则BC边长为y=63−2x+12米，
∴y与x之间的函数关系式为y=63−2x+12．
故选：B．
【变式7-1】（2022春•阿荣旗期末）已知等腰三角形周长为20
（1）写出底边长y关于腰长x的函数解析式（x为自变量）；
（2）写出自变量的取值范围；
（3）在直角坐标系中，画出函数图象．
【分析】根据等腰三角形底边与要的关系，可得函数解析式；
（2）根据两腰的和小于周长，两边之和大于第三边，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（3）根据描点法，可得函数图象．
【解答】解：（1）写出底边长y关于腰长x的函数解析式是 y＝﹣2x+20；
（2）两腰的和小于周长，两边之和大于第三边得2x＜202x＞−2x+20
解得5＜x＜10，
自变量的取值范围是5＜x＜10；
（3）如图：
．
【变式7-2】（2022秋•富民县校级期末）如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从A点出发，在正方形的边上由A⇒B⇒C⇒D运动，设运动的时间为t（s），△APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图所示，请回答下列问题：
（1）点P在AB上运动的速度为 1cm/s ，在CD上运动的速度为 2cm/s ；
（2）求出点P在CD上时S与t的函数关系式；
（3）t为何值时，△APD的面积为10cm2？
【分析】（1）直接根据函数图象上坐标可求出点P在AB上运动的速度为66=1cm/s，在CD上运动的速度为63=2cm/s；
（2）用t表示PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t，代入面积公式可求S＝90﹣6t；
（3）通过图象可知，△APD的面积为10cm2．即S＝10，分别在S＝3t和S＝90﹣6t，上代入即可求得t=103，t=403．
【解答】解：（1）点P在AB上运动的速度为66=1cm/s，在CD上运动的速度为63=2cm/s；
（2）PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t，
S=12AD•PD=12×6×（30﹣2t）＝90﹣6t；
（3）当0≤t≤6时，S＝3t，
△APD的面积为10cm2，即S＝10时，
3t＝10，t=103，
当12≤t≤15时，90﹣6t＝10，t=403，
所以当t为103（s）、403（s）时，△APD的面积为10cm2．
【变式7-3】（2022春•泰和县期末）如图1是一个大型的圆形花坛建筑物（其中AB与CD是一对互相垂直的直径），小川从圆心O出发，按图中箭头所示的方向匀速散步，并保持同一个速度走完下列三条线路：①线段OA、②圆弧A→D→B→C、③线段CO后，回到出发点．记小川所在的位置距离出发点的距离为y（即所在位置与点O之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，（注：圆周率π取近似值3）
（1）a＝ 120 ，b＝ 11 ．
（2）当t≤2时，试求出y关于t的关系式；
（3）在沿途某处小川遇见了他的好朋友小翔并聊了两分钟的时间，然后继续保持原速回到终点O，请回答下列两小问：
①小川渝小翔的聊天地点位于哪两点之间？并求出此时他距离终点O还有多远；
②求他此行总共花了多少分钟的时间．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得a、b的值，从而可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据可以求得当t≤2时，y关于t的关系式；
（3）①根据题意和函数图象可以判断小川与小翔的聊天地点位于哪两个点之间，计算出此时他距离终点O的距离；
②根据图象中的数据可以得到他此行总共花了多少分钟的时间．
【解答】解：（1）由题意可得，
a＝（60÷1）×2＝120，b=2π×12060÷1×34+2=2×3×12060×34+2=11，
故答案为：120，11；
（2）设t≤2时，y关于t的关系式是y＝kt，
k×1＝60，得k＝60，
即t≤2时，y关于t的关系式是y＝60t；
（3）①由函数图象可知，小川与小翔的聊天地点位于CO两点之间，
此时他距离终点O的距离为：120﹣（14.5﹣2﹣11）×60＝120﹣90＝30（米），
即此时他距离终点O的距离为30米；
②由题意可得，
他此行总共花的时间为：11+2+2＝15（分钟），
即他此行总共花了15分钟．
【题型8 其他问题】
【例8】（2022春•昌平区期末）某旅客携带x（公斤）的行李乘飞机，登机前，旅客可选择托运或快递行李，托运费y1（元）与行李质量x（公斤）的对应关系由如图所示的一次函数图象确定，下表列出了快递费y2（元）与行李质量x（公斤）的对应关系，
（1）如果旅客选择托运，求可携带的免费行李的最大质量为多少公斤？
（2）如果旅客选择快递，当1≤x≤15时，求快递费y2（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式；
（3）某旅客携带25公斤的行李，设托运m（公斤）行李（10≤m＜24，m为正整数），剩下的行李选择快递，m为何值时，总费用y的值最小，总费用的最小值是多少？
【分析】（1）观察图象找出两点的坐标，利用待定系数法可求出托运费y1（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式，将y1＝0代入函数关系式中即可得出结论；
（2）根据表格中的数据，分x＝1、1＜x≤5、5＜x≤15三部分找出快递费y2（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式；
（3）分10≤m＜20以及20≤m＜24两种情况找出y关于m的函数关系式，根据一次函数的性质可找出y的取值范围，找出当y取最小值时m的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设托运费y1（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式为y1＝kx+b，
将（30，300）、（50，900）代入y1＝kx+b，
30k+b=30050k+b=900，解得：k=30b=−600，
∴托运费y1（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式为y1＝30x﹣600．
当y1＝30x﹣600＝0时，x＝20．
答：可携带的免费行李的最大质量为20公斤．
（2）根据题意得：当x＝1时，y2＝10；
当1＜x≤5时，y2＝10+3（x﹣1）＝3x+7；
当5＜x≤15时，y2＝10+3×（5﹣1）+5（x﹣5）＝5x﹣3．
综上所述：快递费y2（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式为y2=10(x=1)3x+7(1＜x≤5)5x−3(5＜x≤15)．
（3）当10≤m＜20时，5＜25﹣m≤15，
∴y＝y1+y2＝0+5×（25﹣m）﹣3＝﹣5m+122．
∵10≤m＜20，
∴22＜y≤72；
当20≤m＜24时，1＜25﹣m≤5，
∴y＝y1+y2＝30m﹣600+3×（25﹣m）+7＝27m﹣518．
∵20≤m＜24，
∴22≤y＜130．
综上可知：当m＝20时，总费用y的值最小，最小值为22．
答：当托运20公斤、快递5公斤行李时，总费用最少，最少费用为22元．
【变式8-1】（2022春•正定县期中）弹簧挂物体会伸长，测得弹簧长度y（cm）（最长为20cm），与所挂物体质量x（kg）之间有下面的关系：
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，x是自变量，y是x的函数
B．所挂物体质量为6kg时，弹簧长度为11cm
C．y与x的函数表达式为y＝8+0.5x
D．挂30kg物体时，弹簧长度一定比原长增加15cm
【分析】根据变量、自变量的定义以及表格中的数据即可判断．
【解答】解：A、x与y都是变量，x是自变量，y是x的函数，故A不符合题意；
B、所挂物体为6kg，弹簧长度为8+6×0.5＝11cm，故B不符合题意；
C、物体每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm，
∴y与x的函数表达式为y＝8+0.5x，故C不符合题意；
D、∵弹簧长度最长为20cm
∴“挂30kg物体时，弹簧长度一定比原长增加15cm，”不可能，
故D符合题意
故选：D．
【变式8-2】（2022秋•和平县期末）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）之间的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，射线CD平行于x轴）．有下列说法：①从开始观察起，60天后该植物停止长高；②直线AC的函数表达式为y=15x+6；③观察第40天时，该植物的高度为14厘米；④该植物最高为15厘米．其中说法正确的是（ ）
A．①②③B．②④C．②③D．①②③④
【分析】①根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；
②设线段AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出线段AC线段的解析式，
③把x＝40代入②的结论进行计算即可得解；
③把x＝50代入②的结论进行计算即可得解．
【解答】解：∵CD∥x轴，
∴从第50天开始植物的高度不变，
故①错误；
设线段AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵经过点A（0，6），B（30，12），
∴30k+b=12b=6，
解得k=15b=6，
所以，线段AC的解析式为y=15x+6（0≤x≤50），
故②正确；
当x＝40时，y=15×40+6＝14，
即第40天，该植物的高度为14厘米；
故③正确；
当x＝50时，y=15×50+6＝16，
即第50天，该植物的高度为16厘米；
故④错误．
故选：C．
【变式8-3】（2022•阿城区模拟）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费，设每个家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，下列叙述错误的是（ ）
A．“基础电价”是0.5元/度
B．“提高电价”是0.6元/度
C．小红家5月份用电260度的电费是132元
D．小红家4月份198元电费的用电量是129度
【分析】选项A由用电240度费用为120元即可得出“基础电价”；选项B由（216﹣120）÷（400﹣240）即可得出“提高电价”；选项C根据选项A和选项B的结论计算即可；选项D利用待定系数法求出x＞240时的函数解析式，再把y＝198代入计算即可．
【解答】解：A．“基础电价”是120240=0.5（元/度），故本选项不合题意；
B．“提高电价”是（216﹣120）÷（400﹣240）＝0.6（元/度），故本选项不合题意；
C．小红家5月份用电260度的电费是：120+0.6×（260﹣240）＝132（元），故本选项不合题意；
D．当x＞240时，设y＝kx+b，
由图象可得：240k+b=120400k+b=216，
解得k=0.6b=−24，
∴y＝0.6x﹣24（x＞240），
当y＝198时，0.6x﹣24＝198，
解得x＝370，
即小红家4月份198元电费的用电量是370度，故本选项符合题意．
故选：D．家用电器
进价（元/件）
售价（元/件）
A
m+200
1800
B
m
1700
车 型
运往地
甲 地（元/辆）
乙 地（元/辆）
大货车
720
800
小货车
500
650
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800元
1600元
B地区
1600元
1200元
C
D
总计/t
A
（240﹣x）
（x﹣40）
200
B
x
（300﹣x）
300
总计/t
240
260
500
C
D
总计/t
A
（240﹣x）
（x﹣40）
200
B
x
（300﹣x）
300
总计/t
240
260
500
县名
费用
仓库
A
B
甲
40
80
乙
30
50
组别
1
2
3
4
5
时间t（min）
0
10
20
30
40
水量w（ml）
1
2.4
3.8
5.2
6.8
行李的质量x（公斤）
快递费
不超过1公斤
10元
超过1公斤但不超过5公斤的部分
3元/公斤
超过5公斤但不超过15公斤的部分
5元/公斤
x/kg
0
1
2
3
4
…
y/cm
8
8.5
9
9.5
10
…
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