人教版八年级数学下册举一反三20.1数据的分析【八大题型】(学生版+解析)

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专题20.1 数据的分析【八大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc25104" 【题型1 求一组数据的平均数、中位数、众数或方差】  PAGEREF _Toc25104 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc20303" 【题型2 已知平均数、中位数、众数或方差求未知数据的值】  PAGEREF _Toc20303 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc2488" 【题型3 利用平均数、中位数、众数或方差做决策】  PAGEREF _Toc2488 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc22974" 【题型4 利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】  PAGEREF _Toc22974 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc6879" 【题型5 出错情况下的统计量问题】  PAGEREF _Toc6879 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc30481" 【题型6 利用方差判断稳定性】  PAGEREF _Toc30481 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc10792" 【题型7 四种统计量的选择】  PAGEREF _Toc10792 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc1679" 【题型8 统计量的综合应用】  PAGEREF _Toc1679 \h 7【知识点1 平均数】 平均数：加权平均数：（、…的权分别是、…）新数据的平均数：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）。【知识点2 众数与中位数】众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。【知识点3 方差】方差：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。【题型1 求一组数据的平均数、中位数、众数或方差】【例1】（2022·四川成都·三模）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），则这50名学生图书阅读数量的中位数，众数和平均数分别是（　　）A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.5【变式1-1】（2022·安徽合肥·八年级期末）已知一组数据5，15，75，45，25，75，45，25，45，35，那么45是这组数据的（    ）A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差【变式1-2】（2022·黑龙江绥化·八年级期末）小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下表：由于不小心第4日及方差两个数据被墨迹污染，这两个数据是_____．【变式1-3】（2022·山东济宁·八年级期末）小明八年级下学期的数学成绩如下表所示：(1)计算小明该学期的平时平均成绩．(2)如果按平时占20％，期中占30％，期末占50％计算学期的总评成绩．请计算出小明该学期的总评成绩．【题型2 已知平均数、中位数、众数或方差求未知数据的值】【例2】（2022·江苏·九年级专题练习）已知一组数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，若该组数据的中位数小于4，则a的值可能是（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【变式2-1】（2022·内蒙古呼和浩特·三模）已知一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，且m，n是一元二次方程x2−7x+k=0的两个根，则这组数据的中位数是（    ）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【变式2-2】（2023·河北·九年级专题练习）佳佳同学5次上学途中所花时间（单位：min）x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2的值为（    ）A．192 B．200 C．208 D．400【变式2-3】（2023·江西·九年级专题练习）已知一组从小到大排列的整数：x，3，y，2x，4，有唯一的众数4，则这组数据的中位数是______．【题型3 利用平均数、中位数、众数或方差做决策】【例3】（2018·北京房山·二模）某校广播台要招聘一批小主持人，对A、B两名小主持人进行了专业素质、创新能力、外语水平和应变能力进行了测试，他们各项的成绩（百分制）如表所示：如果只招一名主持人，该选用______；依据是_____．（答案不唯一，理由支撑选项即可）【变式3-1】（2022·湖南·邵阳县教育科学研究室七年级期末）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵葡萄树，每棵葡萄树产量的平均数x（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示：今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是______．【变式3-2】（2022·全国·八年级单元测试）甲、乙两班各有45人，某次数学考试成绩的中位数分别是88分和90分，若90分及90分以上为优秀，则优秀人数多的班级是________.【变式3-3】（2013·山西·八年级期末）为了解我市初三女生的体能状况，从某校初三的甲、乙两班中各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如右表．如果每分钟跳绳次数≥105次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是__________________________．【题型4 利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】【例4】（2022·安徽阜阳·八年级期末）已知一组数据a、b、c的平均数为5，则2a−3、2b−3、2c−3的平均数是___________．【变式4-1】（四川省德阳市绵竹市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如果m个数的平均数是a，另外n个数的平均数是b，那么，这m+n个数的平均数是_______．【变式4-2】（辽宁省葫芦岛市建昌县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）将一组数据的每一个数都减去30，所得新的一组数据的平均数是1，则原来那组数据的平均数为(   )A．31 B．30 C．1 D．29【变式4-3】（浙江省杭州市三校2022-2023学年八年级下学期期中检测数学试题）已知数据1，2，3，4的平均数为k1；数据5，6，7，8的平均数为k2；k1与k2的平均数是k；数据1，2，3，4，5，6，7，8的平均数为m，那么k与m的关系是（    ）A．k>m B．k=m C．k1.64C．x>7.5，s2<1.64 D．x=7.5，s2<1.64【题型6 利用方差判断稳定性】【例6】（2022·全国·八年级）山西省是全国马铃薯主产区之一，在“十四五”期间，我省围绕“品种提高单产，品质提升效益”的思路，实施具有山西特色的“优薯计划”．因为鲜食马铃薯适宜储藏温度为了心－5℃，所以整个储藏期间冷库的温度要求稳定，波动不超过＋1℃．如图是根据甲、乙两个马铃薯储藏冷库5次温度检测制作的折线统计图，你认为_______马铃薯储藏冷库的温度更稳定．（填”甲”或“乙”）【变式6-1】（2022·北京·二模）要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛，在赛前对他们进行了一次选拔赛，下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线．你认为应该选择______（填“小华”或“小明”）参加射击比赛；理由是__________．【变式6-2】（2022·湖南·涟源市长郡蓝田中学七年级期末）甲、乙两人进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：(1)甲、乙两人射击成绩的平均数、方差分别是多少？(2)谁的射击成绩更稳定？【变式6-3】（2022·浙江·浣江教育八年级期中）某中学开展防疫知识线上竞赛活动，九年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为100分）如图所示．(1)求九（1）班的平均数和九（2）班的中位数；(2)计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐．【题型7 四种统计量的选择】【例7】（浙江省绍兴市新昌县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）2021年，党中央国务院赋予浙江省建设“共同富裕示范区”的光荣使命．共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕，下列有关人均收入的统计量特征中，最能体现共同富裕要求的是（    ）A．平均数大，方差大 B．平均数大，方差小C．平均数小，方差小 D．平均数小，方差大【变式7-1】（四川省南充市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）数学李老师回忆当年大学毕业参加公招，笔试成绩88分，进入前二分之一再面试．这个描述用到的统计量是所有笔试者成绩的（    ）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【变式7-2】（2022年黑龙江省佳木斯市前进区九年级第二次模拟考试数学试题）某运动员为备战南京青奥会，刻苦进行训练，为了判断他的成绩是否稳定，教练对他近阶段10次训练的成绩进行统计和分析，那么教练最需要了解该运动员这10次成绩的（    ）A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数【变式7-3】（2022•江阴市校级三模）期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，林老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考79分以上，一半的学生考不到79分．”王老师：“我班大部分的学生都考在80分到85分之间喔．”依照上面两位老师所叙述的话你认为林、王老师所说的话分别针对（　　）A．平均数、众数 B．平均数、极差 C．中位数、方差 D．中位数、众数【题型8 统计量的综合应用】【例8】（2022·江苏盐城·九年级期中）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．甲、乙两种西瓜得分表甲、乙两种西瓜得分统计表(1)a=_______，b=_______，c=_______；(2)从离散程度看， 种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；(3)小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．【变式8-1】（重庆市万州区2019-2020学年八年级下学期期末数学试题）为了让万州区义务教育阶段学生更加深入地了解新型冠状肺炎，从而增强学生的自我防护意识，万州区教委组织了一次新型冠状肺炎相关防疫知识竞赛，通过学校选拔和推荐，对进入此次决赛的小学组和初中组各20名学生的成绩进行了整理和分析，给出了部分信息如下：小学组学生决赛成绩统计如下： (满分： 100 分)表1初中组学生决赛成绩统计如下： (满分： 100分)表 2整理数据：(用X表示学生决赛成绩)表3分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：表41表中a= ，b= ；2本次决赛各组分别设一等奖2名，二等奖3名，三等奖5名，在初中的小虎在此次决赛中成绩为86分，他说只要知道一个数据就能确定是否得奖了，你认为他是根据 知道的 (填"平均数”、”中位数”、”众数”、"优秀率") ；3根据表4中的数据，你认为哪个组在此次决赛中表现比较好？请说明理由．【变式8-2】（云南省昭通市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）为弘扬民族精神，传播传统文化，某县教育系统将组织“弘扬传统文件化，永承华夏辉煌”的演讲比赛．某校各年级共推荐了19位同学参加初赛（校级演讲比赛），初赛成绩排名前10的同学进入决赛．(1)若初赛结束后，每位同学的分数互不相同．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的______；（填：平均数或众数或中位数）(2)若初赛结束后，这19位同学的成绩如下：2号选手笑着说：“我的成绩代表着咱们这19位同学的平均水平呀！”14号选手说：“与我同分数的选手最多，我的成绩代表着咱们这19位选手的大众水平嘛！”请问，这19位同学成绩的平均数为______，众数为______；(3)已知10号选手与15号选手经常参加此类演讲比赛，她俩想看看近期谁的成绩较好、较稳定，她俩用近三次同时参加演讲比赛的成绩计算得到平均分一样，10号选手的方差为0.5，15号选手的方差为0.38．你认为______号选手的成绩比较稳定．【变式8-3】（江苏省盐城市大丰区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，每组20人，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）甲组成绩统计表：根据上面的信息，解答下列问题：(1)甲组的平均成绩为______分，甲组成绩的中位数是______，乙组成绩统计图中m=______，乙组成绩的众数是______；(2)根据图表信息，请你判断哪个小组的成绩更加稳定？只需要直接写出结论．日期一二三四五方差平均气温最低气温13253考试类别平时成绩期中成绩期末成绩单元1单元2单元3单元4单元5成绩87848183908688应聘者专业素质创新能力外语水平应变能力A73857885B81828075品种甲乙丙丁平均数（x）21242525方差（S2）1.81.91.82班级人数中位数平均数甲班2710497乙班2710696命中环数/环78910甲命中的频数/次2201乙命中的频数/次1310序号1234567甲种西瓜（分)75858688909696乙种西瓜（分)80838790909294平均数中位数众数甲种西瓜ab96乙种西瓜8890c678988657576808588929810066738686879586787683896868958386866777869084681008673938660≤x<7070≤x<8080≤x<9090分及以上小学组学生决赛成绩3494初中组学生决赛成绩4394平均数中位数众数优秀率（80分及以上）小学组学生决赛成绩8386b65%初中组学生决赛成绩82.2a8665%签号12345678910成绩8.59.19.28.69.38.89.68.98.79.7签号111213141516171819成绩9.89.18.99.39.68.898.79.3成绩78910人数1955专题20.1 数据的分析【八大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc25104" 【题型1 求一组数据的平均数、中位数、众数或方差】  PAGEREF _Toc25104 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc20303" 【题型2 已知平均数、中位数、众数或方差求未知数据的值】  PAGEREF _Toc20303 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2488" 【题型3 利用平均数、中位数、众数或方差做决策】  PAGEREF _Toc2488 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc22974" 【题型4 利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】  PAGEREF _Toc22974 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc6879" 【题型5 出错情况下的统计量问题】  PAGEREF _Toc6879 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc30481" 【题型6 利用方差判断稳定性】  PAGEREF _Toc30481 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc10792" 【题型7 四种统计量的选择】  PAGEREF _Toc10792 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc1679" 【题型8 统计量的综合应用】  PAGEREF _Toc1679 \h 17【知识点1 平均数】 平均数：加权平均数：（、…的权分别是、…）新数据的平均数：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）。【知识点2 众数与中位数】众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。【知识点3 方差】方差：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。【题型1 求一组数据的平均数、中位数、众数或方差】【例1】（2022·四川成都·三模）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），则这50名学生图书阅读数量的中位数，众数和平均数分别是（　　）A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.5【答案】C【分析】利用折线统计图得到50个数据，其中第25个数为12，第26个数是18，从而得到数据的中位数，再求出众数和平均数【详解】解：由折线统计图得这组数据的中位数为（12+18）÷2＝15，众数为12，平均数为（7×8+12×17+18×15+21×10）÷50＝14.8故选：C．【点睛】本题考查了数据的集中趋势，理解相关统计量的意义及从折现统计图准确读取数据是解题关键．【变式1-1】（2022·安徽合肥·八年级期末）已知一组数据5，15，75，45，25，75，45，25，45，35，那么45是这组数据的（    ）A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差【答案】A【分析】将数据重新排列，再根据众数、中位数、平均数及方差的定义计算即可解答．【详解】解：将这组数据重新排列为：5，15，25，25，35，45，45，45，75，75，所以这组数据的众数为45，中位数为35+452=40，平均数为110×5+15+25+25+35+45+45+45+75+75=39，∴其方差为110×[(5−39)2+(15−39)2+2×(25−39)2+(35−39)2+3×(45−39)2+2×75−39)2=482.4，故选：A．【点睛】本题主要考查方差、众数、中位数、平均数等知识点，解题的关键是灵活运用相关定义．【变式1-2】（2022·黑龙江绥化·八年级期末）小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下表：由于不小心第4日及方差两个数据被墨迹污染，这两个数据是_____．【答案】4和2【分析】根据平均数算出5天气温的总和，进而算出第四日的气温，根据平均数和每日的气温算出方差．【详解】解：3×5=15，15-1-3-2-5=4，∴方差S2=1−32+3−32+2−32+4−32+5−325=2，故答案为：4和2．【点睛】本题考查平均数和方差，能够根据平均数和每日的气温算出方差是解决本题的关键．【变式1-3】（2022·山东济宁·八年级期末）小明八年级下学期的数学成绩如下表所示：(1)计算小明该学期的平时平均成绩．(2)如果按平时占20％，期中占30％，期末占50％计算学期的总评成绩．请计算出小明该学期的总评成绩．【答案】(1)85(2)86.8【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算可得；（2）利用加权平均数的概念求解可得．（1）由表可知，小明平时的平均成绩为：87+84+81+83+905=85（2）小明该学期的总评成绩为85×20%+86×30%+88×50%=86.8（分）．【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握算术平均数和加权平均数的定义．【题型2 已知平均数、中位数、众数或方差求未知数据的值】【例2】（2022·江苏·九年级专题练习）已知一组数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，若该组数据的中位数小于4，则a的值可能是（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】由平均数定义可得a+b的值，再由中位数的定义可知a、b中必有一个是小于4的，即可得出答案．【详解】解：∵数据1，2，3，4，5，a，b的平均数是4，∴1+2+3+4+5+a+b=7×4=28 ，∴a+b=13 ，将此组数据由小到大排列，则第4个数据即为中位数，又∵该组数据的中位数小于4，∴a，b两数中必有一个值小于4，∵a+b=13，∴a，b两数中较大的数的值大于9，∴a的值可能是10．故选：D．【点睛】本题考查了平均数定义：所有数的总和除以数的个数；中位数定义：将一组数据从小到大排列，若奇数个数据则中间的就是中位数，若偶数个数据，则取中间两个数的平均数作为中位数；熟练掌握平均数和中位数定义是解题的关键．【变式2-1】（2022·内蒙古呼和浩特·三模）已知一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，且m，n是一元二次方程x2−7x+k=0的两个根，则这组数据的中位数是（    ）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到m+n=7，再结合m，n是正整数，及众数是2，得到m=2n=5或m=5n=2，按照中位数的概念求解即可．【详解】解：∵ m，n是一元二次方程x2−7x+k=0的两个根，∴m+n=7，∵ m，n是正整数，∴m=1n=6，m=2n=5，m=3n=4，m=4n=3，m=5n=2，m=6n=1，若一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，∴ m=2n=5或m=5n=2，将这组数据按照从小到大的顺序排列2,2,2,3,3,5，∴这组数据的中位数是第3位与第4位的平均值，即2+32=52=2.5，故选：B．【点睛】本题考查中位数的求法，涉及到一元二次方程根与系数的关系、众数的概念与求法，掌握相关概念及求解方法是解决问题的关键．【变式2-2】（2023·河北·九年级专题练习）佳佳同学5次上学途中所花时间（单位：min）x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2的值为（    ）A．192 B．200 C．208 D．400【答案】C【详解】解：∵x，y，10，11，9这组数据的平均数为10，∴x+y+10+11+9=5×10，∴x+y=20，∵x，y，10，11，9这组数据的方差是2，∴15[（x-10）2+（y-10）2+(10-10)2+(11-10)2+(9-10)2] =2x2-20x+100+y2-20y+100+0+1+1=10∴x2+y2=10+20(x+y)-100-100-1-1=10+20×20-100-100-1-1=208，故选：C．【点睛】考查了平均数、方差和代数式求值．熟练掌握平均数与方差的计算公式是解题的关键．【变式2-3】（2023·江西·九年级专题练习）已知一组从小到大排列的整数：x，3，y，2x，4，有唯一的众数4，则这组数据的中位数是______．【答案】4【分析】根据题意，可假设x分别为0、1、2、3，代入原数中判断即可得出答案．【详解】∵这列数都为整数，且已从小到大排列，有唯一众数4，∴假设x＝0、1、2、3，当x＝0时，原数分别为0，3，y，0，4，不符合题意；当x＝1时，原数分别为1，3，y，2，4，不符合题意；当x＝2时，原数分别为2，3，y，4，4，符合题意，此时中位数为y，①当y＝3时，原数分别为2，3，3，4，4，不符合题意；②当y＝4时，原数分别为2，3，4，4，4，符合题意；当x＝3时，原数分别为3，3，y，6，4，不符合题意．故答案为：4．【点睛】本题考查众数与中位数，一列数据中，出现次数最多的数是众数；一组数据从小到大排列，当数据是奇数个时，中间的那个数是中位数，当数据是偶数个时，中间的两个数的平均数就是中位数，熟练掌握相关概念并正确理解题意是解题的关键．【题型3 利用平均数、中位数、众数或方差做决策】【例3】（2018·北京房山·二模）某校广播台要招聘一批小主持人，对A、B两名小主持人进行了专业素质、创新能力、外语水平和应变能力进行了测试，他们各项的成绩（百分制）如表所示：如果只招一名主持人，该选用______；依据是_____．（答案不唯一，理由支撑选项即可）【答案】     A     A的平均成绩高于B平均成绩【分析】根据表格求出A,B的平均成绩,比较大小即可解题.【详解】解：A的平均数是80.25,B的平均数是79.5,∴A比B更优秀,∴如果只招一名主持人，该选用A；依据是A的平均成绩高于B平均成绩.【点睛】本题考查了平均数的实际应用,属于简单题,从表格中找到有用信息是解题关键.【变式3-1】（2022·湖南·邵阳县教育科学研究室七年级期末）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵葡萄树，每棵葡萄树产量的平均数x（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示：今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是______．【答案】丙【分析】分别从平均数和方差两个方面进行分析，综合即可得到答案．【详解】解：从平均数来看，丙与丁的平均数为25，是最高的，故丙与丁的平均产量最高；从方差来看，甲与丙的方差为1.8，是最低，故甲和丙的产量最稳定；故产量既高又稳定的葡萄树为丙，故答案为：丙．【点睛】此题考查利用平均数与方差对数据进行分析，掌握平均数与方差考查数据的角度是解题的关键．【变式3-2】（2022·全国·八年级单元测试）甲、乙两班各有45人，某次数学考试成绩的中位数分别是88分和90分，若90分及90分以上为优秀，则优秀人数多的班级是________.【答案】乙班【详解】试题分析：根据中位数的定义：将甲、乙两班的45人的数学成绩，从小到大排列后，第23人的成绩就是中位数．甲班为88分，乙班为90分．若90分及90分以上为优秀，则优秀人数多的班级是乙班，至少是23人．故答案为乙班．点睛：本题考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，中间的那个数（或中间两个数的平均数）．【变式3-3】（2013·山西·八年级期末）为了解我市初三女生的体能状况，从某校初三的甲、乙两班中各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如右表．如果每分钟跳绳次数≥105次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是__________________________．【答案】甲优＜乙优【详解】试题分析：要比较甲乙两班的优秀率，只要比较一下中位数即可，甲乙两班的中位数都为第13位同学的成绩，所以，通过比较甲乙两班的中位数即可比较优秀率．从表格中可看出甲班的中位数为104，104＜105，乙班的中位数为106，106105，即甲班大于105次的人数少于乙班，所以甲、乙两班的优秀率的关系是甲优＜乙优．【点睛】本本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握中位数的概念，即可完成.【题型4 利用已知数据的平均数求相关数据的平均数】【例4】（2022·安徽阜阳·八年级期末）已知一组数据a、b、c的平均数为5，则2a−3、2b−3、2c−3的平均数是___________．【答案】7【分析】根据数据a，b，c的平均数为5可知13(a+b+c)=5，据此可得出13(2a−3+2b−3+2c−3)的值即可．【详解】解：已知13(a+b+c)=5，所以13[(2a−3)+(2b−3)+(2c−3)]，=23(a+b+c−92)，=23(a+b+c)−3，=7．故答案为：7．【点睛】本题考查平均数，熟记平均数计算公式是解题的关键．【变式4-1】（四川省德阳市绵竹市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如果m个数的平均数是a，另外n个数的平均数是b，那么，这m+n个数的平均数是_______．【答案】am+bnm+n【分析】根据“m个数的平均数是a，另外n个数的平均数是b”可求得m+n个数的和，再用平均数的定义求解即可．【详解】解：∵m个数的平均数是a，另外n个数的平均数是b，∴m+n个数的和为ma＋nb，∴这m+n个数的平均数是am+bnm+n．故答案为：am+bnm+n．【点睛】此题主要考查了平均数，熟练掌握平均数的求法是解题的关键．【变式4-2】（辽宁省葫芦岛市建昌县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）将一组数据的每一个数都减去30，所得新的一组数据的平均数是1，则原来那组数据的平均数为(   )A．31 B．30 C．1 D．29【答案】A【分析】设这组数据的平均数为x=1n(x1+x2+⋯+xn)=a，根据每个数都减去30的平均数为, x'=a−30=1，求得a=31．【详解】设这组数据的平均数为x=1n(x1+x2+⋯+xn)=a，每个数都减去30，其平均数为,x'=1n(x1−30+x2−30+⋯+xn−30)=1n(x1+x2+⋯+xn)−1n(30+30+…+30)︸n个30=a-1n×30n=a-30=1，解得a=31．故选A．【点睛】本题主要考查了平均数，解决问题的关键是熟练掌握平均数的定义和计算方法．【变式4-3】（浙江省杭州市三校2022-2023学年八年级下学期期中检测数学试题）已知数据1，2，3，4的平均数为k1；数据5，6，7，8的平均数为k2；k1与k2的平均数是k；数据1，2，3，4，5，6，7，8的平均数为m，那么k与m的关系是（    ）A．k>m B．k=m C．k1.64C．x>7.5，s2<1.64 D．x=7.5，s2<1.64【答案】D【分析】比较更正前后平均数、方差的变化，即可得出答案．【详解】解：一个成绩少录2环，一个成绩多录2环总环数没有变，即实际成绩的平均数x不变，x=7.5，∵6−7.5>8−7.5，9−7.5>7−7.5，∴更正后的成绩的方差应该要比更正前的方差要小，即s2＜1.64．故选：D．【点睛】此题考查平均数、方差的意义和计算方法，明确各个统计量的意义及反应数据的特征是正确解答的关键．【题型6 利用方差判断稳定性】【例6】（2022·全国·八年级）山西省是全国马铃薯主产区之一，在“十四五”期间，我省围绕“品种提高单产，品质提升效益”的思路，实施具有山西特色的“优薯计划”．因为鲜食马铃薯适宜储藏温度为了心－5℃，所以整个储藏期间冷库的温度要求稳定，波动不超过＋1℃．如图是根据甲、乙两个马铃薯储藏冷库5次温度检测制作的折线统计图，你认为_______马铃薯储藏冷库的温度更稳定．（填”甲”或“乙”）【答案】甲【分析】方差小的较稳定，分别求出甲、乙方差，即可得到答案．【详解】解：甲的平均温度为x甲=2+4+2+3+45=3，乙的平均温度为x乙=3+2+5+2+55=3.4，∴甲的方差为s甲2=0.8，乙的方差为s乙2=1.8，∵S甲2＜S乙2，∴甲的温度较稳定．故答案为：甲．【点睛】本题考查方差的应用，解题的关键是求出甲、乙的方差．【变式6-1】（2022·北京·二模）要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛，在赛前对他们进行了一次选拔赛，下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线．你认为应该选择______（填“小华”或“小明”）参加射击比赛；理由是__________．【答案】     小明     小明的成绩更稳定【分析】根据两个折线统计图可以看出二人的平均成绩相同，但小明的成绩更稳定，即可做出选择．【详解】解：由折线统计图可以看出，小华和小明的平均成绩相同，都是7.5，但小明的成绩比较稳定．故答案为：小明；小明的成绩更稳定． 【点睛】本题考查了平均数与方差等知识，平均数反映了一组数据的集中趋势，方差反映了一组数据的离散程度，方差越小，成绩越稳定，方差可以通过计算，也可以通过统计图进行观察比较大小．【变式6-2】（2022·湖南·涟源市长郡蓝田中学七年级期末）甲、乙两人进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：(1)甲、乙两人射击成绩的平均数、方差分别是多少？(2)谁的射击成绩更稳定？【答案】(1)甲射击成绩的平均数是8、方差是1.2；乙射击成绩的平均数是8、方差是0.4．(2)乙的射击成绩更稳定．【分析】（1）先计算出平均数，再根据方差公式求出方差；（2）根据方差的大小比较成绩的稳定性．（1）x甲=15×（7×2+8×2+10）=8（环）；x乙=15×(7+8×3+9)=8（环）；S甲2=15×(7−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(10−8)2=1.2，S乙2=15×(7−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(9−8)2=0.4，∴甲射击成绩的平均数是8、方差是1.2；乙射击成绩的平均数是8、方差是0.4．（2）∵S甲2>S乙2，∴乙的射击成绩更稳定．【点睛】本题考查了方差，解题的关键是知道方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【变式6-3】（2022·浙江·浣江教育八年级期中）某中学开展防疫知识线上竞赛活动，九年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为100分）如图所示．(1)求九（1）班的平均数和九（2）班的中位数；(2)计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐．【答案】(1)九（1）班成绩的平均数为86分；九（2）班成绩的中位数为85分(2)九（1）班成绩较为整齐【分析】（1）先根据图形得出两个班的成绩，再根据平均数和中位数的概念求解即可；（2）根据方差的定义计算出两个班的方差，结合方差的意义即可得出答案．（1）解：由图可知，九（1）班成绩为80、80、80、90、100，∴九（1）班成绩的平均数为80+80+80+90+1005=86（分)，九（2）班成绩为70、80、85、95、100， ∴九（2）班成绩的中位数为85分；（2）解：由（1）知九（1）班成绩的平均数为86分，∴九（1）班方差为15×[3×(80−86)2+(90−86)2+(100−86)2]=64；九（2）班成绩的平均数为70+80+85+95+1005=86，∴九（2）班方差为15×[(70−86)2+(80−86)2+(85−86)2+(95−86)2+(100−86)2]=114，∵86<114，∴九（1）班成绩较为整齐．【点睛】本题考查统计中的相关问题，解题的关键是掌握平均数、中位数和方差的定义、求解公式及方差的意义．【题型7 四种统计量的选择】【例7】（浙江省绍兴市新昌县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）2021年，党中央国务院赋予浙江省建设“共同富裕示范区”的光荣使命．共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕，下列有关人均收入的统计量特征中，最能体现共同富裕要求的是（    ）A．平均数大，方差大 B．平均数大，方差小C．平均数小，方差小 D．平均数小，方差大【答案】B【分析】根据算术平均数和方差的定义解答即可．【详解】解：人均收入平均数大，方差小，最能体现共同富裕要求．故选：B．【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【变式7-1】（四川省南充市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）数学李老师回忆当年大学毕业参加公招，笔试成绩88分，进入前二分之一再面试．这个描述用到的统计量是所有笔试者成绩的（    ）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【答案】B【分析】根据中位数的意义进行求解即可．【详解】解：∵进入前二分之一再面试，∴用到的统计量是：中位数．故选：B．【点睛】本题主要考查的是统计量的选择，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义和意义．【变式7-2】（2022年黑龙江省佳木斯市前进区九年级第二次模拟考试数学试题）某运动员为备战南京青奥会，刻苦进行训练，为了判断他的成绩是否稳定，教练对他近阶段10次训练的成绩进行统计和分析，那么教练最需要了解该运动员这10次成绩的（    ）A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数【答案】B【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的概念逐一分析即可．【详解】解：众数、平均数、中位数是反映一组数据的集中趋势，只有方差是反映数据的波动大小的．故为了判断成绩是否稳定，需要知道的是方差． 故选：B．【点睛】本题考查统计学的相关知识．注意：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【变式7-3】（2022•江阴市校级三模）期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，林老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考79分以上，一半的学生考不到79分．”王老师：“我班大部分的学生都考在80分到85分之间喔．”依照上面两位老师所叙述的话你认为林、王老师所说的话分别针对（　　）A．平均数、众数 B．平均数、极差 C．中位数、方差 D．中位数、众数【答案】D【分析】根据两位老师的说法中的有一半的学生考79分以上，一半的学生考不到79分，可以判断79分是中位数，大部分的学生都考在80分到85分之间，可以判断众数．【详解】解：∵有一半的学生考79分以上，一半的学生考不到79分，∴79分是这组数据的中位数，∵大部分的学生都考在80分到85分之间，∴众数在此范围内．故选：D．【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是抓住题目中的关键词语．【题型8 统计量的综合应用】【例8】（2022·江苏盐城·九年级期中）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．甲、乙两种西瓜得分表甲、乙两种西瓜得分统计表(1)a=_______，b=_______，c=_______；(2)从离散程度看， 种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；(3)小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．【答案】(1)88，88，90(2)乙(3)甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众数比乙种的高；乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的意义求解即可；（2）根据数据大小波动情况，可得答案；（3）从中位数、众数的比较得出答案．（1）解：a=17×75+85+86+88+90+96+96=88，将甲种西瓜的得分从小到大排列得75、85、86、88、90、96、96，处在中间位置的一个数是88，因此中位数是88，即b=88，乙种西瓜的得分出现次数最多的是90分，所以众数是90，即c=90，故答案为：88，88，90；（2）解：由图可得s甲2＞s乙2，∴乙种西瓜的得分较稳定，故答案为：乙；（3）解：甲种西瓜的品质较好些，理由：甲种西瓜得分的众数比乙种的高．乙种西瓜的品质较好些，理由：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高．【点睛】本题考查频数分布表，平均数、中位数、众数、方差，理解平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的关键．【变式8-1】（重庆市万州区2019-2020学年八年级下学期期末数学试题）为了让万州区义务教育阶段学生更加深入地了解新型冠状肺炎，从而增强学生的自我防护意识，万州区教委组织了一次新型冠状肺炎相关防疫知识竞赛，通过学校选拔和推荐，对进入此次决赛的小学组和初中组各20名学生的成绩进行了整理和分析，给出了部分信息如下：小学组学生决赛成绩统计如下： (满分： 100 分)表1初中组学生决赛成绩统计如下： (满分： 100分)表 2整理数据：(用X表示学生决赛成绩)表3分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：表41表中a= ，b= ；2本次决赛各组分别设一等奖2名，二等奖3名，三等奖5名，在初中的小虎在此次决赛中成绩为86分，他说只要知道一个数据就能确定是否得奖了，你认为他是根据 知道的 (填"平均数”、”中位数”、”众数”、"优秀率") ；3根据表4中的数据，你认为哪个组在此次决赛中表现比较好？请说明理由．【答案】（1）a=85,b=86；（2）中位数；（3）认为小学组的同学在此次决赛中表现比较好【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可：由初中组统计表可得按顺序第10、11个数是84,86；小学组86出现次数最多；（2）根据中位数的定义可知，大于中位数的数占了一半；（3）可以比较众数、中位数、平均数等，有理即可；【详解】（1）由初中组统计表可得按顺序第10、11个数是84,86；小学组86出现次数最多；所以a=84+862=85,b=86（2）根据中位数的定义，可得他是根据中位数知道的；（3）认为小学组的同学在此次决赛中表现比较好．因为从数据分析来看，他们在众数和优秀率相同的情况下，小学组的平均分高于初中组的平均分，说明小学组的平均水平高于初中组的平均水平；且小学组的中位数也高于初中组的中位数，说明小学组的中间水平高于初中组的中间水平；所以我认为小学组的同学在此次决赛中表现比较好．【点睛】考核知识点：众数、中位数、平均数．理解定义，从统计表获取信息是关键．【变式8-2】（云南省昭通市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）为弘扬民族精神，传播传统文化，某县教育系统将组织“弘扬传统文件化，永承华夏辉煌”的演讲比赛．某校各年级共推荐了19位同学参加初赛（校级演讲比赛），初赛成绩排名前10的同学进入决赛．(1)若初赛结束后，每位同学的分数互不相同．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的______；（填：平均数或众数或中位数）(2)若初赛结束后，这19位同学的成绩如下：2号选手笑着说：“我的成绩代表着咱们这19位同学的平均水平呀！”14号选手说：“与我同分数的选手最多，我的成绩代表着咱们这19位选手的大众水平嘛！”请问，这19位同学成绩的平均数为______，众数为______；(3)已知10号选手与15号选手经常参加此类演讲比赛，她俩想看看近期谁的成绩较好、较稳定，她俩用近三次同时参加演讲比赛的成绩计算得到平均分一样，10号选手的方差为0.5，15号选手的方差为0.38．你认为______号选手的成绩比较稳定．【答案】(1)中位数(2)9.1，9.3(3)15【分析】（1）根据平均数与中位数、众数的定义即可判断；（2）根据2号选手与14号选手所说的话即可得出平均数与众数；（3）利用方差的定义做决策即可．(1)解：根据中位数即可判断自己是否进入决赛；故答案为：中位数；(2)解：根据2号选手与14号选手所说的话，即可知道平均数为：9.1 ，众数为：9.3，故答案为：9.1，9.3；(3)解：10号选手的方差为0.5，15号选手的方差为0.38，0.5>0.38，∴15号选手成绩比较稳定，故答案为：15.【点睛】本题主要考查中位数、众数、平均数、方差的定义，掌握中位数、众数、平均数、方差的定义是解题的关键．【变式8-3】（江苏省盐城市大丰区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，每组20人，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）甲组成绩统计表：根据上面的信息，解答下列问题：(1)甲组的平均成绩为______分，甲组成绩的中位数是______，乙组成绩统计图中m=______，乙组成绩的众数是______；(2)根据图表信息，请你判断哪个小组的成绩更加稳定？只需要直接写出结论．【答案】(1)8.7；8.5；3；8(2)乙组【分析】(1)用总人数减去其他成绩的人数，求出m，再根据中位数和众数的定义即可求出甲组成绩的中位数和乙组成绩的众数；(2)先求出平均数，再根据方差公式求出甲、乙组的方差，然后进行比较，即可得出答案．（1）甲组的平均成绩为： 7×1+8×9+9×5+10×520 = 8.7(分)，甲组成绩的中位数是8+92= 8.5(分)，乙组成绩统计图中m= 20- (2 +9+6)= 3，乙组成绩的众数是8分，故答案为： 8.7， 8.5分， 3， 8分；（2）乙组的成绩更加稳定，甲组的方差为：120× [(7-8.7)2 +9×(8-8.7)2 +5×(9- 8.7)2 +5×(10- 8.7)2]= 0.81，乙组平均成绩是： 120×(2×7+9×8+6×9+3×10)= 8.5(分)，乙组的方差为：120×[2×（7-8.5）2+9×（8-8.5）2+6×(9-8.5)2+3×(10-8.5)2]=0.75，∴S2乙＜S2甲  所以乙组的成绩更稳定．【点睛】此题考查了平均数、众数和中位数，方差的有关内容，解题的关键是正确理解统计图，学会计算方差．日期一二三四五方差平均气温最低气温13253考试类别平时成绩期中成绩期末成绩单元1单元2单元3单元4单元5成绩87848183908688应聘者专业素质创新能力外语水平应变能力A73857885B81828075品种甲乙丙丁平均数（x）21242525方差（S2）1.81.91.82班级人数中位数平均数甲班2710497乙班2710696命中环数/环78910甲命中的频数/次2201乙命中的频数/次1310序号1234567甲种西瓜（分)75858688909696乙种西瓜（分)80838790909294平均数中位数众数甲种西瓜ab96乙种西瓜8890c678988657576808588929810066738686879586787683896868958386866777869084681008673938660≤x<7070≤x<8080≤x<9090分及以上小学组学生决赛成绩3494初中组学生决赛成绩4394平均数中位数众数优秀率（80分及以上）小学组学生决赛成绩8386b65%初中组学生决赛成绩82.2a8665%签号12345678910成绩8.59.19.28.69.38.89.68.98.79.7签号111213141516171819成绩9.89.18.99.39.68.898.79.3成绩78910人数1955