初中数学人教版（2024）八年级下册19.2.2 一次函数练习题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册19.2.2 一次函数练习题，共54页。

考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对一次函数与几何知识的综合三大题型的理解！
【题型1 周长问题】
1．（2023·安徽·八年级专题练习）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y=−x+4B．y=x+4C．y=x+8D．y=−x+8
2．（2023·安徽·八年级专题练习）若等腰三角形的周长是80cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系的图像是( )
A．B．
C．D．
3．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末）如图①，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x,ΔMNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ）
A．MN=5B．长方形MNPQ的周长是18
C．当x=6时，y=10D．当y=8时，x=10
4．（2023春·江西南昌·八年级校联考期末）如图，一次函数y=−x+4的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上一动点（不与点A、B重合），过点C分别作CD、CE垂直于x轴、y轴于点D、E，当点C从点A出发向点B运动时，矩形CDOE的周长（ ）
A．逐渐变大B．不变C．逐渐变小D．先变小后变大
5．（2023秋·安徽宿州·八年级安徽省泗县中学校考阶段练习）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为 ．
6．（2023春·山西运城·八年级运城市第二实验中学校考期中）如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，当线段BP最短时，△BCP的周长为m，△ABP的周长为n，m−n= ．
7．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB的周长与面积相等，则点P是“和谐点”．
(1)判断点C（−4，4），D（2，8）是否为“和谐点”，并说明理由；
(2)若“和谐点”E（3，a）在直线y＝3x+b（b为常数）上，求a，b的值．
8．（2023春·甘肃白银·八年级校考期中）将长为20cm，宽为8cm的长方形白纸，按如图所示的方式粘合起来，粘合部分的宽为3cm．纸条的总长度y（cm）与白纸的张数x（张）的关系可以用下表表示：
（1）表格中：a＝ ，b＝
（2）直接写出y与x的关系式；
（3）要使粘合后的长方形周长为2028cm，则需要用多少张这样的白纸？
9．（2023春·四川乐山·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l:y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A4,0，B0,2．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点C为线段AB上一动点，过点C作CD⊥OA于点D，延长DC至点E，使CE=DC，作EF⊥y轴于点F，求四边形ODEF的周长．
【题型2 面积问题】
1．（2023春·广东江门·八年级统考期末）如图，过点A(−2,0)的直线l1:y=kx+b与直线l2:y=−x+1交于P(−1,a)．

(1)求直线l1对应的表达式；
(2)求四边形PAOC的面积．
2．（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图1所示，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD=6cm，BC=8cm，点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示．

(1)由图2知，点E运动的时间为 s，速度为 cm/s，点E停止运动时距离点C cm．
(2)求在点E的运动过程中，△ABE的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的关系是 ．
(3)求点E停止运动后，求△ABE的面积．
3．（2023春·广东梅州·八年级校考期末）如图1，在边长为10cm的正方形ABCD中，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A路线运动，到点A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度为每秒2cm，点Q的速度为每秒1cm，图2是点P出发x秒后△APD的面积S(cm2)与x(s)关系的图象．

(1)根据图象得a= ；
(2)设点P已行的路程为y1(cm)，点Q还剩的路程为y2(cm)，试分别求出改变速度后，y1，y2和出发后的运动时间x（秒)的关系式；
(3)若点P、点Q在运动路线上相距的路程为30cm，求x的值．
4．（2023春·陕西商洛·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A，B，C的坐标分别是(1,2)，(6,6)，(9,0)．有一动点P从点O出发，沿折线OA→AB→BC运动，到达点C时停止运动．

(1)分别求AB，BC所在直线的函数解析式．
(2)当点P运动到BC上时，若△ABP与△ABO的面积相等，求点P的坐标．
(3)当△OPC的面积等于12时，求点P的坐标．
5．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在长方形ABCD中，BC=8，CD=6，点E为边AD上一动点，连接CE，随着点E的运动，△DCE的面积也发生变化．

(1)写出△DCE的面积y与AE的长x0(2)当x=3时，求y的值．
6．（2023春·山东威海·八年级统考期末）已知一次函数y=−12x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y=2x的图象交于点C1,a．

(1)求a,b的值；
(2)方程组2x−y=012x+y=b的解为______．
(3)不等式−12x+b≥2x的解集为______．
(4)在y=2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2023春·山西大同·八年级大同市第三中学校校考期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足a+42+b−6=0．

(1)如图1，求点A的坐标；
(2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，连接CA，CB，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形ABC的面积．
(3)在（2）的条件下，记AC与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接PB，PD，若三角形PBD的面积与三角形ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
8．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，直线l的表达式为y=2x−6，点A，B的坐标分别为(1,0)，(0,2)，直线AB与直线l相交于点P．

(1)求直线AB的表达式：
(2)求点P的坐标；
(3)若在x轴上存在一点C，使得△APC的面积是△ABO的面积的2倍，请直接写出点C的坐标．
9．（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）已知y+1与x−3成正比例，且当x=2时，y=−2．
(1)求y关于x的解析式；
(2)在平面直角坐标系内，若这个函数解析式对应的图像分别与x轴，y轴交于A,B两点，在直线AB上是否存在一个点P，能使△APO的面积等于2，若存在求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
10．（2023春·江西新余·八年级统考期末）如图，A为0,3，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B．

(1)求该一次函数的解析式．
(2)该一次函数与x轴交于点D，若点P为直线OB上的动点，当△ODP面积等于△BOD面积的13时，求点P的坐标．
11．（2023春·广东广州·八年级统考期末）如图，函数y=−2x+3与y=−12x+m的图象交于点Pn,−2．

(1)求出m，n的值；
(2)观察图象，写出−12x+m≤−2x+3的解集；
(3)设△BOC和△ABP的面积分别为S1、S2，求S1S2．
【题型3 图象变换问题】
1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B(0，b)，若a，b满足(a−b+6)2+|2a−3b+14|=0．
(1)求点A，B的坐标；
(2)将线段AB向右平移2个单位至CD，线段CD与y轴交于点E，求点E的坐标；
(3)点P为直线CD上一动点，连接BC，PB，若4≤S△BCP<6，则点P的横坐标xP的取值范围是______．
2．（2023春·湖南长沙·八年级明德华兴中学校联考期中）我们知道：任意一个二元一次方程ax+by=c都有无数个解．现约定：在平面直角坐标系中，不妨将二元一次方程ax+by=c每一个解用一个点表示出来，记为Gx,y，称Gx,y为“关联点”；将这些“关联点”在坐标系中连接便可得到一条直线，称这条直线为“关联点”的“关联线”．根据所学，解决以下问题：
(1)已知A−3,−2，B−1,−13，C1,−43三个点中，是“关联线”l:5x−6y=−3的“关联点”有________（填字母）；
(2)已知D，P两点是“关联线”m:5x−6y=−3的“关联点”，且D在y轴上；E，P两点是“关联线”n:11x−6y=27的“关联点”，且E在y轴上．若在平面直角坐标系中存在一点Q，满足PQ∥DE且PQ=DE，求点Q的坐标；
(3)在平面直角坐标系xOy中，点F为“关联线”x−3y=0的“关联点”．将点Fx,y经过变换τ得到点Gx',y'，该变换记作τx,y=x',y'，其中x'=ax+by−2y'=ax−by+1（a，b为常数）．若将点F向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后能与点G重合，求a−b的值．
3．（2023春·北京密云·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与一次函数y＝kx+2的图象交于点A（1，m）．
(1)求m和k的值；
(2)将直线y＝x沿y轴向上平移两个单位得到直线l，点P（xp，yp）为直线l上任意一点，过点P作x轴的垂线交直线y＝x于点C，交一次函数y＝kx+2的图象于点D．
①当xp＝﹣1时，判断PC与PD的数量关系，并说明理由；
②当PC≤PD时，结合函数图象，直接写出xp的取值范围．
4．（2023春·云南·八年级云大附中校考期中）如图，在平面直角坐标系中有一点A4,−1，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D，P是直线上的一个动点，通过研究发现直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程x+y=3的解，例如：若E点的横坐标为x=5，则其纵坐标为y=3−5=−2；若F点的纵坐标y=5，则其横坐标为x=3−9=−6．
(1)直接写出点B，C，D的坐标：B______，C_______，D______；
(2)求SΔAOB；
(3)SΔOBP:SΔOPA=1:2时，求点P的坐标．
5．（2023春·广东惠州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝x＋b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B点．
(1)求b的值；
(2)点M 是直线AB上的一个动点，将点M向下平移4个单位长度得到点N，若线段MN与x轴有一个公共点，设点M的横坐标为m，求m的取值范围．
6．（2023春·湖北恩施·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝43x+m与直线l2交于点A（3，﹣2），直线l2与x轴交于点C（﹣3，0），与y轴交于点B，将直线l2向上平移5个单位长度得到直线l3，l3与y轴交于点D，与l1交于点E，连接AD．
(1)求直线l2的解析式；
(2)求四边形ABDE的面积．
7．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）已知，在平面直角坐标系中，线段AB在第一象限，A(1,4),B(3,1)，经过原点的直线l上有一点P(x,y)，其中x+1+|y−3|=0．
(1)求P点坐标；
(2)平移线段AB至CD，其中A、B的对应点分别为C、D．若点C，D恰好在y轴和直线l上，求D点坐标．
8．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图像经过点A(−2,4)，且与正比例函数y=−23x的图像交于点B(a,2)．
(1)求a的值及△ABO的面积；
(2)若一次函数y=kx+b的图像与x轴交于点C，且正比例函数y=−23x的图像向下平移m(m>0)个单位长度后经过点C，求m的值；
(3)直接写出关于x的不等式−23x>kx+b的解集．
9．（2023春·山东聊城·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=32x+m与直线l2交于点A−2,3，直线l2与x轴交于点C4,0，与y轴交于点B，将直线l2向下平移5个单位长度得到直线l3，l3与y轴交于点D，与l1交于点E，连接AD．
(1)求直线l2的解析式；
(2)求△ADE的面积；
10．（2023秋·广西梧州·八年级统考期中）如图，直线AB：y=2x−k过点Mk,2，并且分别与x轴，y轴相交于点A和点B．
(1)求k的值．
(2)求点A和点B的坐标．
(3)将直线AB向上平移3个单位得直线l，若C为直线l上一点，且S△AOC=2，求点C的坐标．白纸张数x（张）
1
2
3
4
5
…
纸条长度y（cm）
20
a
54
71
b
…
专题19.6 一次函数与几何知识的综合三大题型
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对一次函数与几何知识的综合三大题型的理解！
【题型1 周长问题】
1．（2023·安徽·八年级专题练习）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y=−x+4B．y=x+4C．y=x+8D．y=−x+8
【答案】A
【分析】设 P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知 PC＝x，PD＝y，根据围成的矩形的 周长为 8，可得到 x、y之间的关系式．
【详解】如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，
设P点坐标为(x,y)，
∵P点在第一象限，
∴PD=y，PC=x，
∵矩形PDOC的周长为8，
∴2(x+y)=8，
∴x+y=4，
即该直线的函数表达式是y=−x+4，
故选A．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的
坐标都满足函数关系式 y＝kx+b．根据坐标的意义得出 x、y之间的关系是解题的关键．
2．（2023·安徽·八年级专题练习）若等腰三角形的周长是80cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系的图像是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】根据题意，x+2y=80，所以,y=−12x+40，
根据三角形的三边关系，x>y−y=0，x所以,y与x的函数关系式为y=−12x+40(0故选D.
【点睛】根据三角形的周长列式并整理得到y与x的函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列式求出x的取值范围，即可得解．
3．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末）如图①，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x,ΔMNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ）
A．MN=5B．长方形MNPQ的周长是18
C．当x=6时，y=10D．当y=8时，x=10
【答案】D
【分析】本题通过右侧的图象可以判断出长方形的边长，然后选项计算，选项A、B、C都可证正确，选项D，面积为8时，对应x值不为10，所以错误．
【详解】解：由图2可知，长方形MNPQ的边长，MN=9-4=5，NP=4，故选项A正确；
选项B，长方形周长为2×（4+5）=18，正确；
选项C，x=6时，点R在QP上，△MNR的面积y=12×5×4=10，正确；
选项D，y=8时，即8=12×5x，解得x=3.2，
或8=12×5(13−x)，解得x=9.8，
所以，当y=8时，x=3.2或9.8，故选项D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题分类讨论，对运动中的点R的三种位置都设置了问题，是一道很好的动点问题，读懂函数图象是解题关键．
4．（2023春·江西南昌·八年级校联考期末）如图，一次函数y=−x+4的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上一动点（不与点A、B重合），过点C分别作CD、CE垂直于x轴、y轴于点D、E，当点C从点A出发向点B运动时，矩形CDOE的周长（ ）
A．逐渐变大B．不变C．逐渐变小D．先变小后变大
【答案】B
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可设出点C的坐标为(m，−m+4)(0【详解】解：设点C的坐标为(m，−m+4)(0则CE=m，CD=−m+4，
∴C矩形CDOE=2CE+CD=8．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点C的坐标是解题的关键．
5．（2023秋·安徽宿州·八年级安徽省泗县中学校考阶段练习）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为 ．
【答案】(3,43)
【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．
【详解】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．
在矩形OABC中，OA=BC，OC=AB
∵B（3，4），∴OA=3，AB=4，
∴A（3，0），C（0，4），
∵D为OA的中点，
∴D（32，0），∴H（92，0），
设CH的解析式为y=kx+b，
则有b=492k+b=0，
解得k=−89b=4，
∴直线CH解析式为y=-89x+4，
∴x=3时，y=43，
∴点E坐标（3，43），
故答案为（3，43）.
【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称-最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．
6．（2023春·山西运城·八年级运城市第二实验中学校考期中）如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，当线段BP最短时，△BCP的周长为m，△ABP的周长为n，m−n= ．
【答案】5.4
【分析】当线段BP最短时，BP⊥AC，从图2可以看出：AB=2，AP=1，PC=5−1=4，BC=4，根据题意求周长差即可求解．
【详解】解：当线段BP最短时，BP⊥AC，
从图2可得：AB=2，AP=1，PC=5−1=4，BC=4.4，
△BCP的周长：m=BC+PC+BP=4.4+4+BP=8.4+BP
△ABP的周长：n=AB+AP+BP=2+1+BP=3+BP
m−n=8.4+BP−3+BP=5.4
故答案为：5.4．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
7．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB的周长与面积相等，则点P是“和谐点”．
(1)判断点C（−4，4），D（2，8）是否为“和谐点”，并说明理由；
(2)若“和谐点”E（3，a）在直线y＝3x+b（b为常数）上，求a，b的值．
【答案】(1)点C是“和谐点”，点D不是“和谐点”，理由见解析；
(2)a=6，b=－3或a=-6，b=15．
【分析】（1）分别求得过点C和点D得到的长方形的周长和面积，然后比较周长和面积判断；
（2）先通过点E在直线y=3x+b上得到a与b的关系，然后由“和谐点”列出方程求得a与b的值．
【详解】（1）解：（1）点C是“和谐点”，点D不是“和谐点”，
理由如下， 过点C围成的长方形的周长为：2×（4+4）=16，面积为：4×4=16，
∴点C是“和谐点”，
过点D围成的长方形的周长为：2×（2+8）=20，
面积为：2×8=16≠20，
∴点D不是“和谐点”．
（2）∵“和谐点”E（3，a）在直线y=3x+b（b为常数）上，
∴ a=9+b3a=2×3+a ，
∴a=6, 解得：a=±6,
所以a=6b=−3 或a=−6b=−15．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，解题的关键是会用含有未知数的式子表示围成的矩形的面积和周长．
8．（2023春·甘肃白银·八年级校考期中）将长为20cm，宽为8cm的长方形白纸，按如图所示的方式粘合起来，粘合部分的宽为3cm．纸条的总长度y（cm）与白纸的张数x（张）的关系可以用下表表示：
（1）表格中：a＝ ，b＝
（2）直接写出y与x的关系式；
（3）要使粘合后的长方形周长为2028cm，则需要用多少张这样的白纸？
【答案】（1）37；88；（2）y=17x+3；（3）需要用59张这样的白纸．
【分析】（1）根据图形可知每增加一张白纸，总长度实际增加17cm可求a、b的值；
（2）x张白纸粘合起来时，纸条长度y（cm）在20cm的基础上增加了（x-1）个17cm的长度，依此可得y与x的关系式；
（3）先根据长方形的周长算出长方形的长，代入（2）中所求的关系式，列方程求得x的值即可．
【详解】解：（1）（1）白纸张数为2时，纸条长度a=20+17=37；白纸张数为5时，纸条长度b=20+4×17=88；
故答案为：37；88；
（2）由题意知y与x的关系式为：y=20+17（x-1），
化简，得y=17x+3；
（3）粘合后的长方形周长为2028cm时，长y=2028−162=1006，
代入y=17x+3得1006=17x+3
解得：x=59，
所以，需要用59张这样的白纸．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，规律型：图形的变化类．能正确利用纸条的变化得出规律：纸条每增加1张，纸条的长度增加17cm是解题的关键．
9．（2023春·四川乐山·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l:y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A4,0，B0,2．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点C为线段AB上一动点，过点C作CD⊥OA于点D，延长DC至点E，使CE=DC，作EF⊥y轴于点F，求四边形ODEF的周长．
【答案】（1）y=−12x+2；（2）8
【分析】（1）用待定系数法进行解答便可；
（2）设C(m,n)，则E(m,2n)，周长=2m+4n，把C点坐标代入直线AB解析式即可得m、n的关系式．再进而求得2m+4n的值．
【详解】解：（1）将A(4,0)，B(0,2)代入y=kx+b中，得
b=24k+b=0，
∴ b=2k=−12，
∴直线l的解析式为y=−12x+2；
（2）设C(m,n)，
∵CD⊥OA，EC=DC
∴E(m,2n)，
∵∠EFO=∠FOD=∠EDO=90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∴四边形ODEF周长为2m+4n．
∵点C(m,n)在直线y=−12x+2上，
∴n=−12m+2，
∴m+2n=4，
∴2m+4n=8，
∴四边形ODEF周长为8．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、整体代入的思想，设C点坐标(m,n)，四边形周长用m、n表示是解题的关键．
【题型2 面积问题】
1．（2023春·广东江门·八年级统考期末）如图，过点A(−2,0)的直线l1:y=kx+b与直线l2:y=−x+1交于P(−1,a)．

(1)求直线l1对应的表达式；
(2)求四边形PAOC的面积．
【答案】(1)y=2x+4
(2)52
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得点B，C的坐标，根据S四边形PAOC=S△PAB−S△COB即可求解．
【详解】（1）解：把P(−1,a)代入y=−x+1得a=2，则P点坐标为(−1,2)；
把A(−2,0)，P(−1,2)代入y=kx+b得：0=−2k+b2=−k+b，
解得k=2b=4，
所以直线l1的表达式为：y=2x+4；
（2）∵y=−x+1交x轴于B，交y轴于C，
∴B(1,0)，C(0,1)，
∴四边形PAOC的面积S四边形PAOC=S△PAB−S△COB =12×AB×yP−12×OB×OC =12×3×2−12×1×1 =52．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴交点问题，三角形面积问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图1所示，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD=6cm，BC=8cm，点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示．

(1)由图2知，点E运动的时间为 s，速度为 cm/s，点E停止运动时距离点C cm．
(2)求在点E的运动过程中，△ABE的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的关系是 ．
(3)求点E停止运动后，求△ABE的面积．
【答案】(1)2，3，2；
(2)y=9x
(3)18
【分析】（1）根据图象解答即可；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据三角形的面积公式，可得答案．
【详解】（1）解：根据题意和图象，可得E点运动的时间为2s，速度为3cm/s，
当点E停止运动时，BE=2×3=6(cm)，此时距离点C:8−6=2(cm)，
故答案为：2，3，2；
（2）解：根据题意得y=12×BE×AD=12×3x×6=9x，
即y=9x，
故答案为：y=9x；
（3）解：当点E停止运动后，BD=3×2=6(cm)，
所以△ABE的面积为12×6×6=18(cm2)．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，涉及求函数解析式，求函数值问题，能读懂函数图象是解决问题的关键．
3．（2023春·广东梅州·八年级校考期末）如图1，在边长为10cm的正方形ABCD中，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A路线运动，到点A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度为每秒2cm，点Q的速度为每秒1cm，图2是点P出发x秒后△APD的面积S(cm2)与x(s)关系的图象．

(1)根据图象得a= ；
(2)设点P已行的路程为y1(cm)，点Q还剩的路程为y2(cm)，试分别求出改变速度后，y1，y2和出发后的运动时间x（秒)的关系式；
(3)若点P、点Q在运动路线上相距的路程为30cm，求x的值．
【答案】(1)6
(2)y1=2x−6，y2=24−x
(3)4或24秒
【分析】（1）根据当AP=a时，S△APD=12PA·AD=30，由此求出a的值；
（2）求出y1，y2关于x的等量关系即可；
（3）当点Q出发18秒时，点P到达点D停止运动，点Q还需运动6秒，即共运动24秒时，可使P、Q这两点在运动路线上相距的路程为30cm．
【详解】（1）解：观察图2，得S△APD=12PA⋅AD=12×1×a×10=30，
解得a=6．
故答案为：6；
（2）∵a=6，动点P、Q改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x（秒)的函数关系式为：
y1=6+2(x−6)=2x−6，
y2=30−[12+1×(x−6)]=24−x；
（3）当点Q出发18秒时，点P到达点D停止运动，点Q还需运动6秒，
即共运动24秒时，线路Q→B→C→P，可使P、Q这两点在运动路线上相距的路程为30cm．
设点Q出发x秒，点P、点Q相距30cm，
则2x+x=30−18，
解得x=4．
即当点Q出发4秒，则线路Q→D→A→P，此时点P，Q相距30cm．
当点P到达终点，点Q运动24秒，点P、点Q在运动路线上相距的路程为30cm，
综上所述当点Q出发4或24秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为30cm．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（2023春·陕西商洛·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A，B，C的坐标分别是(1,2)，(6,6)，(9,0)．有一动点P从点O出发，沿折线OA→AB→BC运动，到达点C时停止运动．

(1)分别求AB，BC所在直线的函数解析式．
(2)当点P运动到BC上时，若△ABP与△ABO的面积相等，求点P的坐标．
(3)当△OPC的面积等于12时，求点P的坐标．
【答案】(1)AB的解析式为y=45x+65；BC的解析式为y=−2x+18
(2)P457,367
(3)P116,83或233，83
【分析】（1）设BC所在直线解析式为y=mx+n,把B，C的坐标(6,6)，(9,0)分别代入，即可求出BC的解析式为y=−2x+18，设AB所在直线解析式为y=kx+b,利用待定系数法即可得到答案；
（2）由（1）求得AB，BC所在直线的函数解析式，利用面积相等得出OP∥AB，最后求两直线OP和BC的交点即可得到答案；
（3）由△OPC的面积等于12，得P点纵坐标为83，分别求出P点在各边时的坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：设BC所在直线解析式为y=mx+n,
∵B，C的坐标分别是(6,6)，(9,0)，
∴6m+n=69m+n=0，
∴m=−2n=18，
∴y=−2x+18，
∴BC的解析式为：y=−2x+18；
设AB所在直线解析式为y=kx+b,
∵点A，B的坐标分别是(1,2)，(6,6)，
∴ 2=k+b6=6k+b，
∴k=45b=65
∴ AB的解析式为y=45x+65；
（2）∵P在BC上，S△ABP=S△ABO，
∴ OP∥AB，
∴OP的解析式为y= 45 x，
∴直线OP与直线BC的交点即为所求的P点，
∴ y=45xy=−2x+18
∴ x=457y=367
∴ P457，367

（3）∵△OPC的面积等于12，
∴S△OPC=12OC×yP=12×9×yP=12 ,
∴yP=83 ,
∴P点的纵坐标为83，
∴①当P在OA上时，
∵A(1,2)，
∴OA的解析式为y=2x,
将y=83代入y=2x，解得x=43>1 (舍去)，
②当P在AB上时，
83=45x+65
解得：x=116
∴ P116,83
③当P在CB上时，
−2x+18=83，
解得：x=233，
∴ P233,83，
综上所述，P116,83或P233,83．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理等知识点，灵活运用三角形的面积求解是解决此题的关键．
5．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在长方形ABCD中，BC=8，CD=6，点E为边AD上一动点，连接CE，随着点E的运动，△DCE的面积也发生变化．

(1)写出△DCE的面积y与AE的长x0(2)当x=3时，求y的值．
【答案】(1)y=−3x+24
(2)15
【分析】（1）可求DE=8−x，由y=12CD⋅DE即可求解；
（2）将x=3代入解析式即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
DE=8−x，
∴ y=12CD⋅DE
=12×6×(8−x)
=−3x+24．
答：△DCE的面积y与AE的长x0（2）解：当x=3时，
y=−9+24=15，
答：当x=3时，y=15．
【点睛】本题主要考查了一次函数在动点问题中的应用，掌握“化动为静”的方法解决动点问题的方法是解题的关键．
6．（2023春·山东威海·八年级统考期末）已知一次函数y=−12x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y=2x的图象交于点C1,a．

(1)求a,b的值；
(2)方程组2x−y=012x+y=b的解为______．
(3)不等式−12x+b≥2x的解集为______．
(4)在y=2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)a=2，b=2.5；
(2)x=1y=2；
(3)x≤1；
(4)存在，点P的坐标为43,83或−43,−83．
【分析】（1）先将C1,a代入y=2x求得a，再将C1,a代入y=−12x+b即可求得b；
（2）直接利用图象法求解二元一次方程组即可；
（3）利用图象法解不等式即可；
（4）设点P的坐标为x,2x，如图（见解析），作PM⊥x轴于点M，PN⊥x轴于点N，分别计算出△BOP的面积和△AOP的面积，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）∵点C1,a在y=2x的图象上，
∴a=1×2=2，
∴点C的坐标为C1,2，
∵点C1,2在y=−12x+b的上，
∴2=−12+b，解得：b=2.5，
（2）由（1）得：一次函数y=−12x+b与正比例函数y=2x的图象交于点C1,2，
∴x=1y=2是原方程组的解，
故答案为：x=1y=2，
（3）由（1）得：一次函数y=−12x+b与正比例函数y=2x的图象交于点C1,2，
∴不等式−12x+b≥2x的解集为：x≤1，
故答案为：x≤1；
（4）存在，理由：
∵点P在y=2x的图象上，
∴设点P的坐标为x,2x，
∵一次函数为y=−12x+2.5，
∴点A的坐标为0,2.5，点B的坐标为5,0，
∴OA=2.5，OB=5，
当P1在第一象限时，如图，作P1M1⊥x轴于点M1，P1N1⊥x轴于点N1，

△BOP1的面积为12×OB×P1M1=12×5×2x=5x，
△AOP1的面积为12×OA×PN1=12×2.5×x=54x，
当5x=54x+5时，得x=43，
∴P143,83，
当P2在第三象限时，如图，作P2M2⊥x轴于点M2，P2N2⊥x轴于点N2，

△BOP2的面积为12×OB×P2M2=12×5×(−2x)=−5x，
△AOP2的面积为12×OA×P2N2=12×2.5×(−x)=−54x，
当−5x=−54x+5时，得x=−43，
∴P2−43,−83，
综上可知：点P的坐标为43,83或−43,−83．
【点睛】此题考查了正比例函数与一次函数的图象，一次函数与二元一次方程组求交点问题，平面直角坐标系与图形面积，数形结合是解题的关键．
7．（2023春·山西大同·八年级大同市第三中学校校考期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足a+42+b−6=0．

(1)如图1，求点A的坐标；
(2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，连接CA，CB，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形ABC的面积．
(3)在（2）的条件下，记AC与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接PB，PD，若三角形PBD的面积与三角形ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)(−4,6)
(2)30
(3)0,−8或0,8
【分析】（1）根据非负数的性质求得a、b的值，即可确定点A的坐标；
（2）根据“过点A作x轴的垂线，点B为垂足”可得点B的坐标；由平移的性质可得点C的坐标；结合图形，利用三角形面积公式即可计算三角形ABC的面积；
（3）设直线AC交y轴于点D，直线AC的解析式为y=kx+b，由待定系数法求得直线AC的解析式，即可确定点D的坐标；设点P(0,m)，根据题意可得S△PBD=12BD×m=30，求解即可获得答案．
【详解】（1）∵实数a，b满足a+42+b−6=0，
且a+42≥0，b−6≥0，
∴a+4=0，b−6=0，
∴a=−4，b=6，
∴点A的坐标为(−4,6)；
（2）过点A作x轴的垂线，点B为垂足，
∴B(−4,0)，
若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，
则点C坐标为(−4+10,6−8)，即C(6,−2)，
AB=|yA−yB|=|6−0|=6，
∴S△ABC=12AB×|xC−xA|=12×6×|6−−4|=12×6×10=30，
即三角形ABC的面积为30；
（3）如图，设直线AC的解析式为y=kx+b，

将点A(−4，6)，点C(6,−2)代入y=kx+b，
可得−4k+b=66k+b=−2，
解得k=−45b=145，
∴直线AC的解析式为y=−45x+145，
令y=0，则x=72，
∴点D72,0，
∴BD=72−−4=152
设点P(0，m)，
∵三角形PBD的面积与三角形ABC的面积相等，
∴S△PBD=12BD×m=30，
即12×152×|m|=30，
∴|m|=8，
解得m=8或m=−8，
∴点P的坐标为0,−8或0,8．
【点睛】本题考查了非负数的性质、坐标与图形、点的平移、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征等知识，理解题意，利用数形结合的思想分析问题是解题关键．
8．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，直线l的表达式为y=2x−6，点A，B的坐标分别为(1,0)，(0,2)，直线AB与直线l相交于点P．

(1)求直线AB的表达式：
(2)求点P的坐标；
(3)若在x轴上存在一点C，使得△APC的面积是△ABO的面积的2倍，请直接写出点C的坐标．
【答案】(1)y=−2x+2
(2)点P的坐标为(2,−2)
(3)点C坐标为(3,0)或(−1,0)
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式；
（2）由两个解析式构成方程组，解方程组可得交点的坐标；
（3）先求出△ABO的面积，再根据△APC 的面积是△ABO 的面积的2倍，可得AC的长度，进一步可得点C坐标．
【详解】（1）解：设直线AB的表达式为y=kx+b．
由点A，B的坐标分别为(1,0)，(0,2)，
可知k+b=0b=2
解得k=−2b=2
所以直线AB的表达式为y=−2x+2．
（2）由题意，
得y=−2x+2y=2x−6
解得x=2y=−2
所以点P的坐标为(2,−2)．
（3）∵点A，B的坐标分别为(1，0)，(0，2)，
∴OA=1，OB=2，
∴△ABO的面积为12 ×2×1=1，
∵△APC 的面积是△ABO 的面积的2倍，
∴△APC的面积为2，
∵点P坐标为(2,−2)，
∴ 12 AC×2=2，
解得AC=2，
∴点C坐标为(3,0)或(−1,0)．
【点睛】本题考查了两条直线的相交问题，一次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积等，熟练掌握求一次函数图象上点的坐标是解题的关键．
9．（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）已知y+1与x−3成正比例，且当x=2时，y=−2．
(1)求y关于x的解析式；
(2)在平面直角坐标系内，若这个函数解析式对应的图像分别与x轴，y轴交于A,B两点，在直线AB上是否存在一个点P，能使△APO的面积等于2，若存在求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x−4；
(2)P3,−1或P5,1．
【分析】（1）首先设y关于x的解析式为y+1=kx−3将x=2，y=−2代入求出k的值即可得出答案；
（2）首先求出点A坐标，根据△APO面积，则求出P纵坐标，代入解析式即可求解.
【详解】（1）设y+1=kx−3k≠0，
由题意得：当x=2时，−2+1=k2−3，
∴k=1，
∴y+1=x−3，
∴y关于x的解析式：y=x−4，
（2）存在，理由：
当y=0时，x=4，当x=0时，y=−4，
∴点A4,0，
∴OA=4．
∵S△AOP=12OA×yP=2，
∴yP=1或−1，
当yP=1时，
∴x−4=1，解得：x=5，
当yP=−1时，
∴x−4=−1，解得：x=3，
∴P3,−1或P5,1．
【点睛】此题考查了一次函数，解题的关键是理解正比例函数的定义，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，构造方程求解．
10．（2023春·江西新余·八年级统考期末）如图，A为0,3，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B．

(1)求该一次函数的解析式．
(2)该一次函数与x轴交于点D，若点P为直线OB上的动点，当△ODP面积等于△BOD面积的13时，求点P的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式是y=−x+3
(2)P的坐标为13,23或−13,−23
【分析】（1）先求得点B的坐标，待定系数法求得一次函数解析式即可；
（2）先求得点D的坐标，求得S△ODP=13S△BOD=1，设P的纵坐标为n，即可求得n=±23，代入求得自变量的值，即可求得点P坐标．
【详解】（1）解：在y=2x中，令x=1，解得y=2，则B的坐标是1,2，
设一次函数的解析式是y=kx+b，
则b=3k+b=2，解得：k=−1b=3．
则一次函数的解析式是y=−x+3．
（2）解：一次函数的解析式y=−x+3中：令y=0，解得：x=3，则D的坐标是3,0．
则S△BOD=12OD×2=12×3×2=3．
∴S△ODP=13S△BOD=1．
设P的纵坐标为n，则12OD×n=1，n=±23．
把y=±23，代入y=2x，求得x=±13，
∴P的坐标为13,23或−13,−23．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，求一次函数的函数值或自变量，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
11．（2023春·广东广州·八年级统考期末）如图，函数y=−2x+3与y=−12x+m的图象交于点Pn,−2．

(1)求出m，n的值；
(2)观察图象，写出−12x+m≤−2x+3的解集；
(3)设△BOC和△ABP的面积分别为S1、S2，求S1S2．
【答案】(1)m=−34，n=52
(2)x≤52
(3)325
【分析】（1）将点Pn,−2代入函数y=−2x+3可得n的值，从而可得点P的坐标，将其代入函数y=−12x+m即可得m的值；
（2）找出函数y=−12x+m的图象位于函数y=−2x+3的图象下方（含交点）时，x的取值范围，由此即可得；
（3）根据两个一次函数的解析式分别求出OB,OC,OA的长，再利用三角形的面积公式求出S1，S2的值，由此即可得．
【详解】（1）解：将点Pn,−2代入函数y=−2x+3得：−2n+3=−2，
解得n=52，
∴P52,−2，
将点P52,−2代入函数y=−12x+m得：−12×52+m=−2，
解得m=−34．
（2）解：不等式−12x+m≤−2x+3表示的是函数y=−12x+m的图象位于函数y=−2x+3的图象下方（含交点），
则由函数图象可知，−12x+m≤−2x+3的解集为x≤52．
．
（3）解：对于函数y=−12x−34，
当x=0时，y=−34，则OB=34，
当y=0时，−12x−34=0，解得x=−32，则OC=32，
∴S1=12×34×32=916，
对于函数y=−2x+3，
当x=0时，y=3，则OA=3，
∴AB=OA+OB=154，
∵P52,−2，
∴S2=12×154×52=7516，
∴S1S2=9167516=325．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的几何应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
【题型3 图象变换问题】
1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B(0，b)，若a，b满足(a−b+6)2+|2a−3b+14|=0．
(1)求点A，B的坐标；
(2)将线段AB向右平移2个单位至CD，线段CD与y轴交于点E，求点E的坐标；
(3)点P为直线CD上一动点，连接BC，PB，若4≤S△BCP<6，则点P的横坐标xP的取值范围是______．
【答案】(1)点A(-4，0)，B(0，2)；
(2)点E的坐标为(0，1)；
(3)-14【分析】（1）利用非负数的性质求得a，b的值，即可求解；
（2）利用平移的性质求得点C、D的坐标，再利用待定系数法求得直线CD的解析式，即可求解；
（2）分点P在射线ED上，点P在射线CF上两种情况讨论，利用三角形面积公式列出不等式组，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵(a−b+6)2+|2a−3b+14|=0，
∴a−b+6=02a−3b+14=0，
解得a=−4b=2，
∴点A(-4，0)，B(0，2)；
（2）解：根据平移的性质得点C(-2，0)、D(2，2)，
设直线CD的解析式为y=mx+n，
∴−2m+n=02m+n=2，解得m=12n=1，
∴直线CD的解析式为y=12x+1，
当x=0时，y=1，
∴点E的坐标为(0，1)；
（3）解：BE=BO-EO=1，
当点P在射线ED上时，
则S△BCP=12BE×(xP-xC) =12(xP+2)，
∴4≤12(xP+2)<6，
解得6≤xP<10；
当点P在射线CF上时，
则S△BCP=12BE×(xC-xP) =12(-2-xP)，
∴4≤12(-2-xP)<6，
解得-14综上，点P的横坐标xP的取值范围是-14故答案为：-14【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，待定系数法求直线的解析式，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
2．（2023春·湖南长沙·八年级明德华兴中学校联考期中）我们知道：任意一个二元一次方程ax+by=c都有无数个解．现约定：在平面直角坐标系中，不妨将二元一次方程ax+by=c每一个解用一个点表示出来，记为Gx,y，称Gx,y为“关联点”；将这些“关联点”在坐标系中连接便可得到一条直线，称这条直线为“关联点”的“关联线”．根据所学，解决以下问题：
(1)已知A−3,−2，B−1,−13，C1,−43三个点中，是“关联线”l:5x−6y=−3的“关联点”有________（填字母）；
(2)已知D，P两点是“关联线”m:5x−6y=−3的“关联点”，且D在y轴上；E，P两点是“关联线”n:11x−6y=27的“关联点”，且E在y轴上．若在平面直角坐标系中存在一点Q，满足PQ∥DE且PQ=DE，求点Q的坐标；
(3)在平面直角坐标系xOy中，点F为“关联线”x−3y=0的“关联点”．将点Fx,y经过变换τ得到点Gx',y'，该变换记作τx,y=x',y'，其中x'=ax+by−2y'=ax−by+1（a，b为常数）．若将点F向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后能与点G重合，求a−b的值．
【答案】(1)A、B
(2)(5,−13)或(5,293)
(3)−13
【分析】（1）将点A(-3，-2)，B(-1，−13)，C(1，-43)分别代入5x-6y=-3，看是否适合方程；
（2）分别求出点D、E、P的坐标，可得答案；
（3）设F(3n，n)，则G(3n-2，n+1)，从而得出3n-2=3na+bn-2n+1=3na-bn+1 ，求得a和b的值．
【详解】（1）解：将A(-3，-2)，B(-1，−13)，C(1，-43)分别代入5x-6y=-3，
A、5×(-3)-6×(-2)=-3，
B、5×(-1)-6×(-3)=-3，
C．5×1-6×(--)=13≠-3，
∴“关联线”l∶5x-6y=-3的“关联点”有A和B，
故答案为∶A和B；
（2）解：∵D，P两点是“关联线”m∶5x-6y=-3的“关联点”，且D在y轴上，
∴D(0，12，)，
∵E，P两点是“关联线”n∶11x-6y=27的“关联点”，且E在y轴上．
∴E(0，−92)·
∴DE=5，
联立两个方程得5x−6y=−311x−6y=27'
解得x=5y=143
∴P(5,143)
∵PQ∥DE，且PQ=DE．
∴Q(5,−13)或(5,293)．
（3）解：设F(3n，n)，则G(3n-2，n+1)，
∴3n-2=3na+bn-2n+1=3na-bn+1，
解得a=23b=1
∴a-b=23-1=-13．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了新定义理解，方程和函数的关系等知识，读懂题意，将“关联点”问题转化为适合方程是解题的关键．
3．（2023春·北京密云·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与一次函数y＝kx+2的图象交于点A（1，m）．
(1)求m和k的值；
(2)将直线y＝x沿y轴向上平移两个单位得到直线l，点P（xp，yp）为直线l上任意一点，过点P作x轴的垂线交直线y＝x于点C，交一次函数y＝kx+2的图象于点D．
①当xp＝﹣1时，判断PC与PD的数量关系，并说明理由；
②当PC≤PD时，结合函数图象，直接写出xp的取值范围．
【答案】(1)m=1，k=﹣1；
(2)①PC=PD，理由见解析；②xp≤﹣1或xp≥1
【分析】（1）将点A分别代入y＝x与y＝kx+2求解即可；
（2）①根据函数图象平移规律“上加下减”得到直线l的表达式，进而求出点P、C、D坐标，求得PC和PD即可解答；②由平行线间的平行线相等知，PC的长不变，结合图象和①中结论即可求解．
【详解】（1）解：将点A（1，m）代入y=x中得：m=1，
则点A坐标为（1，1），
将点A（1，1）代入y=kx+2中得：1=k+2，
∴k=﹣1；
（2）解：①直线y＝x沿y轴向上平移两个单位得到直线l的表达式为y=x+2，
∴当xp＝﹣1时，yp＝﹣1+2=1，
∴点P坐标为（﹣1，1），
由题意知：点C和点D的横坐标为﹣1，点D在一次函数y=﹣x+2的图象上，点C在直线y=x上，
∴点C的坐标为（﹣1，﹣1），点D坐标为（﹣1，3），
∴PC=1﹣(﹣1)=2，PD=3﹣1=2，
∴PC=PD；
②根据题意直线y=x和直线l平行，PC垂直x轴，∴PC=2，
当点P坐标为（1，3）时，点C和点D与点A重合，则PD=PC=2，
由图可知，当PC≤PD时， xp的取值范围为xp≤﹣1或xp≥1．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形、一次函数图象的平移、平行线的性质，会利用数形结合思想解答是解题的关键．
4．（2023春·云南·八年级云大附中校考期中）如图，在平面直角坐标系中有一点A4,−1，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D，P是直线上的一个动点，通过研究发现直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程x+y=3的解，例如：若E点的横坐标为x=5，则其纵坐标为y=3−5=−2；若F点的纵坐标y=5，则其横坐标为x=3−9=−6．
(1)直接写出点B，C，D的坐标：B______，C_______，D______；
(2)求SΔAOB；
(3)SΔOBP:SΔOPA=1:2时，求点P的坐标．
【答案】(1)−1,4，3,0，0,3
(2)SΔAOB=152
(3)P23,73或P−6,9
【分析】（1）根据坐标和平移的性质，得B−1,4；结合题意，根据一次函数的性质，得直线AB解析式为：y=kx+b，通过计算即可完成求解；
（2）结合（1）的结论，连接AO，BO，通过计算即可得到答案；
（3）设点Pa,−a+3，分点P在线段AB上、点P在点B的左侧、点P在点A的右侧三种情况，通过列一元一次方程并求解，结合一次函数的性质计算，即可得到答案．
（1）
点A4,−1向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，
∴B4−5,−1+5，即B−1,4
∵直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程x+y=3的解
∴直线AB解析式为：y=−x+3
当x=0时，y=3，即D0,3
当y=0时，x=3，即C3,0
故答案为：−1,4，3,0，0,3；
（2）
如图，连接AO，BO，
∵SΔAOB=SΔBOC+SΔAOC
∴SΔAOB=12×3×4+12×3×1=152；
（3）
设点Pa,−a+3
如图，当点P在线段AB上时，
∵SΔOBP:SΔOPA=1:2，SΔAOB=152，SΔOBP+SΔOPA=SΔAOB
∴SΔOPA=5，
∵SΔOPA=SΔOPC+SΔOCA，
∴12×3×3−a+32=5，
∴a=23，
∴点P23,73
当点P在点B的左侧时，
∵SΔOBP:SΔOPA=1:2，且SΔAOB=152
∴SΔOPA=15，
∵SΔOPA=SΔOPC+SΔOCA，
∴15=12×3×3−a+32，
∴a=−6，
∴点P−6,9
当点P在点A的右侧时，得SΔOBP>SΔOPA
∴点P在点A的右侧不符合题意；
∴P23,73或P−6,9．
【点睛】本题考查了一次函数、直角坐标系、平移的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
5．（2023春·广东惠州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝x＋b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B点．
(1)求b的值；
(2)点M 是直线AB上的一个动点，将点M向下平移4个单位长度得到点N，若线段MN与x轴有一个公共点，设点M的横坐标为m，求m的取值范围．
【答案】(1)b＝2；
(2)－2≤m≤2．
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数y＝x＋b即可求得b的值；
（2）点M ( m，m+2)，则点N坐标为( m，m-2) ，再分别求出点M和点N分别在x轴上时m的值，即可确定m的取值范围．
【详解】（1）解：将（0，2）代入y＝x＋b可得，2=0+b，
∴b＝2；
（2）解：由（1）得一次函数的解析式为y＝x＋2，
∵点M是直线AB上一个动点，
∴设M ( m，m+2)，
∵将点M向下平移4个单位长度得到点N，
∴点N坐标为( m，m-2)，
当M在x轴上时，m+2=0，解得m=-2，
当点N在x轴上是， m-2=0，解得m=2，
∴MN与x轴有一个公共点时，m的取值范围是- 2≤m≤2．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，平移的性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
6．（2023春·湖北恩施·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝43x+m与直线l2交于点A（3，﹣2），直线l2与x轴交于点C（﹣3，0），与y轴交于点B，将直线l2向上平移5个单位长度得到直线l3，l3与y轴交于点D，与l1交于点E，连接AD．
(1)求直线l2的解析式；
(2)求四边形ABDE的面积．
【答案】(1)直线l2的解析式为y＝﹣13x﹣1
(2)四边形ABDE的面积为22.5
【分析】（1）由待定系数法可求出答案；
（2）求出D和E点的坐标，由S△ADE＝S△BDE，利用三角形面积公式可得出答案．
【详解】（1）设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∵直线l2与x轴交于点C（﹣3，0），过点A（3，﹣2），
∴−3k+b=03k+b=−2，
∴k=−13b=−1，
∴直线l2的解析式为y＝﹣13x﹣1；
（2）∵直线l1：y＝43x+m与直线l2交于点A（3，﹣2），
∴4+m＝﹣2，
∴m＝﹣6，
∴直线l1的解析式为y＝43x﹣6，
∵将直线l2向下平移5个单位长度得到直线l3，
∴直线l3的解析式为y＝﹣13x+4，
∵直线l3与y轴交于点D，
∴在y＝﹣13x+4中，当x＝0时，y＝4，
∴D（0，4），
∵直线l2与y轴交于点B，
∴B（0，﹣1），
∴BD＝5，
∵点A（3，﹣2），
∴S△ABD＝12×BD⋅xA＝12×5×3＝7.5，
由 y=43x−6y=13x+4解得x=6y=2，
∴E（6，2），
∵l2∥l3，
∴S△ADE＝S△BDE＝12•BD•6＝12×5×6＝15，
∴S四边形ABDE＝S△ABD+S△ADE＝S△ABD+S△BDE＝7.5+15＝22.5．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，两直线交点坐标的求法，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
7．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）已知，在平面直角坐标系中，线段AB在第一象限，A(1,4),B(3,1)，经过原点的直线l上有一点P(x,y)，其中x+1+|y−3|=0．
(1)求P点坐标；
(2)平移线段AB至CD，其中A、B的对应点分别为C、D．若点C，D恰好在y轴和直线l上，求D点坐标．
【答案】(1)P点坐标为（-1，3）；
(2)D（2，-6）．
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性即可得到结论；
（2）先求得直线l的解析式，A移动到C，设C（0，a），则B移动到D时，D（2，a-3），把D（2，a-3）代入直线l的解析式即可求解．
【详解】（1）解：∵x+1+|y−3|=0，
∴x+1=0，y-3=0，
∴x=-1，y=3，
∴P点坐标为（-1，3）；
（2）解：设直线l的解析式为y=kx，直线l过点P
则3=-k，
∴k=-3，
∴直线l的解析式为y=-3x，
∵A移动到C，
∴设C（0，a），则B移动到D时，D（2，a-3），
把D（2，a-3）代入y=-3x得a-3=-6，
∴a=-3，
∴D（2，-6）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变换-平移，待定系数法求函数的解析式，算术平方根的非负性，利用平移的性质得到点D的坐标为（2，a-3）是解题的关键．
8．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图像经过点A(−2,4)，且与正比例函数y=−23x的图像交于点B(a,2)．
(1)求a的值及△ABO的面积；
(2)若一次函数y=kx+b的图像与x轴交于点C，且正比例函数y=−23x的图像向下平移m(m>0)个单位长度后经过点C，求m的值；
(3)直接写出关于x的不等式−23x>kx+b的解集．
【答案】(1)a=−3，△ABO的面积为4
(2)m=83
(3)x<−3
【分析】（1）先确定B的坐标，然后根据待定系数法求解析式，求出一次函数图像与x轴交点，如图所示，利用间接方法得到SΔABO=SΔACO−SΔBCO即可得到结论；
（2）先求得C的坐标，然后根据题意求得平移后的直线的解析式，把C的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得M的值；
（3）根据图像即可求得不等式−23x>kx+b的解集．
【详解】（1）解：∵正比例函数y=−23x的图像经过点B(a,2)，
∴2=−23a，解得，a=−3，
∴B(−3,2)，
∵一次函数y=kx+b的图像经过点A(−2,4)，B(−3,2)，
∴ {−2k+b=4−3k+b=2，解得，k=2b=8，
∴一次函数y=kx+b的解析式为y=2x+8，如图所示：
∴当y=0时，0=2x+8，解得x=−4，即C−4,0，
∴SΔABO=SΔACO−SΔBCO
=12CO⋅yA−12CO⋅yB
=12×0−−4×4−2
=4；
（2）解：∵一次函数y=2x+8的图像与x轴交于点C，
∴C(−4,0)，
∵正比例函数y=−23x的图像向下平移m(m>0)个单位长度后经过点C，
∴平移后的函数的解析式为y=−23x−m，
∴0=−23×(−4)−m，解得m=83；
（3）解：∵B(−3,2)，
∴根据图像可知−23x>kx+b的解集为：x<−3．
【点睛】本题考查了两条直线的交点问题，应用的知识点有：待定系数法，直线上点的坐标特征，直线的平移，一次函数和一元一次不等式的关系．
9．（2023春·山东聊城·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=32x+m与直线l2交于点A−2,3，直线l2与x轴交于点C4,0，与y轴交于点B，将直线l2向下平移5个单位长度得到直线l3，l3与y轴交于点D，与l1交于点E，连接AD．
(1)求直线l2的解析式；
(2)求△ADE的面积；
【答案】(1)y=−12x+2
(2)454
【分析】（1）由待定系数法可求出答案；
（2）求出D和E点的坐标，由SΔADE=SΔBDE，利用三角形面积公式可得出答案．
【详解】（1）解：设直线l2的解析式为y=kx+b，
∵直线l2与x轴交于点C(4,0)，过点A(−2,3)，
∴ 4k+b=0−2k+b=3，
∴ k=−12b=2，
∴直线l2的解析式为y=−12x+2；
（2）∵直线l1:y=32x+m与直线l2交于点A(−2,3)，
∴−3+m=3，
∴m=6，
∴直线l1的解析式为y=32x+6，
∵将直线l2向下平移5个单位长度得到直线l3，
∴直线l3的解析式为y=−12x−3，
∵l3与y轴交于点D，
∴x=0时，y=−3，
∴D(0,−3)，
∵直线l2与y轴交于点B，
∴B(0,2)，
∴BD=5，
由y=32x+6y=−12x−3，解得x=−92y=−34，
∴E(−92，−34)，
∵l2∥l1，
∴SΔADE=SΔBDE=12⋅BD⋅92=12×5×92=454．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，两直线交点坐标的求法，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
10．（2023秋·广西梧州·八年级统考期中）如图，直线AB：y=2x−k过点Mk,2，并且分别与x轴，y轴相交于点A和点B．
(1)求k的值．
(2)求点A和点B的坐标．
(3)将直线AB向上平移3个单位得直线l，若C为直线l上一点，且S△AOC=2，求点C的坐标．
【答案】(1)k的值是2
(2)点A的坐标为1,0，点B的坐标为0,−2
(3)C的坐标是32,4或−52,−4
【分析】（1）将点Mk,2代入即可得k的值；
（2）根据直线AB：y=2x−2，分别求出当y=0时x的值．当x=0，y的值即可求得A、B的坐标；
（3）根据平移的规律求得平移后的解析式，根据解析式设出Cm,2m+1，然后根据三角形面积公式得到122m+1=2，解得m的值，从而求得C的坐标．
【详解】（1）解：∵直线AB：y=2x−k过点Mk,2，
∴2=2k−k，解得：k=2，
∴k的值是2；
（2）解：∵k=2，
∴直线AB：y=2x−2，
当y=0，则2x−2=0，解得x=1；
当x=0时，y=−2，
∴点A的坐标为1,0，点B的坐标为0,−2；
（3）解：将直线AB：y=2x−2向上平移3个单位得直线l：y=2x+1，
设C的坐标为m,2m+1，
∵S△AOC=2，
∴122m+1=2，
∴2m+1=±4，
解得m=32或−52，
∴C32,4或−52,−4．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，三角形的面积等，求得平移的直线的解析式是解题的关键．白纸张数x（张）
1
2
3
4
5
…
纸条长度y（cm）
20
a
54
71
b
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