人教版七年级数学下册举一反三专题5.2平行线的判定【八大题型】(学生版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册举一反三专题5.2平行线的判定【八大题型】(学生版+解析)，共38页。
专题5.2 平行线的判定【八大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc18206" 【题型1 平面内两直线的位置关系】  PAGEREF _Toc18206 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc12475" 【题型2 格点中作平行线】  PAGEREF _Toc12475 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc32406" 【题型3 填写平行线判定的依据】  PAGEREF _Toc32406 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc20258" 【题型4 确定两直线平行的条件】  PAGEREF _Toc20258 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc24726" 【题型5 补充过程证明两直线平行】  PAGEREF _Toc24726 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc20132" 【题型6 利用平行线的判定进行证明】  PAGEREF _Toc20132 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc23083" 【题型7 旋转使两直线平行】  PAGEREF _Toc23083 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc16307" 【题型8 平行线判定的实际应用】  PAGEREF _Toc16307 \h 9【题型1 平面内两直线的位置关系】【例1】（2023下·北京延庆·七年级统考期末）如图的网格纸中，AB∥ ，AB⊥ ．【变式1-1】（2023下·吉林·七年级统考期中）在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和 两种位置关系．【变式1-2】（2023下·七年级单元测试）同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个数为（　　）A．0 B．1 C．2 D．3【变式1-3】（2023下·浙江·七年级专题练习）用数学的眼光看世界，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条 直线．【题型2 格点中作平行线】【例2】（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（网格线的交点称格点），在这个7×7的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（      ）  A．2  个 B．4个 C．5个 D．6个【变式2-1】（2023下·陕西宝鸡·七年级统考期中）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D在正方形网格的格点上，请按要求画图并回答问题：  (1)过点B画直线BE∥AD；过点C画直线CF∥AD；(2)过点D画直线MN⊥AD；(3)试判断直线BE与直线CF的位置关系．【变式2-2】（2023下·广东广州·七年级执信中学校考期中）如图，点A，C，B，D在8×9网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．请按要求画图，并回答问题：    (1)过点C画直线AB的垂线，垂足为E；并直接写出点C到直线AB的距离；(2)过点A画AF∥BC交CE于点F；(3)请写出图中∠CBD的所有同位角．【变式2-3】（2023下·江西抚州·七年级统考期中）请仅用无刻度直尺完成下列作图．（注意：请将相关字母标在相应位置上）在图1的方格纸中过格点A作直线b，使b∥a．【题型3 填写平行线判定的依据】【例3】（2023上·山西晋中·七年级统考期末）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线l1与l2．这样画的依据是（    ）  A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等【变式3-1】（2023下·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图所示，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=110°，∠BCD=70°，管道AB，CD的关系是 ，依据是 ．  【变式3-2】（2023下·河北石家庄·七年级校考期末）数学课上老师要求同学们用三角板画已知直线a的平行线b，如图是苗苗和小华画图的过程．老师说苗苗和小华两位同学的画法都是正确的．甲、乙两位同学分别对苗苗和小华画平行线的依据进行了说明：甲同学说：苗苗的画图依据是“同位角相等，两直线平行”；乙同学说：小华的画图依据是“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”．对于甲、乙两同学的说法，下列判断正确的是（ ）  A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误【变式3-3】（2023下·广东韶关·七年级统考期中）如图，木工用图中的角尺画平行线的依据是（    ）①同位角相等，两直线平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行A．①② B．②④ C．①④ D．③④【知识点1 平行线的判定】①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）. ②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行. ③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.） 【题型4 确定两直线平行的条件】【例4】（2023下·安徽六安·七年级校考阶段练习）如图，下列条件能判定AB∥CD的是（    ）  ∠1=∠3 B．∠4＝∠5 C．∠B=∠D D．∠B+∠2+∠4=180°【变式4-1】（2023下·河北廊坊·七年级统考期末）如图，下列说法错误的是（　　）  A．若∠1=∠2，则AB∥CD B．若∠1+∠3=180°，则AB∥CDC．若∠3=∠5，则AB∥CD D．若∠4=∠5，则AB∥CD【变式4-2】（2023下·山东日照·七年级统考期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（    ）A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠5=∠C D．∠B+∠BDE=180°【变式4-3】（2023上·河南南阳·七年级统考期末）如图，已知条件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180∘；⑤∠5+∠6=180∘；⑥∠7=∠2+∠3．其中不能够判定直线a∥b的是 ．（只填序号）【题型5 补充过程证明两直线平行】【例5】（2023下·福建宁德·七年级统考期中）请把以下说理过程补充完整：如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，说明BE与DF平行的理由．解：理由是：因为AB⊥BC    ，所以∠ABC=__________°，即：∠3+∠4=__________°．因为∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，所以___________=___________（___________）．所以BE∥DF（_____________________）．【变式5-1】（2023下·北京延庆·七年级统考期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：AB∥CD．请将下面的证明过程补充完整．证明：∵∠B+∠BAD=180°（已知），∠1+∠BAD=180°（ ），∴∠1=∠B（ ）．∵∠1=∠2（已知），∴∠2＝ （ ）．∴AB∥CD（ ）．【变式5-2】（2023下·四川达州·七年级校考阶段练习）推理填空： 已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求证：BE∥CF．   证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知） ∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余 又∵∠1=∠2（ ），∴ ＝ （ ） ∴BE∥CF（ ）．【变式5-3】（2023下·浙江·七年级专题练习）完成下面的证明：已知：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求证：AB∥CD．证明：∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC=2∠1（ ）．∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD= （角的平分线的定义）．∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（ ）．∵∠1+∠2=90°（已知），∴∠ABD+∠BDC= （ ）．∴AB∥CD（ ）．【题型6 利用平行线的判定进行证明】【例6】（2023下·广西南宁·七年级统考期末）如图∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，点B，C，E在同一直线上．  (1)∠DAB+∠B等于多少度？(2)若∠B=∠D，AB与CD平行吗？证明你的结论．【变式6-1】（2023下·广东东莞·七年级校考期中）在四边形ABCD中，BE平分∠ABC，∠1=∠3．证明：AD∥BC．  【变式6-2】（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，将△ABD沿AD翻折得到△AED，设BC与AE交于点F．(1)若△ABF的周长为12，△DEF的周长4，求AF的长；(2)若∠ADC=∠DAC，证明：DE∥AC．【变式6-3】（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，直线AB和CD被直线MN所截．  (1)如图1，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE（平分的是一对同旁内角），则∠1与∠2满足______时， AB∥CD，并说明平行的理由；(2)如图2，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE（平分的是一对同位角），则∠1与∠2满足______时，AB∥CD，并说明平行的理由；(3)如图3，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE（平分的是一对内错角），则∠1与∠2满足______时，AB∥CD，并说明平行的理由．【题型7 旋转使两直线平行】【例7】（2023下·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为(　　)A．65° B．85° C．95° D．115°【变式7-1】（2023下·河北秦皇岛·七年级统考期中）如图所示，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB，CD别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t= 秒．  【变式7-2】（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）如图（1），在△ABC中，∠A=42°，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当∠ACB'=（    ）时，CB'//AB．A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°【变式7-3】（2023下·重庆·七年级重庆八中校考阶段练习）如图，PQ//MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN=45°，若射线AM绕点顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足a−5+b−12=0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动 秒时，射线AM与射线BQ互相平行．【题型8 平行线判定的实际应用】【例8】（2023下·浙江台州·七年级统考期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行(   )A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5【变式8-1】（2023下·江西赣州·七年级校联考期中）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（　　）A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°【变式8-2】（2023下·全国·七年级专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．【变式8-3】（2023下·陕西延安·七年级统考期末）如图，一条公路绕湖而过，测得三个拐弯的角度分别为∠A＝120°，∠B＝150°，∠C＝150°，试判断公路AE与CF是否平行，并说明理由．专题5.2 平行线的判定【八大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc962" 【题型1 平面内两直线的位置关系】  PAGEREF _Toc962 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc18606" 【题型2 格点中作平行线】  PAGEREF _Toc18606 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc27058" 【题型3 填写平行线判定的依据】  PAGEREF _Toc27058 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc24379" 【题型4 确定两直线平行的条件】  PAGEREF _Toc24379 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc15634" 【题型5 补充过程证明两直线平行】  PAGEREF _Toc15634 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc20388" 【题型6 利用平行线的判定进行证明】  PAGEREF _Toc20388 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc7514" 【题型7 旋转使两直线平行】  PAGEREF _Toc7514 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc18149" 【题型8 平行线判定的实际应用】  PAGEREF _Toc18149 \h 25【题型1 平面内两直线的位置关系】【例1】（2023下·北京延庆·七年级统考期末）如图的网格纸中，AB∥ ，AB⊥ ．【答案】 CD， AE.【分析】根据平行和垂直的定义结合网格即可作出判断.【详解】解：由图可得AB∥CD，而CD⊥AE，∴可得AB⊥AE．【点睛】本题考查了平行和垂直的判断，熟悉网格结构是解题关键.【变式1-1】（2023下·吉林·七年级统考期中）在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和 两种位置关系．【答案】平行【分析】根据两直线的位置关系解答即可.【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交，故答案为：平行.【点睛】此题主要考查了平行线，关键是掌握在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外).【变式1-2】（2023下·七年级单元测试）同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个数为（　　）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据题意先画出图形即可得到答案．【详解】解：根据题意，第三条直线与这两条平行直线各有一个交点．如图，  故选：C．【点睛】本题考查的是平面内，直线的位置关系的理解，相交线的交点的含义，利用数形结合的方法解题是关键．【变式1-3】（2023下·浙江·七年级专题练习）用数学的眼光看世界，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条 直线．【答案】平行【分析】根据平行线的定义，进行判断即可．【详解】解：由平行线的定义可知，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条平行直线，故答案为：平行．【点睛】本题考查平面内两条直线的位置关系．熟练掌握同一平面内，不相交的两条直线是平行线，是解题的关键．【题型2 格点中作平行线】【例2】（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（网格线的交点称格点），在这个7×7的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（      ）  A．2  个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【分析】利用格点的性质和三角形的面积公式即可得．【详解】由格点的性质和三角形的面积公式得，总共有6个满足条件的格点C，如图所示：（格点C均在平行于AB的直线上）其中，由点C1,C2,C3,C4,C5与点A,B分别构成的5个三角形的面积显然是3△ABC6的面积为S△AC3C6−S△BDC6−S直角梯形△ABDC3=12×4×6−12×3×3−12×(3+6)×1=12−92−92=3  故选：D．【点睛】本题考查了平行线的实际应用，理解题意，结合格点的性质是解题关键．【变式2-1】（2023下·陕西宝鸡·七年级统考期中）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D在正方形网格的格点上，请按要求画图并回答问题：  (1)过点B画直线BE∥AD；过点C画直线CF∥AD；(2)过点D画直线MN⊥AD；(3)试判断直线BE与直线CF的位置关系．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)BE∥CF，理由见解析．【分析】（1）根据网格线的特点作图；（2）根据网格线的特点作图；（3）根据平行线的传递性证明．【详解】（1）解：如图，BE，CF即为所求；  （2）解：如图，MN即为所求；  （3）解： BE∥CF，理由如下：∵BE∥AD， CF∥AD，∴BE∥CF．【点睛】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及平行线的判定方法是解题的关键．【变式2-2】（2023下·广东广州·七年级执信中学校考期中）如图，点A，C，B，D在8×9网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．请按要求画图，并回答问题：    (1)过点C画直线AB的垂线，垂足为E；并直接写出点C到直线AB的距离；(2)过点A画AF∥BC交CE于点F；(3)请写出图中∠CBD的所有同位角．【答案】(1)图见解析；2(2)图见解析(3)∠BAF,∠BAC,∠CED【分析】（1）取格点E，作直线CE即可写；（2）取格点F，连接AF即可；（3）根据作图写出图中∠CBD的所有同位角即可．【详解】（1）解：如图，直线CE即为所求；点C到直线AB的距离为2；（2）解：如图，AF即为所求；  （3）解：∠CBD的所有同位角有∠BAF,∠BAC,∠CED．【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图、点到直线的距离、画平行线，同位角，解决本题的关键是准确画图．【变式2-3】（2023下·江西抚州·七年级统考期中）请仅用无刻度直尺完成下列作图．（注意：请将相关字母标在相应位置上）在图1的方格纸中过格点A作直线b，使b∥a．【分析】根据平行线的判定可取格点F，直线AF即可．【详解】解：如图1中，直线b即为所求．【题型3 填写平行线判定的依据】【例3】（2023上·山西晋中·七年级统考期末）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线l1与l2．这样画的依据是（    ）  A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等【答案】A【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．【详解】解：由题意得∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行可得l1∥l2 ．故选：A．  【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．【变式3-1】（2023下·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图所示，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=110°，∠BCD=70°，管道AB，CD的关系是 ，依据是 ．  【答案】 AB∥CD 同旁内角互补，两直线平行【分析】根据题意推出∠ABC+∠BCD=110°+70°=180°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得出结论．【详解】解：∵∠ABC=110°，∠BCD=70°，∴∠ABC+∠BCD=110°+70°=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：AB∥CD，同旁内角互补，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同旁内角互补，两直线平行．【变式3-2】（2023下·河北石家庄·七年级校考期末）数学课上老师要求同学们用三角板画已知直线a的平行线b，如图是苗苗和小华画图的过程．老师说苗苗和小华两位同学的画法都是正确的．甲、乙两位同学分别对苗苗和小华画平行线的依据进行了说明：甲同学说：苗苗的画图依据是“同位角相等，两直线平行”；乙同学说：小华的画图依据是“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”．对于甲、乙两同学的说法，下列判断正确的是（ ）  A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误【答案】B【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论．【详解】苗苗画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行；小华画平行线的依据是：内错角相等，两直线平行；故甲正确，乙错误．故选：B【点睛】本题考查平行线的判定定理．掌握相关定理是解题的关键．【变式3-3】（2023下·广东韶关·七年级统考期中）如图，木工用图中的角尺画平行线的依据是（    ）①同位角相等，两直线平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行A．①② B．②④ C．①④ D．③④【答案】C【分析】根据平行线的判定进行解答即可．【详解】解：由题意知，木工用图中的角尺画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行；∴依据为①④，故答案为：C．【点睛】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【知识点1 平行线的判定】①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）. ②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行. ③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.） 【题型4 确定两直线平行的条件】【例4】（2023下·安徽六安·七年级校考阶段练习）如图，下列条件能判定AB∥CD的是（    ）  ∠1=∠3 B．∠4＝∠5 C．∠B=∠D D．∠B+∠2+∠4=180°【答案】D【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．【详解】解：A．∠1=∠3，不能判定AB∥CD，不符合题意；B．∠4=∠5，根据内错角相等，两直线平行可判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意；C．∠B=∠D，不能判定AB∥CD，不符合题意；D．∠B+∠4+∠2=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥CD，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．【变式4-1】（2023下·河北廊坊·七年级统考期末）如图，下列说法错误的是（　　）  A．若∠1=∠2，则AB∥CD B．若∠1+∠3=180°，则AB∥CDC．若∠3=∠5，则AB∥CD D．若∠4=∠5，则AB∥CD【答案】C【分析】根据平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各项进行判断即可．【详解】解：A、∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行，可判定AB∥CD，故本选项不符合题意；B、如图，  ∵∠1+∠3=180°，∠1+∠6=180°，∴∠3=∠6，∴AB∥CD，故本选项不符合题意；C、∠3，∠5不是内错角，故∠3=∠5不能判定AB∥CD，本选项错误，故本选项符合题意；D、∠4，∠5是内错角，可以判定出AB∥CD，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．【变式4-2】（2023下·山东日照·七年级统考期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（    ）A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠5=∠C D．∠B+∠BDE=180°【答案】B【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．【详解】因为∠1=∠2，所以DE∥BC，故A不符合题意；因为∠3=∠4，不能判断DE∥BC，故B符合题意；因为∠5=∠C，所以DE∥BC，故C不符合题意；因为∠B+∠BDE=180°，所以DE∥BC，故D不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式4-3】（2023上·河南南阳·七年级统考期末）如图，已知条件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180∘；⑤∠5+∠6=180∘；⑥∠7=∠2+∠3．其中不能够判定直线a∥b的是 ．（只填序号）【答案】①③④⑤⑥【分析】根据内错角相等，两直线平行，即可判断①；根据同位角相等，两直线平行，即可判断③；根据同旁内角互补，两直线平行，即可判断④；根据同角的补交相等可得∠4=∠6，再根据同位角相等，两直线平行，即可判断⑤；过点B作BD∥b，则∠3=∠ABD，从而得出∠2=∠CBD，进而得出BD∥a，最后根据平行于同一直线的两直线互相平行，即可判断⑥．【详解】解：①∵∠1=∠2，∴a∥b，故①能够判定直线a∥b，符合题意；②∠2=∠3不能判定a∥b，故②不符合题意；③∵∠3=∠5，∴a∥b，故③能够判定直线a∥b，符合题意；④∵∠3+∠4=180∘，∴a∥b，故④能够判定直线a∥b，符合题意；⑤∵∠5+∠6=180∘，∠5+∠4=180∘，∴∠4=∠6，∴∴a∥b，故⑤能够判定直线a∥b，符合题意；⑥过点B作BD∥b，∵BD∥b，∴∠3=∠ABD，∵∠7=∠2+∠3，∠7=∠ABD+∠CBD，∴∠2=∠CBD，∴BD∥a，∴a∥b．故⑥能够判定直线a∥b，符合题意；综上：能够判定直线a∥b的有：①③④⑤⑥．故答案为：①③④⑤⑥．【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行．【题型5 补充过程证明两直线平行】【例5】（2023下·福建宁德·七年级统考期中）请把以下说理过程补充完整：如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，说明BE与DF平行的理由．解：理由是：因为AB⊥BC    ，所以∠ABC=__________°，即：∠3+∠4=__________°．因为∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，所以___________=___________（___________）．所以BE∥DF（_____________________）．【答案】90，90；∠1，∠4，等角的余角相等；同位角相等两直线平行【分析】由AB垂直于BC，利用垂直的定义得到∠ABC为直角，进而得到∠3与∠4互余，再由∠1与∠2互余，根据∠2＝∠3，利用等角的余角相等得到∠1＝∠4，利用同位角相等两直线平行即可得证．【详解】解： 理由是：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，即∠3＋∠4＝90°．又∵∠1＋∠2＝90°，且∠2＝∠3，∴∠1＝∠4，理由是：等角的余角相等，∴BE//DF．理由是：同位角相等，两直线平行．故答案为：90；90；∠1，∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定以及余角和补角，利用等角的余角相等找出∠1＝∠4是解题的关键．【变式5-1】（2023下·北京延庆·七年级统考期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：AB∥CD．请将下面的证明过程补充完整．证明：∵∠B+∠BAD=180°（已知），∠1+∠BAD=180°（ ），∴∠1=∠B（ ）．∵∠1=∠2（已知），∴∠2＝ （ ）．∴AB∥CD（ ）．【答案】见解析【分析】根据平行的判定定理证明即可．【详解】∵∠B+∠BAD=180°（已知），∠1+∠BAD=180°（平角定义），∴∠1=∠B（同角的补角相等）．∵∠1=∠2（已知），∴∠2=∠B（等量代换）．∴AB∥CD（同位角相等，两条直线平行）．【点睛】本题考查平行线的判定定理，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．【变式5-2】（2023下·四川达州·七年级校考阶段练习）推理填空： 已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求证：BE∥CF．   证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知） ∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余 又∵∠1=∠2（ ），∴ ＝ （ ） ∴BE∥CF（ ）．【答案】已知；∠3；∠4；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行【分析】注意观察图中角之间的位置关系，主要依据为同角或等角的余角相等，平行线的判定定理．【详解】解：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知） ∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余 又∵∠1=∠2（ 已知 ），∴∠3=∠4（ 等角的余角相等 ） ∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）．【点睛】本题主要考查同角或等角的余角相等，内错角相等，两直线平行；熟练相关定理的运用是解题的关键．【变式5-3】（2023下·浙江·七年级专题练习）完成下面的证明：已知：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求证：AB∥CD．证明：∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC=2∠1（ ）．∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD= （角的平分线的定义）．∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（ ）．∵∠1+∠2=90°（已知），∴∠ABD+∠BDC= （ ）．∴AB∥CD（ ）．【答案】角平分线的定义；2∠2；等式的性质；180°；等量代换；同旁内角互补，两直线平行【分析】首先根据角平分线的定义可得∠BDC=2∠1，∠ABD=2∠2，根据等量代换可得∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2，进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．【详解】证明：∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC=2∠1（ 角平分线的定义）．∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD=2∠2（角的平分线的定义）．∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（ 等式的性质）．∵∠1+∠2=90°（已知），∴∠ABD+∠BDC=180°（ 等量代换）．∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．【题型6 利用平行线的判定进行证明】【例6】（2023下·广西南宁·七年级统考期末）如图∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，点B，C，E在同一直线上．  (1)∠DAB+∠B等于多少度？(2)若∠B=∠D，AB与CD平行吗？证明你的结论．【答案】(1)180(2)平行，理由见解析【分析】（1）由AB⊥AC得∠BAC=90°，已知∠1=30°，∠B=60°，根据∠DAB+∠B=∠1+∠BAC+∠B计算即可；（2）由（1）得：∠DAB+∠B=180°，结合∠B=∠D，得∠DAB+∠D=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明AB与CD平行．【详解】（1）∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，又∵∠1=30°，∠B=60°，∴∠DAB+∠B=∠1+∠BAC+∠B=30°+90°+60°=180°，故∠DAB+∠B等于180度．（2）∵∠B=∠D，由（1）得：∠DAB+∠B=180°，∴∠DAB+∠D=180°，∴ AB与CD平行．（同旁内角互补，两直线平行）【点睛】本题考查了角度计算、平行线的判定，熟练计算、掌握平行线的判定定理“同旁内角互补，两直线平行”，是解题的关键．【变式6-1】（2023下·广东东莞·七年级校考期中）在四边形ABCD中，BE平分∠ABC，∠1=∠3．证明：AD∥BC．  【答案】见解析【分析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再由∠1=∠3，可得∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，即可得证．【详解】证明：∵ BE平分∠ABC，∴ ∠1=∠2，又∵ ∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴ AD∥BC．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．【变式6-2】（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，将△ABD沿AD翻折得到△AED，设BC与AE交于点F．(1)若△ABF的周长为12，△DEF的周长4，求AF的长；(2)若∠ADC=∠DAC，证明：DE∥AC．【答案】(1)AF的长为4；(2)见解析【分析】（1）设BD=a，DF=b，AF=x，由折叠的性质得DE=BD=a，AB=AE=x+EF，再根据周长公式列式计算即可求解；（2）由折叠的性质得∠ADB=∠ADE，由邻补角的性质结合已知，推出∠DAC+∠ADE=180°，根据平行线的判定定理即可得到结论．【详解】（1）解：设BD=a，DF=b，AF=x，∵将△ABD沿AD翻折得到△AED，∴DE=BD=a，AB=AE=x+EF，∵△DEF的周长4，∴EF=4−a+b，∴AB=x+4−a+b，∵△ABF的周长为12，，∴x+4−a+b+a+b+x=12，解得x=4，即AF的长为4；（2）证明：由折叠的性质得∠ADB=∠ADE，∵∠ADC+∠ADB=180°，∴∠ADC+∠ADE=180°，∵∠ADC=∠DAC，∴∠DAC+∠ADE=180°，∴DE∥AC．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．【变式6-3】（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，直线AB和CD被直线MN所截．  (1)如图1，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE（平分的是一对同旁内角），则∠1与∠2满足______时， AB∥CD，并说明平行的理由；(2)如图2，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE（平分的是一对同位角），则∠1与∠2满足______时，AB∥CD，并说明平行的理由；(3)如图3，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE（平分的是一对内错角），则∠1与∠2满足______时，AB∥CD，并说明平行的理由．【答案】(1)∠1+∠2=90°，见解析(2)∠1=∠2，见解析(3)∠1=∠2，见解析【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BEF=2∠1，∠EFD=2∠2，故∠1与∠2满足∠1+∠2=90°，即可得出∠BEF+∠EFD=2∠1+∠2=180°，即可判断AB∥CD；（2）根据角平分线的定义可得∠BEM=2∠1，∠EFD=2∠2，故∠1与∠2满足∠1=∠2，即可得∠BEM=∠DFE，即可判断AB∥CD；（3）同（2）的分析即得结论．【详解】（1）当∠1与∠2满足∠1+∠2=90°时， AB∥CD，理由如下：∵EG平分∠BEF，FH平分∠DFE，∴∠BEF=2∠1，∠EFD=2∠2，∵∠1+∠2=90°，∴∠BEF+∠EFD=2∠1+∠2=180°，∴AB∥CD；（2）当∠1与∠2满足∠1=∠2时，AB∥CD，理由如下：∵EG平分∠MEB，FH平分∠DFE，∴∠BEM=2∠1，∠EFD=2∠2，∵∠1=∠2，∴∠BEM=∠DFE，∴AB∥CD；  （3）当∠1与∠2满足∠1=∠2时，AB∥CD，理由如下：∵EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，∴∠AEF=2∠1，∠EFD=2∠2，∵∠1=∠2，∴∠AEF=∠DFE，∴AB∥CD．【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，常见的判定两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．【题型7 旋转使两直线平行】【例7】（2023下·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为(　　)A．65° B．85° C．95° D．115°【答案】B【分析】根据同位角相等两直线平行可得当∠AOB=65°时，a∥b，进而算出答案．【详解】解：∵当∠AOB=65°时，a∥b∴旋转的最小角度为150°﹣65°=85°，故选：B【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．【变式7-1】（2023下·河北秦皇岛·七年级统考期中）如图所示，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB，CD别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t= 秒．  【答案】5或95【分析】分①AB与CD在EF的两侧时，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．【详解】∵∠DCF=60°，∴∠ACD=180°−∠DCF=180°−60°=120°，分三种情况：如图①，AB与CD在EF的两侧时，∠ACD=120°−3t°，∠BAC=110°−t°，  要使AB∥CD，则∠ACD=∠BAC，即120°−3t°=110°−t°，解得t=5；如图②，CD旋转到与AB都在EF的右侧时，  ∠DCF=360°−3t°−60°=300°−3t°，∠BAC=110°−t°，要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，即300°−3t°=110°−t°，解得t=95；如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，  ∠DCF=3t°−(180°−60°+180°)=3t°−300°，∠BAC=t°−110°，要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，即3t°−300°=t°−110°，解得t=95，此时∠BAC=t°−110°