人教版八年级数学下册举一反三专题18.9构造三角形中位线的四种常用方法(学生版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册举一反三专题18.9构造三角形中位线的四种常用方法(学生版+解析)，共34页。

专题18.9 构造三角形中位线的四种常用方法【人教版】考卷信息：本套训练卷共24题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生构造三角形中位线的四种常用方法的理解！【题型1 连接两点构造三角形的中位线】1．（2023上·山西临汾·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（    ）  A．12 B．10 C．9.6 D．4.82．（2023下·江苏无锡·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC=3，AC=4，E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为 ．  3．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）（1）【定理】如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．根据画出的图形，可以得出：①DE与BC位置关系是 ．②DE与BC数量关系是 ．（2）【定理应用】如图②，已知矩形ABCD中，AD=6，CD=4，点P在BC上从B向C移动，R、E、F分别是DC、AP、RP的中点，则EF的长度．（3）【拓展提升】如图③，△ABC中，AB=12，BC=16，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB=90°，则EF= ．4．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外作等边三角形ABM和等边三角形CAN，D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE．求证：DE=EF．5．（2023上·江苏常州·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是边BC的中点，E是边AB上一点，且DE=DC．  (1)用直尺和圆规在边AC上作点F，使得△CDF≌△EDF；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下：①求CF的长；②线段DF与线段AB的数量关系是______，位置关系是______．6.（2023上·江苏南通·八年级校考期末）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是 ．7.（2023下·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，且CG=GF=AF，若BD=46，则CD的值为 ．8.（2023下·广西桂林·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，CE平分∠BCD交AB于点E，点F，G分别是CD，CE的中点，则FG的长为（    ）  A．5 B．102 C．13 D．132【题型2 利用角平分线垂直构造三角形的中位线】1.（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，点D是△ABC外一点，AD⊥BD，且AD平分∠BAC，连接DE．若AB=10，DE=2，则AC的长为（　　）  A．3 B．4 C．5 D．62.（2023下·河北邯郸·八年级校考期中）在△ABC中，点D是AB的中点，CE平分∠ACB，AE⊥CE于点E．  (1)求证：DE∥BC；(2)若AC=5，BC=7，求DE的长．3.（2023下·山西运城·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点C作CD⊥BD于点D，E是边AC的中点，连接DE，若DE=2，BC=10，则AB的长为（    ）A．6 B．8 C．7 D．94.（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，AB=9cm，AC=5cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为 ．5.（2023下·江苏·八年级姜堰区实验初中校考期中）如图，Rt△ABC中∠ACB=90°，AB=13，BC=5，AD，BE分别平分∠BAC、∠ABC，∠ADC=∠BEC=90°，连接DE，则DE= ．  【题型3 已知中点，取另一条线段的中点构造三角形的中位线】1．（2023上·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=3,AC=4，平面上有一点P，连接AP，CP，且CP=2，取AP的中点M．连接BM，则BM的最小值为（    ）  A．10 B．655 C．13−1 D．232．（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连CE，设CE的最大值为m，最小值为n，则m+n= ．  3．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=43，点D为BC中点，连接AD，以AD为边向左侧作等边△ADE，连接CE，则CE= ．  4．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）先把下面直角三角形的性质和已知补充完整，再证明．求证：直角三角形_______的中线等于斜边的一半.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点．求证：_________．  5．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，D在AC上，△ABC与△CDE均为等边三角形，F,H,G分别是BC,CE,AD的中点，连接FH,HG,GH．求证：△FGH为等边三角形．6．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G．若AB=CD=2，∠FEC=45°，求EF的长．7．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点．若AB=10，CD=8求MN长度的取值范围．【题型4 利用倍长法构造三角形的中位线】1．（2023下·黑龙江伊春·七年级校联考期末）如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC=3，AC=4，AD=6．M是BD的中点，则CM的长为(   )A．32 B．2 C．52 D．32．（2023上·福建龙岩·八年级校联考阶段练习）如图，已知正方形ABCD、正方形AEFG的边长分别为4和1，将正方形AEFG绕点A旋转，连接DF，点M是DF的中点，连接CM，则线段CM的最大值为（    ）．A．32 B．42 C．52 D．25+223．（2023上·福建漳州·八年级校联考期中）【知识探究】探究得到定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【定理证明】请你利用矩形的性质，证明该定理.已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点；（1）求证：OB=12AC.（2）【灵活运用】如图2，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，E，F分别是AC，CD的中点，连接BE，EF，BF，求证：∠1=∠2．4．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，BC=2，D是AB的中点，E是AC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长等于 ．专题18.9 构造三角形中位线的四种常用方法【人教版】考卷信息：本套训练卷共24题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生构造三角形中位线的四种常用方法的理解！【题型1 连接两点构造三角形的中位线】1．（2023上·山西临汾·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（    ）  A．12 B．10 C．9.6 D．4.8【答案】D【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短的性质．连接AE，作AH⊥BC于点H．由三角形中位线的性质得FM=12AE，由垂线段最短可知当AE最小，即点E与点H重合时FM的值最小，然后利用勾股定理求出AH的长即可．【详解】解：连接AE，作AH⊥BC于点H．  ∵点D，E分别是AB，BC边上的动点，∴FM是△ADE的中位线，∴FM=12AE，∴当AE最小，即点E与点H重合时FM的值最小．设BH=x，则CH=10−x，∵102−x2=122−10−x2，∴x=2.8，∴AH=102−2.82=9.6，∴FM的最小值为4.8．故选D．2．（2023下·江苏无锡·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC=3，AC=4，E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为 ．  【答案】1【分析】根据勾股定理得到AB=5，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠ABD=∠ADB，求得AB=AD=5，连接BF并延长交AD于G，根据全等三角形的性质得到BF=FG，AG=BC=3，求得DG=5−3=2，根据三角形中位线定理即可得到结论．【详解】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∵BC=3，AC=4，∴AB=5，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD=5，连接BF并延长交AD于G，  ∵AD ∥ BC，∴∠AGF=∠CBF，∵F是AC的中点，∴AF=CF，在△AFG和△CFB中，∠AFG=∠CFB∠AGF=∠CBFAF=CF，∴△AFG≌△CFB (AAS)，∴BF=FG，AG=BC=3，∴DG=5−3=2，∵E是BD的中点，∴EF=12DG=1．故答案为：1．【点睛】此题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．3．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）（1）【定理】如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．根据画出的图形，可以得出：①DE与BC位置关系是 ．②DE与BC数量关系是 ．（2）【定理应用】如图②，已知矩形ABCD中，AD=6，CD=4，点P在BC上从B向C移动，R、E、F分别是DC、AP、RP的中点，则EF的长度．（3）【拓展提升】如图③，△ABC中，AB=12，BC=16，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB=90°，则EF= ．【答案】（1）①DE∥BC；②DE=12BC；（2）EF=10；（3）2【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等证明△ADE∽△ABC，即可证明；（2）连接AR，在Rt△ADR中求出AR，再由中位线的性质求EF即可；（3）在Rt△AFB中，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出DF，再由中位线性质求DE，即可求EF．【详解】解：（1）∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴ADAB=AEAC=12，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=12，∠ADE=∠ABC，∴DE∥BC，DE=12BC；故答案为：①DE∥BC；②DE=12BC；（2）如下图，连接AR，∵E是AP的中点，F是PR的中点，∴EF=12AR，∵R是CD的中点，CD=4，∴DR=12CD=2，，∵AD=6，∠D=90°，∴AR=AD2+DR2=210，∴EF=10；（3）∵BC=16，点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE=12BC=8，∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，AB=12，∴DF=12AB=6，∴EF=DE−DF=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形中位线的的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握中位线的定义及性质、三角形相似的判定及性质是解题的关键．4．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外作等边三角形ABM和等边三角形CAN，D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE．求证：DE=EF．【答案】见解析【详解】证明：如图，连接MC，BN．∵△ABM和△CAN是等边三角形，∴∠BAM=∠CAN=60°，AM=AB，AN=AC，∴∠BAM+∠BAC=∠CAN+∠BAC，即∠MAC=∠BAN．在△MAC和△BAN中，AM=AB,∠MAC=∠BAN,AC=AN,∴△MAC≌△BAN(SAS)，∴MC=BN．∵D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，∴DE=12MC，EF=12BN，∴DE=EF．5．（2023上·江苏常州·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是边BC的中点，E是边AB上一点，且DE=DC．  (1)用直尺和圆规在边AC上作点F，使得△CDF≌△EDF；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下：①求CF的长；②线段DF与线段AB的数量关系是______，位置关系是______．【答案】(1)见解析(2)①32；②DF=12AB，DF∥AB【分析】此题考查作角平分线，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等角对等边证明边相等，三角形中位线的性质定理，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．（1）作∠CDE的平分线，可得△CDF≌△EDF；（2）①由△CDF≌△EDF得到EF=CF，∠DEF=∠C=90°，利用CD=DE=BD=2推出∠B=∠BED，进而得到∠A=∠AEF，证得AF=EF，即可求出AF=CF=12AC=32；②勾股定理求出AB=5，根据中点得到DF是△ABC的中位线，由此得到DF∥AB,DF=12AB．【详解】（1）如图，连接EF，  ∵CD=DE,∠CDF=∠EDF,DF=DF∴△CDF≌△EDF；（2）①∵△CDF≌△EDF，∴EF=CF，∠DEF=∠C=90°，∵BC=4，D是边BC的中点，DE=DC．∴CD=DE=BD=2∴∠B=∠BED∵∠A+∠B=90°,∠DEB+∠AEF=90°∴∠A=∠AEF∴AF=EF∴AF=CF=12AC=32；②∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=AC2+BC2=5∵AF=CF，CD=BD∴DF是△ABC的中位线，∴DF∥AB,DF=12AB，故答案为：DF=12AB，DF∥AB．6.（2023上·江苏南通·八年级校考期末）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是 ．【答案】4a>4【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，，连接AC，AP，先由矩形的性质和勾股定理求出AC=10，再证明MN是△AEP的中位线，得到MN=12AP，由AD13−1，当点B、M、N在同一直线上时，BM取最小值，即可求解．【详解】解：令AC中点为点N，连接MN,BN，∵点N为AC中点，∴AN=12AC=2，根据勾股定理可得：BN=AB2+AN2=32+22=13，∵点M为AP中点，点N为AC中点，CP=2，∴MN=12CP=1，∴在△BMN中，BM>BN−MN，即BM>13−1，当点B、M、N在同一直线上时，BM=BN−MN，此时BM取最小值13−1，故选：C．  【点睛】本题主要考查了勾股定理，中位线定理，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方；三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．2．（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连CE，设CE的最大值为m，最小值为n，则m+n= ．  【答案】6【分析】取AB的中点F，利用直角三角形斜边中线的性质求出AB=2BC=6，利用三角形中位线定理推出EF=12BD=32，再分类讨论可求得m和n的值，即得出答案．【详解】解：由旋转的性质可得出BD=BC=3，如图，取AB的中点F，连接EF、CF，∵∠BAC=30°，BC=3．∴AB=2BC=6，BF=FA=BC=CF=3，∵E、F分别是AD、AB的中点，∴EF=12BD=32，如图，当AD在AB上方时，  此时，如果C、E、F三点共线，则CE有最大值，最大值为CF+EF=3+32=4.5，即m=4.5；如图，当AD在AB下方时，此时，如果C、E、F三点共线时，CE有最小值，最小值为CF−EF=3−32=1.5，即n=1.5，∴n+n=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，分类讨论求得CE的最大值和最小值是解题的关键．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=43，点D为BC中点，连接AD，以AD为边向左侧作等边△ADE，连接CE，则CE= ．  【答案】2【分析】取AB中点H，连接CH，DH，由SAS可知△ACE≌△AHD，可得EC=DH，进而由直角三角形的性质可求解．【详解】解：如图，取AB中点H，连接DH，  ∵∠ACB=90°，∠B=30°，点H是AB的中点，∴∠CAB=60°，AH=CH=BH=4，∴△ACH是等边三角形，∴AC=AH，∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD，∠EAD=60°=∠CAB，∴∠EAC=∠BAD，在△ACE和△AHD中，AC=AH∠EAC=∠DAHAE=AD，∴△ACE≌△AHDSAS，∴EC=DH，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=43，∴ AB=2AC∴ AC2+BC2=2AC2解得：AC=4，∵D,H分别为BC,BA的中点，∴DH=2∴ EC=DH=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，中位线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）先把下面直角三角形的性质和已知补充完整，再证明．求证：直角三角形_______的中线等于斜边的一半.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点．求证：_________．  【答案】见解析【分析】本题考查了直角三角形的特征，与三角形中位线有关的证明，线段垂直平分线的性质，取BC的中点E，连接DE，则DE是△ABC的中位线，得出DE∥AC，推出DE⊥BC，从而得到CD=BD，由此即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．【详解】解：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点．求证：CD=12AB．证明：如图，取BC的中点E，连接DE，  ，∵D、E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵∠ACB=90°，∴∠DEB=∠ACB=90°，DE⊥BC，∵E是BC的中点，∴CD=BD，∵D是AB的中点，∴BD=12AB，∴CD=12AB．5．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，D在AC上，△ABC与△CDE均为等边三角形，F,H,G分别是BC,CE,AD的中点，连接FH,HG,GH．求证：△FGH为等边三角形．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，取CD的中点M，连接MH，得出△CMH为等边三角形，利用等边三角形的性质和中点的性质得出CF=MG，进而可证出△FCH≌△GMH，由此得出HF=HG，∠FHG=60°，即可得出答案，合理作出辅助线得出三角形全等是解决此题的关键．【详解】取CD的中点M，连接MH，∵△ABC与△CDE均为等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∵F，H，G分别是BC，CE，AD的中点，M为CD的中点，∴CF=12CB，CH=12CE，DM=CM=12CD，DG=12AD，∴CM=CH，又∠MCH=∠DCE=60°，∴△CMH为等边三角形，∴MH=CH，∠MCH=∠CMH=∠CHM=60°，∴∠GMH=180°−∠CMH=180°−60°=120°，又∠FCH=∠ACB+∠MCH=60°+60°=120°，∴∠FCH=∠GMH，又MG=DG+DM=12AD+12CD=12（AD+CD）=12AC，∴CF=MG，在△FCH和△GMH中，CH=HM∠FCH=∠GMHCF=MG∴△FCH≌△GMH（SAS），∴HF=HG，∠CHF=∠MHG，∴∠CHF+∠FHM=∠MHG+∠FHM，∴∠CHM=∠FHG，∴∠FHG=60°，∴△FGH为等边三角形，6．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G．若AB=CD=2，∠FEC=45°，求EF的长．【答案】EF=2【详解】解：如图，连接BD，取BD的中点H，连接EH和FH．∵E，F分别是AD，BC的中点，∴EH=12AB，FH=12CD，FH//AC，∴∠HFE=∠FEC=45°．∵AB=CD=2，∴EH=FH=1，∴∠HEF=∠HFE=45°．∴∠EHF=180°−∠HFE−∠HEF=90°，∴EF=FH2+EH2=12+12=2．7．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点．若AB=10，CD=8求MN长度的取值范围．【答案】1