四川省眉山市彭山区第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知向量，.若，则的值为（）
A. B. C. D.
2. 已知集合，则包含的元素个数为（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
3. 已知且，则“”是“函数为偶函数”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 函数图象如图所示，则的解析式可能是（）
A. B.
C D.
5. 函数，若对任意、（），都有成立，则实数a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
6. 已知，则（）
A. B.
C D.
7. 已知定义在上的函数(为实数)为偶函数，记，，，则､､的大小关系为（）
A. B. C. D.
8. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则（）
A. 2B. C. D.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. （多选）为了更好地支持中小型企业的发展，某市决定对部分中小型企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业的年收入情况，并根据所得数据作出了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）

A. 样本在区间[500,700]内的频数为18
B. 如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税收政策，估计当地有30％的中小型企业能享受到减免税收政策
C. 样本的中位数小于350万元
D. 可估计当地的中小型企业年收入的平均数不超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
10. 已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（）
A. B. 图像关于点成中心对称
C. D.
11. 如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 平面
C. 的最小值为
D. 当，C，，P四点共面时，四面体外接球的体积为
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知为虚数单位，，若，则a-b=_______
13. 已知为椭圆的右焦点，为坐标原点，为上一点，若为等边三角形，则的离心率为__________.
14. 已知正数a，b，c满足，，则的最小值为___________.
四、解答题
15. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求的面积.
16. 某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：
（1）计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高）
（2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数）
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，.
参考数据：，，.
17. 如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点．

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
18. 已知函数，定义域为.
（1）讨论的单调性；
（2）求当函数有且只有一个零点时，的取值范围.
19. 已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点.
（i）证明：共线；
（ii）判断是否为定值，若是定值求出定值；若不是定值，说明理由.研发投入（亿元）
1
2
3
4
5
产品收益（亿元）
3
7
9
10
11