苏教版小学数学六上第一单元长方体与正方体表面积和体积应用题期中复习举一反三题型总结（知识点+例题+变式题）

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长方体与正方体表面积和体积期中复习知识点梳理+题型总结长方体和正方体的表面积长方体的表面积：S=(ab+ah+bh)x2（注意所求的面积是几个面的）正方体的表面积：S=6a2面积和。（注意所求的面积是几个面的）体积和容积单位意义及单位1、物体所占空间的大小叫作物体的体积。2、容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。体积和容积的单位1、体积单位：立方米、立方分米、立方厘米2、容积单位：升、毫升相邻体积单位间的进率相邻体积单位间的进率为1000单位换算法则：高级体积单位×进率=低级体积单位低级体积单位÷进率=高级体积单位长方体和正方体的体积1、长方体的体积：V=abh2、正方体的体积：V=a33、通用公式：V=Sh注意：容积的计算方法和体积的计算方法相同，但要从容器内部测量长、宽、高。知识点：表面积计算【例题】 计算下列长方体和正方体的表面积。 答案：7平方米，486平方厘米【变式1】 做一个这样的纸箱，至少需要多少平方分米的硬纸板? 答案：94平方分米【例题】 一个长方体的无盖铁皮水桶，长和宽都是3分米，深5分米。做一对这样的水桶，至少需要多少平方分米铁皮？答案：138平方分米【例题】 一个房间的长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？ 答案：粉刷面积是70平方米，一共要水泥280千克。【变式1】一间教室长8米，宽6米，高4米。（1)这间教室的占地面积是多少平方米?(2)现在要粉刷这间教室的顶面和四面墙壁(门窗和黑板的面积一共有24平方米)，粉刷的面积有多少平方米?答案：（1）48平方米 （2）136平方米【例题】 一个长方体的棱长和是72厘米，它的长是9厘米，宽6厘米，它的表面积是多少平方厘米？答案：198平方厘米【变式1】 用72分米长的铁丝做一个正方体的框架，然后在外面贴上一层纸，至少需要多少平方分米的纸？ 答案：216平方分米知识点：棱长的表面引起表面积的变化正方体正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍长方体长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍长方体的长宽同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，【例题】 正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的面积就扩大到原来的（ ）倍。答案：9倍【变式】把正方体的棱长扩大4倍，它的表面积扩大（　　）A．4倍 B．8倍 C．12倍 D．16倍答案：D【变式】一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的5倍，表面积就扩大到原来的（　　）倍．A．25 B．15 C．5答案：A【例题】 左下图是一个无盖长方体纸盒的展开图，请算出这个长方体纸盒的表面积。答案：224平方厘米知识点：长方体和正方体中挖的问题【例题】 在棱长1分米的正方体的顶点处挖去一个棱长1厘米的小正方体，剩下物体的表面积是多少？答案：1×1×6=6平方分米【变式】 如图，有一个长方体，中间挖去一个正方体，则剩下物体的表面积是多少平方厘米? 答案：316平方厘米知识点：通风管问题 【例题】 做一节长12分米，宽和高都是10厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？做12节这样的通风管呢？ 答案：120×10×4=4800平方厘米 4800×12=57600平方厘米【变式1】一种通风管，长1.6米，它的横截面是边长2分米的正方形。做50个这样的通风管至少需要多少平方米的铁皮?答案：2分米=0.2米，0.2×4×1.6×50=64平方米知识点：楼梯问题【例题】在一个长1.5米，宽4米，高1.6米的小楼梯的台阶面上（涂色部分）铺上地毯，至少要多少平方米的地毯？答案：1.5×4+1.6×4=12.4平方米知识点：裁剪问题【例题】 如图,从长为13厘米,宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉2厘米的正方形,然后,沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的表面积是多少平方厘米.913答案：长是13-2×2=9厘米，宽是9-2×2=5厘米，高是2厘米，表面积是9×5+9×2×2+5×2×2=101平方厘米或者13×9-2×2×4=101平方厘米【变式1】 有一块正方形铁皮，从四个顶点分别剪下一个边长5厘米的正方形后，所剩部分正好焊接成一个无盖的正方体铁皮盒。原来正方形铁皮的面积是多少平方厘米？答案：3×5=15厘米，15×15=225平方厘米知识点：拼组图形的表面积问题【例题】 下图是由棱长为1厘米的小正方体积木拼成的物体。（1）分别画出从前面、上面和右边看到的图形 这个物体的表面积是多少？答案：图略，表面积=46平方厘米知识点：长方体与正方体的拼切1、立体图形的切割：（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题）长方体沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。正方体无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。2、立体图形的组合（组合只会使表面积减少，因此存在减少最多或最少的问题）长方体将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。正方体无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面，减少的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。【例题】一个长方体正好能切成两个大小相同的正方体，正方体的棱长是a米，这个长方体的表面积是（ ）平方米。A.12a B.12a2 C.10a D.10a2答案：D【例题】 将一个长8厘米，宽6厘米，高5厘米的长方体切成两个小长方体，表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？答案：沿着最大面平行的方向切开表面积增加最多8×6×2=96平方厘米沿着最小面平行的方向切开表面积增加最少6×5×2=60平方厘米 【变式1】两个完全相同的长方体，长5厘米，宽4厘米，高2厘米，把它们拼成一个大长方体，表面积最大是多少平方厘米?最小是多少平方厘米?答案：表面积最大：（5×4+5×2+4×2）×2×2-4×2×2=136平方厘米表面积最小：（5×4+5×2+4×2）×2×2-5×4×2=112平方厘米【例题】 一个长40厘米，截面是正方形的长方体，如果长增加5厘米，表面积就增加80平方厘米，求原长方体的表面积。答案：80÷5÷4=16÷4=4(厘米)(4x4+4x40+4x40)x2=(16+160+160) x2=336x2=672（平方厘米）答: 原来长方体的表面积是672平方厘米【变式】.一个长方体，高减少2厘米，就成为表面积是150平方厘米的正方体。原来长方体的表面积是多少平方厘米?答案：正方体的每个面积=150÷6=25平方厘米正方体的棱长=5厘米长方体的高=5+2=7厘米原表面积=2x(5x5+5x7+5x7)=190平方厘米答:原来长方体的表面积是190平方厘米【例题】 下图是由27个小正方体拼成的大正方体，把它的表面全部涂成绿色。（1）没有涂成绿色的小正方体有几个?一面涂成绿色的小正方体有几个?两面涂成绿色的小正方体有几个?（4）三面涂成绿色的小正方体有几个?答案：（1）1个 （2）6个 （3）12个 （4）8个【变式1】 右图是由125块大小相同的小正方体拼成的大正方体模型。将其表面涂上红色。三面涂色的有（ ）个，两面涂色的有（ ）个，一面涂色的有（ ）个，没有涂色的有( ）个。答案：8，36，54，27三面涂色的小正方体都在顶点处，一共有8个；两面涂色的有:(5-2)x12=36(个)；一面涂色的有:(5-2)x(5-2)x6=54 (个)；没有涂色的有:(5-2)x(5-2)x(5-2)=27(个)；知识点：长方体与正方体体积公式应用基础公式应用【例题】一个长方体长10厘米，宽8厘米，高5厘米，求它的体积是多少立方厘米？答案：长方体体积公式=长 ×宽×高，10×8×5=400立方厘米【变式题】一个正方体的棱长是4厘米，它的体积是多少立方厘米？答案：4×4×4=64立方厘米【例题】判断。棱长6厘米的正方体，它的表面积与体积相等。（ ）答案：×，解析单位名称不同，无法比较【例题】 有一节火车的车厢，长9米，宽2.5米，高2米，里面装满了煤，如果每立方米煤重1.4吨，这节车厢装煤多少吨？答案：先根据长方体的体积计算公式9×2.5×2×1.4=63吨【变式题】一个正方体油箱，从里面量棱长为5分米，每升汽油重0.82千克，这箱汽油重多少千克？答案：根据正方体的体积计算公式棱长×棱长×棱长，所以5×5×5=125立方分米，125立方分米=125升，125×0.82=102.5千克【变式题】一个长方体油箱，长0.9米，宽0.6米，高0.5米。（1）做这个油箱需要多少铁皮？（2）如果每升汽油重0.75千克，这个油箱可以装汽油多少千克？答案：（1）根据题目意思本题是计算表面，应用长方体的表面积计算公式可得（0.9×0.6+0.9×0.5+0.6×0.5）×2=2.58平方米，根据题目意思本题首先要计算油箱的体积，0.9×0.6×0.5=0.27立方米，0.27立方米=270立方分米=270升，270×0.75=202.5（千克）【变式题】一个长方体形状的鱼缸，从里面量长60厘米，宽30厘米，高40厘米，缸内水面离缸口5厘米。鱼缸内有水多少毫升?答案：计算鱼缸内水的体积，用水的高度×长×宽，水的高度是40-5=35厘米，35×30×60=63000立方厘米，63000立方厘米=63000毫升，底面积×高=长方体体积知识点：运用转化法解决长方体问题【例题】 一个封闭的长方体容器，里面装着水，它的长、宽、高分别是20厘米、20厘米、30厘米。红红不小心把容器碰倒了。 答案：20×20×15=6000立方厘米，6000÷（30×20）=10厘米 【变式题】 有一个长50厘米，宽10厘米，高10厘米的全封闭容器，里面装了8厘米深的水，如果把容器竖起来，水面的高度是多少厘米？答案：50×10×8÷（10×10）=40厘米【例题】 在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水，如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？答案：将正方体铁块放入水中，水面上升，上升部分水的体积与铁块的体积相等，所以水的体积等于30厘米=3分米，3×3×3=27立方米，求上升水的高度，用水的体积÷长÷宽，27÷12÷15=0.15分米【变式题】 有一个小金鱼缸，长4分米，宽3分米，水深2分米。把一个小块假山石浸入水中后，水面上升了0.8分米，这块假山石的体积是多少立方分米？答案：上升水的体积和假山石的体积是相等的，要求假山石的体积即求上升水的体积=4×3×0.8（水上升的高度）=9.6立方分米【例题】 一个长方体容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长18厘米的长方体铁块。这时容器里的水深0.5米。如果把铁块取出，容器里水深多少厘米?答案：本题主要考查长方体体积的应用；长方体体积公式=长×宽×高，0.5×100=50厘米，根据题意可知，有0.5米高的铁块浸没在水中，所以浸没在水中铁块的体积是18×18×50=16200立方厘米，用浸没在水中的铁块的体积除以容器的底面积，就可以求出水面下降的高度，即16200÷（60×60）=4.5厘米，然后用0.5米减去下降的高度，就是铁块取出后容器里的水面高度。即50-4.5=45.5厘米。