北京市东城区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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2024.1
本试卷共4页，满分100分.考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合,，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数中，与是同一函数的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列命题中正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列函数中，满足对任意的，，都有的是（ ）
A. B. C. D.
7 已知，，，则（ ）.
A. B. C. D.
8. “角与的终边关于直线对称”是“”的（ ）
A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（ ）（参考数据：，）
A 20B. 16C. 12D. 7
10. 已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
第二部分（非选择题 共70分）
二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分.
11. 函数的定义域为______.
12. 设，则的最小值为__________.
13. 已知，若，则______．
14. 在平面直角坐标系中，角的终边不在坐标轴上，则使得成立的一个值为____________．
15. 已知函数，则______2（用“”“”“”填空）；的零点为______.
16. 已知符号表示不超过x的最大整数，若函数（），给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题：共5小题，共46分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 设全集，集合，．
（1）求；
（2）当时，求；
（3）若，都有，直接写出一个满足条件m值．
18. 已知函数．
（1）当时，
①求的值；
②求图象与直线的交点坐标；
（2）若的值域为R，求实数a的取值范围．
19. 已知函数（，，）的部分图象如图所示．
（1）求的解析式及单调递减区间；
（2）当时，求的最小值及此时x的值．
20. 已知是定义在上的奇函数，当时．
（1）求的解析式；
（2）根据定义证明在上单调递减，并指出在定义域内的单调性；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
21. 某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用30年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度工（单位：cm）满足关系：（）．若不建隔热层，每年能源消耗费用为6万元．设S为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和．
（1）求出S关于的函数解析式；
（2）若使隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和S控制在90万元以内，隔热层的厚度不能超过多少厘米？隔热层的厚度为整数）