数学九年级上册6 应用一元二次方程精品课时练习

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知识清单
知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
知识点2．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
题型强化
题型一．由实际问题抽象出一元二次方程
1．（2024•云南模拟）某小区内的一家快递驿站第一天共收到225件快递，第三天共收到324件快递，设该快递驿站收件量的日平均增长率为，则下列方程正确的是
A．B．
C．D．
【分析】利用第三天的快递数第一天收到的快递数该快递站收件平均增长率），可列出关于的一元二次方程，即可得出结论．
【解答】解：设该快递驿站收件量的日平均增长率为，
根据题意有，
故选：．
【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．
2．（2024•重庆模拟）春节期间电影《满江红》的公映带火拍摄地太原古县城，太原古县城也因此迎来了旅游的高峰期．据了解，今年1月份第一周该景点参观人数约10万人，第三周参观人数增加到约25.6万人，设这两周参观人数的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
【分析】根据今年1月份第一周该景点参观人数约10万人，第三周参观人数增加到约25.6万人，列出一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2022秋•天门校级月考）天门市委市政府牢记习总书记“绿水青山就是金山银山”嘱托，2021年已投入3亿元资金用于环境改造与建设，并规划投入资金逐年增加，预计到2023年底，将累计投入资金10.5亿元用于环境改造与建设．
（1）求到2023年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；
（2）设（1）中方程的两根分别为，，且的值为12，求的值．
【分析】（1）设这两年中投入资金的平均年增长率为，则2022年投入亿元，2023年投入亿元，根据3年累计投入资金10.5亿元用于环境改造与建设，即可得出关于的一元二次方程；
（2）将（1）中的方程化简为一般形式，利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．
【解答】解：（1）设这两年中投入资金的平均年增长率为，则2022年投入亿元，2023年投入亿元，
依题意得：．
（2）（1）中的方程整理得：．
（1）中方程的两根分别为，，
，，
又，
即，
，
整理得：，
解得：，，
的值为或1．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“两根之和等于，两根之积等于”．
题型二．一元二次方程的应用
4．（2024•新疆二模）如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为 1 ．
【分析】设道路的宽为 ，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形，根据种植花苗的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设道路的宽为 ，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
道路的宽为．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2023秋•仁寿县期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则 秒后，的面积等于4．
A．1B．2C．4D．1或4
【分析】设秒后，的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设秒后，的面积等于4，
由题意得：，，则，
，
，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
即1秒后，的面积等于4，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2024•化德县校级模拟）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元；
（2）平均每天盈利1300元，可能吗？请说明理由．
【分析】（1）设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，利用每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合“为了扩大销售量，尽快减少库存”，即可确定每件童装降低的价格；
（2）设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，利用每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式△，即可得出不可能每天盈利1300元．
【解答】解：（1）设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又为了扩大销售量，尽快减少库存，
．
答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元．
（2）不可能，理由如下：
设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
△，
方程无实数解，即不可能每天盈利1300元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．关键是掌握列代数式以及根的判别式，
分层练习
一、单选题
1．两个相邻奇数的积为195，若设较大的奇数为x，则可列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设较大的奇数为x，那么较小的奇数为，则这两个数的积是即可列出方程．
【详解】解：设较大的奇数为x，根据题意得，
故选：D．
2．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后，共有196人患流行性感冒，则每轮传染中平均一人传染的人数是（ ）
A．14B．13C．12D．11
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，根据经过两轮传染后患病的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，
依题意得：，
解得（不合题意，舍去），
故选：B．
3．在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，所有学生共握手231次．若设参加此会的学生为名，据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．
设参加此会的学生为名，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】设参加此会的学生为名，
根据题意得，．
故选：C．
4．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（ ）
A．0B．3.5C．3.8D．4.5
【答案】D
【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断
【详解】时，，
时，，
则的解的范围为，
即一元二次方程的解大概是4.5．
故选D．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键．
5．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价x元，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，即可得解．
【详解】解：设每件降价 元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得：，
故选：A
6．某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设该厂平均每月的增长率为x，根据题意列出方程即可．
【详解】设该厂平均每月的增长率为x，
根据题意得，．
故选：A．
7．《九章算术》中记载一个数学问题，其大意为：有一个长方形的门框，它的高比宽多6.8尺，对角线长10尺，问它的高与宽各是多少？设门框高为x尺，依题意列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形门的高与宽之间的关系，可得出门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵矩形的门的高比宽多6尺8寸，且门框高为x尺，
∴门宽为尺．
根据题意得：．
故选：B．
8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若全班有x名同学，由每名同学都要送给除自己外的每位同学，可得每名同学要送出张；用x名学生数乘以每位送出的张数，即得总共送的张数，结合题意即可得到答案．
【详解】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出张照片.
又∵是互送照片，
∴．
故选：C．
9．2024年8月2日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），如果比赛共进行了78场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有x支球队参加比赛，根据题意可列方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），比赛共进行了78场，列出方程即可．
【详解】解：设一共有x支球队参加比赛，由题意，得：；
故选D．
10．如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形，得出数量关系，列出方程求解．设当运动时间为时，，，，根据，解方程即可求解；
【详解】，．
当运动时间为时，，，，，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
秒时的面积是．
故选：B．
二、填空题
11．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为，则可列方程 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得：．
故答案为：．
12．哈市某中学组织篮球比赛庆祝建党100周年，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
设这次参加比赛的球队个数为x个，根据“赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．
【详解】解：设这次参加比赛的球队个数为x个，
根据题意得：
解得（舍去）
即这次参加比赛的球队个数为9个，
故答案为：9．
13．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒．
【答案】/
【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转化和题目的问题相符．
【详解】解：时速为108千米米/秒，
设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒，
则，
解得：．
平均每秒减速（米/秒）；
设刹车后汽车滑行10米时用了t秒，
依题意列方程：，
解方程得，（不合题意，舍去），
即，
故答案为：．
14．初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可．
【详解】解：根据题意得，
，
故答案为：．
15．某商店将进货价为元的玩具按每件元售出，每周可销售件现在采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，已知这种玩具每涨价元，其销量减少件，要使每周获得元的利润，则售价为 元．
【答案】13或15
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每件涨价x元，每件的销售利润为：元，每月的销售量件，根据每月的利润等于每件的销售利润乘以销售量列出关于x的一元二次方程求解即可．
【详解】解：设每件涨价x元，每件的销售利润为：元，
每月的销售量为：件，
根据题意有：，
整理得：，
解得：，，
当时，，
当时，，
∴售价为：13元或15元，
故答案为：13或15．
16．新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的k倍（），则称这个矩形是给定矩形的“k倍”矩形．现有一个长为2，宽为1的矩形，若它的“k倍”矩形存在，则k的最小值为 ．
【答案】
【分析】先求出原矩形的周长和面积分别为6和2，设它的“k倍”矩形长为x，宽为y，根据题意得，进而可得，根据即可求出k的范围．
本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，利用求k的范围解题的关键．
【详解】解：原矩形的周长为，
面积为．
设它的“k倍”矩形长为x，宽为y，
则，
由①得，
将③代入②得，
∴，
由得，
，
解得，或（舍去）．
∴k的最小值为，
故答案为：．
17．已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，，，均不为整数），且，（为正整数）．在点与点之间的所有整数依次记为；在点与点之间的所有整数分别记为．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数轴上两点距离；根据题意得出之间共有个或个整数，进而可得，设之间的数分别为，，根据题意列出一元二次方程，解方程，得出整数解，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴之间共有个或个整数，
∵6个连续的整数满足
∴，
当时，间有个整数，则之间的3个整数设为，之间的个整数为，
∴，
解得：或x=−1
当上有个整数，，无整数解；
当时，间有个整数，则之间的4个整数设为，之间的个整数为，
∴，
解得：或x=−1，
当，间有个整数，则之间的4个整数设为，之间的个整数为，
∴，无整数解；
当时，则之间的5个整数设为，之间的个整数为，
∴，无整数解
或，无整数解
当时，则之间的5个整数设为，之间的个整数为，
∴，无解，
综上所述，或或x=−1，
则或或，
∴，或
∵是正整数，
∴
故答案为：．
18．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ．
【答案】3或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程（一元二次方程）是解题的关键．分，及三种情况考虑：当时，连接AQ，DQ，连接，，此时，，当当时，，，当时，，，由四边形的面积等于
列出关于t的方程，解之即可得出t值．
【详解】解：（秒），（秒），（秒）．
当时，连接，，此时，，如图1所示．
依题意得：，
即
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，，，如图2所示．
依题意得：
，
即，
解得：t（不合题意，舍去）；
当时，，，如图3所示．
依题意得：，
即，
解得：t．
综上，t的值为3或．
故答案为：3或．
三、解答题
19．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件．若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
【答案】月平均增长率是
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率是x，则2月份的销售量是万件，3月份的销售量为万件，据此列出方程求解即可．
【详解】解：设月平均增长率是x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：月平均增长率是．
20．某服装店每天销售“某品牌衬衫”20件，每件衬衫盈利40元．该服装店决定降价销售该品牌衬衫，经过市场调查发现：如果衬衫每降价1元，那么每天多售出2件．如果该服装店销售该品牌衬衫每天盈利1250元，那么衬衫每件降价了多少元？
【答案】衬衫每件降价了15元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．设该品牌衬衫每件降价元，则降价后的价格为元，销售数量为件，根据题意列方程并求解，即得答案．
【详解】设该品牌衬衫每件降价元，
根据题意得：，
整理得：，
解得．
答：衬衫每件降价了15元．
21．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
(1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人
(2)经过三轮传染后共有729人会患流感
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
（1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人；
（2）解：（人．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
22．如图，要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花在圃（中间的篱笆将长方形分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃，那么的长为多少米？
【答案】的长应为6米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，再找出题目中的等量关系，列出方程．设花圃的宽为米，用总长减去三个宽即为的长，则米，再利用矩形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：设花圃的宽为米，则米，
，
解得：，，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
答：的长应为6米．
23．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米
(2)的值为10
【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，
根据题意得，
，
解得：，
则，
答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，
，
整理得，，
解得：，（舍去），
∴的值为10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．
24．第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．
(1)请把八进制数换算成十进制数；
(2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是根据题意找到进制转化的方法．
（1）根据题意，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得的结果相加即可；
（2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）

．
故答案为：；
（2）依题意有：，
解得，负值舍去．
故的值是．
25．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【答案】(1)10%
(2)2500000张
【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结单价，即可求出结论；
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：
（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或（张）．）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，的面积等于？
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)若点P、Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？
【答案】(1)为5或7
(2)为或
(3)为4或8
【分析】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键，特别是最后一问，关键是弄懂分段的时间节点．
（1）分别用含的代数式表示，的长，利用面积公式列方程求解即可．
（2）分别用含的代数式表示，的长，利用勾股定理列方程求解即可．
（3）当，P，Q都没有返回，表示出，的长，用面积公式列方程，，P不返回，Q返回，表示出，的长，用面积公式列方程，，两点都返回，表示出，的长，用面积公式列方程即可得到答案．
【详解】（1）∵点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，，，
∴，
∴，
∵的面积等于
∴
∴
整理，得
解得，
∴当为5或7时，的面积等于；
（2）根据勾股定理，得
整理，得
解得
故当为或时，的长度等于；
（3）①当时，
由题意，得 ，
解得：
②当时，，
由题意，得，
解得：（舍去），（舍去），
③当时，，
由题意，得，
整理得，
∴
∴方程无解
综上所述，当为4或8时，的面积等于．
2
3
4
5
6
5
13
发布日期
10月8日
10月11日
10月12日
发布次数
第1次
第2次
第3次
票房
10亿元
12.1亿元